两异面直线所成的角

9．2两条异面直线所成的角

[教学目的]：

1、知识目标：理解空间两异面直线所成角的定义、范围，并会作出、求出两异面直线所成

角。

2、能力目标：培养学生的识图、作图能力、在习题讲解中，培养学生的空间想象能力以及

解决问题和分析问题的能力。

3、情感目标：在对学生进行创造性思维培养的同时，激发学生对科学文化知识的探求热情

和逻辑清晰的辩证主义观点。

[教学重点和难点]：

教学重点：对异面直线所成角的定义的理解和应用。

教学难点：如何在实际问题中求出异面直线所成的角。

[课时安排]：共一课时

[教学过程]：

一、新课引入

师：同学们，我们来共同欣赏一幅动画。请仔细观察画面，两条汽车路线与飞机航线的相对位置关系是空间两直线位置关系中的哪一种？又有哪些不同？

（请同学们共同回答）

师：本节课我们就来学习两条异面直线所成的角。

（板书课题：9.2两条异面直线所成的角）

二、讲授新课

（一）、异面直线所成的角

1、引言：

师：为了解决这个问题，我们先来做两个实验。下面我们做第一个实验：一张纸上画有两条能相交的直线ａ、ｂ（但交点在纸外）．现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出ａ、ｂ所成角的大小？

师：请同学们按照实验要求进行实验，并说出实验的操作方法？

师：（找一个学生回答后，接着放动画演示）请问这三种方法下得出的结果是否相同？为什么相同？（引导学生回顾等角定理）

师：下面我们再做第二个实验，现在有两条异面直线ａ、ｂ，它们之间有一定的角度关系，你用什么方法可以度量它们的角度。（请同学们思考）

师：通过这个实验我们找出了作异面直线所成角的方法。那么接下来，该如何来概括异面直线所成角的定义呢？请同学们组织好语言，举手回答。

（在同学回答的同时，及时补充修正。最后和全休同学一块儿来熟悉定义，老师板书定义）2、异面直线所成角的定义：【用多媒体显示定义】

已知异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．

师：针对这个定义，请同学们来思考两个问题。

师：问题1：过点O 为什么能作a ′∥a 和b ′∥b ？它的理论依据是什么？

师：问题2：由于点O 可以任意选取，那么按此方法做出的角能有多少个？它们的大小

有什么关系？为什么？

答1：/,0,o a a a αα?∴点与直线a 确定一个平面在平面内可以做直线平行，同

理可作b ′∥b

答2：在这个定义中，空间中的一点O 是任意取的．若在空间中，再取一点O ′，过点

O ′作a ″∥a ，b ″∥b ，根据等角定理，a ″与b ″所成的锐角（或直角）和a ′与b ′所成的锐角（或直角）相等．这说明两异面直线所成角的大小只与两条异面直线的位置有关，而与点O 的选取无关。但有时为了研究问题的方便，通常也把点O 取在特殊的位置上。

师：结合以上两个问题的回答，就此定义提醒同学们注意以下三点。

【突破方法：教师直接用多媒体显示】

（1）异面直线所成的角只和两条异面直线的位置有关，而和点O 位置的选择无关。

（2）注意把握异面直线所成角的范围，即0°＜α≤90°

（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。今后再

说两条直线互相垂直时，它们可能相交，也可能异面。

（二）异面直线所成角的求法

师：同学们，我们理解了两条异面直线所成角的定义，那么在实际问题中你会不会求两条异

面直线所成的角呢？请看例题。

[典例剖析]：

例题1：如图：表示正方体1111D C B A ABCD -，

求异面直线11CC BA 和所成的角。

（1、提问一个学生，让其说出做题的方法以及这样做的依据是什么？

2、请同学们再找一找图中还有哪些角也可以表示异面直线11CC BA 和所成的角。） 例题2．空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD

