几种插值方法的比较与应用
摘要:本文是对学过的插值方法进行了总结、比较,使我们在进行工程计算的过程中更清楚的知道哪一种方法适合哪一种类型,了解哪种方法在已知条件下可以得到更优的结果以满足计算要求。 关键词:数值分析,插值,多项式 1 前言
在许多实际问题及科学研究中,因素之间往往存在着函数关系,然而,这种关系经常很难有明显的解析表达,通常只是由观察与测试得到一些离散数值。有时,即使给出了解析表达式,但却由于表达式过于复杂,不仅使用不方便,而且不易于进行计算与理论分析。解决这类问题的方法有两种:一种是插值法,另一种是拟合法。插值法是一种古老的数学方法,它来自生产实践。早在一千多年前,我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值,但它的基本理论确实在微积分产生之后才逐渐完善的,其应用也日益增多,特别是在计算机软件中,许多库函数,如sin ,cos ,x x x e 等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数,如多项式、有理分式(即多项式的商)。在工程实际问题当中,我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。被计算的函数有时不容易直接计算,如表达式过于复杂或者只能通过某种手段获得该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等。因此,我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数,然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。这种方法就叫插值逼近或者插值法。插值法要求给出函数()f x 的一个函数表,然后选定一种简单的函数形式,比如多项式、分段线性函数及三角多项式等,通过已知的函数表来确定一个简单的函数()x ?作为()f x 的近似,概括地说,就是用简单函数为离散数组建立连续模型。 2 插值法的基本概念 2.1 插值法的定义
设函数()y f x =在区间[],a b 上有定义,且已知在点0n a x x b ≤≤≤≤ 上得值
()(0,1,,)i i f x y i n == ,若存在一个简单函数()x ?,使得
()(0,1,,)i i x y i n ?==
成立,就称()x ?为()f x 的插值函数,点(0,1,,)i x i n = 为插值节点,包括插值节点的区间[],a b 成为插值区间,求插值函数()x ?的方法成为插值法。
若()x ?为次数不超过n 的代数多项式
()01n n n x a a x a x ?=+++
其中的(0,1,,)i a i n = 为实数,就称()n x ?为插值多项式,相应的插值法称为多项式插值。若()n x ?为
分段的多项式,就称为分段插值。 2.2 截断误差
截断误差(余项):若在[],a b 上用()n x ?近似()f x ,则 ()()()n n R x f x x ?=- 称为插值多项式的截断误差,又称为插值多项式的余项。
代数插值法有Lagrange 插值法、逐次线性插值法、Newton 插值法、Hermite 插值法、分段插值法等。其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次代数多项式作为被插函数()f x 的近似表达式。
3 几种常见的代数插值法 3.1 Lagrange 插值法
设函数()y f x =在区间[],a b 上有定义,且在[],a b 上1n +个不同点01,,,n x x x 上得函数值()(0,1,,)
i i y f x i n == ,若存在一个至少n 次的插值多项式 ()01n n n x a a x a x ?=+++
其中(0,1,,)i a i n = 为实数。先构造函数()(0,1,,)i l x i n = ,它们的次数不超过n ,且满足
()01i j j i
l x j i ≠?=?
=?
然后以对应点处的函数值为系数作线性组合,即得所要求的多项式。由多项式()i l x 有n 个根(0,1,,1,1,,)
j x j i i n =-+ ,故它必有如下形式 0110011()()()()()(0,1,,)()()()()n j
i i n i j i i i i i i n i j
j i
x x x x x x x x x x l x i n x x x x x x x x x x -+=-+≠-----===-----∏
这些函数称为Lagrange 插值基函数,而()n x ?是至多n 次多项式,且满足
()()(0,1,2,,)n
n k i i k k i x y l x y k n ?====∑ 称其为n 次Lagrange 插值多项式。
3.2 Newton 插值法
设有函数012(),,,,,f x x x x 为一系列互不相等的点,称()()[,]()i j i j i j
f x f x f x x i j x x -=≠-为()
f x 关于点,i j x x 的一阶差商。一般的称01101010[,,,][,,,]
[,,,]k k k k
f x x x f x x x f x x x x x --=
- 为()f x 关于
01,,,k x x x 的k 阶差商。
表1 差商表
()00001012011010101()()()[,]()()[,,]()()[,,,]()()()[,,,,]()()
n n n n n n f x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x N x R x -=+-+--++
---+---=+ 其中
()0000101201101()()()[,]()()[,,]()()[,,,]
n n n N x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++
---
0101101()()()()[,,,,]()[,,,,]n n n n n R x x x x x x x f x x x x x f x x x x ω+=---=
显然,()n N x 是满足插值条件的至多n 次多项式。可得()()(0,1,,)i n i f x N x i n == 。 3.3 Hermite 插值法
设],[)(1
b a C x f ∈,已知互异点0x ,1x ,…,],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ,1f ,…,n f ,导数值为'0f ,'1f ,…,'
n f ,则满足条件
n i f x H f x H i i n i i n ,,1
,0,)(,)(''1212 ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0
'12x f x f x H j n
j j j
n
j
i n βα
∏∏=++=
其中
)())((,)]()(21[)(2
2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα 称为Hermite 插值基函数,)(x l j 是Lagrange 插值基函数,若],[2
2b
a C
f n +∈,插值误差为
220)22(12)()()!
