专题3.2 复杂数列的求和问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
一．方法综述
数列的求和问题是数列高考中的热点问题，数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.
二．解题策略
类型一数列求和中的新定义问题
【例1】【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四)】对于数列，定义
为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010
【答案】B
【解析】
由，
得，①
，②
①-②得，即，，
所以.故选B.
【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
2.解决此类问题的一些技巧：
（1）抓住“新信息”的特点，找到突破口；
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线
索.
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.
【举一反三】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，定义1
1n
i i S n =∑为数列{}n a 前n 项的叠加和，若2016项数列
1232016,,,a a a a L 的叠加和为2017，则2017项数列1
220161,,,a a a L 的叠加和为( )
A. 2017
B. 2018
C. 22017
D. 22018 【答案】A
故选A ．
类型二 子数列中的求和问题
【例2】已知有穷数列{}n a 中， 1,2,3,,729n =L ，且()()
1
211n n a n +=--，从数列{}n a 中依次取出
2514,,,a a a L 构成新数列{}n b ，容易发现数列{}n b 是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列{}n a 的所
有项的和为S ，数列{}n b 的所有项的和为T ，则（ ）
A. S T >
B. S T =
C. S T <
D. S 与T 的大小关系不确定 【答案】A
【解析】因为()728
135727*********
s =-+-++?-=+?
=L ， ()()
()1
33372921n n
n b -=--=-≤?-，所以6n ≤，当6n =时， 6729b =是n a 中第365项，符合题意，
所以()()()()
6
31354613T ---=
=--,所以S T >，选A. *网
【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.
【举一反三】已知*
n N ∈，集合135
21,
,,,248
2n n n M -??=????L ，集合n M 的所有非空子集的最小元素之和为
n T ，则使得80n T >的最小正整数n 的值为（ ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15 【答案】B
∴n T =S 1+S 2+S 3+…+S n =212
n -+223
7531......222442n n --++++=则21802n -> 的最小正整数n 为13 故选B.
类型三 奇偶性在数列求和中的应用 【例3】【福建省2019届高三模拟】已知数列
满足
，
，且
，
，设数列的前项和为，则
__________（用表示）.
【答案】
【解析】 当是奇数时，，
，所以，
，，…，
，…是首项为1，公差为6的等差数列，因此
；当是偶数时，
，
，所以，，，…，
，…
是首项为4，公比为3的等比数列，因此.综上，，所以
，即
.
【指点迷津】数列求和中遇到n
)1(-，πn sin ，πn cos 都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和
的常见类型还有分段型（如,{
2,n n n n a n =为奇数为偶数
）及符号型（如()21n
n a n =- ）
【举一反三】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知22a =,()1
211n n n a a -++-=,则40S =______
【答案】240
类型四 周期性在数列求和中的应用 【例4】数列{}n a 满足12sin
122n n n a a n π
+??=-+ ???
，则数列{}n a 的前100项和为__________． 【答案】5100
【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有sin
2n π ，于是考虑到三角函数的周期性，构造()sin 2
f n n π
=?，周期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题.
【举一反三】已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和______．
【答案】4018
【解析】
数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，
可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，
即有数列的最小正周期为6，
可得一个周期的和为0，
由，可得．
故答案为：4018．
类型五数列求和的综合问题
【例5】【上海市青浦区2019届高三二模】等差数列,满足
，则（）
A．的最大值为50 B．的最小值为50
C．的最大值为51 D．的最小值为51
【答案】A
【解析】
时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.
要使得取最大值，则项数为偶数，
设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，
则，且，由可得，
所以
,
因为，所以，所以，而，
所以，故.
故选A
【指点迷津】先根据题意可知中的项有正有负，不妨设，根据题意可求得，根据
，去绝对值求和，即可求出结果.
【举一反三】
1.【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知数列和的前项和分别为和，且，
，（），若对任意的，恒成立，则的最小值为_____. 【答案】
【解析】
，，可得，解得，
当时，，
化为，由，可得，
即有，
，
即有，
对任意的，恒成立，可得，即的最小值为.
故答案为：.
