第三节 不等式选讲(选修4-5)
考纲解读
1.了解绝对值的几何意义,会利用绝对值的定义解不等式,利用绝对值不等式证明不等式和求最值.
2.了解柯西不等式及其几何意义,会用它来证明不等式和求最位.
3.了解基本不等式,会用它来证明不等式和求最值.
4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.
命题趋势探究
本节内容为新课标新增内容,是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点,不等式的应用为次重要考点,不等式证明放在一般位置,难度为中档.
知识点精讲
一、不等式的性质
1.同向合成
(1),a b b c a c >>?>; (2),c a b d a c b d >>?+>+; (3)0,c 0a b d ac bd >>>>?>.
(合成后为必要条件)
2.同解变形
(1)a b a c b c >?+>+;
(2)0,0,a b c ac bc c ac bc >?>>?<<; (3)11
000a b a b b a
>>?
>>?>>. (变形后为充要条件)
3.作差比较法
0,0a b a b a b a b >?>->-<
二、含绝对值的不等式
(1)0,||a x a a x a >>-<<;0,||,a x a x a x a >>?>><-或 (2)2
2
||||a b a b >?>
(3)||||x a x b c +++<零点分段讨论
三、基本不等式
(1)22
2a b ab +>(当且仅当等号成立条件为a b =)
(2)0,0,
22
a b
a b ab +>>≥(当且仅当等号成立条件为a b =);
3
0,0,0,
3
a b c a b c abc ++>>>≥(当且仅当a b c ==时等号成立) (3)柯西不等式
22222()()()a b c d ac bd ++≥+(当且仅当ad bc =时取等号) ①几何意义:2222||ad bc a b c d ??+≤
++a b a b ||||||≤
②推广:22
2222
2
12121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++
++++≥++
+.当且仅
当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.
四、不等式的证明
(1)作差比较法、作商比较法.
(2)综合法——由因到果. (3)分析法——执果索因. (4)数学归纳法.
(5)构造辅助函数利用单调性证明不等式. (6)反证法. (7)放缩法.
题型归纳即思路提示
题型201 含绝对值的不等式
一、解含绝对值的不等式 思路提示
对于含绝对值的不等式问题,首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论:
|()|()()()()f x g x g x f x g x -<<;
|()|()()()()()f x g x f x g x f x g x >?><-或;
2
2
|()||()|()()(()())(()())0f x g x f x g x f x g x f x g x >?>?+->. 有时去绝对值也可根据2
2
||x x =来去绝对值.
例16.14 在实数范围内,不等式||2|1|1x --≤的解集为 .
解析 由于||2|1|1x --≤,即1|2|11x -≤--≤,即|2|2x -≤,所以222x -≤-≤,所以04x ≤≤.所以不等式的解集为[0,4].
变式1 不等式|5||3|10x x -++≥的解集是( )
A. [5,7]-
B. [4,6]-
C. (,5][7,)-∞-+∞
D. (,4][6,)-∞-+∞
变式2 已知函数()|2||5|f x x x =---.
(1)证明:3()3f x -≤≤;
(2)求不等式2()815f x x x ≥-+的解集.
二、含绝对值不等式恒成立,求参数问题
例16.15 (2012辽宁理24)已知()|1|()f x ax a =+∈R ,不等式()3f x ≤的解集为
{}|21x x -≤≤.
(1)求a 的值;
(2)若|()2()|2
x f x f k -≤恒成立,求k 的取值范围.
解析 (1)由|1|3ax +≤得42ax -≤≤,又()3f x ≤的解集为{}|21x x -≤≤,所以当
0a ≤时,不合题意.当0a >时,42
x a a
-
≤≤得2a =. (2)记()()2()2x h x f x f =-,则1,11()43,1211,2
x h x x x x ?
?≤-?
?
=---<<-??
?
-≥-??,
所以|()|1h x ≤,因此1k ≥,即k 的取值范围是[1,)+∞.
变式1 (2012新课标理24)已知函数()|||2|f x x a x =++-.
(1)当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集;
(2)若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围.
变式2 (2013重庆理16) 若关于实数x 的不等式|5||3|x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是 .
变式3 (2013全国新课标I 理24) 已知函数()|21||2|f x x x a =-++,g()3x x =+. (1)当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集; (2)设1a >-,且当1
[,)22
a x ∈-
时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.
三、含绝对值(方程)不等式有解,求参数问题
例16.16 若关于x 的不等式|||1||2|a x x ≥++-存在实数解,则实数a 的取值范围
是 .
解析 不等式|||1||2|a x x ≥++-有解,则min ||(|1||2|)3a x x ≥++-=,故实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞.
