中考数学复习《反比例函数》专项综合练习及答案
一、反比例函数
1.如图,反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B,点B的横坐标
是4,点P(1,m)在反比例函数y1= 的图象上.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)观察图象回答:当x为何范围时,y1>y2;
(3)求△PAB的面积.
【答案】(1)解:把x=4代入y2= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y1= ,得k=4.
反比例函数的表达式为y1=
(2)解:∵点A与点B关于原点对称,∴A的坐标为(﹣4,﹣1),
观察图象得,当x<﹣4或0<x<4时,y1>y2
(3)解:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图,
∵点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB,
∴S△AOP=S△BOP,
∴S△PAB=2S△AOP.
y1= 中,当x=1时,y=4,
∴P(1,4).
设直线AP的函数关系式为y=mx+n,
把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,
则,
解得.
故直线AP的函数关系式为y=x+3,
则点C的坐标(0,3),OC=3,
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
= OC?AR+ OC?PS
= ×3×4+ ×3×1
= ,
∴S△PAB=2S△AOP=15.
【解析】【分析】(1)把x=4代入y2= x,得到点B的坐标,再把点B的坐标代入y1=
,求出k的值,即可得到反比例函数的表达式;(2)观察图象可知,反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1>y2的解集;(3)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,由点A与点B关于原点对称,得出OA=OB,那么S△AOP=S△BOP,S△PAB=2S△AOP.求出P点坐标,利用待定系数法求出直线AP的函数关系式,得到点C的坐标,根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出
S△AOP= ,则S△PAB=2S△AOP=15.
2.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.
(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;
(2)若某函数是反比例函数y= (k>0),他的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;
(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________,写出符合题意的其中一条抛物线解析式________,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数________.
【答案】(1)解:如图1,
当点A在x轴正半轴,点B在y轴负半轴上时,
∵OC=0D=1,
∴正方形ABCD的边长CD= ;∠OCD=∠ODC=45°,
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时,
设小正方形的边长为a,
易得CL=小正方形的边长=DK=LK,故3a=CD= .
解得a= ,所以小正方形边长为,
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或
(2)解:如图2,作DE,CF分别垂直于x、y轴,
易知△ADE≌△BAO≌△CBF
此时,m<2,DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2﹣m,
∴OF=BF+OB=2,
∴C点坐标为(2﹣m,2),
∴2m=2(2﹣m),解得m=1.
反比例函数的解析式为y= .
(3)(3,4);y=﹣ x2+ ;偶数
【解析】【解答】解:(3)实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合
①当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点
为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;
②当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,
③当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在
④当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点
C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;
⑤当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时,另一个顶点C
的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣;
⑥当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D
的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;
∵由抛物线的伴侣正方形的定义知,一条抛物线有两个伴侣正方形,是成对出现的,
∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.
【分析】解答此题时,要特别注意认真读题,分析题意,注意已知条件点A,B分别是x 轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点。
(1)一次函数y=x+1的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形,正确画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标,从而计算出正方形的边长;
(2)由于ABCD是正方形,添加辅助线,作DE,CF分别垂直于x、y轴,得到的等腰直角三角形都是全等的,再利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标,从而可以求解;(3)抛物线的开口可能向上,也可能向下,当抛物线的开口向上时,正方形的另一个顶点也在抛物线上,这个点可能在(3,4)的左侧,也可能在(3,4)的右侧,因此过点(3,4)作x轴的垂线,利用全等三角形确定线段的长,即可求出抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论;由抛物线的伴侣正方形的定义知一条抛物线有两个伴侣正方形,是成对出现的,因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数。
3.如图,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b 时,有﹣1≤y1﹣y2≤1成立,则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”,否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”.例如,点P(x,y1)与Q (x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点,当﹣3≤x≤﹣1时,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2,通过构造函数
y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质,得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立,因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”.
