清华龙校点招题(三)
清华龙校点招题
1. 12和60是很有趣的两个数，这两个数的积恰好是这两个数的和的10倍：
12×60＝720,12＋60＝72。
满足这个条件的正整数还有哪些？
解：11,110；14,35；15,30；20,20。
设满足条件的正整数对是a 和b （a ≥b ）。依题意有 ab=10(a+b),
?
ab=10a+10b,
?ab-10a=10b ?a(b-10)=10b ?a=
10
100
)10(101010-+-=-b b b b =10+10100-b
因为a 是正整数，所以b 是大于10的整数，并且（b-10）是100的约数。推知b=11,12,14,15,20，相应地得到a=110,60,35,30,20。即所求正整数对还有11,110；14,35；15,30；20,20；四对。
2. 某天早上8点甲从B 地出发，同时乙从A 地出发追甲，结果在距离B 地9千
米的地方追上．如果乙把速度提高一倍而甲的速度不变，或者乙提前40分钟出发，那么都将在距离B 地2千米处追上．AB 两地相距多少千米？乙的速度为每小时多少千米？
解答：设乙走了40分钟后8点达到c 点，距离B 2千米的设为D 点，9千米设为E 点
第一次甲走BE 乙走AE
第二次甲走BD 乙走 CD(时间相同)
由于BE=9 BD=2所以AE:CD=9:2 设CB=x 千米
由于乙提高速度一倍效果一样，换言之，AD=2CD 所以AE=(x+2)×2+7=2x+11 2(2X+11)=9(X+2) 5x=4 x=0.8 所以AB=2x+11-9=2x+2=3.6千米
乙的速度是(2+0.8)÷2/3=4.2千米/小时。
3. 5
4113 2.251392115??
-÷+? ???
＝2051
4. 计算：
的例子）3*3 。（左图（左图 个数是6的第那么么，第二行从左到小数是大数的
约小数2007
114131
11112007
1141
3121+
++
+
+++++
+
。
5. 131
25.7810.4347
????
---?? ????
?
?
?
＝3
解：设X ＝2007
1
131111++++
，
则原式＝X
X
11111
+
++＝
11
111111=+++=+++X X
X X
X X
6. 甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数
是 。
解：甲数×乙数=4×288，所以288×4÷36=32
7. 一名学生在计算一道除数是两位数的没有余数的除法时，错把被除数百位上
的3看成了8，结果得商383，余17，这商比正确的商大21，那么这道题的被除数是 ，除数是 。
解：设方程求解362X+500=383X+17 x=23 除数等于23；被除数=23×362=8326 8.
北大附中考题）（四位数中，原数与反序数（例如：1543的反序数是3451）相等的共有 。 答案：90
9.
56495051521
2454647495051524546475051524647515247521???????????????????????+??????+?????+???+?+ 1. 5
1
。
提示：计算中可以应用下面的公式：
1×2×3×4+2×3×4×5+…+n(n+1)(n+2)(n+3) = 5
1n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)。
将原式各项的分母都通分为52×51×50×49×48，则各项的分子依次为 51×50×49×48， 50×49×48×47， 49×48×47×46，
……
……
4×3×2×1。
根据上面的公式，分子的和为
1×48×49×50×51×52，
5
1。
与分母约分，结果为
5
2千米／时，从A点到山顶的速度10.小华登山，从山脚到途中A点的速度是2
3
是2千米／时。他到达山顶后立即按原路下山，下山速度是4千米／时，下
7小时。已知途中B点到山顶的路程比A点到山顶的路程少山比上山少用了
8
500米，且小华从A点开始上山至下山到达B点恰好用了1小时。问：从山脚到山顶的路程是________千米。
解：5.5千米。
如上图所示，根据从A到D再返回B，可得
11.甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件共花3.15元；如
果购买甲4件、乙10件、丙1件共花4.20元，那么购买甲、乙、丙各1件需多少钱？
解：设甲、乙、丙三种货物每件的单价为X，Y，Z
则：3X+7Y+Z=3.15
4X+10Y+Z=4.2
两式相减得到：X+3Y=1.05, 即X=1.05—3Y
对于第一个式子我们可以这样写：X+2X+7Y+Z=3.15,把上式带入得到
X+2(1.05—3Y)+7Y+Z=3.15 整理得：X+Y+Z=1.05
说明：本来这是一个三元方程，两个方程式，无法求解，但这个题目只要求出X+Y+Z=?即可。所以大家做题的时候不必害怕。肯定可以做出来。
法二：本题可以使用待定系数法解。
12.如图，正方形边长为2厘米，以圆孤为分界线的甲、乙两部分面积的差（大
的减去小的）是多少平方厘米？（π取3.14）
解：先求出甲的面积=1/2（4--1/4×π×4）=2—π/2
甲乙