变式1 (2012陕西理15)若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 .
变式2 已知a ∈R ,关于x 的方程2
1
||||04
x x a a ++-
+=有实根,求a 的取值范围. 四、已知含绝对值不等式的解集,求参数的值或范围
例16.17 (2013福建理23) 设不等式|2|()x a a *
-<∈N 的解集为A ,且31,22
A A ∈? .
(1)求a 的值;
(2)求函数()|||2|f x x a x =++-的最小值.
分析 先根据不等式的情况求出字母取值,在利用不等式求解最值. 解析 (1)因为
3,2A ∈且12A ?,所以3|2|2a -<,且1|2|2a -≥,解得1322
a <≤.又a *∈N ,所以1a =.
(2)因为|1||2||(1)(2)|x x x x ++-≥
+--=,当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取等号,所以()f x 的最小值为3.
变式1 设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >. (1) 当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集;
(2)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-,求a 的值. 变式2 (2013辽宁理24) 已知函数()||f x x a =-,其中1a >. (1) 当2a =时,求不等式()4|4|f x x ≥--的解集;
(2) 已知关于x 的不等式|(2)2()|2f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值. 变式3 (2012山东理13) 若不等式|4|2kx -≤的解集为{}|13x x ≤≤,则实数k = .
题型202 不等式的证明
一、比较法(差值法和比值法) 思路提示
将待比较的两个代数式通过作差或作商,与0与1进行比较,得到大小关系. 例16.18 已知,,a b m 均为正实数,且a b <,求证:a m a
b m b
+>+. 分析 比较
a m
b m ++与a
b
的大小可通过作差法. 解析
a m a
b m b +-=+ ()()()b a m a b m b b m +-+=+()bm am b b m -=+ ()()
b a m
b b m -+.因为,,a b m +∈R ,a b <,所以0b a ->,0m >,0b m +>.故
()0()
a m a
b a m
b m b b b m +--=>++.所以
a m a
b m b +>+. 评注 作差比较的基本步骤为:(1)作差.(2)变形.(3)判断符号.
变式1 已知,,a b +
∈R ,且a b ≠,n *∈N . 求证:11()()2()n n n n a b a b a b ++++<+.
二、利用函数的单调性证明 思路提示
使用对象:在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.
解题程序:(1)移项(有时需要作简单的恒等变形),使不等式一端为0,另一端为所
作辅助函数()f x .
(2)求()f x 并验证()f x 在指定区间上的单调性.
(3)求出区间端点的函数值(或极限值),其中至少有一个为0或已知符号,作比较即得所证.
例16.19 已知01x <<,求证:31sin 6
x x x -<
. 分析 属于在某区间上成立的不等式,通过移项使得一端为0,另一端为所作的辅助函数,利用函数的单调性证明. 解析 原不等式等价于3
1sin 0(01)6
x x x x -+
><<. 令3
1()sin (01)6
f x x x x x =-+
≤<,21()cos 12f x x x '=-+2212sin 22x x =-+.
令()sin (01)22
x x
g x x =-≤<,则11()cos 0222x g x '=-≤,
故()g x 在[0,1)上是减函数,所以当01x <<时,()sin (0)022
x x
g x g =-<=,故
sin 22x x <. 故22()2()022
x x f x '>-+=,所以()f x 在[0,1)上是增函数.
又(0)0f =,所以当01x <<时,()0f x >成立. 于是3
1sin 6
x x x -<成立.
变式1 证明:当02
x π
<<
时,
2sin x
x x π
<<.
三、综合法与分析法 思路提示
字母12,,,
,,n A A A A B 分别表示一组不等式,
其中B 为已知不等式,A 为待证不等式.若有12n A A A A B ?????,综合法是由B 前进式地推导A ,分析法是由A 倒退
式地分析到B .用分析法时,必须步步可逆.
1.综合法(由因到果)
例16.20 证明:2367-<-. 分析 观察到
23-与67-是负数,被开方数分别为2,3,6,7,显然满足
23671-=-=-,这样可以考虑将分子有理化.
解析 12323--=
+,16767--=+,11
2367
>++,
故
11
2367
--<++,即2367-<-.
评注 类似的问题可以总结为112m m m m -+<+-+d 的形式或者更广泛的形式
11()m m m k m k k *-+<+-++∈N .
变式1 设2()1()f x x a b =+≠,求证:|()()|||f a f b a b -<-.