的中点，EF =

求异面直线,AD BC 所成的角。 师：请同学们思考，重点去分析此题的解题思路。我相信同学们能把这道题解出来，我也

相信同学们能够想出多种解法。

[突破方法：1、思考一分种，一分种后提问学生，重在分析此题的解题思路。

2、两位同学回答后，停止该题思路的分析，然后老师直接放出此题的另两种思

路，与同学们共享。

A

F E

D B

1

3、给出学生两分钟时间去写思路1的解题步骤，两分钟后，多媒体显示思路1

的解题步骤，同桌交换答案，相互对改，相互交流。

4、然后老师用板块儿分析求解异面直线所成角时的四个环节］

思路1：取BD 的中点G ，连结EG 、FG ，则EGF ∠（或其补角）

就是异面直线AD ，BC 所在的角。

思路2：取AC 的中点R ，连结ER 、FR ，则ERF ∠（或其补角） 就是异面直线AD ，BC 所在的角。

思路3：过点D 在面BCD 内作DH //BC ，连结CH 、AH ，则ADH ∠（或其补角）

就是异面直线AD ，BC 所在的角。

思路4：过B 在面ABD 内作BK //AD ，连结AK 、CK ，则KBC ∠（或其补角）

就是异面直线AD ，BC 所在的角。

解：思路1：取BD 中点G ，连结,,EG FG EF ，

∵,E F 分别是,AB CD 的中点，

∴//,//,EG AD FG BC ∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角（或其补角），

∵111,122

EG AD FG BC =

===， 在EGF ?中，2221cos 22

EG FG EF EGF EG FG +-∠==-?，∴120EGF ∠=， ∵两异面直线所成角的范围是：(000,90?? ∴异面直线,AD BC 所成的角为60．

师：在思路1的解题过程当中有几个关键步骤是必不可少的，请看第一环节， “作角”；第

二环节 “证角”；第三环节 “算角”；第四环节 “答角”；这是求解异面直线所成角的四个步骤，提醒同学们注意。

师：请同学们独立完成下面的练习，请按上题格式书写解题步骤。

（学生书写完毕后，找出两们同学的答案用幻灯显示）

A B C D E F

G A F E D B R A F

E D C B H

D

A

F E B K

（三）[课堂练习]

在空间四边形ABCD 中，4BD =，6AC =，且A C B D ⊥，,M N 分别为,AB CD

的中点，求MN 与BD 所成角的正切值。

师：同学们，在本节课结束之前，请同学们用简洁的语言概括一下本节课所学内容。

（由全体学生共同去回顾）。

三、尝试回忆

1、异面直线所成角的定义

2、异面直线所成角的求法

师：本节课我们重点讲了两条异面直线所成角的定义，其中两条异面直线所成角的求法是难

点，希望同学们通过本节的例题和练习能够掌握住。

师：下面布置作业。

四、板书设计

9．2 两条异面直线所成的角

（一）、两条异面直线所成角的定义

（二）、两条异面直线所成角的求法

五、布置作业

1、课本习题9.2第6、7

2、自助餐：

已知异面直线a,b 所成的角为50o ，P 为空间一点，则过点P 且

（1）与a,b 所成角都是25o 的直线有且只有＿ ＿ ＿ ＿ ＿条 。

（2）与a,b 所成角都是30o 的直线有且只有＿ ＿ ＿ ＿ ＿条 。

（3）与a,b 所成角都是65o 的直线有且只有＿ ＿ ＿ ＿ ＿条 。

（4）与a,b 所成角都是70o 的直线有且只有＿ ＿ ＿ ＿ ＿条。 B A C D N M

异面直线所成的角求法总结加分析

异面直线所成的角求法 总结加分析 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

异面直线所成的角 一、平移法： 常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝ 3 ，求AD 、BC 所成角的大小． 解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝ 3 FG ＝EG ＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45° 3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝ 2 π ，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角

A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝ a 25 NQ ＝2 1SM ＝ 4 2 a BQ ＝ a 4 14 ∴COS∠QNB＝ 5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若 BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角． 设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝ 5 ，GN ＝BM ＝ 6 ， cos∠GNA＝ 10 30 5 62556= ??-+。 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所 成的角。 证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ， 又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1， 故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G∥D 1F 。 设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。

异面直线所成的角练习题

A B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A 高二数学练习（二） 一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线 （C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）5 3（D ）54 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成ο60角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD ＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形 （C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．

