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Maple数值分析第一章

(1.1.1)Maple14数值分析学习笔记

第一章插值与函数逼近之student 程序包

1.绝对误差、相对误差和有效数字

（1）Student[NumericalAnalysis][AbsoluteError] ‐ compute the absolute error of an approximation ‐‐计算一个逼近（多项式或非多项式）的绝对误差Calling Sequence （调用格式）：AbsoluteError(xe, xa, opts)Parameters （参数说明）：

xe ‐ realcons; the exact value ：精确值（realcons ‐>real constant,实常数）xa ‐ realcons; the approximated value ：近似值

opts ‐ (optional) equation(s) of the form digits = value,digits （ environment variable ）的值是一个正整数A positive integer ，默认值是10。Example ：

with Student NumericalAnalysis :appr :=10.0:exac d 9.8:

AbsoluteError exac ,appr ,digits =5

0.2感悟：整个Maple 有许多模块组成，或者说是程序包，Student 是其中之一，而

NumericalAnalysis 又是其中的一个模块。也可以用面向对象的方法来描述：当然仅仅是对Maple 的猜测性描述，所有的程序包都是一个个类，或许它们有一个公共的基类maple ，也就是说maple 派生出Student 类，Student 类又派生出NumericalAnalysis 类，而AbsoluteError 是NumericalAnalysis 类的一个方法.当我们需要调用AbsoluteError 函数时，就需要加载Student[ NumericalAnalysis]类。

（2）Student[NumericalAnalysis][RelativeError] ‐ compute the relative error of an approximation ‐‐计算相对误差

Calling Sequence ： RelativeError(xe, xa, opts)Parameters ：

xe ‐ realcons; the exact value

xa ‐ realcons; the approximated value

opts ‐ optional equation(s) of the form keyword = value, where keyword is: digits; the options for computing the relative error of xa

计算相对误差的函数调用方法与上面计算绝对误差函数的调用一致，不再赘述。（3）Student[NumericalAnalysis][NumberOfSignificantDigits] ‐ 计算一个逼近数值的有效精度Calling Sequence ：NumberOfSignificantDigits(xe, xa, opts)Parameters ：xe

实常数;精确值

(1.1.2)xa 实常数；逼近值

opts

(optional) digits=整数，默认为10

Description ：

有效数字的位数必须满足: 0.5 10K s %e and e !0.5 10K s

,其中s 是有效数字的位数，e 是相对误差。 Examples ：

with Student NumericalAnalysis :xe d 9.81:xa d 9.63:

NumberOfSignificantDigits xe ,xa

22.多项式内插法

（1）Student[NumericalAnalysis][TaylorPolynomial] ‐ compute a Taylor polynomial approximation ，计算泰勒多项式逼近

Calling Sequence ：TaylorPolynomial(f, x, opts) TaylorPolynomial(f, x = x0, opts)Parameters ：f algebraic ; expression in the variable x ，代数表达式，其中变量为x 的值x name ; the name of the independent variable in f ，代数表达式f 中的独立变量名x0

realcons ; the point about which the series is expanded ，实常数，泰勒多项式的展开点，缺省为0

opts (optional) 可选表达式keyword = value ，keyword is one of digits, errorboundvar,

order ，extrapolate 。具体解释如下：

digits, errorboundvar, extrapolate 的含义与PolynomialInterpolation 中的含义一致，而order= posint, posint..posint, list(posint)，表示多项式的次数，缺省为6。如果order 的值是一个值域或点集，那么其中的所有可用的值都被计算。Description ：

‐‐TaylorPolynomial 计算函数f 在x0处的泰勒级数并将其转换为多项式，当然它还可以评价误差。如果x0未指定，代之以0。‐‐TaylorPolynomial 返回值类型：