(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”,并说明理由;
(2)若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,求a的取值范围;
(3)若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.【答案】(1)解:是“相邻函数”,
理由如下:y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,
∵y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,
∴当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,
∴﹣1≤y1﹣y2≤1,
即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”
(2)解:y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,
∵y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),
∴顶点坐标为:(1,a﹣1),
又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,
∴当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,
∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,
∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,
∴0≤a≤1
(3)解:y1﹣y2= ﹣(﹣2x+4)= +2x﹣4,构造函数y= +2x﹣4,
∵y= +2x﹣4
∴当x=1时,函数有最小值a﹣2,
当x=2时,函数有最大值,即a﹣2≤y≤ ,
∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,
∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,
∴1≤a≤2;
∴a的最大值是2,a的最小值1
【解析】【分析】(1)y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,因为y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,所以当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”;(2)y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,因为y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),所以顶点坐标为:(1,a﹣1),又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,所以当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即
0≤a≤1;(3)当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,﹣1≤y1﹣y2≤1,即1≤a≤2,所以a的最大值是2,a 的最小值1.
4.如图1,已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A,B,反比例函数y= 经过点M.
(1)若M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合).当a=﹣3时,设点M的横坐标为m,求k与m之间的函数关系式.
(2)当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M,且OM= ,求a的值.
(3)当a=﹣2时,将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′,如图2,M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点,求k的取值范围.
【答案】(1)解:当a=﹣3时,y=﹣3x+2,
当y=0时,﹣3x+2=0,
x= ,
∵点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合),∴0<m<,,DANG
则,
﹣3x+2= ,
当x=m时,﹣3m+2= ,
∴k=﹣3m2+2m(0<m<)
(2)解:由题意得:,
ax+2= ,
ax2+2x﹣k=0,
∵直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,
∴△=4+4ak=0,
ak=﹣1,
∴k=﹣,
则,
解得:,
∵OM= ,
∴12+(﹣)2=()2,
a=±
(3)解:当a=﹣2时,y=﹣2x+2,
∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,2),
∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′,
∴A′(2,1),B′(1,3),
点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点,
当点M′与A′重合时,k=2,
当点M′与B′重合时,k=3,
∴k的取值范围是2≤k≤3
【解析】【分析】(1)当a=﹣3时,直线解析式为y=﹣3x+2,求出A点的横坐标,由于点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合)从而得到m的取
值范围,由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m(0<m<);(2)由ax+2= 得ax2+2x﹣
k=0,直线y=ax+2(a≠0)与双曲线y= 有唯一公共点M时,△=4+4ak=0,ak=﹣1,由勾股定理即可;(3)当a=﹣2时,y=﹣2x+2,从而求出A、B两点的坐标,由平移的知识知A′,B′点的坐标,从而得到k的取值范围。
5.如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数y= (k≠0,且k为常数)的图象过点E,
且S△AOE=3S△OBE.
(1)求k的值;
(2)反比例函数图象与线段BC交于点D,直线y= x+b过点D与线段AB交于点F,延长
OF交反比例函数y= (x<0)的图象于点N,求N点坐标.
【答案】(1)解:∵S△AOE=3S△OBE,∴AE=3BE,
∴AE=3,
∴E(﹣3,4)
反比例函数y= (k≠0,且k为常数)的图象过点E,
∴4= ,即k=﹣12
(2)解:∵正方形AOCB的边长为4,∴点D的横坐标为﹣4,点F的纵坐标为4.
∵点D在反比例函数的图象上,
∴点D的纵坐标为3,即D(﹣4,3).
∵点D在直线y= x+b上,
∴3= ×(﹣4)+b,解得b=5.
∴直线DF为y= x+5,
将y=4代入y= x+5,得4= x+5,解得x=﹣2.
∴点F的坐标为(﹣2,4),
设直线OF的解析式为y=mx,
代入F的坐标得,4=﹣2m,
解得m=﹣2,
∴直线OF的解析式为y=﹣2x,
解,得.
∴N(﹣,2 )
【解析】【分析】(1)根据题意求得E的坐标,把点E(﹣3,4)代入利用待定系数法即可求出k的值;(2)由正方形AOCB的边长为4,故可知点D的横坐标为﹣4,点F的纵坐标为4.由于点D在反比例函数的图象上,所以点D的纵坐标为3,即D(﹣4,3),
由点D在直线y= x+b上可得出b的值,进而得出该直线的解析式,再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标,然后根据待定系数法求得直线OF的解析式,然后联立方程解方程组即可求得.
