新课程高中数学分层章节练习题(选修2-1)含答案

（数学选修2-1）第一章 常用逻辑用语 [基础训练A 组] 一、选择题

1．下列语句中是命题的是（ ）

A ．周期函数的和是周期函数吗？

B ．0

sin 451= C ．2

210x x +-> D ．梯形是不是平面图形呢？

2．在命题“若抛物线2

y ax bx c =++的开口向下，则{}

2

|0x ax bx c φ++<≠”的

逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）

A ．都真

B ．都假

C ．否命题真

D ．逆否命题真 3．有下述说法：①0a b >>是22

a b >的充要条件. ②0a b >>是b

a 1

1<的充要条件. ③0a b >>是3

3

a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

4．下列说法中正确的是（ ）

A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真

B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价

C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则22

0a b +≠” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2

(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,

另一根小于零,则A 是B 的（ ） A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知条件:12p x +>，条件2

:56q x x ->，则p ?是q ?的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

二、填空题

1．命题：“若a b ?不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。 2．12:,A x x 是方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:b

B x x a

+=-

, 则A 是B 的 条件。 3．用“充分、必要、充要”填空：

①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________________条件； ②p ?为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件；

③:23A x -<, 2:4150B x x --<, 则A 是B 的___________条件。 4．命题“2

230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是_______。 5．“a b Z +∈”是“2

0x ax b ++=有且仅有整数解”的__________条件。

三、解答题

1．对于下述命题p ，写出“p ?”形式的命题，并判断“p ”与“p ?”的真假：

（1） :p 91()A B ∈ （其中全集*U N =，{}|A x x =是质数，{}|B x x =是正奇数）. （2） :p 有一个素数是偶数；. （3） :p 任意正整数都是质数或合数； （4） :p 三角形有且仅有一个外接圆.

2．已知命题),0(012:,64:2

2>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。

3．若2

2

2

a b c +=，求证：,,a b c 不可能都是奇数。

4．求证：关于x 的一元二次不等式2

10ax ax -+>对于一切实数x 都成立的充要条件是04a <<

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（数学选修2-1）第一章 常用逻辑用语

[综合训练B 组] 一、选择题

1．若命题“p q ∧”为假，且“p ?”为假，则（ ）

A ．p 或q 为假

B ．q 假

C ．q 真

D ．不能判断q 的真假

2．下列命题中的真命题是（ ）

A ．3是有理数

B ．是实数

C ．e 是有理数

D ．{}

|x x 是小数R

3．有下列四个命题：

①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若1q ≤ ,则2

20x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．③④ 4．设a R ∈，则1a >是1

1a

< 的（ ）

A ．充分但不必要条件

B ．必要但不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．命题：“若2

2

0(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ） A ． 若0(,)a b a b R ≠≠∈，则2

2

0a b +≠ B ． 若0(,)a b a b R =≠∈，则2

2

0a b +≠ C ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则2

2

0a b +≠ D ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则2

2

0a b +≠

6．若,a b R ∈,使1a b +>成立的一个充分不必要条件是( )

A ．1a b +≥

B ．1a ≥

C ．0.5,0.5a b ≥≥且

D ．1b <-

二、填空题

1．有下列四个命题： ①、命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；

③、命题“若1m ≤，则022

=+-m x x 有实根”的逆否命题；

④、命题“若A B B = ，则A B ?”的逆否命题。

其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）。

2．已知,p q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，

则s 是q 的 ______条件，r 是q 的 条件，p 是s 的 条件. 3．“△ABC 中,若0

90C ∠=,则,A B ∠∠都是锐角”的否命题为 ； 4．已知α、β是不同的两个平面，直线βα??b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；

命题βα//:q ， 则q p 是的 条件。

5．若“[]2,5x ∈或{}|14x x x x ∈<>或”是假命题，则x 的范围是___________。

三、解答题

1．判断下列命题的真假：

（1）已知,,,,a b c d R ∈若,,.a c b d a b c d ≠≠+≠+或则 （2）32

,x N x x ?∈>

（3）若1,m >则方程2

20x x m -+=无实数根。 （4）存在一个三角形没有外接圆。

2．已知命题2

:6,:p x x q x Z -≥∈且“p q 且”与“非q ”同时为假命题，求x 的值。

3．已知方程2

2

(21)0x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。

4．已知下列三个方程：2

2

2

2

4430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围。

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（数学选修2-1）第一章 常用逻辑用语

[提高训练C 组] 一、选择题

1．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数； ③梯形不是矩形；④方程2

1x =的解1x =±。其中使用逻辑联结词的命题有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题

的真假情况是（ ） A ．原命题真，逆命题假

B ．原命题假，逆命题真

C ．原命题与逆命题均为真命题

D ．原命题与逆命题均为假命题

3．在△ABC 中，“?>30A ”是“2

1

sin >

A ”的（ ） A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 4．一次函数n

x n m y 1

+-=的图象同时经过第一、

三、四象限的必要但不充分条件是（ ）

A ．1,1m n ><且

B ．0mn <

C ．0,0m n ><且

D ．0,0m n <<且

5．设集合{}{}|2,|3M x x P x x =>=<,那么“x M ∈,或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．命题:p 若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件；