如何求异面直线所成的角

如何求异面直线所成的角 立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。 Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角 一、端点平移法 例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若 1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， //DF EC Q 且DF EC = ∴四边形DFEC 为平行四边形 //EF DC ∴ EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。 设2AB =, 则EF = AF = EA = 故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==g arccos 10 EFA ∴∠= 二、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ， Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点， ∴NO 为DAM ?的中位线， ∴//NO AM ， ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。 设正四面体ABCD 的棱长为2 ，则有2NO = ，CN = ,2CO =, 故2222 cos 23 NO CN CO ONC NO CN +-∠= =g 2 arccos 3 ONC ∴∠= 1 B D C

异面直线所成的角的求法

异面直线所成的角的求法 法一：平移法 在正方体 ABCD A i B i C i D i 中，求下列各对异面直线所成的角。 恵，求直线AB 与CD 所成的角。 习题1?在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2, E, F 分别为AB 、CD 的中点，EF =为, 求AD 、BC 所成角的大小. 例1: (1) AA 1 与 BC ; (2) DD 1 与 AB ; (3) A i B 与 A C 。 法二： 例2: 求直线AB 与MN 所成的角。 中位线 在空间四边形 ABCD 中，AB = CD ，且AB CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点, 变式：在空间四边形 ABCD 中，点M 、N 分别为 BC 、AD 的中点，AB = CD = 2,且 MN =

正 ABC 的边长为a , S 为 ABC 所在平面外的一点，SA = SB = SC = a, E , F 分别 是SC 和AB 的中点.求异面直线 SA 和EF 所成角. S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA = SB = SC ,且 ASB = BSC = CSA = - , M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线 SM 与BN 所成的角的 余弦值. 如图，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ BCA = 90° M 、N 分别是 A i B i 和A i C i 的中 点， 若BC = CA = CC i ，求BM 与AN 所成的角. 5.如图1 — 28的正方体中，E 是A D 勺中点 (1) 图中哪些棱所在的直线与直线 BA 成异面直线？ (2) 求直线 (3) 求直线 (4) 求直线 2. 3. 4 . BA 和CC 所成的角的大小； AE 和CC 所成的角的正切值; AE 和BA 所成的角的余弦值 B A （图 1— 28）

异面直线所成角练习

1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】D 【解析】 试题分析：如图所示，连接B 1C ， 则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°． 故选：D ． 考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（ ） A ． 3 ．7 C ．5 D ．5 【答案】B 【解析】 试题分析：设向量 1,,AB a AD b AA c === ，则11 ,AC a b c AD b c =++=- ，11AC A D ∴== 111111cos ,AC A D AC A D AC A D ?<>== 。 考点：空间向量的集合运算及数量积运算。 3．正方体1111ABCD A BC D -中，,,,E F G H 分别是1AA , AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

【答案】C 【解析】 试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，大小为60° 考点：异面直线所成角 4．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ） A ． 5 ．5．5 10 - D ．5- 【答案】B 【解析】 试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1 D CF ∠为异面直线所成角，设边长为2 ，11C F DC DF ∴== 1cos 5 DC F ∴∠= 考点：异面直线所成角 5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ） A 、910 B 、45 C 、710 D 、3 5 【答案】A 【解析】 试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB = ,在'' A BC ?中 ''''AC A B BC ===''9 cos 10 A BC ∴∠= 考点：异面直线所成角 6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所 成的角是 A ．?60 B ．?90 C ．?45 D ．?30 【答案】A 【解析】 试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，

高中数学《两条异面直线所成的角》练习

高中数学两条异面直线所成的角练习 一、选择题： １．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ 所成的度数是（） （A）（B）（C）（D） 2．下列命题中，正确的命题是（） （A）直线a、b异面，过空间任一点O，作OA∥a，OB∥a，则∠AOB叫做异面直线a和b所成的角 （B）如果∠CBA=∠BAD，那么BC∥AD （C）和两条异面直线都垂直的直线，叫做这两条异面直线的公垂线 （D）两条异面直线所成的角只能是锐角或直角 3．已知a、b为两条异面直线，在a上有3个点，在b上有5个点，这些点最多可确定平面的个数是（） （A）8 （B）15 （C）24 （D）30 4．AB为异面直线a、b的公垂线，直线l∥AB，则l与a、b两直线交点的个数是（）（A）0个（B）1个（C）最多一个（D）最多两个 5．已知a、b、c是两两互相垂直的异面直线，d为b、c公垂线，则（） （A） d与a是不互相垂直的异面直线

