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新课标高考数学立体几何分类汇编(文科)

2011-2016新课标立体几何分类汇编(文科)

一、选填题

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【2011新课标】8. 在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为( )

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A. B. C. D.

【解析】由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥,后面是一个圆锥,选D.

【2011新课标】16. 已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面

上,若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的

高的比值为 .

【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的,得22

3416r R ππ= 所以23=R r ,则小圆锥的高为2R

,大圆锥的高为23R ,所以比值为31.

【2012新课标】7.如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某

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几何体的三视图,则此几何体的体积为( ) A .6 B .9 C .12 D .18

【解析】由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底面为一边长为6,这边上高为3,棱锥的高为3,故其体积为11

63332

????=9,故选B.

【2012新课标】8.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α

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此球的体积为( ) A

B .

C .

π D .

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【解析】设求圆O 的半径为R

,则R ==

34

3

V R π∴==.选B

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【2013新课标1】11. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

A .16+8π

B .8+8π

C .16+16π

D .8+16π

【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体. V 半圆柱=1

2

π×22×4=8π,V 长方体=4×2×2=16.所以所求体积为16+8π.故选

A.

16

3

16

3

【2013新课标1】15. 已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为______.

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【解析】如图,设球O 的半径为R , 则AH =

23R ,OH =3

R

. 又∵π·EH 2=π,∴EH =1. ∵在Rt △OEH 中,R 2=2

2+13R ??

???

,∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2.

【2013新课标2】9. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ).

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【解析】如图所示,该四面体在空间直角坐标系O -xyz 的图像为下图:

则它在平面zOx 的投影即正视图为,故选A.

【2013新课标2】15. 已知正四棱锥O -ABCD 的体积为2

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,,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为__________.

【解析】如图所示,在正四棱锥O -ABCD 中,

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V O -ABCD =13×S 正方形ABCD ·|OO 1|=1

3

×2×|OO 1|=,

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∴|OO 1|=

,|AO 1|Rt △OO 1A 中,

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OA =

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即R =,∴S 球=4πR 2=24π.

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【2014新课标1】8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 【解析】:根据所给三视图易知,对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B

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【2014新课标2】6. 如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm ),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm ,高为6c m 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( C ) (A )1727 (B ) 59 (C )1027 (D) 13

【2014新课标2】7. 正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,侧棱

D 为BC 中点,则三棱锥11DC B A -的体积为( C )

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(A )3 (B )

3

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2 (C )1 (D )

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【2015新课标1】11. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=( B ) (A )1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

【2015新课标1】6. 《九章算术》是我国古代内容极

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为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( B ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

【2015新课标2】6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余

部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

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A.

81 B.71

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C. 61

D. 5

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1 【解析】如图所示,选D.

【2015新课标2】10. 已知A,B 是球O 的球面上两点,为该球面上动点,C AOB ,90?=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A. 36π B. 64π C. 144π D.256π

【解析】因为A,B 都在球面上,又为该球面上动点,C AOB ,90?=∠所以三棱锥的体积的最大值为366

1

213132==??

R R R ,所以R=6,所以球的表面积为S=14442=R ππ,故选C.

【2016新课标1】7. 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及

每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π

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3,则它的表面积是( A )

(A )17π (B )18π (C )20π (D )28π

【2016新课标1】11. 平面过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,

, 平面ABCD=m , 平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为( A )

(A )

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(B )(C )(D )

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【2016新课标2】7. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

A .20π

B .24π

C .28π

D .32π

【解析】因为正方体的体积为8

,所以正方体的体对角线长为

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2412ππ?=,故选A.

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【2016新课标2】4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

A .12π

B .32

3

π C .8π D .4π

【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成,所以其表面积为28S π=,故选C. 【2016新课标3】(10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( B )

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(A

)18+(B

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)54+(C )90 (D )81

【2016新课标3】(11)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,AA 1=3,则V 的最大值是( B ) (A )4π(B )

9π2(C )6π(D )32π3

α11//CB D α

平面

2

231

3

二、解答题

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【2011新课标】18.如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB =60°,AB =2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明:P A ⊥BD ;

(Ⅱ)若PD =AD =1,求棱锥 D-PBC 的高. 【解析】

(Ⅰ)因为∠DAB =60o,AB =2AD ,由余弦定理得 ,从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD ,又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD ,所以BD ⊥平面P AD . 故P A ⊥BD .