6.【阅读理解】
我们知道,当a>0且b>0时,(﹣)2≥0,所以a﹣2 +≥0,从而a+b≥2 (当a=b时取等号),
【获得结论】设函数y=x+ (a>0,x>0),由上述结论可知:当x= 即x= 时,函数y有最小值为2
(1)【直接应用】
若y1=x(x>0)与y2= (x>0),则当x=________时,y1+y2取得最小值为________.(2)【变形应用】
若y1=x+1(x>﹣1)与y2=(x+1)2+4(x>﹣1),则的最小值是________
(3)【探索应用】
在平面直角坐标系中,点A(﹣3,0),点B(0,﹣2),点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点,过P点作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,设点P的横坐标为x,四边形ABCD的面积为S
①求S与x之间的函数关系式;
②求S的最小值,判断取得最小值时的四边形ABCD的形状,并说明理由.
【答案】(1)1;2
(2)4
(3)解:①设P(x,),则C(x,0),D(0,),
∴AC=x+3,BD= +2,
∴S= AC?BD= (x+3)( +2)=6+x+ ;
②∵x>0,
∴x+ ≥2 =6,
∴当x= 时,即x=3时,x+ 有最小值6,
∴此时S=6+x+ 有最小值12,
∵x=3,
∴P(3,2),C(3,0),D(0,2),
∴A、C关于x轴对称,D、B关于y轴对称,即四边形ABCD的对角线互相垂直平分,
∴四边形ABCD为菱形.
【解析】【解答】解:(1)∵x>0,∴y1+y2=x+ ≥2 =2,∴当x= 时,即x=1时,y1+y2有最小值2,故答案为:1;2;(2)∵x>﹣1,∴x+1>0,∴ = =
(x+1)+ ≥2 =4,∴当x+1= 时,即x=1时,有最小值4,故答案为:4;
【分析】(1)直接由结论可求得其取得最小值,及其对应的x的值;(2)可把x+1看成
一个整体,再利用结论可求得答案;(3)①可设P(x,),则可表示出C、D的坐标,从而可表示出AC和BD,再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积,从而可得到S 与x的函数关系式;②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值,则可得到P、C、D的坐标,可判断A、C关于x轴对称,B、D关于y轴对称,可判断四边形ABCD为菱形.
7.在平面直角坐标系中,我们定义点P(a,b)的“变换点”为Q.且规定:当a≥b时,Q 为(b,﹣a);当a<b时,Q为(a,﹣b).
(1)点(2,1)的变换点坐标为________;
(2)若点A(a,﹣2)的变换点在函数y= 的图象上,求a的值;
(3)已知直线l与坐标轴交于(6,0),(0,3)两点.将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M.判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数,以及相应的c的取值范围,请直接写出结论.
【答案】(1)(1,﹣2)
(2)解:当a≥﹣2时,则A(a,﹣2)的变换点坐标为(﹣2,﹣a),
代入y= 可得﹣a= ,解得a= ;
当a<﹣2时,则A(a,﹣2)的变换点坐标为(a,2),
代入y= 可得2= ,解得a= ,不符合题意;
综上可知a的值为;
(3)解:设直线l的解析式为y=kx+b (k≠0 ),将点(6,0)、(0,3)代入y=kx+b 得:,解得,
∴直线l的解析式为y=﹣ x+3.
当x=y时,x=﹣ x+3,解得x=2.
点C的坐标为(2,﹣2),点C的变换点的坐标为C′( 2,﹣2 ),
点(6,0)的变换点的坐标为(0,﹣6),点(0,3)的变换点的坐标为(0,﹣3),
当x≥2时,所有变换点组成的图形是以C′( 2,﹣2)为端点,过(0,﹣6 )的一条射线;即:y=2x﹣6,其中x≥2,
当x<2时,所有变换点组成的图形是以C′(2,﹣2)为端点,过(0,﹣3)的一条射线,
即y= x﹣3,其中,x<2.