（B） d与a是相交直线 （C） d与a是平行直线 （D） d与a是互相垂直的异面直线 6．空间三条直线满足条件a∥b，a⊥c，则b与c的位置关系是（） （A）垂直（B）平行（C）相交（D）异面 7．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角（） （A）相等（B）相等或互补（C）相交（D）无确定的关系 8．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、BC、CC的中点，则EF与BG所成角的余弦值为（） （A）（B）（C）（D）- 二、填空题： 1．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则BD1与CC1所成角的正切值为＿＿＿＿＿，BD1与CC1的距离为＿＿＿＿＿． 2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，ＡＡ1＝a，Ｍ、Ｎ分别是Ａ1Ｂ1、ＢＢ1的中点，则Ａ1Ｄ与ＭＮ所成角的余弦值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．已知异面直线a与b所成的角为，Ｐ为空间一定点，则过点Ｐ且与a、b所成的角都是的直线有且仅有＿＿＿＿＿条． ４．对于已知直线a，如果直线b满足条件：与a为异面直线，与a所成的角为定值θ

异面直线所成的角求法 答案

异面直线所成的角的两种求法 初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处？不会作！ 下面介绍两种求法 一．传统求法--------找、作、证、求解。 求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。 平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。 平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。 例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3， 求AB 和CD 所成的角. 解? 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD， ∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. ∵? EFGH 是平行四边形，HG ＝2 1 AB ＝62， H G F E D C B A

HE ＝2 1 ，CD ＝23， ∴? S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123. ∴? sin∠EHG＝ 2 2 ,故∠EHG＝45°. ∴? AB 和CD 所成的角为45° 注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。 例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=2 2 AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图） 解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG= 2 1 BC ，FG∥AD，且FG=2 1 AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为 所求。由BC=AD 知EG=GF=2 1 AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。 注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。 例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 与CN 所成的角的余弦值； A B C G F E D

补充构造异面直线所成角的几种方法

一. 异面直线所成角的求法 1、正确理解概念 （1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。 （2）异面直线所成角的取值范围是（0°，] 90? 2、熟练掌握求法 （1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。 （2）求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。 ②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。 E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G

例 2 已知 S 是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， 且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝ 2 π ，M、N分别是AB和SC的中点． 求异面直线SM与BN所成的角的余弦值． 例3长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。 B M A N C S B M A N C S B M A N C S

异面直线及其所成的角

异面直线及其所成的角填空题基础题1.doc 参考答案与试题解析 一．填空题（共30小题） 1．（2015?松江区一模）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）． 来源：2015年上海市松江区高考数学一模试卷（文科） 难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角． 专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角． 分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到． 解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b， 则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，

即有tan60°=，即b=a， 在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a， cos∠BC1A1==． 则BC1与AC所成的角为arccos． 故答案为：arccos． 点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题． 2．（2015?浦东新区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．求异面直线AC与ED所成的角的大小为arccos． 来源：2015年上海市浦东新区高考数学一模试卷 难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角．

异面直线所成角求法-总结加分析

异面直线所成的角 一、平移法： 常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小． 解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝3 FG ＝EG ＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和 AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45° 3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2 π ，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝ a 25 NQ ＝2 1SM ＝ 4 2a BQ ＝ a 4 14 ∴COS∠QNB＝5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝ CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角． 设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6 ， cos∠GNA＝ 10 305 62556=??-+。 B M A N C S

异面直线所成的角

科目：数学 课 题 §2.1.2.2异面直线所成的角课型新课 教学目标（1）理解异面直线所成的定义 （2）掌握求异面直线所成的角要注意的问题（3）掌握求异面直线所成角的一般步骤 教学过程教学内容备 注 一、自主学习 1.什么叫异面直线？三线平行公理和等角定理分别说明什么问题？ 2.不同的异面直线有不同的相对位置关系，用什么几何量反映异面直线之间的相对位置关系，是我们需要探讨的问题.