22()
()()(n x n n x x x x n f x H x f --+=-++ ξ,),()(b a x x ∈=ξξ
4 插值法的应用
拉格朗日插值法和牛顿插值法是两种常用的简便的插值法。但牛顿插值法则更为简便,与拉格朗日插值多项式相比较,它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始”的缺点,而且可以节省乘、除法运算次数。同时,在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念,又与数值计算的其他方面有着密切的关系。 例1 已知函数表如下
解:方法一 利用拉格朗日插值法计算。
(1) 因为0.10.120.2<<,取插值点010.1,
0.2x x ==
使用1n =的拉格朗日插值法(线性插值),得
1010.20.1
()sin()sin()0.10.20.20.1x x p x x x --=
?+?--
1sin(0.12)(0.12)
0.120.20.120.1
0.099830.198670.10.20.20.10.119598p ≈--=
?+?--≈
因''()sin f x x =-
所以 0.10.2
max ''()sin(0.2)0.19867x f x ≤≤==
故有:10.19867
sin(0.12)(0.12)(0.120.1)(0.120.2)0.00015892!
p -≤
-?-= 可见,用1(0.12)0.119598p =作为sin(0.12)的近似值,可保证有三位有效数字。
(2)取插值点0120.1,
0.2,0.3x x x ===
使用2n =的拉格朗日插值法(线性插值),得
2012(0.2)(0.3)(0.1)(0.3)
()sin()sin()
(0.10.2)(0.10.3)(0.20.1)(0.20.3)
(0.1)(0.2)sin()(0.30.1)(0.30.2)
x x x x p x x x x x x ----=
?+?------+?--
2sin(0.12)(0.12)
(0.120.2)(0.3)(0.120.1)(0.3)
0.099830.19867
(0.10.2)(0.10.3)(0.20.1)(0.20.3)
(0.120.1)(0.2)0.29552(0.30.1)(0.30.2)0.119757p x x x ≈----=
?+?------+?--≈
因'''()cos f x x =-
所以 0.10.3
max ''()cos(0.1)0.995004x f x ≤≤==
故有:20.995004
sin(0.12)(0.12)(0.120.1)(0.120.2)(0.120.3)0.000047763!
p -≤
-?-?-= 可见,用2(0.12)0.119757p =作为sin(0.12)的近似值,可保证有四位有效数字。
方法二 利用牛顿插值法计算
构造差商表
(1)由牛顿公式得一次插值多项式为
1()0.099830.9984(0.1)p x x =+-
1sin(0.12)(0.12)
0.099830.9984(0.120.1)
0.099830.0199680.119798
p ≈=+-=+≈
(2)由牛顿公式得二次插值多项式为
2()0.099830.9984(0.1)0.1495(0.1)(0.2)p x x x x =+----
2sin(0.12)(0.12)
0.099830.9984(0.120.1)0.1495(0.120.1)(0.120.2)
0.099830.0199680.00023920.120037
p ≈=+----=++≈
(3)由牛顿公式得五次插值多项式为
5()0.099830.9984(0.1)0.1495(0.1)(0.2)0.00667(0.1)(0.2)(0.3)
0.40835(0.1)(0.2)(0.3)(0.4)
0.8417(0.1)(0.2)(0.3)(0.4)(0.5)
p x x x x x x x x x x x x x x x x =+----+--------+-----
5sin(0.12)(0.12)
0.099830.9984(0.120.1)0.1495(0.120.1)(0.120.2)0.00667(0.120.1)(0.120.2)(0.120.3)
0.40835(0.120.1)(0.120.2)(0.120.3)(0.120.4)0.8417(0.120.1)(0.120.2)(0.120.3)(0.120p ≈=+----+--------+----.4)(0.120.5)
0.099830.0199680.00023920.000001920.00003290.00002580.120098
-≈+++++≈
从上面的计算过程可以看出,拉格朗日插值法的线性插值与抛物插值的计算过程没有继承性,即增加一个节点时整个计算工作必须重新开始,而牛顿插值则避免了这一问题,这样大量的节省了
乘、除法运算次数,减少了计算的时间。因此,对于一些结构相当复杂的函数()f x ,牛顿插值法比拉格朗日插值法要占优势。但是,牛顿插值法也存在的问题,就是在高次插值时,误差可能会增大,如本题可看出,高次插值会不稳定。这说明高次牛顿插值不可取,因此在采用牛顿插值法时常使用分段低次插值的方法,以获得更精确的计算结果。
例2
根据函数x x f ln )(=的数据表
解 40.00=x ,50.01=x ,70.02=x ,80.03=x ,首先构造Hermite 插值基函数)(0x α,
)(1x α,)(2x α,)(3x α,)(0x β,)(1x β,)(2x β,)(3x β。然后利用Hermite 插值公式写出
∑=+=3
'7)]()()()([)(k k k k k
x x f x x
f x H βα
直接计算得
5411)60.0(0=α,278)60.0(1=α,278)60.0(2=α,5411)60.0(3=α, 1801)40.0(0=β,452)60.0(1=β,452)60.0(2-=β,18
1
)60.0(3-=β.