（1）P ‐‐函数f 在x0处的n=order 次泰勒多项式。

（2）[P,R]‐‐P+R=f ，R 是余项。仅当errorboundvar 给出且extrapolate 未给出时才返回两个值。

（3）[P,R,B ]‐‐当errorboundvar 和extrapolate 都给出时返回三个值。B is a list containing the extrapolated point(s), the value(s) of P at the extrapolated point(s), the value(s) of f at the extrapolated point(s) and the associated error bound(s).Examples ：

with Student NumericalAnalysis

(1.2.4)

TaylorPolynomial sin x ,x

x K 16 x 3C 1120

5TaylorPolynomial sin x ,x ,errorboundvar ='ξ'

x K 16 x 3C 1120 x 5,K 15040

cos ξ x 7

TaylorPolynomial ln x ,x =2,order =3,errorboundvar ='ξ'

ln 2C 12 x K 1K 18 x K 22C 124 x K 23,K 14ξ

TaylorPolynomial sin x ,x ,errorboundvar ='ξ',extrapolate =1.3

x K 16 x 3C 1120 x 5,K 15040

cos ξ x 7, 1.3,0.9647744166,0.9635581854,

0.001245010258

（2）Student[NumericalAnalysis][PolynomialInterpolation] ‐ perform polynomial interpolation on a set of data ：对一系列数据执行多项式内插值。Calling Sequence ：PolynomialInterpolation(xy, opts)Parameters ：

xy ‐ list(numeric), list(list(numeric, numeric)), list(list(numeric, numeric, numeric)); the data points to be interpolated

opts ‐ equation(s) of the form keyword=value where keyword is one of digits,errorboundvar, extrapolate, function, independentvar, method ; the options for interpolating the data xy 详细说明：

‐‐digits （默认为10）的含义及作用与前面计算误差中的说明一致。

‐‐errorboundvar=name （默认为空）：用于指定表示误差界的变量，如errorboundvar='r'。‐‐extrapolate=algebraic, list(algebraic)，例如：extrapolate = [0.25, 0.75, 1.25]。【The points to be extrapolated （外推）. By default no points are extrapolated. To see the extrapolated values after using the PolynomialInterpolation command, use the ExactValue or ApproximateValue command.】

‐‐function （默认为空）：在计算误差的时候用到的精确函数表达式。在

PolynomialInterpolation(xy, opts)中，如果参数xy 是list(numeric)形式的（Maple 理解为x ），那么参数function 是必需的。

‐‐independentvar=name ，指定表示插值多项式的独立变量。如果未指定，以function 中的独立变量代之，若function 为空，则以ind_var 代替。

‐‐method= hermite, lagrange, neville, newton ，指定插值方法。当使用hermite 方法时，参数xy 必须是[[x1, y1, p1], [x2, y2,p2],...]格式的。如果不指定插值方法，默认使用lagrange ；而若参数是list(numeric, numeric, numeric)格式的，调用hermite 方法。

Description ：

‐‐PolynomialInterpolation 函数对给定点进行内插值，并将插值结果保存在一个POLYINTERP structure 中，这个structure 可以传递给其他的插值命令以便表示出其内部信息。（RemainderTerm 、Draw 、DividedDifferenceTable 、expand ）

(1.2.6)

(1.2.5)Examples ：

with Student NumericalAnalysis :

xy :=0,1,12,1,1,1110,32,34,2,78,52,910,3,1110,7

,1：

L :=PolynomialInterpolation xy ,independentvar =x ,method =lagrange :expand Interpolant L

73320 x 4K 81831200 x C 225475 x 2K 1722473600 x 3K 3296225 x 5C 22175 x 6K 53225

x 7

xyyp :=1,1.105170918,0.2210341836, 1.5,1.252322716,0.3756968148,2,1.491824698,

0.5967298792:p2:=PolynomialInterpolation xyyp ,method =hermite ,function =e

0.1 x 2

,independentvar =x ,

errorboundvar =ξ,digits =5:

RemainderTerm p2

1720

0.120 e 0.1 ξ

2C 0.0720 ξ2 e 0.1 ξ2C 0.00480 ξ4 e 0.1 ξ2C 0.000064 ξ6 e 0.1 ξ2 x K 1.2

x K 1.52

x K 2.

