近世代数教学大纲

《近世代数》教学大纲

课程名称:近世代数

英文名称:Abstract Algebra

课程编号:0641008 学分:3 学时:54

先修课程:高等代数、初等数论

替代课程:无

适用对象:数学与应用数学专业(4年制普通本科)

(一)课程目的要求

本课程的目的是引导学生掌握近世代数的基本概念和基本理论,从而达到对近世代数的语言与理论有所了解的目的,帮助学生为进一步的学习和研究打好代数学方面的知识基础.主要是群、环、域的基本概念以及基本理论。在学习本课程中,要求学生掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法,提高数学修养与技巧,以便能深入理解中学代数的内容和方法,为进一步学习其它学科创造条件。

(二)课程简介

近世代数是数学与应用数学专业必修课程,是现代数学的一个重要分支,是研究多种代数结构的一门学科。它的内容对中学代数教学有指导意义,它的思想方法已经渗透到数学的多个分支,它的结果已应用到众多学科领域,现在本课程已作为师范院校数学专业学生的必修课。

本课程的学习分为三个部分,第一部分学习近世代数的预备知识,包括集合、映射、代数运算及等价关系等基本概念。第二部分学习群的基本理论,主要包括群的定义和基本性质, 子群和商群理论, 群同态和同构定理, 置换群的基本理论,有

限群的Lagrange定理。第三部分学习环论的基础内容, 主要包括环, 子环, 商环的定义和基本性质, 环同态和同构定理, 素理想与极大理想,环上的多项式环的构造,扩域和有限域。

(三)教学方式

教学方式是以教师讲授为主,注重知识点之间的比较,运用类比方法;根据课堂教学情况,适当补充一些例题,以帮助学生课后巩固所学知识;适时给出思考题,培养学生的独立思考能力;对一章进行总结时,适当配备一些典型习题讲解, 以帮助学生理解和掌握抽象的概念和性质定理。

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(四)教材和主要教学参考书

教材:《近世代数》(第二版),朱平天,李伯洪,邹园编,科学出版社, 2009年出版

主要教学参考书:

1.张禾瑞编:《近世代数基础》,人民教育出版社, 1984年版。

2.吴品三编:《近世代数》,人民教育出版社, 1983年版。

(五)考核方式及要求

考核成绩是综合平时作业及上课表现的成绩(10%),期中考试(20%)和期末考试(闭卷)成绩(70%)为学生的总成绩。

(六)教学大纲

第一章基本概念(6学时)

主要知识点:

1.集合的概念与运算

2.映射的定义与几种特殊映射的性质

3.卡氏积与代数运算

4.等价关系与集合的分类

能力培养要求:

掌握集合与映射的概念,熟练掌握代数运算的定义与判定方法;掌握等价关系与集合分类的概念及相关命题,理解能够由等价关系得出集合分类,并能正确给出商集。

第二章群(24学时)

主要知识点:

1.半群的定义及性质

2.群的定义及等价条件

3.元素阶的定义及性质

4.循环群的定义及结构

5.子群及判定条件

6.变换群

7.群的同态与同构、Cayley定理

8.子群的陪集、Lagrange定理

9.正规子群与商群、正规子群的等价条件

10.同态基本定理与同构定理

能力培养要求:

熟练掌握半群、群、元素的阶的定义和性质;熟练掌握子群的判定及性质;掌握变换群的概念及有关结论;掌握群的同态与同构以及Cayley定理;熟练掌握循环群的性质及构造;熟练掌握并能正确使用Lagrange定理及同态基本定理;熟练掌握正规子群的等价条件及判定, 并正确掌握商群的概念。第三章环(24学时)

主要知识点:

1. 环的定义;整环、除环、域的定义及性质

2. 子环及判定条件

3.环的同态与同构

4.理想与商环

5.素理想与极大理想

6. 商域

7.多项式环

8.扩域

9.有限域

能力培养要求:

熟练掌握环、整环、域、子环、子域以及理想、商环的概念及相关命题;正确应用同态基本定理及同构定理;掌握判定素理想与极大理想的方法,了解商域及多项式环的构造;了解域的研究方法。