510824.0)60.0(60.0ln 7-=≈H . 事实上510826.060.0ln -=,另外
x x f ln )(=,88
!7)(x
x f -=.
5 结束语
综上看比较出各种插值方法的优缺点。
拉格朗日插值法:可对插值函数选择多种不同的函数类型,由于代数多项式具有简单和一些良好的特性,故常选用代数多项式作为插值函数。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式,公式结构紧凑,在理论分析中甚为方便,但当插值节点增减时全部插值基函数()(0,1,,)i l x i n = 均要随之变化,整个公式也将发生变化,这在实际计算中是很不方便的,为了克服这一缺点,提出了牛顿插值可以克服这一缺点。
牛顿插值法:牛顿插值法具有继承性和易变性的特点,当增加一个节点时,只要再增加一项就可以了即10101()()()()()[,,,]k k k k k N x N x x x x x x x f x x x ++=+--- ,而拉格朗日插值若要增加一个节点时全部基函数都需要重新算过。牛顿插值法既适合于用来计算函数值,也适合于做理论推导,比如说可用来推导微分方程的数值求解公式。但是在高次插值时存在不稳定性,一般实际计算很少
使用高次插值,更多的使用分段低次插值。
f x的性态。而
Hermite插值法:增加了节点处对导数的限制,从而能更全面的反映被插值函数()
f x。
其所构造的多项式能更好地逼近函数()
GIS空间插值(局部插值方法)实习记录 一、空间插值的概念和原理 当我们需要做一幅某个区域的专题地图,或是对该区域进行详细研究的时候,必须具备研究区任一点的属性值,也就是连续的属性值。但是,由于各种属性数据(如降水量、气温等)很难实施地面无缝观测,所以,我们能获取的往往是离散的属性数据。例如本例,我们现有一幅山东省等降雨量图,但是最终目标是得到山东省降水量专题图(覆盖全省,统计完成后,各地均具有自己的降雨量属性)。 空间插值是指利用研究区已知数据来估算未知数据的过程,即将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面。利用空间插值,我们就可以通过离散的等降雨量线,来推算出山东省各地的降雨量了。 二、空间插值的几种方法及本次实习采用的原理和方法 –整体插值方法 ?边界内插方法 ?趋势面分析 ?变换函数插值 –局部分块插值方法 ?自然邻域法 ?移动平均插值方法:反距离权重插值 ?样条函数插值法(薄板样条和张力样条法) ?空间自协方差最佳插值方法:克里金插值 ■局部插值方法的控制点个数与控制点选择问题 局部插值方法用一组已知数据点(我们将其称为控制点)样本来估算待插值点(未知点)的值,因此控制点对该方法十分重要。 为此,第一要注意的是控制点的个数。控制点的个数与估算结果精确程度的关系取决于控制点的分布与待插值点的关系以及控制点的空间自相关程度。为了获取更精确的插值结果,我们需要着重考虑上述两点因素(横线所示)。 第二需要注意的是怎样选择控制点。一种方法是用离估算点最近的点作为控制点;另一种方法是通过半径来选择控制点,半径的大小必须根据控制点的分布来调整。 S6、按照不同方法进行空间插值,并比较各自优劣 打开ArcToolbox——Spatial Analyst 工具——插值,打开插值方法列表,如下图:
常见的插值方法及其原理 这一节无可避免要接触一些数学知识,为了让本文通俗易懂,我们尽量绕开讨厌的公式等。为了进一步的简化难度,我们把讨论从二维图像降到一维上。 首先来看看最简单的‘最临近像素插值’。 A,B是原图上已经有的点,现在我们要知道其中间X位置处的像素值。我们找出X位置和A,B位置之间的距离d1,d2,如图,d2要小于d1,所以我们就认为X处像素值的大小就等于B处像素值的大小。 显然,这种方法是非常苯的,同时会带来明显的失真。在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃,这就是为什么会出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。最临近插值法唯一的优点就是速度快。 图10,最临近法插值原理 接下来是稍微复杂点的‘线性插值’(Linear) 线性插值也很好理解,AB两点的像素值之间,我们认为是直线变化的,要求X点处的值,只需要找到对应位置直线上的一点即可。换句话说,A,B间任意一点的值只跟A,B有关。由于插值的结果是连续的,所以视觉上会比最小临近法要好一些。线性插值速度稍微要慢一点,但是效果要好不少。如果讲究速度,这是个不错的折衷。 图11,线性插值原理
其他插值方法 立方插值,样条插值等等,他们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑,为了达到这个目的,他们不得不利用到周围若干范围内的点,这里的数学原理就不再详述了。 图12,高级的插值原理 如图,要求B,C之间X的值,需要利用B,C周围A,B,C,D四个点的像素值,通过某种计算,得到光滑的曲线,从而算出X的值来。计算量显然要比前两种大许多。 好了,以上就是基本知识。所谓两次线性和两次立方实际上就是把刚才的分析拓展到二维空间上,在宽和高方向上作两次插值的意思。在以上的基础上,有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline, Turbo Photo等。他们的目的是使边缘的表现更完美。
几种常用的插值方法 数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师:唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种:一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式:单项式,拉格朗日和牛顿插值;另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一.任意阶多项式插值: 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值: 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点(X,Y )构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值: 先构造一组插值函数L i (x ) =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------L L L L ,其中i=0,… n.容易看出n 次多项式L i (x )满足L i (x )=1,(i=j );L i (x )=0,(i ≠j ),其中
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值,作出适当的特定函数,在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式,就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化,这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点,提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商,递推得到的一个公式: f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义:设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义,已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn (设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ,使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点,称[a,b]为插值区间。 