二、 质 疑 提 问 思考1:两条相交直线、平行直线的相对位置关系，分别是通过什么几何量来反映的？ 思考2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否 发生变化？ 思考3:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？ 三、 问 题 探 究 思考1：把两条异面直线分别平移，使之在某处相交 得到两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐 角(或直角)来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之 为异面直线所成的角.你能给“异面直线所成的角” 下个定义吗？ 对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或

直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 思考2:若点O的位置不同，则直线a′与b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为了作图方便，点O宜选在何处？ 思考3：求异面直线所成角的步骤有哪些？ 思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 思考2:如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，

如何求异面直线所成的角

3 3 如何求异面直线所成的角 立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也 是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作 证 求。其中“作”是关键，那 么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处 理方法。 I 、用平移法作两条异面直线所成的角 、端点平移法 例1、在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， CBA 900 ,点D , F 分别是 AQ , A ,B i 的中点，若 AB BC CC i ,求CD 与AF 所成的角的余弦值。 解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， QDF//EC 且 DF EC 四边形DFEC 为平行四边形 EF // DC EFA （或它的补角）为CD 与AF 所成的角。 设 AB 2,则 EF 76，AF 730 arccos 10 、中点平移法 例2、在正四面体ABCD 中, 解：连结MD ，取MD 的中点0，连结NO ， Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点， NO 为DAM 的中位线， NO//AM ， ONC （或它的补角）为AM 与CN 所成的角。 広 J 7 设正四面体ABCD 的棱长为2，则有NO —，CN 73, CO — 2 2 皿 NO 2 CN 2 CO 2 故 cos ONC ----------------- 2NOgCN 2 ONC arccos-故EFA EF 2 FA 2 EA 2 2EFgFA 730 10 75，EA 45 M , N 分别是BC, AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 EFA A l A D

异面直线及其夹角

异面直线及其夹角 教学目标：： 知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形， 会判断两直线是否为异面直线。 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能 求出一些较简单的异面直线所成的角 能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能 力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。 教学重点、难点: 重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。 难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。 教学准备：多媒体课件 教学课时：二课时 教学过程： 第一课时 一、导入新课 1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？ 两条道路所在的直线不在同一平面内。它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？ 2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？ 有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？）。（板书课题） 二、新课讲解 前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相交）。我们给它一个新的名称“异面直线”。 1 异面直线的定义：不同在任何．． 一个平面内的两条直线叫异面直线。 2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。（如前面我们所说的两个例子，同学们还能找出具有这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。 3.空间两条异面直线的画法。 如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其特点） 这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征难以体现。（今后我们也可以不用平面来衬托） 同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？ a b a b b a

异面直线所成角的几种求法(最新编写)

异面直线所成角的几种求法 异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。 一、向量法求异面直线所成的角 例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。 解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线 到某个点上。作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。 由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。在△GHS 中，设正方体边长为a 。GH=a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，46连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形），2 6GS=a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。426∴Cos ∠GHS=。6 1所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为。61解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。 以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。 B A C D F E B 1A 1D 1C 1 G H S R P Q 1

异面直线所成角的计算

第二节 异面直线所成角的计算 1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交O ，分别a ?范围： 例1 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 分析:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形. 作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法: 把空间图形补成熟悉的几何体, 其目的在于容易发现两条异面直线的关系. 2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. 小结：求异面直线所成角的方法： 变式一：已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，各侧棱与底面边长相等，求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值。 变式二：如图，点M 是正方形ABCD 所在平面外的一点，且MA=MB=MC=MD=AB 2，求异面直线MC 与BD 所成角的余弦值。 例2 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角AEB ∠=45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________． 例3 空间四边形ABCD 中，对角线8AC =，6BD =，,M N 分别为,AB CD 的中点，且5MN =，求异面直线,AC BD 所成的角。 变式：在空间四边形ABCD 中，4BD =，6AC =，且AC BD ⊥，,M N 分 别为,AB CD 的中点，求MN 及MN 与BD 所成角的正切值。 1、两条直线,与平面α所成的角相等,则直线a ,b 的位置关系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能. 2、设棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1和BB 1的中点，则直线CM 和D 1N 所成角的正弦值为 . 3、已知a 、b 是一对异面直线，且a 、b 成60o 角，则在过空间任意点P 的所有直线中，与a 、b 均成60o 角的直线有 条. 4、异面直线a 、b 互相垂直，c 与a 成30o 角，则c 与b 所成角的范围是 . 5、.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的 度数为 6、 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ， （1）求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角的余弦值。 （2）若M 、N 分别是BC 、11C A 的中点，求异面直线M A 1与CN 所成角的余弦值。 A C B D A B M D A C B F E 1 A 1

