文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 专题3.2 复杂数列的求和问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

专题3.2 复杂数列的求和问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

一.方法综述

数列的求和问题是数列高考中的热点问题,数列的求和问题会渗透多种数学思想,会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析.

二.解题策略

类型一数列求和中的新定义问题

【例1】【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)】对于数列,定义

为的“优值”,现已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,则()

A.2022 B.1011 C.2020 D.1010

【答案】B

【解析】

由,

得,①

,②

①-②得,即,,

所以.故选B.

【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.

2.解决此类问题的一些技巧:

(1)抓住“新信息”的特点,找到突破口;

(2)尽管此类题目与传统的数列“求通项,求和”的风格不同,但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢,弄清本问所考察的与哪个知识点有关,以便找到一些线

索.

(3)在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则,以相对简单的情况入手,可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系,或者发现一些通用的做法与思路,使得复杂情况也有章可循.

【举一反三】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,定义1

1n

i i S n =∑为数列{}n a 前n 项的叠加和,若2016项数列

1232016,,,a a a a L 的叠加和为2017,则2017项数列1

220161,,,a a a L 的叠加和为( )

A. 2017

B. 2018

C. 22017

D. 22018 【答案】A

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

故选A .

类型二 子数列中的求和问题

【例2】已知有穷数列{}n a 中, 1,2,3,,729n =L ,且()()

1

211n n a n +=--,从数列{}n a 中依次取出

2514,,,a a a L 构成新数列{}n b ,容易发现数列{}n b 是以-3为首项,-3为公比的等比数列,记数列{}n a 的所

有项的和为S ,数列{}n b 的所有项的和为T ,则( )

A. S T >

B. S T =

C. S T <

D. S 与T 的大小关系不确定 【答案】A

【解析】因为()728

135727*********

s =-+-++?-=+?

=L , ()()

()1

33372921n n

n b -=--=-≤?-,所以6n ≤,当6n =时, 6729b =是n a 中第365项,符合题意,

所以()()()()

6

31354613T ---=

=--,所以S T >,选A. *网

【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题,关键在于弄清楚新的数列的形式,了解其求和方法.

【举一反三】已知*

n N ∈,集合135

21,

,,,248

2n n n M -??=????L ,集合n M 的所有非空子集的最小元素之和为

n T ,则使得80n T >的最小正整数n 的值为( )

A. 12

B. 13

C. 14

D. 15 【答案】B

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

∴n T =S 1+S 2+S 3+…+S n =212

n -+223

7531......222442n n --++++=则21802n -> 的最小正整数n 为13 故选B.

类型三 奇偶性在数列求和中的应用 【例3】【福建省2019届高三模拟】已知数列

满足

,且

,设数列的前项和为,则

__________(用表示).

【答案】

【解析】 当是奇数时,,

,所以,

,,…,

,…是首项为1,公差为6的等差数列,因此

;当是偶数时,

,所以,,,…,

,…

是首项为4,公比为3的等比数列,因此.综上,,所以

,即

.

【指点迷津】数列求和中遇到n

)1(-,πn sin ,πn cos 都会用到奇偶性,进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法,即通过两个一组进行重新组合,将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和

的常见类型还有分段型(如,{

2,n n n n a n =为奇数为偶数

)及符号型(如()21n

n a n =- )

【举一反三】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知22a =,()1

211n n n a a -++-=,则40S =______

【答案】240

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

类型四 周期性在数列求和中的应用 【例4】数列{}n a 满足12sin

122n n n a a n π

+??=-+ ???

,则数列{}n a 的前100项和为__________. 【答案】5100

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

【指点迷津】本题主要考查数列的周期性,数列是定义域为正整数集或它的子集的函数,因此数列具有函数的部分性质,本题观察到条件中有sin

2n π ,于是考虑到三角函数的周期性,构造()sin 2

f n n π

=?,周期为4,于是研究数列中依次4项和的之间的关系,发现规律,从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力,将抽象数列转化为等差或等比数列问题.

【举一反三】已知数列2008,2009,1,,若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2019项之和______.

【答案】4018

【解析】

数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,

可得2008,2009,1,,,,2008,2009,1,,

即有数列的最小正周期为6,

可得一个周期的和为0,

由,可得.

故答案为:4018.