定理:n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include 插值法在管理决策中的应用及其Matlab实现 张英俊,孙大宁*,张亚娟 (北方工业大学理学院,北京100144) 摘 要:利用插值曲线,即三次样条插值和立方插值法来比较分析随机网络评审法中两个随机变量之间的相关 性.经分析表明,立方插值不仅是分析相关性的实用曲线工具,而且利用Matlab所构造的函数有足够的光滑性、平顺性,且图像在考察变量的相关性时具有直观性的优点,因此对它的应用研究非常有价值. 关键词:插值 Matlab程序相关性 中图分类号:O29;TB115文献标识码:A文章编号:1674-0874(2008)03-0040-03 收稿日期:2008-01-15 作者简介:张英俊(1982-),女,山西平遥人,在读硕士,研究方向:风险决策;*孙大宁,男,教授,通讯作者. 随机网络评审法是基于随机网络和计算机仿真的一种随机型的定量评估方法,它是以风险评审技术(简称VERT)为基础的,VERT是一种计算机仿真技术,它把网络理论,仿真原理和概率论综合起来,其特点之一就是在各种信息不完全,不充分和不肯定的情况下,对各种工程系统和工程项目的发展计划有关的时间T(周期或工作量),费用C(耗费、成本或投入),功能P(性能、效益或输出等)三种指标来描述,从而描述决策分析对象应达到的目标.一般情况下,在进行风险决策分析时为了有利于模型的建立和使分析计算工作更快更有效,我们需要对网络中各个节点上相应随机参数的频数直方图以及3个参数中任意两者之间的相关性进行分析.在处理我国飞机预研计划这一课题发展起来的 SNSS系统是采用Fortran77语言编写的[1],以卡片形式进行输入输出的,在输出直方图以及进行时间、 费用、效益三者中任两者之间相互关系的计算上不是很直观、很简洁.其实两个随机参数之间的这种函数关系,在数值分析中有许多的方法可以求得,但是哪种方法能更直观、更合乎实际地给出反映这种相关性的平滑曲线呢?本文所选的插值方法能够较好地满足这一要求. 1插值方法的选择及其数学原理 插值是已知某函数在若干离散点上的函数值或者导数信息,通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数,使得该函数在给定离散点上满足约束.也即要求通过平面上已知n个点(xi,yi),i= 1,2,…,n作一条光滑的曲线,完成这项工作的方 法有多种,如拉格朗日插值、埃尔米特插值和分段 插值等.实际表明,拉格朗日插值和埃尔米特插值函数对于数据较多且具有随机性的变量相关性分析,做一个高次插值多项式是不理想的,因为它带有近似性,且计算也相当复杂.而分段插值是克服高次插值的Runge现象而提出的,只能保证曲线的连续性,却不能保证曲线的光滑性.但是在生产和科学实验中,对所做的插值曲线既要简单,又要在曲线的连接处比较光滑,即所作的分段插值函数在分段上要求多项式次数低,而在节点上不仅连续,还存在连续的低阶导数,我们把满足这样条件的插值函数,称为样条插值函数,它所对应的曲线称为样条曲线,其节点称为样点,这种插值方法称为样条插值[2]. 2 应用举例 2.1 资料说明 某企业的领导和管理者,得知与其竞争的另一 企业正在研制一种新产品,一旦这种新产品研制成功,将给另一企业带来销售市场上的绝对优势,如 第24卷第3期山西大同大学学报(自然科学版) Vol.24.No.32008年6月 JournalofShanxiDatongUniversity(NaturalScience) Jun.2008 插值方法在图像处理中的应用 作者: 专业姓名学号 控制工程陈龙斌 控制工程陈少峰 控制工程殷文龙 摘要 本文介绍了插值方法在图像处理中的应用。介绍了典型的最近邻插值、双线性插值、双三次插值、双信道插值、分形插值的原理。以分形插值为重点,在图像放大领域用MATLAB进行仿真,并与其它方法的结果做了比对。指出了各种方法的利弊,期待更进一步的研究拓展新的算法以及改进现有算法。 一、引言 人类通过感觉器官从客观世界获取信息,而其中一半以上的信息都是通过视觉获得的。图像作为人类视觉信息传递的主要媒介,具有声音、语言、文字等形式无法比拟的优势,给人以具体、直观的物体形象。在数字化信息时代,图像处理已经成为重要的数据处理类型。数字图像比之传统的模拟图像处理有着不可比拟的优势。一般采用计算机处理或者硬件处理,处理的内容丰富,精度高,变通能力强,可进行非线性处理。但是处理速度就会有所不足。图像处理的主要内容有:几何处理、算术处理、图像增强、图像复原、图像重建、图像编码、图像识别、图像理解等。以上这些图像处理大体上可分为图像的像质改善、图像分析和图像重建三大部分。 日常生活中,越来越多的领域需要高分辨率图像,采用图像插值技术来提高数字图像的分辨率和清晰度,从软件方面进行改进就具有十分重要的实用价值。多媒体通信在现代网络传输中扮演重要角色,因此插值放大提高图像分辨率是一个非常重要的问题。此外,图像变换被广泛用于遥感图像的几何校正、医学成像以及电影、电视和媒体广告等影像特技处理中。在进行图像的一些几何变换时,通常都会出现输出像素坐标和输入栅格不重合的现象,也必须要用到图像插值。图像插值是图像处理中图像重采样过程中的重要组成部分,而重采样过程广泛应用于改善图像质量、进行有损压缩等,因而研究图像插值具有十分重要的理论意义和实用价值。 图像插值是一个数据再生过程。由原始图像数据再生出具有更高分辨率的图像数据。分为图像内插值和图像间插值。前者指将一幅较低分辨率的图像再生出一幅较高分辨率的图像。后者指在若干幅图像之间再生出几幅新的图像。插值过程就是确定某个函数在两个采样点之间的数值时采用的运算过程.通常是利用曲线拟合的方法进行插值算法,通过离散的输入采样点建立一个连续函数,用这个重建的函数求出任意位置处的函数值,这个过程可看作是采样的逆过程。 20世纪40年代末,香农提出了信息论,根据采样定理,若对采样值用sinc函数进行插值,则可准确地恢复原函数,于是sinc函数被接受为插值函数,也称为理想插值函数。理想插值函数有两个缺点: (1)它虽然对带限信号可以进行无错插值,但实际中带限信号只是一小部分信号。 (2)sinc函数的支撑是无限的,而没有函数既是带限的,又是紧支撑的。 为了解决这个问题,经典的办法是刚窗函数截断sinc函数,这个窗函数必须在0剑l 之间为正数,在l到2之间为负数。sinc函数对应的是无限冲激响应,不适于有限冲激相应来进行局部插值。对数字图像来说,对图像进行插值也称为图像的重采样。它分为两个步骤:将离散图像插值为连续图像以及对插值结果图像进行采样。 经典的图像插值算法是利用邻近像素点灰度值的加权平均值来计算未知像素点处的灰度值,而这种加权平均一般表现表现为信号的离散采样值与插值基函数之间的二维卷积。这种基于模型的加权平均的图像插值方法统称为线性方法。经典的插值方法有:最近邻域法,双线性插值,双三次B样条插值,双三次样条插值,sinc函数等。线性方法,它们一个共同点就是,所有这些基函数均是低通滤波器,对数据中的高频信息都具有滤除和抑制效应,因 五种插值法的对比研究 1. 选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法,插值法历史悠久。据考证,在公元六世纪时, 我国焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时,Newton 和 Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式,十八世纪时,Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。 而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的,它的实际应用也日益增多,特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。 