2.分析法(由果索因)
例16.21 设1212,,,a a b b +∈R ,求证:11221212()()a b a b a a b b ++≥+. 分析 利用分析法将证明的不等式进行恒等变形,从而探寻证明的突破口. 解析 要证明11221212()()a b a b a a b b ++≥+, 只要证112212121212()()2a b a b a a b b a a b b ++≥++, 即证122112122a b a b a a bb +≥. 因为1212,,,a a b b +
∈R ,
所以12211212
2a b a b a a bb +≥. 故原不等式成立.
评注 在证明不等式时,经常用分析法探寻证明思路,再用综合法表述证明过程,有些不等式的证明需要一边分析,一边综合,在使用分析法证明时,要注意分析过程步步可逆.
变式1 若a b c >>,且0a b c ++=,求证:23b ac
a -<.
四、反证法 思路提示
从否定结论出发,经过逻辑推理导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.
例16.22 已知,,a b c 为不小于1的正数,求证:(1),(1),(1)a c b a c b ---不可能同时大于
14
. 分析 假设三式都大于1
4
,经过推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论的正确性.
解析 假设三式都大于
14,即111(1),(1),(1)44 4
a c
b a
c b ->->->, 有11(1)22a c a c +-<-≤ ①
同理11(1)22b a
b a +-<-≤ ②
11(1) 22
c b
c b +-<-≤ ③
三式相加得33
22
<,矛盾,故原命题成立.
评注 对于从正面证明不易着手,但从反面证明相对简单的命题,利用反证法解题会很方便.这也体现了数学中“正难则反”的思想.
变式1 已知,,a b ∈R ,3
3
2a b +=,求证:2a b +≤.
五、放缩法 思路提示
预证A B ≥,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得
112,,,K B B B B B A ≤≤≤或112,,,K A A A A A B ≥≥≥,再利用传递性,达到证明目的,
常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.
例16.23 已知正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证:6161616a b c +++++<. 分析 采用“添项”放缩法
解析 2
261961(31)31a a a a a +<++=
+=+ ①
同理6131b b +<=+ ② 6131c c +<=+ ③
①+②+③得6161613()36a b c a b c +++++<+++=.
评注 放缩法的主要依据是不等式的传递性,通常,若所证不等式两边形式差异较大,则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明:
2(616161)3(616161)2736a b c a b c +++++≤+++++=<,
所以6161616a b c +++++<. 变式1 证明:1(1)(2,)n n n n n n -*>+≥∈N .
例16.24 求证:12(,,,)b c d a
a b c d a b c b c d c d a d a b
+<
+++<∈++++++++R .
分析 采用“分母”放缩法证明. 解析 由题意,,,,a b c d +∈R , 则
b c d a
a b c b c d c d a d a b +++
++++++++1a b c d a b c d +++>=+++, b c d a a b c b c d c d a d a b +++++++++++2b c d a
a b c d c d a b
<+++=++++.
所以原不等式成立.
例16.25 设,,,a b c m +
∈R ,且满足m
m
m
a b c =+,问m 取何值时,以,,a b c 为边可构成
三角形,并判断该三角形的形状.
解析 由幂函数性质可知a b >,a c >,要构成三角形,只需b c a +>,故()m m
b c a +>,
即证明()m
m
m
b c b c +>+, 只需证明1(
)()m m
b c b c b c
>+++, 即()()m m b c b c b c b c b c b c
+<+++++. ① 由0m >,且
,(0,1)b c b c b c
∈++, 由指数函数(01)x
y a a =<<单调递减可知,要使得式①成立,只需1m >. 因此可知,要b c a +>成立.只需1m >成立. 当2m =时,2
2
2
a b c =+,三角形为直角三角形; 当12m <<时,2
2222()m
m
m m m m m m m a a a
b c a b a c a ----=?=+?=?+?
22m m m m b b c c -->?+?22b c =+
即222
a b c >+,此时三角形为钝角三角形;
当2m >时,22222()m m m m m m m m m a a a b c a b a c a ----=?=+?=?+?
22m m m m b b c c --+?22b c =+
即2
2
2
a b c <+,此时三角形为锐角三角形.
六、三角换元法 思路提示
若2
2
1x y +=,2
2
12
y x +=等为已知条件,求证不等式时,利用三角换元法较容易,但是务必注意换元前后参数的范围变化.
例16.26 设实数,,,a b x y 满足2
2
1a b +=,223x y +=,求证:3ax by +≤.
分析 由2
2
1a b +=,22
3x y +=联想到三角换元.
解析 令cos ,sin a b θθ==([0,2))θπ∈,3cos ,3sin x y ββ==([0,2))βπ∈, cos 3cos sin 3sin ax by θβθβ+=?+?3cos()3θβ=-≤. 当0θβ-=,即θβ=时,ax by +取得最大值3,证毕.