&where 1.%ξand ξ%2.

（3）Student[NumericalAnalysis][CubicSpline] ‐ perform cubic spline interpolation on a set of data ，三次样条插值

Calling Sequence ：CubicSpline(xy, opts)Parameters ：xy

listlist ; data points, in the form [[x_1,y_1],[x_2, y_2],...], to be interpolated

opts 可选等式 keyword=value ， keyword is one of: boundaryconditions （边界条件）,

digits, extrapolate, function, independentvar 。

这里只说明一下boundaryconditions = natural, clamped(numeric, numeric)，即边界条件可以是自由边界（默认）或固支边界（如clamped(u,v)），分别对应自然三次样条插值和固支三次样条插值。Description ：

同PolynomialInterpolation(xy, opts)一样，CubicSpline(xy, opts)对数据点xy 进行三次样条插值并将计算结果保存在一个POLYINTERP 结构中，它可以传递给其他插值命令，以便展示其插值结果，如:Draw 、expand ，这些命令将在后面介绍。

Examples ：

with Student NumericalAnalysis :

xy :=0,4.0,0.5,0, 1.0,K

2.0, 1.5,0, 2.0,1.0, 2.5,0,

3.0,K 0.5:

(1.2.7)

p1:=CubicSpline xy ,independentvar =x ,digits =5:expand Interpolant p1

4.K 8.4808 x C 1.9231 x 3

x !0.5K 5.134650 x C 3.4423250K 6.69230 x 2C 6.3846 x 3x !1.021.289380K 58.67538 x C 46.8480 x 2K 11.462 x 3x !1.515.0577950 x K 15.57699750K 2.307730 x 2

K 0.53846 x 3

x !2.0K 64.8079600C 88.904180 x K 39.23090 x 2C 5.6154 x 3x !2.5K 52.442625 x C 52.9809375C 17.30785 x 2K 1.9231 x 3

otherwise

3.POLYINTERP 结构

在前面多项式内插值中介绍TaylorPolynomial 函数返回的是一个多项式，

而PolynomialInterpolation 和CubicSpline 返回的是一个POLYINTERP 结构，无法直接看到插值结果，必须借助其它函数实现。

（1）Draw ‐‐Student[NumericalAnalysis][Draw] ‐ create a plot of a certain aspect of an interpolation structure

Calling Sequence: Draw(p, opts)Parameters:p a POLYINTERP structure

opts

(optional) objects=list ‐> ApproximateValue, BasisFunctions, DataPoints, ExactValue, Function, Interpolant,指明所要画的对象列表

默认值是objects = [DataPoints, Interpolant, Function, ApproximateValue]，如果其中之一未给出，就不画。

Description ：

Draw 命令绘制POLYINTERP 结构中各个元素的图形，POLYINTERP 结构由PolynomialInterpolation 和CubicSpline 函数生成。所绘制的不同的元素的颜色可以用SetColors 命令修改。Examples ：

with Student NumericalAnalysis :

xy :=0,1,12,1,1,1110,32,34,2,78,52,910,3,1110,7

,1:

p2:=CubicSpline xy ,independentvar ='x ':Draw p2:

p1:=PolynomialInterpolation xy ,independentvar ='x ',method =lagrange :Draw p1,objects ='BasisFunctions ':

(1.3.2)

（2）Interpolant,expand

Calling Sequence: Interpolant(p, opts)Parameters:p a POLYINTERP structure

opts

(optional) independentvar=name,默认情况下使用的是PolynomialInterpolation 调用中的独立变量。

Description ：

Interpolant 命令从一个POLYINTERP 结构中检索插值多项式，这个POLYINTERP 结构是由PolynomialInterpolation 或CubicSpline 创建的。