在实际问题中碰到的函数是各种各样的,有的甚至给不出表达式,只提供了一些离散数据,例如,在查对数表时, 要查的数据在表中找不到,就先找出它相邻的数,再从旁边找出它的修正值, 按一定关系把相邻的数加以修正,从而找出要找的数,这种修正关系实际上就是一种插值。 在实际应用中选用不同类型的插值函数,逼近的效果也不同。在数值计算方法中,我们学习过五种基本的插值方法,即Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、分段三次Hermite 插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手,探讨五种插值法的优缺点和适用围,让学习者能够迅速而准确的解决实际问题,掌握插值法的应用。 2. 研究的方法 从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势,通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分 导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中,插值法是计算方法的基础,数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是:已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x ),f(1x ),…,f(n x ),这时我们简单的说f(x)有n+1 个 离散数据对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值,最常见的一种办法就是插 值,即寻找一个相对简单的函数y(x),使其满足下列插值条件:y(i x )=f(i x ),i=0,1,…,n.,并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数,f(x)称为被插函数。 数值分析报告 班级: 专业: 流水号: 学号: 姓名: 常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值状况,估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪,中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后,牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具,又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是:假定区间[a,b〕上的实值函数f(x)在该区间上n+1个互不相同点x0,x1……x n处的值是f(x0),……f(x n),要求估算f(x)在[a,b〕中某点的值。其做法是:在事先选定的一个由简单函数构成的有n+1个参数C0, C1,……C n的函数类Φ(C0,C1,……C n)中求出满足条件P(x i)=f(x i)(i=0,1,……n)的函数P(x),并以P(x)作为f(x)的估值。此处f(x)称为被插值函数,x0,x1,……xn 称为插值结(节)点,Φ(C0,C1,……C n)称为插值函数类,上面等式称为插值条件,Φ(C0,……C n)中满足上式的函数称为插值函数,R(x)=f(x)-P(x)称为插值余项。 求解这类问题,它有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值。 一.拉格朗日插值 1.问题提出: 已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x L 上的函数值01,,,n y y y L ,求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明:函数()y f x =可能是未知的;也可能是已知的,但它比较复杂,很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法: 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知(或复杂)函数()y f x =,则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =++++L ,构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a L 。 3.构造()n P x 的依据: 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时,我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件,可以写出非齐次线性方程组: 20102000 20112111 2012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=?? ? ?++++=?L L L L L 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式: ()20 0021110 2111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏L L M M M M L 实验名称:插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况:在某个实际问题中,虽然可以断定所考虑的函数f(x)在区间[a,b]上存在且连续,但却难以找到它的解析表达式,只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的,在有些情况下,虽然可以写出f(x)的解析表达式,但由于结构十分复杂,使用起来很不方便。面对这些情况,构造函数P(x)作为f(x)的近似,插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法,不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中,而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中,求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上,作为f(x)的近似。 通常,称区间[a,b]为插值区间,称点x0,x1,…,xn为插值节点,上式为插值条件,称函数类φ为插值函数类,称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数,求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数,输入所给函 数表,并利用计算机选择在插值计算中所需的节点,计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。 3算法描述 1.分段线性插值流程图 2.分段二次插值流程图 3.拉格朗日插值流程图 4程序代码及注释 1.分段线性插值 《财务管理》教学中插值法的快速理解和掌握 摘要在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法,但初学者对该方法并不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相似三角形原理推导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类:加法公式和减法公式,简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。 关键词插入法;近似直边三角形;相似三角形 时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务决策的基本依据。为此,财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用下述方法来进行的。