所以新的图形M是以C′(2,﹣2)为端点的两条射线组成的图形.
如图所示:
由和得:x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②
讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得:
①当方程①无实数根时,即:当c>﹣时,抛物线y=x2+c与图形M没有交点;
②当方程①有两个相等实数根时,即:当c=﹣时,抛物线y=x2+c与图形M有一个交点;
③当方程②无实数根,且方程①有两个不相等的实数根时,即:当﹣5<c<﹣时,抛物线y=x2+c与图形M有两个交点;
④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时,即:当c=﹣5或c=﹣6时,抛物线y=x2+c与图形M有三个交点;
⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时,且两根均小于2,即:当﹣6<c<﹣5时,抛物线y=x2+c与图形M有四个交点;
⑥当c<﹣6时,抛物线y=x2+c与图形M有两个交点.
【解析】【解答】解:(1)∵2≥﹣1,
∴点(2,1)的变换点坐标为(1,﹣2),
故答案为:(1,﹣2);
【分析】(1)由变换点的定义可求得答案;(2)由变换点的定义可求得A的变换点,代入函数解析式可求得a的值;(3)先求得直线y=x与直线l的交点坐标,然后分为当x≥2和x<2两种情况,求得M的关系式,然后在画出M的大致图象,然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组,然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可.
8.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A,与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C,CE⊥x轴,垂足为点E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点D是反比例函数图象在第四象限内的点,过点D作DF⊥y轴,垂足为点F,连接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO,求点D的坐标.
(3)若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动,当线段DC与线段DB之差达到最大时,求点D的坐标.
【答案】(1)解:∵tan∠ABO= ,
∴ = ,且OB=4,
∴OA=2,
∵CE⊥x轴,即CE∥AO,
∴△AOB∽△CEB,
∴ = ,即 = ,解得CE=3,
∴C(﹣2,3),
∴m=﹣2×3=﹣6,
∴反比例函数解析式为y=﹣
(2)解:设D(x,﹣),
∵D在第四象限,
∴DF=x,OF= ,
∴S△DFO= DF?OF= x× =3,
由(1)可知OA=2,
∴AF=x+ ,
∴S△BAF= AF?OB= (x+ )×4=2(x+ ),
∵S△BAF=4S△DFO,
∴2(x+ )=4×3,解得x=3+ 或x=3﹣,
当x=3+ 时,﹣的值为3﹣,
当x=3﹣时,﹣的值为3+ ,
∵D在第四象限,
∴x=3﹣不合题意,舍去,
∴D(3+ ,3﹣)
(3)解:∵D在第四象限,
∴在△BCD中,由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC,即当B、C、D三点共线时,其差最大,
设直线AB解析式为y=kx+b,
由题意可得,解得,
∴直线AB解析式为y=﹣ x+2,
联立直线AB和反比例函数解析式可得,解得或
(舍去),
∴D(6,﹣1),
即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为(6,﹣1)
【解析】【分析】(1)由条件可求得OA,由△AOB∽△CEB可求得CE,则可求得C点坐标,代入反比例函数解析式可求得m的值,可求得反比例函数解析式;(2)设出D的坐标,从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积,由条件可列出方程,从而可求得D点坐
标;(3)在△BCD中,由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC,当B、C、D三点共线时,其差最大,联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标.
9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于点,交轴于点和点,过点作轴交抛物线于点.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)点是抛物线上一点,且点关于轴的对称点在直线上,求的面积;(3)若点是直线下方的抛物线上一动点,当点运动到某一位置时,的面积最大,求出此时点的坐标和的最大面积.
【答案】(1)解:抛物线交轴于点,交轴于点
和点,
,得,
此抛物线的表达式是
(2)解:抛物线交轴于点,
点的坐标为,
轴,点是抛物线上一点,且点关于轴的对称点在直线上,点的纵坐标是5,点到的距离是10,
当时,,得或,
点的坐标为,
,
的面积是:
(3)解:设点的坐标为,如图所示,
设过点,点的直线的函数解析式为,
,得,
即直线的函数解析式为,
当时,,
,
的面积是:,点是直线下方的抛物线上一动点,
,
当时,取得最大值,此时,点的坐标是,,
即点的坐标是,时,的面积最大,此时的面积是.