文科高考中异面直线所成角的常考题型

异面直线所成的角 一．例题与课堂练习 题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3 ， 求AD 、BC 所成角的大小． 题2．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2 π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 题3．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分 别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 题4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角． 题5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点． 求AE 与F D 1所成的角。 题6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值 【说明】(1)如图1—29，单独画出△A?BF，使图中线段与角的数量关系较直观 图中清楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法； (2)解法中用余弦定理求cos∠A?BF,其实有更简单方法，请找出简单方法 (3)如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案? B M A N C S A C B N M A C B B? (图 1－ A? A B C? D? C D F E

两条异面直线所成的角教学设计

两条异面直线所成的角教学设计 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念； 2．两异面直线所成角的求法。 （二）能力训练点 利用转化的思想，化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围，并体现了定义的合理性。 （三）德育渗透点 进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：两异面直线所成角的定义；两异面直线所成角的求法。 2．教学难点：两异面直线所成角的求法。 3．教学疑点：因为两条异面直线既不相交，但又有所成的角，这对于初学立体几何的学生来说是难以理解的。讲解时，首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要性。 三、教与学的过程设计 （一）复习回顾引入课题 （从数学美学的角度，展示数学之美开题）由数学之美：分形几何的美丽（图片）指出数学之美无处不在，几何图形能给人带来美的享受，看似枯燥的数学蕴涵无限诗意，进入复习回顾（由描写异面直线的现代诗进行复习）：我们是两条异面直线/我与你不平行/因为我们没有并行着走向无尽的远方/我与你也不相交/因为我们没有那让人心动的交点/当然，我们更没有重合/虽然我时时都把它企盼/我与你根本就不在一个平面/我们只是空间的两条异面直线/但我们现在那么近/也许，把现在的你我相连/能得到一条垂直于你我的线段/。 （出示教具）结合诗文，指出：两条异面直线有一个相对角，相对两相交直线，两条异面直线有一个相对距离。 由数学的实用价值（解决高架桥的准确定位问题），引出新课。 师：那么要准确定位两条异面直线之间相互位置的不同状况，就需要通过角和距离来描述。例如要表示高架桥上下层汽车行驶方向间的关系，就要用到两条异面直线所成角的概念。 （二）异面直线所成的角的定义 师：怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？(教师拿出两根小棍做异面直线状，通过变换角度演示给学生看，使其观察如何给异面直线所成的角下定义)。 生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示．如图1－47，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′、b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。 师：在定义中，由“a′、b′所成的锐角（或直角）” 指出：⑴两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]；

异面直线所成的角练习题

3 A B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A 高二数学练习（二） 一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线 （C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）53（D ）5 4 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）（A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD ＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形 （C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．

异面直线所成角练习

- 总 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为 A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 【答案】D 【解析】 试题分析：如图所示，连接B 1C ， 则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°． 故选：D ． 考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（ ） A 6 B 14 C 15 D 10【答案】B 【解析】 试题分析：设向量1,,AB a AD b AA c ===，则11,AC a b c A D b c =++=-， 112,7AC A D ∴==， 11111114 cos ,7 AC A D AC A D AC A D ?<>= =。 考点：空间向量的集合运算及数量积运算。 3．正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（ ）

A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】C 【解析】 试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠， 大小为60° 考点：异面直线所成角 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ） A B C ．5 10- D ． 【答案】B 【解析】 试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1DC F ∠为异面直线所成角，设边长为2 ， 11C F DC DF ∴== =1cos 5 DC F ∴∠= 考点：异面直线所成角 5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ） A 、910 B 、45 C 、710 D 、3 5 【答案】A 【解析】 试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB = ,在'' A BC ?中''''AC A B BC ===''9 cos 10 A BC ∴∠= 考点：异面直线所成角 6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成的角是 A ．?60 B ．?90 C ．?45 D ．?30 【答案】A 【解析】