结合expand 命令，可以得到插值多项式的简约的形式，因为Interpolant 得到的是因式分解形式的插值多项式。Examples ：

with Student NumericalAnalysis :xy :=0,4.0,0.5,0, 1.0,K 2.0, 1.5,0, 2.0,1.0, 2.5,0, 3.0,K 0.5:

p1a :=PolynomialInterpolation xy ,function =22K x

cos π x ,method =lagrange ,extrapolate

=0.25,0.75,1.25,errorboundvar =ξ:p1b :=CubicSpline xy ,function =22K x

cos π x ,extrapolate =0.25,0.75,1.25,digits =5:

Interpolant p1a

0.3555555556 x K 0.5 x K 1.0 x K 1.5 x K 2.0 x K 2.5 x K 3.0

K 2.666666667 x x K 0.5 x K 1.5 x K 2.0 x K 2.5 x K 3.0C 1.333333333 x x K 0.5 x K 1.0 x K 1.5 x K 2.5 x K 3.0K 0.04444444444 x x K 0.5 x K 1.0 x K 1.5 x K 2.0 x K 2.5expand Interpolant p1b

4.K 8.4808 x C 1.9231 x 3

x !0.5K 5.134650 x C 3.4423250K 6.69230 x 2C 6.3846 x 3x !1.021.289380K 58.67538 x C 46.8480 x 2K 11.462 x 3x !1.515.0577950 x K 15.57699750K 2.307730 x 2

K 0.53846 x 3

x !2.0K 64.8079600C 88.904180 x K 39.23090 x 2C 5.6154 x 3x !2.5K 52.442625 x C 52.9809375C 17.30785 x 2K 1.9231 x 3

otherwise

（3）ApproximateValue 和ExactValue

Calling Sequence:

ApproximateValue(p)、ApproximateValue(p, pts) ExactValue(p)、ExactValue(p, pts)Parameters:

(1.3.6)

(1.3.7)

(1.3.4)

p 一个 POLYINTERP 结构

pts

(optional) numeric , list(numeric); 一个或是一系列的点，用来计算逼近多项式或精确函数的值

Description ：

返回值格式以[[point i , approx i ], [...], ...], i =1..number of points

Examples ：

with Student NumericalAnalysis :

xy := 1.0,0.7651977, 1.3,0.6200860, 1.6,0.4554022, 1.9,0.2818186:p1:=PolynomialInterpolation xy ,method =neville ,extrapolate = 1.5:ApproximateValue p1

1.5,0.5118126939

ApproximateValue p1, 1.7,1.8

1.7,0.3980028398, 1.8,0.3400098828xy1d 0,4.0,0.5,0, 1.0,K

2.0, 1.5,0, 2.0,1.0, 2.5,0,

3.0,K 0.5:

p2d PolynomialInterpolation xy ,function =22K x

cos π x ,method =lagrange ,extrapolate

=0.25,0.75,1.25,errorboundvar ='ξ':ExactValue p2

0.25,2.378414230,0.75,K 1.681792830, 1.25,K 1.189207114ExactValue p2,0.5,1.0

0.5,0., 1.0,K 2.

（4）Function 和BasisFunctions

Calling Sequence 、Parameters 和Description ：

Function(p)，其中p 是一个POLYINTERP 结构，该函数返回POLYINTERP 结构中的精确函数，如果POLYINTERP 中没有给出function ，抛出异常。