评注 三角换元在不等式证明以及求函数的最值、解析几何中参数的范围及最值方面有着极大的作用,常常可化难为易.
变式1 设,x y ∈R ,2
2
1x y +=,求证:5|
|3412
x y +≤. 七、构造法 思路提示
一般说来,用构造法证明不等式,常见的构造方法如下: (1)构造辅助函数. (2)构造辅助数列. (3)构造几何图形.
例16.27 设,x y ∈R ,0b ≠,若10a b <<,求证:211
b b a -<+. 分析 构造一次函数证明. 解析 10a b <<
即1(0,)a b ∈.若视a 为未知数,并用x 代替,即证明1
(0,)x b
∈时,2()(1)1
b b x -+<.即证2
()(1)10b b x -+-<. 设2
()()(1)1f x b b x =-+-2
2
()1b b x b b =-+--,
即证1(0,)x b
∈时,()0f x <.
而()f x 是关于x 的一次函数,且22(0)1(1)0f b b b b =--=--+<,2
1()0f b b
=-<, 因此当1(0,)x b
∈时,()0f x <成立,从而原不等式成立.
评注 本题也可利用如下解法:1
(0,)a b
∈,
1(,1)11b a b ∈++,即证2
1
b b b b -<+,0b >,即证111b b -<+,即211b -<,由20b >,得2
11b -<,故21
b b b b -<+成立.
例16.28 已知,,a b c 为三角形的三边长,求证:111a b c a b c
<++++. 分析 不等式左右两边的3个式子具有相同的结构形式1x
x
+,故考虑构造函数
()1x
f x x
=+.
解析 ()()1x f x x x +=∈+R ,22
1+1()011x x f x x x -'==>++()()
,说明函数()f x 在+
R 上单调递增,又,,a b c 为三角形的三边长,故a b c <+, 则
111111a b c b c b c a b c b c b c b c
+<=+<++++++++++. 变式1 证明:
||||||
1||1||1||
a b a b a b a b +<+++++.
变式2 已知0x >且1x ≠,0m n >>,求证:11m
n
m n
x x x x +
>+. 例16.29 证明:当1x >-且0x ≠时,有(1)1(N )n
x nx n *+≥+∈.
分析 本题通过构造辅助数列证明.
解析 构造数列1(1)n n nx a x +=+,因为2
111
1(1)10(1)(1)(1)
n n n n n n x nx nx a a x x x ++++++--=-=<+++,所以数列{}n a 为单调递减数列.所以
111(1)
n
nx a x +≤=+,即(1)1(N )n x nx n *
+≥+∈. 评注 本题将x 看作参数构造辅助数列{}n a ,判断数列的单调性从而证明结论.
例16.30 设,,a b c +
∈R ,求证:2222222()a b b c a c a b c +++++≥
++.
分析 根据已知式的形式特征联想勾股定理,构造几何图形证明. 解析 如图16-34所示,构造正方形ABCD ,
设1111,,AA a A B b B B c ===,1122,,,BC b C C c CC a === 则222222||,||,||AB a b B C b c CC a c ''''=
+=+=+,
则222222||a b b c a c AC +++++≥2()a b c =++. 变式1 设,x y +∈R ,求证:2
222333336x x y y x xy y -++-++-+≥.
八、利用柯西不等式证明不等式 思路提示
柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式,而且有明显的几何意义,它与基本不等式具有密切的关系,其作用类似于基本不等式可用来求最大(小)值或证明不等式,不过它的特点更明显应用更直接. 1.二维形式的柯西不等式
设1212,,,x x y y ∈R ,2222
211221212()()()x y x y x x y y ++≥+.等号成立1221x y x y ?=.
证明 设1122(,),(,)x y x y ==a b ,由|cos ?=a b a ||b |a,b ,得cos |?=
a b
a,b a ||b |
,
又|cos |1≤a,b ,即
1|?≤|a b |a ||b |
,|?≤|a b |a ||b |,故22222
12121122()()()x x y y x y x y +≤++
等号成立即1221x y x y =. 2.一般形式的柯西不等式 设12,,
,n a a a 及12,,,n b b b 为任意实数,
则21122()n n a b a b a b ++
+≤22
2222
1212()()n n a a a b b b ++
+++
+,
c
C c '
b B b
' 21a
C c C b
1
1a
A b
B c D
C
B
A 图 16-34
当且仅当
12
12
n
n
a a a
b b b ===
(规定0i a =时0i b =,1,2,,i n =)时等号成立.