类型五数列求和的综合问题

【例5】【上海市青浦区2019届高三二模】等差数列,满足

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

,则()

A.的最大值为50 B.的最小值为50

C.的最大值为51 D.的最小值为51

【答案】A

【解析】

时,满足条件,所以满足条件,即最小值为2,舍去B,D.

要使得取最大值,则项数为偶数,

设,等差数列的公差为,首项为,不妨设,

则,且,由可得,

所以

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

,

因为,所以,所以,而,

所以,故.

故选A

【指点迷津】先根据题意可知中的项有正有负,不妨设,根据题意可求得,根据

,去绝对值求和,即可求出结果.

【举一反三】

1.【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知数列和的前项和分别为和,且,

,(),若对任意的,恒成立,则的最小值为_____. 【答案】

【解析】

,,可得,解得,

当时,,

化为,由,可得,

即有,

即有,

对任意的,恒成立,可得,即的最小值为.

故答案为:.

2.【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列,其前项和为,点、均在函数的图象上,的横坐标为,的横坐标为,直线的斜率为.若,,则数列的前项和__________.

【答案】

【解析】

由题意可知:,,

,,

∴,解得,

∴①

①﹣②得,

所以,

整理得.

故答案为:

三.强化训练

1.【山东省日照一中2019届高三11月统考模拟】已知函数的定义域为,,对任意R都有

,则=

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

由,且,

得,

,故选B.

2.【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把叫“费马数”(费马是十七世纪法国数学家).设,,,,表示数列的前项之和,则使不等式

成立的最小正整数的值是()

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

∴,

∴,

∴,

即,

当n=8时,左边=,右边=,显然不适合;

当n=9时,左边=,右边=,显然适合,

故最小正整数的值9

故选:B

3.【安徽省合肥市2019届高三第二次检测】“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是件.已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元,则的值为()

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

A.7 B.8 C.9 D.10

【答案】D

【解析】

由题意,第一层货物总价为1万元,第二层货物总价为万元,第三层货物总价为万元,…,第层货物总价为万元,设这堆货物总价为万元,则,

两式相减得

则,

解得,

故选D.

4.己知数列满足,,,则数列的前2018项的和等于A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

由,即,当n为奇数时,可得,成等比,首项为1,公比为3.当n为偶数时,可得,成等比,首项为3,公比为3.

那么:,

前2018项中,奇数项和偶数项分别有1009项.

故得.

故选:B.

5.已知等差数列{a n}的首项为,公差为d,其前n项和为,若直线y=x+m与圆(x-2)+y=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称,则数列的前10项和为()

A.B.C.D.2

【答案】B

【解析】

因为直线y=x+m与圆(x﹣2)2+y2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称,所以直线x+y-d=0经过圆心,则有2+0-d=0,d=2,而直线y=x+m与直线x+y-d=0垂直,所以=1,=2,则Sn=2n+×2=n(n+1).=,所以数列的前10项和为1-+-+…+-

=1-=.

故选:B.

6.【山东省济南市历城第二中学2019接高三11月月考】定义函数如下表,数列满足,. 若,则()

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

A.7042 B.7058 C.7063 D.7262

【答案】C

【解析】

由题意,∵a1=2,且对任意自然数均有a n+1=f(a n),

∴a2=f(a1)=f(2)=5,即a2=5,

a3=f(a2)=f(5)=1,即a3=1,

a4=f(a3)=f(1)=3,即a4=3,

a5=f(a4)=f(3)=4,即a5=4,

a6=f(a5)=f(4)=6,即a6=6,

a7=f(a6)=f(6)=2,即a7=2,

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

可知数列{a n}:2,5,1,3,4,6,2,5,1…是一个周期性变化的数列,周期为:6.

且a1+a2+a3+…+a6=21.

故a1+a2+a3+…+a2018=336×(a1+a2+a3+…+a6)+a1+a2=7056+2+5=7063.

故选C

7.【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】设数列中,若,则称数列

为“凸数列”.已知数列为“凸数列”,且,则数列的前2019项和为()

A.1 B.C.D.

【答案】C

【解析】

∵数列{b n}为“凸数列”,

∴b n+1=b n+b n+2,

∵b1=1,b2=﹣2,

∴﹣2=1+b3,

解得b3=﹣3,

同理可得:b4=﹣1,b5=2,b6=3,b7=1,b8=﹣2…,

∴b n+6=b n.又b1+b2+…+b6=1﹣2﹣3﹣1+2+3=0,且2019=6+3,

∴数列{b n}的前2019项的和=b1+b2+ b3+336=1-2-3=-4,

故选:C.