如高等教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。 事实上,这样计算的结果是错误的。最直观的判断是:系数与期数成正向关系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期数n应该更接近于5,而不是6。正确结果是:n=6-0.6=5.4(年)。由此可见,这种插入法比较麻烦,不小心时还容易出现上述错误。 笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算,效果很好,现分以下几种情况介绍其原理。 一、已知系数F和计息期n。求利息率i 这里的系数F不外乎是现值系数(如:复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA)和终值系数(如:复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA)。 (一)已知的是现值系数 那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系:贴现率越大系数反而越小,可用图1表示。 图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数的图示略有不同,在于i可以等于0,此时纵轴上的系数F等于1),F为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数,F对应的利息率即为i。查表所得的另一个比F略小的系数记作F,其对应的利息率为i。 数值分析 报告 班级: 专业: 流水号: 学号: 姓名: 常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值状况,估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪,中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后,牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具,又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是:假定区间[a,b〕上的实值函数f(x)在该区间上 n+1 个互不相同点x 0,x 1 (x) n 处的值是f(x ),……f(x n ),要求估算f(x)在[a,b〕 中某点的值。其做法是:在事先选定的一个由简单函数构成的有n+1个参数C , C 1,……C n 的函数类Φ(C ,C 1 ,……C n )中求出满足条件P(x i )=f(x i )(i=0,1,…… n)的函数P(x),并以P(x)作为f(x)的估值。此处f(x)称为被插值函数,x 0,x 1 ,……xn 称为插值结(节)点,Φ(C 0,C 1 ,……C n )称为插值函数类,上面等式称为插值条件, Φ(C 0,……C n )中满足上式的函数称为插值函数,R(x)= f(x)-P(x)称为 插值余项。 求解这类问题,它有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值。 一.拉格朗日插值 1.问题提出: 已知函数()y f x =在n+1个点01,, ,n x x x 上的函数值01,, ,n y y y ,求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明:函数()y f x =可能是未知的;也可能是已知的,但它比较复杂,很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法: 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知(或复杂)函数()y f x =,则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =+++ +,构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a 。 3.构造()n P x 的依据: 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时,我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件,可以写出非齐次线性方程组: 20102000 201121112012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?+++ +=?++++=??? ?+++ +=? 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式: () 200021110 2 111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏ 1. 克里金法(Kriging) 克里金法是通过一组具有z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。与其他插值方法不同,选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。 克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择,IDW仅仅将距离的倒数作为权重,而克里金考虑到了空间相关性的问题。它首先将每两个点进行配对,这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。对于这种方法,原始的输入点可能会发生变化。在数据点多时,结果更加可靠。该方法通常用在土壤科学和地质中。 2. 反距离权重法(Inverse Distance Weighted,IDW) 反距离权重法(反距离权重法)工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值。点到要估计的像元的中心越近,则其在平均过程中的影响或权重越大。此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如,为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时,在较远位置购电影响较小,这是因为人们更倾向于在家附近购物。 反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数,默认值为2。 通过定义更高的幂值,可进一步强调最近点。因此,邻近数据将受到最大影响,表面会变得更加详细(更不平滑)。随着幂数的增大,内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响,从而导致更加平滑的表面。 由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联,因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则,认为值为30 的幂是超大幂,因此不建议使用。此外还需牢记一点,如果距离或幂值较大,则可能生成错误结果。 3. 含障碍的样条函数(Spline with Barriers) 含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术,其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性。 含障碍的样条函数工具应用了最小曲率方法,其实现方式为通过单向多格网技术,以初始的粗糙格网(在本例中是已按输入数据的平均间距进行初始化的格网)为起点在一系列精细格网间移动,直至目标行和目标列的间距足以使表面曲率接近最小值为止。 4. 