证法一:当i a 全为0时,命题显然成立. 否则
21
0n
i
i a
=>∑,考查关于x 的二次函数21
()()n
i i i f x a x b ==-∑,显然()0f x ≥恒成立.
注意到22
21
1
1
()(
)2()n
n n i i i i
i i i f x a x
a b x b ====-+∑∑∑,而()0f x ≥恒成立,且21
0n
i i a =>∑,
故()f x 的判别式不大于零,即2
221
1
1
4(
)
40n
n n
i i i i i i i a b a b ===?=-?≤∑∑∑,
整理后得
2221
1
1
()n
n
n
i i
i i i i i a b
a b ===?≥∑∑∑.
证法二:向量的内积证法. 令12(,,
,)n a a a =a ,12(,,,)n b b b =b ,θ为a 与b 的夹角.
因为|cos ?=a b a ||b |a,b ,且|cos |1≤a,b ,所以|cos ||?=≤|a b |a ||b ||a,b a ||b |
222|??≤|a b |a ||b |,即21122()n n a b a b a b +++≤22
222
2
1212()()n n a a a b b b ++++++,
等号成立0θ?=?或180??a,b 平行12
12
n
n
a a a
b b b ?
===
. 柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系,应用它可以简单地证明许多复杂的不等式,下面举例说明.
例16.31 已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-. ①求m 的值; ②若,,a b c +
∈R ,且
11123m a b c
++=,求证:239a b c ++≥. 解析 ①因为(2)||f x m x +=-,(2)0f x +≥等价于||x m ≤.由||x m ≤有解,得0m ≥,且其解集为{|}x m x m -≤≤.又(2)0f x +≥的解集为[1,1]-,故1m =.
②由①知
111123a b c
++=,又,,a b c +∈R , 由柯西不等式得111
23(23)()23a b c a b c a b c
++=+++
+ 2
111(23)923a b c a b c
≥?
+?+?=.
变式1 已知1a b c ++=,0,0,0a b c >>>,求证:31313132a b c +++++≤. 变式2 已知0,0,0a b c >>>,2
2
cos sin a b c θθ+<.
求证:2
2cos
sin a b c θθ+<.
例16.32 设实数,,a b c 满足2
2
2
3232
a b c ++=
,求证:39271a b c
---++≥. 解析 由柯西不等式,222222(23)[1(2)+(3)][(2)(3)]9a b c a b c ++≤+++=2.所以233a b c ++≤,所以33(23)3392733331a b c a b c ----++-++≥≥=.
评注 有些证明不等式的题,表面上看与柯西不等式无关,然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决,当然具体如何变形改造是关键,也是难点,这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等. 变式1 已知n *
∈N ,且2n ≥,求证:
1111112
17234
2122
n n <-+-++
-<
-. 变式2 已知正实数,,a b c 满足1abc =,求证:333
1113()()()2
a b c b c a c a b ++≥+++.
最有效训练题61(限时45分钟)
1.不等式|21|23x x -<-的解集是( )
A. 1|2x x ??<
???? B. 13|25x x ??≤??? C. 3|5x x ????? D. 3|5x x ?
?>???
? 2.设,,(,0)a b c ∈-∞,则111
,,a b c b c a
+
++( ) A. 都不大于2- B. 都不小于2- C. 至少有一个不大于2- D. 至少有一个不小于2- 3.若7P a a =++,34(0)Q a a a =+++≥,则,P Q 的大小关系是( ) A. P Q > B. P Q = C. P Q < D. 由a 的取值决定 4.用数学归纳法证明某不等式,左边111
111234
212n n
=-
+-++
--,“从n k =到1n k =+”应将左边加上( )
A. 11k +
B. 112124k k -++
C. 122k -+
D. 11
2122
k k -++
5. ()231f x x x =+-的最大值为( )
A. 5
B.
121313 C. 13 D. 52
2
6.若正数,a b 满足3ab a b =++,则①ab 的取值范围是 ;②a b +的取值范围是 .
7.在实数范围内,不等式|21||21|6x x -++≤的解集为 . 8.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 . 9.已知0,0,0a b c >>>,a b c +>.求证:111a b c
a b c
+>+++. 10.已知函数()|||2|f x x a x =++-.
(1) 当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集;
(2)若()|x 4|f x ≤-的解集包含[]1,2,求a 的取值范围.
11. 已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-. ①求m 的值; ②若,,a b c +
∈R ,且11123m a b c
++=,求证:239a b c ++≥.
12.已知函数3
()(1)1
x f x x x +=
≠-+.设数列{}n a 满足11a =,1()n n a f a +=,数列{}n b 满
足|3|n n b a =-,12n n S b b b =+++ ()n *∈N .