命题:q 函数y =(][),13,-∞-+∞ ，则（ ）

A ．“p 或q ”为假

B ．“p 且q ”为真

C ．p 真q 假

D ．p 假q 真

二、填空题

1．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题 是 ； 2．用充分、必要条件填空：①1,2x ≠≠且y 是3x y +≠的

②1,2x ≠≠或y 是3x y +≠的

3.下列四个命题中

①“1k =”是“函数2

2

cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”的充要条件；

②“3a =”是“直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-相互垂直”的充要条件；

③ 函数3

4

2

2

++=x x y 的最小值为2

其中假命题的为 （将你认为是假命题的序号都填上）

4．已知0≠ab ，则1=-b a 是02

233=----b a ab b a 的__________条件。 5．若关于x 的方程2

2(1)260x a x a +-++=.有一正一负两实数根，

则实数a 的取值范围________________。

三、解答题

1．写出下列命题的“p ?”命题： （1）正方形的四边相等。

（2）平方和为0的两个实数都为0。

（3）若ABC ?是锐角三角形， 则ABC ?的任何一个内角是锐角。 （4）若0abc =，则,,a b c 中至少有一个为0。 （5）若(1)(2)0,12x x x x --≠≠≠则且。

2．已知1

:123

x p --

≤；)0(012:22>≤-+-m m x x q 若p ?是q ?的必要非充分条件，求实数m 的取值范围。

3．设0,,1a b c <<，

求证：(1),(1),(1)a b b c c a ---不同时大于4

1.

4.命题:p 方程2

10x mx ++=有两个不等的正实数根，

命题:q 方程2

44(2)10x m x +++=无实数根。若“p 或q ”

为真命题，求m 的取值范围。

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（数学选修2-1）第二章 圆锥曲线 [基础训练A 组] 一、选择题

1． 已知椭圆116

252

2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，

则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）

A ．116922=+y x

B ．116252

2=+y x

C ．1162522=+y x 或125

162

2=+y x D ．以上都不对

3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线

4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，

那么双曲线的离心率e 等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．3 5．抛物线x y 102

=的焦点到准线的距离是（ ）

A ．

25 B ．5 C ．2

15 D ．10 6．若抛物线2

8y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）。

A ．(7,

B ．(14,

C ．(7,±

D ．(7,-±

二、填空题

1．若椭圆2

2

1x my +=，则它的长半轴长为_______________. 2．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

3．若曲线22

141x y k k

+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。

4．抛物线x y 62

=的准线方程为＿＿＿＿＿.

5．椭圆552

2

=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

三、解答题

1．k 为何值时，直线2y kx =+和曲线2

2

236x y +=有两个公共点？有一个公共点？

没有公共点？

2．在抛物线2

4y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短。

3．双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

4．若动点(,)P x y 在曲线

22

21(0)4x y b b

+=>上变化，则22x y +的最大值为多少？

（数学选修2-1）第二章 圆锥曲线 [综合训练B 组] 一、选择题

1．如果22

2

=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）

A ．()+∞,0

B ．()2,0

C ．()+∞,1

D ．()1,0

2．以椭圆116

252

2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ）

A ．1481622=-y x

B ．12792

2=-y x

C ．1481622=-y x 或127

922=-y x D ．以上都不对

3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2

1π

=

Q PF ，

则双曲线的离心率e 等于（ ）

A ．12-

B ．2

C ．12+

D ．22+

4．21,F F 是椭圆17

92

2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则

Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ．

47 C ．2

7

D ．257

5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622

2

=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）

A ．2

3x y =或2

3x y -= B ．2

3x y =

C ．x y 92

-=或2

3x y = D ．2

3x y -=或x y 92

=

6．设AB 为过抛物线)0(22

>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）

A ．

2

p

B ．p

C ．p 2

D ．无法确定

二、填空题

1．椭圆

22189x y k +=+的离心率为1

2

，则k 的值为______________。 2．双曲线2

2

88kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。

3．若直线2=-y x 与抛物线x y 42

=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。

4．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

5．若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 23±

=，则双曲线的焦点坐标是_________． 6．设AB 是椭圆22

221x y a b

+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，

则AB OM k k ?=____________。

三、解答题

1．已知定点(A -，F 是椭圆22

11612

x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，

使2AM MF +取得最小值。

2．k 代表实数，讨论方程2

2

280kx y +-=所表示的曲线

3．双曲线与椭圆136

272

2=+y x 有相同焦点，且经过点4)，求其方程。

4． 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15， 求抛物线的方程。

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（数学选修2-1）第二章 圆锥曲线 [提高训练C 组]

