反比例函数知识点归纳(重点)95445

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反比例函数知识点归纳和典型例题

（一）知识结构

（二）

（三）（二）学习目标

（四）1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．

（五）2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．

（六）3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．

（七）4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．

（八）5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．

（九）（三）重点难点

（十）1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．

（十一）2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握．

（十二）二、基础知识

（十三）（一）反比例函数的概念

（十四）1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

（十五）2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

（十六）3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

（十七）（二）反比例函数的图象

（十八）在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．

（十九）（三）反比例函数及其图象的性质

（二十）1．函数解析式：（）

（二十一）2．自变量的取值范围：

（二十二）3．图象：

（二十三）（1）图象的形状：双曲线．

（二十四）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．

（二十五）（2）图象的位置和性质：

（二十六）与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

（二十七）当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

（二十八）当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

（二十九）（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．

（三十）图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．

（三十一）4．k的几何意义

（三十二）如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

（三十三）如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

（三十四）

（三十五）图1 图2

（三十六）5．说明：

（三十七）（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个

分支分别讨论，不能一概而论．

（三十八）（2）直线与双曲线的关系：

（三十九）当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（四十）（3）反比例函数与一次函数的联系．

（四十一）（四）实际问题与反比例函数

（四十二）1．求函数解析式的方法：

（四十三）（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．

（四十四）2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．

（四十五）（五）充分利用数形结合的思想解决问题．

（四十六）三、例题分析

（四十七）1．反比例函数的概念

（四十八）（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

（四十九）A．y=3x B． C．3xy=1 D．

（五十）（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

（五十一）A．B． C．D．

（五十二）答案：（1）C；（2）A．

（五十三）2．图象和性质

（五十四）（1）已知函数是反比例函数，

（五十五）①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．

（五十六）②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（五十七）（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（五十八）（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（五十九）（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，

（六十）则直线不经过的象限是（）．

（六十一）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（六十二）（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，

（六十三）则一次函数y=kx+m的图象经过（）．

（六十四）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

（六十五）C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限

（六十六）（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．

（六十七）

（六十八） A．B． C．D．

（六十九）答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．

（七十）3．函数的增减性

（七十一）（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则

的值为（）．

（七十二）A．正数B．负数 C．非正数 D．非负数

（七十三）（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．

（七十四）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜

（七十五）（3）下列四个函数中：①；②；③；④．

（七十六） y随x的增大而减小的函数有（）．

（七十七）A．0个 B．1个C．2个D．3个

（七十八）（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．

（七十九）答案：（1）A；（2）D；（3）B．

（八十）注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．

（八十一）4．解析式的确定

（八十二）（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．

（八十三）A．正比例函数 B．反比例函数C．一次函数D．不能确定

（八十四）（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．

（八十五）（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．

（八十六）（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．

（八十七）①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．

（八十八）

（八十九）（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：

（九十）①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃

烧后y关于x的函数关系式为_________________．

（九十一）②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；

（九十二）③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效为什么？

（九十三）答案：（1）B；（2）4，8，（，）；

（九十四）（3）依题意，且，解得．

（九十五）（4）①依题意，解得

（九十六）②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．

（九十七）（5）①，，；

（九十八）②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．

（九十九）5．面积计算

（一○○）（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．

（一○一）A．B．C．D．

（一○二）

（一○三）第（1）题图第（2）题图

（一○四）（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．

（一○五）A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2

（一○六）（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．

（一○七）

（一○八）第（3）题图第（4）题图

（一○九）（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．

（一一○）（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．

（一一一）

（一一二）第（5）题图第（6）题图

（一一三）（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．

（一一四）①求这两个函数的解析式；

（一一五）②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

（一一六）（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x 轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．

（一一七）① 求B点坐标和k的值；

（一一八）② 当时，求点P的坐标；

（一一九）③ 写出S关于m的函数关系式．

（一二○）答案：（1）D；（2）C；（3）6；

（一二一）（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．

（一二二）（5）1．

（一二三）（6）①双曲线为，直线为；

（一二四）②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），

（一二五）因此面积为4．

（一二六）（7）①B（3，3），；

（一二七）②时，E（6，0），；

（一二八）③．

（一二九）6．综合应用

（一三○）（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．

（一三一）A．互为倒数 B．符号相同 C．绝对值相等 D．符号相反

（一三二）（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B 两点：A（，1），B（1，n）．

（一三三）① 求反比例函数和一次函数的解析式；

（一三四）② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

（一三五）（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．（一三六）① 求点A、B、D的坐标；

（一三七）② 求一次函数和反比例函数的解析式．

（一三八）（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．

（一三九）① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；

（一四○）② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（一四一）（5）不解方程，判断下列方程解的个数．

（一四二）①；②．

（一四三）（2）① 反比例函数为，一次函数为；

（一四四）②范围是或．

（一四五）（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；

（一四六）②一次函数为，反比例函数为．

（一四七）（4）①反比例函数为，；

（一四八）②存在（2，2）．

（一四九）（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；

（一五○）②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．