BasisFunctions(p)，其中p 是一个POLYINTERP 结构，该函数返回POLYINTERP 结构中的插值多项式的基函数。

BasisFunctions(p, indvar)，indvar 可选，给出待返回的基函数的独立变量。Examples ：

with Student NumericalAnalysis :

xy :=0,4.0,0.5,0, 1.0,K

2.0, 1.5,0, 2.0,1.0, 2.5,0,

3.0,K 0.5:p1:=PolynomialInterpolation xy ,function =22K x

cos π x ,method =lagrange ,extrapolate

=0.25,0.75,1.25,errorboundvar ='ξ':Function p1

22K x cos π x

plot Function p1,x =0..3:BasisFunctions p1,t

(1.3.8)0.0888******* t K 0.5 t K 1.0 t K 1.5 t K 2.0 t K 2.5 t K 3.0,K 0.5333333333 t t K 1.0 t K 1.5 t K 2.0 t K 2.5 t K 3.0,1.333333333 t t K 0.5 t K 1.5 t K 2.0 t K 2.5 t K 3.0,K 1.777777778 t t K 0.5 t K 1.0 t K 2.0 t K 2.5 t K 3.0,1.333333333 t t K 0.5 t K 1.0 t K 1.5 t K 2.5 t K 3.0,K 0.5333333333 t t K 0.5 t K 1.0 t K 1.5 t K 2.0 t K 3.0,0.0888******* t t K 0.5 t K 1.0 t K 1.5 t K 2.0 t K 2.5Draw p1,objects =BasisFunctions :

(5)与计算误差相关的函数

Calling Sequence 、Parameters 和Description ：

1. InterpolantRemainderTerm(p, opts)，其中p 是一个POLYINTERP 结构，可选项opts 是

以keyword=value 给出，其中keyword 是errorboundvar, independentvar, showapproximatepoly,showremainder 四者之一，前两个参数含义易知，后两个参数是逻辑值true 或false ，控制输出项。该函数返回内插多项式和余项，如果POLYINTERP 结构是由CubicSpline 生成的，就不会返回余项，showremainder=false 。

2.RemainderTerm(p, opts)，可选项opts 是以keyword=value 给出，其中keyword 是errorboundvar ，该函数返回插值余项。

3.UpperBoundOfRemainderTerm(p)、UpperBoundOfRemainderTerm(p, pts)，该函数返回在指定点处的插值余项的上界。可选项pts 是一个或一组数，指定在何处返回插值余项的上界，若未给出，返回extrapolate 处的插值余项上界。如果p 是三次样条插值函数，必须是固支的。

4.ApproximateExactUpperBound(p)、ApproximateExactUpperBound(p, pts)，该函数返回指定点处的插值、准确值和插值余项上界，pts 用于指定位置。返回值列表[pts, approximate values, exact values, upper bounds]。

Examples ：

with Student NumericalAnalysis :xy :=0,4.0,0.5,0, 1.0,K 2.0, 1.5,0, 2.0,1.0, 2.5,0, 3.0,K 0.5:

p1:=PolynomialInterpolation xy ,function =22K x

cos π x ,method =lagrange ,extrapolate

=0.25,0.75,1.25,errorboundvar =ξ:InterpolantRemainderTerm p1

0.3555555556 x K 0.5 x K 1.0 x K 1.5 x K 2.0 x K 2.5 x K 3.0

K 2.666666667 x x K 0.5 x K 1.5 x K 2.0 x K 2.5 x K 3.0C 1.333333333 x x K 0.5 x K 1.0 x K 1.5 x K 2.5 x K 3.0K 0.04444444444 x x K 0.5 x K 1.0 x K 1.5 x K 2.0 x K 2.5,

15040 K 22K ξ ln 27 cos π ξK 7 22K ξ ln 26

sin π ξ πC 21 2

2K ξ

ln 25 cos π ξ π2C 35 22K ξ ln 24 sin π ξ π

(1.3.14)

(1.3.13)