2.【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，，则数列的前项和__________．
【答案】
【解析】
由题意可知：，，
，，
∴，解得，
∴
∴
∴①
②
①﹣②得，
所以，
整理得．
故答案为：
三．强化训练
1.【山东省日照一中2019届高三11月统考模拟】已知函数的定义域为，，对任意R都有
，则=
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由，且，
得，
，
，
，故选B.
2.【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式
成立的最小正整数的值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵
∴，
∴，
而
∴，
，
即，
当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；
当n=9时，左边=，右边=，显然适合，
故最小正整数的值9
故选：B
3.【安徽省合肥市2019届高三第二次检测】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】
由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，
，
两式相减得
，
则,
解得，
故选D.
4．己知数列满足，，，则数列的前2018项的和等于A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由，即，当n为奇数时，可得，成等比，首项为1，公比为3．当n为偶数时，可得，成等比，首项为3，公比为3．
那么：，
前2018项中，奇数项和偶数项分别有1009项.
故得．
故选：B．
5.已知等差数列{a n}的首项为，公差为d，其前n项和为，若直线y＝x＋m与圆(x－2)＋y＝1的两个交点关于直线x＋y－d＝0对称，则数列的前10项和为（）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】
因为直线y＝x＋m与圆（x﹣2）2+y2＝1的两个交点关于直线x＋y－d＝0对称，所以直线x＋y－d＝0经过圆心，则有2＋0－d＝0，d＝2，而直线y＝x＋m与直线x＋y－d＝0垂直，所以＝1，＝2，则Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．＝，所以数列的前10项和为1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
故选：B.
6．【山东省济南市历城第二中学2019接高三11月月考】定义函数如下表，数列满足，. 若，则（）
A．7042 B．7058 C．7063 D．7262
【答案】C
【解析】
由题意，∵a1=2，且对任意自然数均有a n+1=f（a n），
∴a2=f（a1）=f（2）=5，即a2=5，
a3=f（a2）=f（5）=1，即a3=1，
a4=f（a3）=f（1）=3，即a4=3，
a5=f（a4）=f（3）=4，即a5=4，
a6=f（a5）=f（4）=6，即a6=6，
a7=f（a6）=f（6）=2，即a7=2，
可知数列{a n}：2，5，1，3，4，6，2，5，1…是一个周期性变化的数列，周期为：6．
且a1+a2+a3+…+a6=21．
故a1+a2+a3+…+a2018=336×（a1+a2+a3+…+a6）+a1+a2=7056+2+5=7063．
故选C
7．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】设数列中，若，则称数列
为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，则数列的前2019项和为（）
A．1 B．C．D．
【答案】C
【解析】
∵数列{b n}为“凸数列”，
∴b n+1＝b n+b n+2，
∵b1＝1，b2＝﹣2，
∴﹣2＝1+b3，
解得b3＝﹣3，
同理可得：b4＝﹣1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝﹣2…，
∴b n+6＝b n．又b1+b2+…+b6=1﹣2﹣3﹣1+2+3=0，且2019=6+3，
∴数列{b n}的前2019项的和＝b1+b2+ b3+336=1-2-3=-4，
故选：C．
8．【河北省武邑中学2019届高三（上)期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行排3项，依此类推设数列的前项和为，则满足的最小正整数n的值为
A．20 B．21 C．26 D．27
【答案】B
【解析】
解：根据题意，
第一行，为4，其和为4，可以变形为；
第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为；
第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为；
依此类推：第n行的和；
则前6行共个数，
前6项和为：
，
满足，
而第六行的第6个数为，
则，
故满足的最小正整数n的值21；
故选：B．
二、填空题
9.【宁夏银川一中2019届高三一模】已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足
,且.若对任意恒成立，则实数的最小值为______．【答案】
【解析】
数列的前n项和为，满足，
当时，，解得，
所以当时，，
化简得，
所以当时，，
当时上式也成立，所以，
因为，，
所以，
若对于任意恒成立，则实数的最小值为.