一、选择题

1．若抛物线x y =2

上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）

A ．1

(,44±

B ．1(,)84±

C ．1(,44

D ．1(,84

2．椭圆124

492

2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，

则△21F PF 的面积为（ ） A ．20 B ．22 C ．28 D ．24

3．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22

=的焦点，点M 在 抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ） A ．()0,0 B ．??

? ??1,21 C ．()

2,1 D ．()2,2

4．与椭圆14

22

=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ）

A ．1222=-y x

B ．1422=-y x

C ．13

322=-y x D ．1222

=-y x 5．若直线2+=kx y 与双曲线62

2

=-y x 的右支交于不同的两点，

那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-

） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,3

15

--） 6．抛物线2

2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线

m x y +=对称，

且2

1

21-

=?x x ，则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．2

5

D ．3

二、填空题

1．椭圆14

92

2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 。

2．双曲线22

1tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为___。 3．若直线2y kx =-与抛物线2

8y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则AB =______。

4．若直线1y kx =-与双曲线2

2

4x y -=始终有公共点，则k 取值范围是 。 5．已知(0,4),(3,2)A B -，抛物线2

8y x =上的点到直线AB 的最段距离为__________。

三、解答题

1．当0

0180α从到变化时，曲线2

2

cos 1x y α+=怎样变化？

2．设12,F F 是双曲线116

92

2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且01260F PF ∠=，

求△12F PF 的面积。

3．已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直

平分线与x 轴相交于点0(,0)P x .证明：.2

2022a

b a x a b a -<<--

4．已知椭圆22

143

x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同

两点关于直线4y x m =+对称。

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（数学选修2-1） 第三章 空间向量与立体几何 [基础训练A 组] 一、选择题

1．下列各组向量中不平行的是（ ）

A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a

B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c

C ．)0,0,0(),0,3,2(==f e

D ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g

2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--

3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为9

8

，则λ等于（ ）

A ．2

B ．2-

C ．2-或55

2

D ．2或552-

4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等边三角形

5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A

取最小值时，x 的值等于（ ）

A ．19

B ．7

8

-

C ．78

D ．1419

6．空间四边形OABC 中，OB OC =，3

AOB AOC π

∠=∠=

，

则cos <,OA BC

>的值是（ ）

A ．

21 B ．22 C ．－2

1

D ．0

二、填空题

1．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ，则(23)(2)a b a b -+=

__________________。

2．若向量,94,2k j i b k j i a

++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________。

3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-= ，若a ⊥ b ，则=x ______；若//a b

则=x ______。

4．已知向量,3,5k r j i b k j i m a ++=-+=若//a b

则实数=m ______，=r _______。

5．若(3)a b +⊥ )57(b a -，且(4)a b -⊥

)57(b a -，则a 与b 的夹角为____________。

6．若19(0,2,

)8A ，5(1,1,)8B -，5

(2,1,)8

C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a =

，则=z y x ::________________。

7．已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O

===,,，

用a ，b ，c

表示N M ，则N M =_______________。

8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为 。

空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）

1．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，

⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且1

2

PA AD DC ===

，1AB =，M 是PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。

证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

1

(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2

A B C D P M .

（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=?==所以故

由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD . （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC

.

510

,cos ,2,5||,2||=>=<=?==PB AC 所以故

（Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,λ=

..2

1

,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC

要使14

,00,.25AN MC AN MC x z λ⊥=-== 只需即解得

),5

2

,1,51(),52,1,51(,.

0),5

2

,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ

ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为

所求二面角的平面角

.

4

|||.

5

2cos(,).3||||2

arccos().

3

AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-?-

故所求的二面角为

2．如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,

平面VAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面VAD ；

（Ⅱ）求面VAD 与面DB 所成的二面角的大小．

证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系. （Ⅰ）证明：不防设作(1,0,0)

A ， 则(1,1,0)

B ， )2

3

,

0,21

(V ， )2

3

,0,21(),0,1,0(-==

由,0=?VA AB 得AB VA ⊥，又AB AD ⊥，因而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA ，

AD 都垂直. ∴AB ⊥平面VAD .