(Ⅱ)过D 作DE ⊥PB 于E ,由(I )知BC ⊥BD ,又PD ⊥底面ABCD ,所以BC ⊥平面PBD ,而DE ?平面PBD ,故DE ⊥BC ,所以DE ⊥平面PBC ,由题设知PD =1,则BD =3, PB =2,由DE ·PB =PD ·BD 得DE =23,即棱锥D-PBC 的高为2

3

.

【2012新课标】19.如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB =90°,112

AC BC AA ==,D 是棱AA 1的中点.

(Ⅰ) 证明:平面BDC 1⊥平面BDC ;

(Ⅱ)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 【解析】

(Ⅰ)由题设知BC ⊥CC 1,BC ⊥AC ,CC 1∩AC =C ,∴BC ⊥面ACC 1A 1,又∵DC 1?面ACC 1A 1, ∴DC 1⊥BC ,由题设知∠A 1DC 1=∠ADC =45o,∴∠CDC 1=90o,即DC 1⊥DC ,又∵DC ∩BC =C , ∴DC 1⊥面BDC ,∵DC 1?面BDC 1,∴面BDC ⊥面BDC 1 .

(Ⅱ)设棱锥B -DACC 1的体积为1V ,AC =1,由题意得,11121

11322

V +=???=,由三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积1V =,∴11():1:1V V V -=,∴平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.

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【2013新课标1】19. 如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60°. (1)证明:AB ⊥A 1C ;

(2)若AB =CB =2,A 1C

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,求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积. 【解析】

(1)取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B .

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因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°, 故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1=O ,所以 AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ?平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .

(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形,

B

A

C D

B 1

C 1

A 1

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所以OC =OA 1又A 1C ,则A 1C 2=OC 2+21OA ,故OA 1⊥OC . 因为OC ∩AB =O ,所以OA 1⊥平面ABC ,OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高.

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又△ABC 的面积S △ABC ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3.

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【2013新课标2】18. 如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点. 【解析】

(1)连结AC 1交A 1C 于点F ,则F 为AC 1中点. 又D 是AB 中点,连结DF ,则BC 1∥DF. 因为DF ?平面A 1CD ,BC 1平面A 1CD ,

所以BC 1∥平面A 1CD.

(2)因为ABC -A

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1B 1C 1是直三棱柱,所以AA 1⊥CD. 由已知AC =CB ,D 为AB 的中点,所以CD ⊥AB. 又AA 1∩AB =A ,于是CD ⊥平面ABB 1A 1.

由AA 1=AC =CB =2,AB =∠ACB =90°,CD =

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1A D =DE =A 1E =3,

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故A 1D 2+DE 2=A 1E 2,即DE ⊥A 1D.

所以VC -A 1DE =1132

? 1.

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【2014新课标1】19. 如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧面C C BB 11为菱形,C B 1的中点为O ,且⊥AO 平面C C BB

11. (I )证明:;1AB C B ⊥

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(II )若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱

111C B A ABC -的高.

【解析】

(I )连结1BC ,则O 为1BC 与1B C 的交点,因为侧面11BB C C 为菱形,所以1B C 1

BC ⊥,又

AO ⊥平面11BB C C ,故1B C AO

⊥1B C ⊥平面ABO ,由于AB ?平面ABO ,

故1B C ⊥AB

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(II )作OD ⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH ⊥AD,垂足为H, 由于BC ⊥AO,BC ⊥OD,故BC ⊥平面AOD,所以OH ⊥BC. 又OH ⊥AD,所以OH ⊥平面ABC.