K 35 22K ξ

ln 23

cos π ξ π4

K 21 2

2K ξ

ln 22

sin π ξ π

C 7 2

2K ξ

ln 2 cos π ξ π6

C 22K ξ

sin π ξ π7

x x K 0.5 x K 1.0 x

K 1.5 x K 2.0 x K 2.5 x K 3.0 &where 0.%ξand ξ%3.0RemainderTerm p1

15040

K 22K ξ ln 27 cos π ξK 7 22K ξ ln 26

sin π ξ πC 21 22K ξ ln 25 cos π ξ π2C 35 22K ξ ln 24 sin π ξ π3K 35 22K ξ

ln 23

cos π ξ π4

K 21 2

2K ξ

ln 22

sin π ξ π

C 7 2

2K ξ

ln 2 cos π ξ π6

C 22K ξ

sin π ξ π7

x x K 0.5 x K 1.0 x

K 1.5 x K 2.0 x K 2.5 x K 3.0 &where 0.%ξand ξ%3.0UpperBoundOfRemainderTerm p1

0.25,1.793805001,0.75,0.4892195457, 1.25,0.2717886365UpperBoundOfRemainderTerm p1, 1.7,1.1

1.7,0.2519320805, 1.1,0.1786893829

ApproximateExactUpperBound p1

0.25,2.685058594,2.378414230,1.793805001,0.75,K 1.746582031,K 1.681792830,0.4892195457, 1.25,K 1.166503906,K 1.189207114,0.2717886365

(6)DataPoints 与AddPoint 、NevilleTable 和DividedDifferenceTable Calling Sequence 、Parameters 和Description ：

1.DataPoints(p);p 是一个POLYINTERP 结构，该函数返回其中的插值数据点。

2.AddPoint(p, pts)、AddPoint(p, pts, bcs)；该函数向一个POLYINTERP 结构中插入新的插值点并返回一个POLYINTERP 结构。其中pts 以numeric , list(numeric, numeric), list(numeric, numeric,numeric)格式给出新增的插值点；bcs 以list(numeric, numeric)的格式给出，如

果POLYINTERP 结构是由CubicSpline 给出的，且不是自由三次样条插值，该选项需要给出以确定边界条件。

3.NevilleTable(p)、NevilleTable(p, pt)；其中p 是一个POLYINTERP 结构，必须是用Neville 插值法创建的；可选项pt 是一个数字或字符，指定一点或是独立变量来计算Neville table 。

4.DividedDifferenceTable(p)、DividedDifferenceTable(p, pt)；该函数用于计算均差表，其中pt 只能是数值。p 必须是用Newton 或Hermite 方法创建的。

Examples ：

with Student NumericalAnalysis :

xy d 1.0,0.7651977, 1.3,0.6200860, 1.6,0.4554022, 1.9,0.2818186:p1:=PolynomialInterpolation xy ,independentvar =x ,method =lagrange :DataPoints p1

1.0,0.7651977, 1.3,0.6200860, 1.6,0.4554022, 1.9,0.2818186

(1.3.18)

(1.3.15)

(1.3.17)

(1.3.16)

p2:=PolynomialInterpolation xy ,method =neville ,extrapolate = 1.5:

NevilleTable p2,1.5

0.7651977

000.62008600.5233448671

00.45540220.51029680020.5124714781

0.28181860.51326340020.51128566690.5118126939

p2a :=AddPoint p2, 2.2,0.1103623:NevilleTable p2a ,1.5

0.7651977

0000.62008600.5233448671

000.45540220.51029680020.5124714781

00.28181860.51326340020.51128566690.5118126939

0.11036230.51042700020.51373613360.51183021490.5118199942p3d PolynomialInterpolation xy ,independentvar ='x ',method =newton ,digits =5:DividedDifferenceTable p3

0.76520

000.62009K 0.48370000.45540K 0.54897

K 0.10878

0.28182K 0.57860K 0.0493830.065997

p3a d AddPoint p3, 1.8,0.3920223

:DividedDifferenceTable p3a

0.76520

0000.62009K 0.48370

000.45540K 0.54897K 0.10878

00.28182K 0.57860K 0.0493830.0659970

0.39202

K 1.1020

K 2.6170

K 5.1352K 6.5015