（Ⅱ）解：设E 为DV 中点，则)4

3,

0,41

(E ， ).2

3,0,21(),43,1,43(),43,0,43(=-=-=DV EB EA

由.,,0DV EA DV EB ⊥⊥=?又得 因此，AEB ∠是所求二面角的平面角，

,7

21

|

|||),cos(=

?=

EB EA 解得所求二面角的大小为.7

21arccos

3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形， 侧棱PA ⊥底面ABCD

，AB =1BC =，2PA =，

E 为PD 的中点.

（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，

并求出点N 到AB 和AP 的距离.

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、

B 、

C 、(0,1,0)

D 、

(0,0,2)P 、1

(0,,1)2

E ，

从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则

,147

37

23|

|||cos =

=

?=

PB AC θ ∴AC 与PB 所成角的余弦值为

14

7

3. （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则

)1,2

1

,(z x --=，由NE ⊥面PAC 可得，

?????=+-=-???

????=?--=?--?????=?=?.021

3,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.

0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴?????==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(

，从而N 点到AB 和AP

的距离分别为. 4．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的，其中

14,2,3,1AB BC CC BE ====.

（Ⅰ）求BF 的长；

（Ⅱ）求点C 到平面1A E C F 的距离.

解：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B

1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)A C E C 设(0,0,)F z .

∵1AEC F 为平行四边形，

.

62,62||).

2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,

11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴

（II ）设1n 为平面1AEC F 的法向量，

)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然

?

?

?=+?+?-=+?+??????=?=?02020

140,0,011y x y x n AE n 得由 ??

???-==∴???=+-=+.

41,

1,022,014y x x y 即 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为α，则

.33

33

4116

1

133|

|||cos 1111=++

?=

?=

n CC α ∴C 到平面1AEC F 的距离为

.11

33

4333343cos ||1=?

==αCC d 5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AD 上移

动.（1）证明：11D E A D ⊥；

（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4

π.

解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设

AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C

（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D DA ⊥=-=所以因为

（2）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=D ，

)1,0,1(1-=AD ，设平面1ACD 的法向量为),,(c b a n =，则?????=?=?,

0,

01AD n

也即??

?=+-=+-002c a b a ，得?

??==c a b

a 2，从而)2,1,2(=，所以点E 到平面1ACD 的距离为

.3

1

32121=-+=

=

h （3）设平面1D EC 的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE

由??

?=-+=-??????=?=?.0)2(0

2,

0,01x b a c b C D n 令1,2,2b c a x =∴==-， ∴).2,1,2(x n -= 依题意.22

5

)2(222|

|||4

cos

211=+-?=

?=

x DD n π

∴321+=x （不合，舍去），322-=x .

∴2AE =1D EC D --的大小为

4

π

. 6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，E 为棱1CC 上异于1,C C 的一点，1EA EB ⊥

，已知112,1,3

AB BB BC BCC π

=

==∠=

，求：

（Ⅰ）异面直线AB 与1EB 的距离；

（Ⅱ）二面角11A EB A --的平面角的正切值.

解：（I ）以B 为原点，1BB 、分别为,y z 轴建立空间直角坐标系.

由于，112,1,3

AB BB BC BCC π

=

==∠=

在三棱柱111ABC A B C -中有

1(0,0,0),(0,2,0)B A B ,)0,2

3

,23(),0,21,23(

1C C -

设即得由,0,),0,,2

3

(

11=?⊥EB EA EB EA a E

)0,2,2

3()2,,23(0a a --?--

= ,4

32)2(432+-=-+=

a a a a .

,04

3

43)02323()0,21,23()

0,2

1,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB BE E a a a a ⊥=+-=??-?=?===--即故舍去或即得

又AB ⊥侧面11BB C C ，故AB BE ⊥. 因此BE 是异面直线1,AB EB 的公垂线， 则14

1

43||=+=

BE ，故异面直线1,AB EB 的距离为1. （II ）由已知有,,1111EB A B EB ⊥⊥故二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量EA A B 与11的夹角.

.2

2tan ,

32||||cos ),2,2

1

,23(),2,0,0(111111=

=

=--===θθ即故因A B EA A B

7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上

一点，PF EC ⊥. 已知,2

1

,2,2=

==

AE CD PD 求（Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E P C D

--的大小. 解：（Ⅰ）以D 为原点，、、分别为

,,x y z 轴建立空间直角坐标系.

由已知可得(0,0,0),(0,2,0)D P C 设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>

).0,2

3

,(),2,21,(),0,21,(-=-=x CE x PE x E 由0=?⊥CE PE 得，

即.2

3,0432

==-

x x 故 由CE DE ⊥=-?=?得0)0,23

,23()0,21,23(，