因为1,601==∠BC CBB ,所以

△1CBB 为等边三角形,又BC=1,可得

1AB AC ⊥,所以111

22

OA B C ==,

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由 OH·AD=OD·OA,且4AD ==

,得OH=14

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又O 为B1C 的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为7,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为7

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【2014新课标2】如图,四凌锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥面ABCD ,E 为PD 的中点。

(Ⅰ)证明://PB 平面AEC ;

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(Ⅱ)设置1AP =,AD =三棱锥P ABD -的体积V =

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,求A 到平面PBD 的距离。 【解析】

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(Ⅰ)设BD 与AC 的交点为O ,连接EO 因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点, 又因为E 为PD 的中点,所以EO//PB

EO ?平面AEC ,PB ?平面AEC ,所以//PB 平面AEC

(Ⅱ)1136ABD V S PA PA AB AD AB ?=

??=??=

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由题设知4V =

,可得3

2

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AB = 做AH PB ⊥交PB 于H 由题设知BC PAB ⊥平面,所以BC AH ⊥,故AH PBC ⊥平面,

又13PA AB AH PB ?== 所以A 到平面PBC 的距离为13

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【2015新课标1】18. 如图,四边形ABCD 为菱形,G 为

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AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD. (Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面BED ;

(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE ⊥EC ,三棱锥—ACD 的体积为

3

6

,求该三棱锥的侧面积 【解析】

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【2015新课标2】19. 如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C

上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(I )在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由); (II )求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【解析】

(I )在AB 上取点M,在DC 上取点N ,使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF ,即平面α。

(II )两部分几何体都是高为10的四棱柱,所以体积之比等于底面积之比,

即.9

71261041121=++==EMBB AMEA S S V V

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【2016新课标1】18. 如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,P A =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G .

(I )证明G 是AB 的中点;(II )在答题卡第(18)题图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.

F

E D 1C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

【解析】

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(I )因为在平面内的正投影为,所以 因为在平面内的正投影为,所以 所以平面,故

又由已知可得,,从而是的中点.

(II )在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.

理由如下:由已知可得,,又,

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所以,因此平面,即点为在平面内的正投影. 连接,因为在平面内的正投影为,所以是正三角形的中心. 由(I )知,是的中点,所以在上,故 由题设可得平面,平面,所以,因此 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得 在等腰直角三角形中,可得

【2016新课标2】19. 如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE CF =,EF 交BD 于点H ,将DEF △沿EF 折到D EF '△的位置.

(Ⅰ)证明:AC HD '⊥;

(Ⅱ)若5AB =,6AC =, 5

4

AE =

,OD '=,

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求五棱锥D ABCFE '-的体积.

【试题分析】(I )先证C A ⊥OH ,C D 'A ⊥O ,再证C A ⊥平面D 'OH ,即可证C D 'A ⊥H ;(II )先证D 'O ⊥OH ,进而可证D 'O ⊥平面CD AB ,再计算菱形CD AB 和FD ?E 的面积,进而可得五棱锥'ABCEF D -的体积.

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P ABC D .AB PD ⊥D PAB E .AB DE ⊥AB ⊥PED .AB PG ⊥PA PB =G AB PAB E PB PA F F E PAC PB PA ⊥⊥PB PC //EF PB EF PC ⊥EF ⊥PAC F E PAC CG P ABC D D ABC G AB D CG 2

.3

=

CD CG ⊥PC PAB ⊥DE PAB //DE PC 21

,.33

=

=PE PG DE PC 6=

PA 2,==DE PE EFP 2.==EF PF 114222.323

=????=

V D '

O E

H

F

D

B

A

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D

【2016新课标3】(19) 如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC=3, PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD ,N 为PC 的中点. (I )证明MN ∥平面PAB; (II )求四面体N-BCM 的体积. 【解析】

(Ⅰ)由已知得23

2

==

AD AM ,取BP 的中点T , 连接TN AT ,,由N 为PC 中点知BC TN //

22

1

==

BC TN . 又BC AD //,故TN 平行且等于AM , 四边形AMNT 为平行四边形,于是AT MN //. 因为?AT 平面PAB ,?MN 平面PAB , 所以//MN 平面PAB .

(Ⅱ)因为⊥PA 平面ABCD ,N 为PC 的中点, 所以N 到平面ABCD 的距离为

PA 2

1

. 取BC 的中点E ,连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥,

522=-=BE AB AE .

由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5, 故52542

1

=??=

?BCM S . 所以四面体BCM N -的体积

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3

54231=??=?-PA S V BCM BCM N .

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