【解析】【分析】(1)根据题意可以求得、的值,从而可以求得抛物线的表达式;(2)根据题意可以求得的长和点到的距离,从而可以求得的面积;(3)根据题意可以求得直线的函数解析式,再根据题意可以求得的面积,然后根据二次函数的性质即可解答本题
10.综合实践
问题情景:某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
操作探究:
(1)若准备制作一个无盖的正方体形纸盒,如图1,下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒?
(2)如图2是小明的设计图,把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字?
(3)如图3,有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单,小华准备将其四角各剪去一个小正方形,折成无盖长方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图,用实线表示剪切线,虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形,用含x的代数式表示这个纸盒的高为
________cm,底面积为________cm2,当小正方形边长为4cm时,纸盒的容积为________cm3.
【答案】(1)解:A.有田字,故A不能折叠成无盖正方体;
B.只有4个小正方形,无盖的应该有5个小正方形,不能折叠成无盖正方体;
C.可以折叠成无盖正方体;
D.有6个小正方形,无盖的应该有5个小正方形,不能折叠成无盖正方体.
故答案为:C.
(2)解:正方体的平面展开图中,相对面的特点是中间必须间隔一个正方形,所以与“保”字相对的字是“卫”
(3)x;(20﹣2x)2;576
【解析】【解答】(3)解:①如图,
②设剪去的小正方形的边长为x(cm),用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm,底面积为(20﹣2x)2cm2,当小正方形边长为4cm时,纸盒的容积为=x(20﹣2x)2=4×(20﹣2×4)2=576(cm3).
故答案为:x,(20﹣2x)2, 576
【分析】(1)由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题;(2)正方体的平面展开图中,相对面的特点是中间必须间隔一个正方形,据此作答;(3)①根据题意,画出图形即可;②根据正方体底面积、体积,即可解答.
11.在平面直角坐标系xOy中,若P和Q两点关于原点对称,则称点P与点Q是一个“和谐点对”,表示为[P,Q],比如[P(1,2),Q(﹣1,﹣2)]是一个“和谐点对”.
(1)写出反比例函数y=图象上的一个“和谐点对”;
(2)已知二次函数y=x2+mx+n,
①若此函数图象上存在一个和谐点对[A,B],其中点A的坐标为(2,4),求m,n的
值;
②在①的条件下,在y轴上取一点M(0,b),当∠AMB为锐角时,求b的取值范围.
【答案】(1)解:∵y=,
∴可取[P(1,1),Q(﹣1,﹣1)];
(2)解:①∵A(2,4)且A和B为和谐点对,
∴B点坐标为(﹣2,﹣4),
将A和B两点坐标代入y=x2+mx+n,可得,
∴;
②如图:
(ⅰ) M点在x轴上方时,
若∠AMB 为直角(M点在x轴上),则△ABC为直角三角形,
∵A(2,4)且A和B为和谐点对,B点坐标为(﹣2,﹣4),
∴原点O在AB线段上且O为AB中点,
∴AB=2OA,
∵A(2,4),
∴OA=,
∴AB=,
在Rt△ABC中,
∵O为AB中点
∴MO=OA=,
若∠AMB 为锐角,则;
(ⅱ) M点在x轴下方时,同理可得,,
综上所述,b的取值范围为:或.
【解析】【分析】(1)由题目中所给和谐点对的定义可知P、Q即为关于原点对称的两个点,在反比例函数图象上找出两点即可;(2)①由A、B为和谐点对可求得点B的坐标,则可得到关于m、n的方程组,可求得其值;②当M在x轴上方时,可先求得∠AMB为直角时对应的M点的坐标,当点M向上运动时满足∠AMB为锐角;当点M在x轴下方时,同理可求得b的取值范围.
12.如图,正方形、等腰的顶点在对角线上(点与、不重合),
与交于,延长线与交于点,连接 .