(1)用数学归纳法证明:1
(31)2n
n n b --≤;
(2)证明:23
3
n S <
.
专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取
16 不等式选讲 选考内容 (二)不等式选讲 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1). (2). (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: . 2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. (1)柯西不等式的向量形式: (2). (3). (此不等式通常称为平面三角不等式.) 3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形: 4.会用向量递归方法讨论排序不等式. 5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题. 6.会用数学归纳法证明伯努利不等式: 了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
1.从考查题型来看,涉及本知识点的题目主要以选考的方式,在解答题中出现,考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2.从考查内容来看,主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明,求最值问题等. 3.从考查热点来看,重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等,绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势,值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解 样题1 (2018新课标全国Ⅱ理科)设函数 . (1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围. 样题2 (2018新课标全国Ⅲ理科)设函数 . (1)画出()y f x =的图象;
(2)当[)0x +∞∈,,,求a b +的最小值. 【解析】(1)()y f x =的图象如图所示.
高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?? ???? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为 ( ) A .0 B .1 C .32 D .2 【答案】D
高考数学《不等式选讲》专项复习 一、考纲解读 1.了解绝对值的几何意义,会利用绝对值的定义解不等式,利用绝对值不等式证明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其几何意义,会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式,会用它来证明不等式和求最值. 4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究 本节内容为新课标新增内容,是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点,不等式的应用为次重要考点,不等式证明放在一般位置,难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成 (1), >>?>; a b b c a c (2),c >>?+>+; a b d a c b d (3)0,c0 >>>>?>. a b d ac bd (合成后为必要条件) 2.同解变形 >?+>+; (1)a b a c b c (2)0,0, >?>>?<<; a b c ac bc c ac bc
(3)11 000a b b a >>? >>?>>. (变形后为充要条件) 3.作差比较法 0,0a b a b a b a b >?>->-< (二).含绝对值的不等式 (1)0,||a x a a x a >>-<<;0,||,a x a x a x a >>?>><-或 (2)22||||a b a b >?> (3)||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式 (1)222a b ab +>(当且仅当等号成立条件为a b =) (2)0,0, 2 a b a b +>>≥a b =) ; 0,0,0, 3 a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立) (3)柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+(当且仅当ad bc =时取等号) ①几何意义:||ad bc ??+≤a b a b ||||||≤②推广:22222 2 212 121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++ +≥++ +.当且仅当向量 12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.
基本不等式及其应用 [基础训练] 1.下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0,则a 2 +1 a 的最小值是2a ; ②函数f (x )=sin 2x 3+cos 2x 的最大值是2; ③函数f (x )=x +1 x 的值域是[2,+∞); ④对任意的实数a ,b 均有a 2+b 2≥-2ab ,其中等号成立的条件是a =-b . A .0 B .1 C .2 D .3 : 答案:B 解析:①错误:设f (a )=a 2 +1 a ,其中a 是自变量,2a 也是变化的,不能说2a 是f (a )的最小值; ②错误:f (x )=sin 2x 3+cos 2 x ≤sin 2x +3+cos 2x 2 =2, 当且仅当sin 2x =3+cos 2x 时等号成立,此方程无解, ∴等号取不到,2不是f (x )的最大值; ③错误:当x >0时,x +1 x ≥2 x ·1x =2, 当且仅当x =1 x ,即x =1时等号成立; 当x <0时,-x >0,x +1 x =-? ?? ??-x +1-x ≤-2 -x ·1 -x =-2, ¥ 当且仅当-x =-1 x ,即x =-1时等号成立. ∴f (x )=x +1 x 的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞); ④正确:利用作差法进行判断.