8.【河北省武邑中学2019届高三(上)期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式,第一行1项,排;第二行2项,从左到右分别排,;第三行排3项,依此类推设数列的前项和为,则满足的最小正整数n的值为

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

A.20 B.21 C.26 D.27

【答案】B

【解析】

解:根据题意,

第一行,为4,其和为4,可以变形为;

第二行,为首项为4,公比为3的等比数列,共2项,其和为;

第三行,为首项为4,公比为3的等比数列,共3项,其和为;

依此类推:第n行的和;

则前6行共个数,

前6项和为:

满足,

而第六行的第6个数为,

则,

故满足的最小正整数n的值21;

故选:B.

二、填空题

9.【宁夏银川一中2019届高三一模】已知数列的前n项和为,数列的前n项和为,满足

,且.若对任意恒成立,则实数的最小值为______.【答案】

【解析】

数列的前n项和为,满足,

当时,,解得,

所以当时,,

化简得,

所以当时,,

当时上式也成立,所以,

因为,,

所以,

若对于任意恒成立,则实数的最小值为.

10.在如图所示数表中,已知每行、每列中的数都构成等差数列,设表中第n行第n列的数为,则数列

的前100项的和为______.

专题3.2 复杂数列的求和问题  高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

【答案】

【解析】

由题意可知,第一行的第n个数为;

第二行的第n个数为;

第三行的第n个数为;

第n行的第n个数为;

即,

前100项的和为,

故答案为:.

11.【湖南省株洲市2019届高三统一检测(一)】数列的首项为1,其余各项为1或2,且在第个1和第个1之间有个2,即数列为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列

的前项和为,则__________.(用数字作答)

【答案】3993

【解析】

第个1为数列第项,

当时;当时;

所以前2019项有45个1和个2,

因此

12.【湖南省湘潭市2019届高三二模】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直,若数列的前项和为,则__________.

【答案】

【解析】

由题意知,则,,故,,故

,.

故答案为

13.【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列的前项和为,定义的“优值”为

,现已知的“优值”,则_________.

【答案】

【解析】

解:由=2n,

得a1+2a2+…+2n﹣1a n=n?2n,①

n≥2时,a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1=(n﹣1)?2n﹣1,②

①﹣②得2n﹣1a n=n?2n﹣(n﹣1)?2n﹣1=(n+1)?2n﹣1,即a n=n+1,

对n=1时,a1=2也成立,

所以.

14.【江苏省常州市2019届高三上期末】数列满足,且数列的前项和为,已知数列的前项和为1,那么数列的首项________.

【答案】

【解析】

数列{a n﹣n}的前2018项和为1,

即有(a1+a2+…+a2018)﹣(1+2+…+2018)=1,

可得a1+a2+…+a2018=1+1009×2019,

由数列{b n}的前n项和为n2,可得b n=2n﹣1,

a2=1+a1,a3=2﹣a1,a4=7﹣a1,a5=a1,

a6=9+a1,a7=2﹣a1,a8=15﹣a1,a9=a1,

…,

可得a1+a2+…+a2018=(1+2+7)+(9+2+15)+(17+2+23)+…+(4025+2+4031)+(a1+4033+a1)=505+×505×504×8+2×504+504×7+×504×503×8+2a1=1+1009×2019,

解得a1=.

故答案为:.

15.【广东省汕尾市普通高中2019年3月高三检测】已知数列的首项

为数列的前项和若恒成立,则的最小值为______.

【答案】

【解析】

数列的首项,

则:常数

故数列是以为首项,3为公差的等差数列.

则:首项符合通项.

故:,

由于数列的前n项和恒成立,

故:,

则:t的最小值为,

故答案为:.

16.【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】对任意,函数满足:

,,数列的前15项和为,数列满足,若数列的前项和的极限存在,则________.

【答案】

【解析】

∵,,

∴,

展开为,,

即0≤f(n)≤1,.

即,

∴,

化为=.

∴数列{}是周期为2的数列.

∵数列{}的前15项和为,

∴=7()+.

又,

解得,.

∴=,=.

由0,f(k+1),解得f(2k﹣1).

0,f(n+1),解得f(2k),

又,

令数列的前n项和为,则当n为奇数时,

,取极限得;

则当n为偶数时,,取极限得;若数列的前项和的极限存在,则,,

故答案为.