乙的面积=1/8×π×4—1=π/2—1
大的减去小的=乙—甲=π/2—1--（2—π/2）
=π—3=0.14
13.（06年清华附中）
有14个不为0且各不相同的自然数，按照从大到小的顺序排成一行，它们的和是170，去掉最大数和最小数，剩下的数和为150，这14个数在原排列中，从大往小，第9个数是什么？
14.解：由题意知，这14个中的最大数与最小数的和是170－150＝20，那么有
1＋19,2＋18，讨论一下，这14个数由小到大是1、7、8、9、10、11、12、
13、14、15、16、17、18、19，所以从大到小第9个数是11。
15.（06西城实验中学）甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A、B两
地的距离等于B、C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80％.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停的驶往C地，最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么，乙车出发后多少分钟时，甲车就超过乙车？
解：从A地到C地，不考虑中途停留，乙车比甲车多用时8分钟。最后甲比乙早到4分钟，所以甲车在中点B超过乙。甲车行全程所用时间是乙所用时间的80%，所以乙行全程用
8÷（1－80%）＝40（分钟）
甲行全程用40－8＝32（分钟）
甲行到B用32÷2＝16（分钟）
即在乙出发后11+16=27（分钟）甲车超过乙车
16.甲、乙二人分别从A，B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点。如果
甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米?
11千米。
解：一甲速度不变，乙每小时多行4千米，相遇点D距C点10千米，出发后5小时甲到达C，乙到达F，(见下图)。
因为FD=DC=10千米，即相遇后在相同的时问甲、乙走的路程相同，所以此时甲、乙的速度相同，也就是说原来甲比乙每小时多行4千米。
乙速度不变，甲每小时多行3千米，相遇点E距C点5千米，出发后5小时乙到达C，甲到达G(见下图)。
因为EG=2CE ，即相遇后在相同的时间甲走的路程是乙的2倍，所以甲每小时多行3千米后，速度是乙的2倍。 由 ??
?=++=乙
甲乙甲234
解得，原来甲每小时行11千米(乙行7千米)。
17. 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后，就立即下山，他们两人下山
的速度都是各上山速度的2倍，甲到山顶时，乙距山顶还有400米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰.则山脚到山顶的距离_______________. 解：2400
路程比是6：5,400÷（6－5）×6＝2400
18. 一本书的页码为1，2，3------,她的中间一页被撕掉了，余下的各页码之和
正好是2007，则被撕掉的页是第_________页. 解：9
我们知道1＋2＋3＋……＋62＋63＝2016,2016－2007＝9。
19. 现在是12点整，时针、分针再次重合至少过多少分钟？
答：11
5
65
20.
甲、两地相距35千米，小张、小李都要从甲地去乙地，他们只有一辆自行车，小张先步行，小李先骑车，同时出发。小李骑车到达甲、乙之间的丙地，改为步行，小张到丙地后骑上车，两人同时到达乙地。小张步行的速度是每小时5千米，小李步行的速度是每小时4千米。两人骑车的速度都是每小时20千米。那么两人从甲地到乙地共用了多少小时？ 答：4
34 21.
765432166543215543214432133212211??????+?????+????+???+??+?=______
（北大附中考题）
(答案：
5040
5039
) 22. （北大附中考题）一个数除以7所得的余数和商相同，并且各个数位上的数
字和最小，这个数是___ ____. 答案：40
23. 某工厂去年的总产值比总支出多50万元，今年比去年的总产值增加
l0％，总支出节约20%，如果今年的总产值比总支出多100万元，那么去年的总产值和总支出各是多少万元?
解：设去年的总支出是x 万元，那么总产值就是（x+50）万元
1.1(x+50)-100=0.8x
解得x=150
所以去年的总支出是150万元，总产值是200万元。
24.、有______个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字
互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
解：容易知道5个奇数里选4个，那么必然有3或者9
也就是说无论如何这个四位数一定得是3的倍数，即这4个不同的奇数之和是3的倍数
1+3+5+7+9=25
要留下4个加起来是3的倍数，只能去掉1或7
但取掉1的话数字和为24不能被9整除，因此只能去掉7，留下的4个奇数是1，3，5，9
显然只要5放在个位即可，前3位有6种不同的排法
因此有6个四位数满足条件