∵a 2+b 2+2ab =(a +b )2≥0,∴a 2+b 2≥-2ab , 其中等号成立的条件是a +b =0,即a =-b . 2.[2019河北张家口模拟]已知a +2b =2,且a >1,b >0,则 2 a -1+1 b 的最小值为( ) A .4 B .5 C .6 D .8 答案:D 解析:因为a >1,b >0,且a +2b =2, \ 所以a -1>0,(a -1)+2b =1, 所以2a -1+1b =? ????2 a -1+1 b ·[(a -1)+2b ] =4+4b a -1 +a -1b ≥4+2 4b a -1·a -1 b =8, 当且仅当4b a -1=a -1 b 时等号成立, 所以2a -1 +1b 的最小值是8,故选D. 3.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( ) A .[0,2] B .[-2,0] C .[-2,+∞) D .(-∞,-2] ! 答案:D 解析:∵2x +2y ≥22x ·2y =22x +y (当且仅当2x =2y 时等号成立), ∴2 x +y ≤12,∴2x +y ≤14, 得x +y ≤-2.故选D. 4.已知x >0,y >0,且4xy -x -2y =4,则xy 的最小值为( ) B .2 2 D .2 答案:D 解析:∵x >0,y >0,x +2y ≥22xy , ∴4xy -(x +2y )≤4xy -22xy , ∴4≤4xy -22xy ,
均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 『ps.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和 为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 1 2x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4 x <,求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络
其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时,
专题十五不等式选讲大题 (一)命题特点和预测: 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题,发现8年8考,主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法(出现频率太高了,应当高度重视)、不等式恒成立或有解求参数的范围,考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式,难度为基础题. (二)历年试题比较: . 时,求不等式 时不等式成立,求的取值范围. 已知函数, 的解集; 的解集包含
已知函数 ?并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 (2018年)【解析】(1)当时,,即 故不等式的解集为. (2)当时成立等价于当时成立.若,则当时;
若,的解集为,所以,故. 综上,的取值范围为. (2017年)【解析】 x>时,①式化为,从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题. (2016年)【解析】(I) y=的图像如图所示. f ) (x
(II )由)(x f 的表达式及图像,当1)(=x f 时,可得1=x 或3=x ; 当1)(-=x f 时,可得3 1 = x 或5=x , 故1)(>x f 的解集为{} 31<
1.(2018?卷Ⅱ)设函数 (1)当时,求不等式的解集; (2)若,求的取值范围 2.(2013?辽宁)已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1 (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.3.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集; (Ⅱ)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 4.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 5.(2017?新课标Ⅰ卷)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(10分) (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围. 6.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 7.(2018?卷Ⅰ)已知 (1)当时,求不等式的解集 (2)若时,不等式成立,求的取值范围 8.(2018?卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1| (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 10.(2014?新课标II)设函数f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围. 11.(2015·福建)选修4-5:不等式选讲 已知,函数的最小值为4.(1)求的值;
典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 专题16 不等式选讲 选考内容 (二)不等式选讲 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1) a b a b . (2)a b a c c b . (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: ; ;ax b c ax b c x a x b c . 2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明 . (1)柯西不等式的向量形式: ||||||.(2) 22222()(+)()a b c d ac bd . (3)222222121223231313()()()()()()x x y y x x y y x x y y . (此不等式通常称为平面三角不等式.) 3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形: 4.会用向量递归方法讨论排序不等式. 5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明 一些简单问题. 6.会用数学归纳法证明伯努利不等式: 了解当n 为大于1的实数时伯努利不等式也成立 . 7.会用上述不等式证明一些简单问题 .能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值. 8.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1.从考查题型来看,涉及本知识点的题目主要以选考的方式,在解答题中出现,考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2.从考查内容来看,主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明,求最值问题等 . 3.从考查热点来看,重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等,绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势,值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解样题1 (2017新课标全国Ⅰ理科)已知函数 2–4()x ax f x ,11()x x g x ||||. (1)当a =1时,求不等式 ()()f x g x 的解集;(2)若不等式()()f x g x 的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 所以a 的取值范围为[1,1]. 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法, 也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题. 基本不等式 【考点梳理】 1.基本不等式ab ≤ a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 2.几个重要的不等式 (1)a 2 +b 2 ≥2ab (a ,b ∈R ); (2)b a +a b ≥2(a ,b 同号且不为零); (3)ab ≤? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ); (4)? ?? ??a +b 22≤a 2 +b 2 2(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为 a +b 2 ,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 2 4(简记:和定积最大). 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x < 54,则f (x )=4x -2+145 x -的最大值为________. (2)函数y = x -1 x +3+x -1 的最大值为________. [答案] (1) 1 (2) 1 5 [解析] (1)因为x <5 4 ,所以5-4x >0, =-2+3=1. 当且仅当5-4x =1 5-4x ,即x =1时,等号成立. 故f (x )=4x -2+1 4x -5的最大值为1. (2)令t =x -1≥0,则x =t 2 +1, 所以y = t t 2 +1+3+t = t t 2 +t +4 . 当t =0,即x =1时,y =0; 当t >0,即x >1时,y = 1 t +4t +1 , 因为t +4 t ≥24=4(当且仅当t =2时取等号), 所以y = 1t +4t +1 ≤1 5, 即y 的最大值为1 5(当t =2,即x =5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1.