2019-2020年数学选修2-1同步课件讲义应用案巩固提升：第3章3.2 3.2.2 应用案巩固提升(苏教版)

[A 基础达标]

1．直线l 的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m ＝(－1，1，3)，n ＝????13，0，19，则直线l 与平面β的位置关系是( )

A ．l ∥β

B ．l ⊥β

C ．l ∥β或l ?β

D ．无法判断

解析：选C.因为m ·n ＝－13＋0＋1

3＝0，

所以m ⊥n .所以l ∥β或l ?β.

2．已知A (0，y ，3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2，1，3)与直线AB 的方向向量平行，则y ＋z 等于( )

A ．－3

B ．0

C ．1

D ．3 解析：选B.由题意，得AB →

＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，

z ＝3

2

，所以y ＋z ＝0，故选B. 3．设直线l 的方向向量u ＝(－2，2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6，12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )

A ．4

B ．－4

C ．2

D ．－2

解析：选B.因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t

12，解得t ＝－4，故选B.

4．如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )

A ．1∶2

B ．1∶1

C ．3∶1

D ．2∶1

解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a ，则B (1，0，0)，E ????12，1，0，P (0，0，a )．

设点F 的坐标为(0，y ，0)，

则BF →＝(－1，y ，0)，PE →

＝????12，1，－a . 因为BF ⊥PE ，

所以BF →·PE →

＝0， 解得y ＝1

2

，

即点F 的坐标为????0，1

2，0， 所以F 为AD 的中点， 所以AF ∶FD ＝1∶1. 5.如图所示，在正方体ABCD

A 1

B 1

C 1

D 1中，

E 、

F 分别在A 1D 、

AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝1

3

AC ，则下列命题中正确的是( )

A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直

B ．EF 是A 1D 、A

C 的公垂线 C ．EF 与B

D 1相交 D ．EF 与BD 1异面

解析：选B .设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1

所在直线为z 轴建立空间直角坐标系(图略)．则A 1(1，0，1)，D (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，E ????13，0，13，，F ????23，13，0，B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，所以A 1D →

＝(－1，0，－1)，AC →＝(－1，1，0)，EF →＝????13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1，1)，EF →

＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .

6.已知直线l 的方向向量为u ＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2，1，－4)，则l 与α的位置关系为________．

解析：因为u ·v ＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋4＝0， 所以u ⊥v ，所以l ∥α或l ?α. 答案：l ∥α或l ?α

7.已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，2)，DE →＝(x ，－3，6)，若DE ∥平面ABC ，则x ＝__________．

解析：若DE ∥平面ABC ，

则存在实数对λ、μ，使得DE →＝λAB →＋μBC →

.

即?????λ＋3μ＝x ，5λ＋μ＝－3，－2λ＋2μ＝6，解得?

????λ＝－1，f μ＝2，x ＝5. 答案：5

8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →

＝________．

解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →

＝0， 所以3＋5－2z ＝0， 所以z ＝4.

因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →

⊥平面ABC ， 所以?????BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，

即?

???

?x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得???

x ＝407

，

y ＝－157，

故BP →

＝????337，－157，－3. 答案：???

?337，－15

7，－3 9.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1

的中点．

求证：CE ∥平面C 1E 1F .

证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设BC ＝1，则C (0，1，0)，E (1，0，1)， C 1(0，1，2)，F (1，1，1)，E 1????1，1

2，2. 设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 因为C 1E 1→＝????1，－12，0，FC 1→

＝(－1，0，1)， 所以?????n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即?????x ＝12y ，

x ＝z ，

取n ＝(1，2，1)．因为CE →＝(1，－1，1)，n ·CE →

＝1－2＋1＝0， 所以CE →

⊥n ，且CE ?平面C 1E 1F . 所以CE ∥平面C 1E 1F .

10.在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .

求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .

证明：建立如图所示的空间直角坐标系．D 是坐标原点，设DC ＝a .

(1)连结AC 交BD 于G ，连结EG ，依题意得D (0，0，0)，A (a ，0，0)，P (0，0，a )，E ???

?0，a 2，a 2. 因为底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为????a 2，a 2，0， 所以EG →＝????a 2，0，－a 2.又P A →

＝(a ，0，－a )， 所以P A →＝2EG →

，这表明P A ∥EG . 而EG ?平面EDB ，且P A ?平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB . (2)依题意得B (a ，a ，0)，

PB →＝(a ，a ，－a )，DE →

＝????0，a 2，a 2， 所以PB →·DE →

＝0＋a 22－a 22＝0，

所以PB →⊥DE →

，即PB ⊥DE . 又已知EF ⊥PB ， 且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .

[B 能力提升]

1.若直线a 与b 是两条异面直线，它们的方向向量分别为v 1＝(1，1，－1)和v 2＝(2，－3，2)，又a 与b 的公垂线的方向向量为v ＝(x ，y ，5)，则x ＋y ＝__________．

解析：由已知得?

????v ·

v 1＝x ＋y －5＝0，v ·v 2＝2x －3y ＋10＝0，

所以x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5. 答案：5

2.如图所示，在四棱锥P

ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，

AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点，证明：

(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .

证明：AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0，0，1)．

(1)因为∠ABC ＝60°，AB ＝BC ， 所以△ABC 为正三角形，

所以C ????12，32，0，E ???

?14，34，1

2.

设D (0，y ，0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →

＝0，

即y ＝233，则D ????0，233，0，所以CD →＝????－12，36，0.又AE →＝????14，34，12，所以CD →·AE →＝－12×14＋36×34

＝0，所以AE →⊥CD →

，即AE ⊥CD .

(2)因为P (0，0，1)，所以PD →＝????0，233，－1.又因为AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，所以PD →⊥AE →，即PD ⊥AE .因为AB →＝(1，0，0)，所以PD →·AB →＝0.所以PD ⊥AB ，又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .

3.(选做题)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点， (1)求证：A 1E ⊥BD ；

(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定点E 的位置． 解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为a ，

(1)证明：A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．

设E (0，a ，m )，则A 1E →＝(－a ，a ，m －a )，BD →

＝(－a ，－a ，0)，

所以A 1E →·BD →

＝a 2－a 2＋0＝0， 所以A 1E →⊥BD →， 即A 1E ⊥BD .

(2)法一：设BD 的中点为O ，连结OE ，OA 1，

则O ????a 2，a 2，0，所以OE →＝????－a 2，a 2，m ，BD →

＝(－a ，－a ，0)，因为△BCE ≌△DCE ，所以ED ＝EB ，所以OE ⊥BD ，又OA 1→＝????a 2，－a 2，a ，所以OA 1→·BD →

＝0，所以OA 1⊥BD ，所以∠A 1OE 是二面角A 1-BD -E 的平面角，

因为平面A 1BD ⊥平面EBD ，所以∠A 1OE ＝π

2，

所以OA 1→·OE →

＝0，即－a 24－a 24＋am ＝0，所以m ＝a 2.

故当E 为CC 1的中点时，能使平面A 1BD ⊥平面EBD . 法二：证明：E 为CC 1的中点．