10．在如图所示数表中，已知每行、每列中的数都构成等差数列，设表中第n行第n列的数为，则数列
的前100项的和为______．
【答案】
【解析】
由题意可知，第一行的第n个数为；
第二行的第n个数为；
第三行的第n个数为；
第n行的第n个数为；
即，
，
前100项的和为，
，
故答案为：．
11．【湖南省株洲市2019届高三统一检测（一)】数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列
的前项和为，则__________．（用数字作答）
【答案】3993
【解析】
第个1为数列第项，
当时；当时；
所以前2019项有45个1和个2，
因此
12．【湖南省湘潭市2019届高三二模】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．
【答案】
【解析】
由题意知，则，，故，，故
，.
故答案为
13．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列的前项和为，定义的“优值”为
，现已知的“优值”，则_________.
【答案】
【解析】
解：由＝2n，
得a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n?2n，①
n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）?2n﹣1，②
①﹣②得2n﹣1a n＝n?2n﹣（n﹣1）?2n﹣1＝（n+1）?2n﹣1，即a n＝n+1，
对n＝1时，a1＝2也成立，
所以.
14．【江苏省常州市2019届高三上期末】数列满足，且数列的前项和为，已知数列的前项和为1，那么数列的首项________.
【答案】
【解析】
数列{a n﹣n}的前2018项和为1，
即有（a1+a2+…+a2018）﹣（1+2+…+2018）＝1，
可得a1+a2+…+a2018＝1+1009×2019，
由数列{b n}的前n项和为n2，可得b n＝2n﹣1，
，
a2＝1+a1，a3＝2﹣a1，a4＝7﹣a1，a5＝a1，
a6＝9+a1，a7＝2﹣a1，a8＝15﹣a1，a9＝a1，
…，
可得a1+a2+…+a2018＝（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+…+（4025+2+4031）+（a1+4033+a1）＝505+×505×504×8+2×504+504×7+×504×503×8+2a1＝1+1009×2019，
解得a1＝．
故答案为：．
15．【广东省汕尾市普通高中2019年3月高三检测】已知数列的首项
为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
数列的首项，
则：常数
故数列是以为首项，3为公差的等差数列．
则：首项符合通项．
故：，
，
，
由于数列的前n项和恒成立，
故：，
则：t的最小值为，
故答案为：．
16．【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】对任意，函数满足：
，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．
【答案】
【解析】
∵，，
∴，
展开为，，
即0≤f（n）≤1，．
即，
∴，
化为＝．
∴数列{}是周期为2的数列．
∵数列{}的前15项和为，
∴＝7（）+．
又，
解得，．
∴＝，＝．
由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．
0，f（n+1），解得f（2k），
又，
令数列的前n项和为，则当n为奇数时，
，取极限得；
则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，
故答案为.
数列求和的教学反思
数列求和的教学反思 数列求和的教学反思 由于数列的求和在求解的方法中比较多，学生难以一次性熟练掌握全部的方法并灵活运用，所以在《数列求和》的专题课的教学重点放在了数列求和的前三种重要方法： 1、公式法求和（即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和）； 2、利用叠加法、叠乘法将已知数列转化为等差数列或等比数列再行求和； 3、对于数列的通项是由等差乘以等比数列构成的，用乘公比错位相减求和法。 从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了这节课预期的教学目标及要求。结合自我感觉、工作室评课、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。 1、注重“三基”的训练与落实 数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的
不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课伊始做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次本节课充分渗透了转化的数学思想方法，并且通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，分别采用叠加法或叠乘法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。 2、例、习题的选配典型，有层次 一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。 3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计 对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清
高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
2011高考数学压轴题专题训练
2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ） 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型， 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；
四年级奥数思维训练专题-巧妙求和
四年级奥数思维训练专题-巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数. 相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差. 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算. 项数=（52－4）÷6＋1=9 答：这个数列共有9项. 试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100.要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算. 第100项=3+4×（100－1）=399
试一试2：求1，4，7，10……这个等差数列的第30项. 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100.请求出这个数列所有项的和. 分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 试一试3：6+7+8+…+74+75 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和. 分析：项数=（末项－首项）÷公差+1 =（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650 试一试4：9+18+27+36+…+261+270 巧妙求和（二） 专题简析：
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