若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a 等于( ) A .1+2 B .1+3 C .3 D .4 [答案] C [解析] 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+ 1 x -2 +2≥2(x -2)× 1 x -2 +2=4,当 2012高考真题分类汇编:不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ,即12 1 <<-x 或1=x ,所以不等式的解为12 1 ≤<- x ,选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0,b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ,则a >b B.若2a +2a=2b +3b ,则a >b C.若2a -2a=2b-3b ,则a >b D.若2a -2a=a b -3b ,则a <b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其 余选项用同样方法排除.故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品,y 桶乙产品,总利润为Z , 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ,目标函数为300400Z x y =+, 基本不等式 基础梳理 1.基本不等式:ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ); (2)b a +a b ≥2(a ,b 同号); (3)ab ≤????a +b 22(a ,b ∈R ); (4)a 2+b 22≥????a +b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为 a + b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24.(简记:和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a +b 22(a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1)a 2+b 22≥????a +b 22≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号); a +b 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 解析 ∵x >0,∴y =x +1x ≥2, 当且仅当x =1时取等号. 答案 C 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1x 2+1≥1,其中正确的个数是( ). A .0 B .1 C .2 D .3 解析 ①②不正确,③正确,x 2+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1 -1≥2-1=1. 答案 B 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.12 B .1 C .2 D .4 解析 ∵a >0,b >0,a +2b =2, ∴a +2b =2≥22ab ,即ab ≤12 . 答案 A 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x +1x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 解析 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+1x -2 +2≥2 (x -2)×1x -2+2=4,当且仅当x -2=1x -2 (x >2),即x =3时取等号,即当f (x )取得最小值时,x =3,即a =3. 答案 C 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t 的最小值为________. 解析 ∵t >0,∴y =t 2-4t +1t =t +1t -4≥2-4=-2,当且仅当t =1时取等号. 答案 -2 高考数学专题练习:不等式与线性规划 1。若不等式(-2)n a -3n -1-(-2)n <0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1,43 B 。? ???? 12,43 C 。? ? ???1,74 D 。? ?? ??12,74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1-a )<3n -1恒成立, 即1-a <13× ? ????32n 恒成立,只需1-a <13×? ????321,解得a >1 2; 当n 为偶数时,要满足2n (a -1)<3n -1恒成立, 即a -1<13× ? ????32n 恒成立,只需a -1<13×? ????322,解得a <7 4。 综上,12<a <7 4,故选D 。 2。已知a >0,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A 。(a -1)(b -1)<0 B 。(a -1)(a -b )>0 C 。(b -1)(b -a )<0 D 。(b -1)(b -a )>0 答案 D 解析 取a =2,b =4,则(a -1)(b -1)=3>0,排除A ;则(a -1)(a -b )=-2<0,排除B ;(b -1)(b -a )=6>0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )=??? x 2-4x +6,x ≥0, x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(-3,1)∪(3,+∞) B 。(-3,1)∪(2,+∞) C 。(-1,1)∪(3,+∞) D 。(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)=3。由题意得??? x ≥0,x 2-4x +6>3或??? x <0, x +6>3, 解得-3 第2讲 不等式选讲 [考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等,结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点,主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想. 热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)?f (x )>a 或f (x )<-a . (2)|f (x )|0)?-a 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质: (1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则 a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若 0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则 a b c d >); (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b > >(4)若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11a b >。 【例】(1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题:①22,bc ac b a >>则若;②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若;④b a b a 11,0< <<则若;⑤b a a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0;⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0;⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧); (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______(答:137x y ≤-≤); (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______(答:12,2? ?-- ?? ?) 2. 不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 【例】(1)设0,10>≠>t a a 且,比较 21log log 21+t t a a 和的大小(答:当1a >时,11log log 22 a a t t +≤(1t =时取等号);当01a <<时,11 log log 22 a a t t +≥(1t =时取等号)); (2)设2a >,1 2 p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小(答:p q >); (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小(答:当01x <<或4 3 x >时,1+3log x >2log 2x ;当 413x <<时,1+3log x <2log 2x ;当4 3 x =时,1+3log x =2log 2x ) 3. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方 针。 【例】(1)下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-(答:C ); (2)若21x y +=,则24x y +的最小值是______ (答:; (3)正数,x y 满足21x y +=,则y x 1 1+的最小值为______ (答:3+; 4.常用不等式有:(1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ; (2)a 、b 、c ∈R ,222 a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号); (3)若0,0a b m >>>,则b b m a a m +<+(糖水的浓度问题)。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是_________(答:[)9,+∞)2018年高考数学考试大纲解读专题16不等式选讲理版含答案
2019高考数学不等式:基本不等式
高考数学真题汇编8 不等式 理( 解析版)
高考数学之基本不等式
高考数学专题练习:不等式与线性规划
高三数学第二轮复习 不等式选讲
高考数学不等式解题方法技巧