(1)求证: .
(2)求证:
(3)若,求的值.
【答案】(1)解:∵是正方形,
∴,,
∵是等腰三角形,
∴,,
∴,
∴,
∴
(2)解:∵是正方形,
∴,,
∵是等腰三角形,
∴,
∵,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
中考数学冲刺拔高 专题训练 目录 专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1) 专题提升(二) 代数式的化简与求值 (5) 专题提升(三) 数式规律型问题 (9) 专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (15) 专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (22) 专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (31) 专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (41) 专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (48) 专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (54) 专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (60) 专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (69) 专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (77)
专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (83) 专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (92) 专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (99) 专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (106)
专题提升(一) 数形结合与实数的运算 类型之一数轴与实数 【经典母题】 如图Z1-1,通过画边长为1的正方形的边长,就能准确地把2和-2表示在数轴上. 图Z1-1 【思想方法】(1)在实数范围内,每一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过来,数轴上的每一个点都可以表示一个实数.我们说实数和数轴上的点一一对应; (2)数形结合是重要的数学思想,利用它可以比较直观地解决问题.利用数轴进行 实数的大小比较,求数轴上的点表示的实数,是中考的热点考题. 【中考变形】 1.[2017·北市区一模]如图Z1-2,矩形ABCD的边AD长为2,AB长为1,点A在数轴上对应的数是-1,以A点为圆心,对角线AC长为半径画弧,交数轴于点E,则这个点E表示的实数是 ( C ) 图Z1-2 +1 -1 D.1-5
2019年中考数学复习专题分类练习---应用题 1.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元,那么衬衫的单价降了多少元? 2.学校准备购进一批篮球和足球,买1个篮球和2个足球共需170元,买2个篮球和1个足球共需190元. (1)求一个篮球和一个足球的售价各是多少元? (2)学校欲购进篮球和足球共100个,且足球数量不多于篮球数量的2倍,求出最多购买足球多少个? 3.某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个,第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x 元销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出.(1)用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为个; (2)如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元? 4.某工程指挥部要对某路段工程进行招标,接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中 得知:甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2 3 ;若由 甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天? (2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元,工程预 算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响,拟安排甲、乙两队合作完成这项工程,则工程预算的施工费用是否够用?若不够用,需追加预算多少万元? 请给出你的判断,并说明理由. 5.某经销商销售台湾水果凤梨,根据以往销售经验,每天的售价与销售量之间有如下关系: 设当单价从38元/kg下调了x元时,销售量为y kg. (1)写出y与x间的函数关系式. (2)如果凤梨的进价是20元/kg,某天的销售价定为30元/kg,问这天的销售利润是多 少? (3)目前两岸还未直接通航,运输要绕行,需耗时一周(7天),凤梨最长的保存期为一 个月(30天),若每天售价不低于30元/kg,问一次进货最多只能是多少千克? 6.有大小两种货车,3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨,2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨,求每辆大车和每辆小车一次分别可以运货多少吨? 7.为了提高天然气使用效率,保障居民的本机用气需求,某地积极推进阶梯式气价改革,若一户居民的年用气量不超过300m3,价格为2.5元/m3,若年用气量超过300m3,超出部分的价格为3元/m3, (1)根据题意,填写下表: (2)设一户居民的年用气量为xm3,付款金额为y元,求y关于x的解析式; (3)若某户居民一年使用天然气所付的金额为870元,求该户居民的年用气量.