地形转栅格(Topo to Raster) 地形转栅格和依据文件实现地形转栅格工具所使用插值技术是旨在用于创建可更准确地表示自然水系表面的表面,而且通过这种技术创建的表面可更好的保留输入等值线数据中的山脊线和河流网络。 5. 样条函数(Spline) 样条函数法工具所使用的插值方法使用可最小化整体表面曲率的数学函数来估计值,以生成恰好经过输入点的平滑表面。 第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中,常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据,插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数,或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多,这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法,以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容,这里不作详细介绍,请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中,常常有这样的问题:由实验或测量得到变量间的一批离散样点,要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高,要求确定一个初等函数)(x P y =(一般用多项式或分段 多项式函数)通过已知各数据点(节点),即n i x P y i i ,,1,0,)( ==,或要求得函数在另外一些点(插值点)处的数值,这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法,直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明,当分点足够细时,分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图,为了算出它的国土面积,对地图作了如下测量:以由西向东方向为x 轴,由南向北方向为y 轴,选择方便的原点,并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段,在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2,这样就得到下表的数据(单位:mm )。 常见插值方法及其介绍 Inverse Distance to a Power(反距离加权 插值法)”、 “Kriging(克里金插值法)”、 “Minimum Curvature(最小曲率)”、 “Modified Shepard's Method(改进谢别德法)”、 “Natural Neighbor(自然邻点插值法)”、 “Nearest Neighbor(最近邻点插值法)”、 “Polynomial Regression(多元回归法)”、 “Radial Basis Function(径向基函数法)”、 “Triangulation with Linear Interpolation(线性插值三角网法)”、 “Moving Average(移动平均法)”、 “Local Polynomial(局部多项式法)” 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法,可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数 控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次,较近的数据点被 给定一个较高的权重份额,对于一个较小的方次,权重比较均匀地分配给各数据点。 计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距 离倒数成比例。当计算一个格网结点时,配给的权重是一个分数,所有权重的总和等于1.0。当一个 观测点与一个格网结点重合时,该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重,所有其它观测点 被给予一 个几乎为0.0 的权重。换言之,该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。 距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可 以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证,对于一个特定的结点,没有哪个观测点被赋予全部的 权值,即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数 据中的趋势,例如,高点会是沿一个脊连接,而不是被牛眼形等值线所孤立。 克里金法中包含了几个因子:变化图模型,漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的,具有最 小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法,试图在尽可能严格地尊重数据的同时,生成尽可能圆滑的 曲面。 使用最小曲率法时要涉及到两个参数:最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛 标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类 型。多元回归实际上不是插值器,因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法,可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次,较近的数据点被给定一个较高的权重份额,对于一个较小的方次,权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时,配给的权重是一个分数,所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时,该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重,所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之,该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证,对于一个特定的结点,没有哪个观测点被赋予全部的权值,即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势,例如,高点会是沿一个脊连接,而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子:变化图模型,漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的,具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法,试图在尽可能严格地尊重数据的同时,生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数:最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器,因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置,曲面定义是选择采用的数据的多项式类型,这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。 