中考数学压轴题100题精选【含答案】 【001 】如图,已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0)经过点(2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC . (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为 ()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若O C O B =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长. 【002】如图16,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动,到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回;点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动.伴随着P 、Q 的运动,DE 保持垂直平分PQ ,且交PQ 于点D ,交折线QB-BC-CP 于点E .点P 、Q 同时出发,当点Q 到达点B 时停止运动,点P 也随之停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q 到AC 的距离是 ; (2)在点P 从C 向A 运动的过程中,求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式;(不必写出t 的取值范围) (3)在点E 从B 向C 运动的过程中,四边形QBED 能否成 为直角梯形?若能,求t 的值.若不能,请说明理由;
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
2017年中考数学模拟试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 1.8的立方根为( ) A .2 B .±2 C .-2 D .4 2.要使分式1 5 -x 有意义,则x 的取值范围是( ) A .x ≠1 B .x >1 C .x <1 D .x ≠-1 3.计算(a -2)2的结果是( ) A .a 2-4 B .a 2-2a +4 C .a 2-4a +4 D .a 2+4 4.不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球,其中4个黑球、2个白球,从袋子中一次摸出3个球,下列事件是不可能事件的是( ) A .摸出的3个白球 B .摸出的是3个黑球 C .摸出的是2个白球、1个黑球 D .摸出的是2个黑球、1个白球 5.下列各式计算正确的是( ) A .a 2+2a 3=3a 5 B .(a 2)3=a 5 C .a 6÷a 2=a 3 D .a ·a 2=a 3 6.如图,A 、B 的坐标为(2,0)、(0,1).若将线段AB 平移至A 1B 1,则a +b 的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 7.如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体,其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长.该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S 1、S 2、S 3,则S 1、S 2、S 3的大小关系是( ) A .S 1>S 2>S 3 B .S 3>S 2>S 1 C .S 2>S 3>S 1 D .S 1>S 3>S 2 8.某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示,关于“劳动时间”的这组数据,以下说法正确的 是( ) A .中位数是4,平均数是3.75 B .众数是4,平均数是3.75 C .中位数是4,平均数是3.8 D .众数是4,平均数是3.8 9.在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.对于一条直线,当它与一个圆的公共点都是整点时,我们把这条直线称为这个圆的“整点直线”.已知⊙O 是以原点为圆心,半径为22的圆,则⊙O 的“整点直线”共有( )条 A .7 B .8 C .9 D .10 10.Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =20,BC =10,D 、E 分别为边AB 、CA 上两动点,则CD +DE 的最小值为( ) A .854+ B .16 C .58 D .20 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分) 11.计算:5-(-6)=___________
2012年各地数学中考经典应用题专题训练 (一)方程与不等式类 1(绵阳).李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔,目前,他所养的这两种种兔数量仍然相同,且A种种兔的数量比买入时增加了20只,B种种兔比买入时的2倍少10只. (1)求一年前李大爷共买了多少只种兔? (2)李大爷目前准备卖出30只种兔,已知卖A种种兔可获利15元/只,卖B种种兔可获利6元/只.如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔,且总共获利不低于280元,那么他有哪几种卖兔方案?哪种方案获利最大?请求出最大获利. 2(临沂)在全市中学运动会800m比赛中,甲乙两名运动员同时起跑,刚跑出200m后,甲不慎摔倒,他又迅速地爬起来继续投入比赛,并取得了优异的成绩.图中分别表示甲、乙两名运动员所跑的路程y(m)与比赛时间x(s)之间的关系,根据图像解答下列问题:(1)甲摔倒前,________的速度快(填甲或乙); (2)甲再次投入比赛后,在距离终点多远处追上乙? (第2题图)
3(青岛)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和 水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价1y (元)与销售月份x (月)满足关系式3 368 y x =- +,而其每千克成本2y (元)与销售月份x (月)满足的函数关系如图所示. (1)试确定b c 、的值; (2)求出这种水产品每千克的利润y (元)与销售月份x (月)之间的函数关系式; (3)“五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? 4(凉山)我国沪深股市交易中,如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用.张 先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股,若他期望获利不低于1000元,问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出?(精确到0.01元) 5(新疆)有一批图形计算器,原售价为每台800元,在甲、乙两家公司销售.甲公司用 如下方法促销:买一台单价为780元,买两台每台都为760元.依此类推,即每多买一台则所买各台单价均再减20元,但最低不能低于每台440元;乙公司一律按原售价的75%促销.某单位需购买一批图形计算器: (1)若此单位需购买6台图形计算器,应去哪家公司购买花费较少? (2)若此单位恰好花费7 500元,在同一家公司购买了一定数量的图形计算器,请问是在哪家公司购买的,数量是多少? y 2