5、径向基本函数法 径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力,其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器,它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面,对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时,这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6、谢别德法 谢别德法使用距离倒数加权的最小二乘方的方法。因此,它与距离倒数乘方插值器相似,但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时,圆滑的效果越好。 7、三角网/线形插值法 三角网插值器是一种严密的插值器,它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样:所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的,由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形,所以你的数据是很受到尊重的。 8.自然邻点插值法 自然邻点插值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一 空间插值可以有很多种分类方法,插值种类也难以举尽。在网上看到这篇文章,觉得虽然作者没能进行分类,但算法本身介绍地还是不错的。 在科学计算领域中,空间插值是一类常用的重要算法,很多相关软件都内置该算法,其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性,内置有比较全面的空间插值算法,主要包括: Inverse Distance to a Power(反距离加权插值法) Kriging(克里金插值法) Minimum Curvature(最小曲率) Modified Shepard's Method(改进谢别德法) Natural Neighbor(自然邻点插值法) Nearest Neighbor(最近邻点插值法) Polynomial Regression(多元回归法) Radial Basis Function(径向基函数法) Triangulation with Linear Interpolation(线性插值三角网法) Moving Average(移动平均法) Local Polynomial(局部多项式法) 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法,可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次,较近的数据点被给定一个较高的权重份额,对于一个较小的方次,权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时,配给的权重是一个分数,所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时,该观测点被给予一个实际为1.0 的权重,所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之,该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证,对于一个特定的结点,没有哪个观测点被赋予全部的权值,即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势,例如,高点会是沿一个脊连接,而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子:变化图模型,漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的,具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法,试图在尽可能严格地尊重数据的同时,生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数:最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋 插值法的应用与比较 信科1302 万贤浩 13271038 1格朗日插值法 在数值分析中,拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律,而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值,拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日(插值)多项式.数学上来说,拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现,不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年,拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法,从此他的名字就和这个方法联系在一起. 1.1拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点:(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9),拉格朗日多项式:)(x L (黑色)穿过所有点.而每个基本多项式:)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的一点,并在其它的三个点的x 值上取零. 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ,对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式,则有无穷个,因为所有与L 相差 ))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数,已知有给定的1+k 个取值点: ),(00y x ,……,),(k k y x , 数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师:唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种:一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式:单项式,拉格朗日和牛顿插值;另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一.任意阶多项式插值: 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值: 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点(X,Y )构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值: 先构造一组插值函数L i (x ) =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------,其中i=0,… n.容易看出n 次多项式L i (x )满足L i (x )=1,(i=j );L i (x )=0,(i ≠j ),其中i=0,1…n ,令L i (x )=0()n i i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。与单项式基本 函数插值多项式相比,拉格朗日插值有2个重要优点:首先,建立插值多项式不需要求解方程组;其次,它的估计值受舍入误差要小得多。拉格朗日插值公式结构插值法在管理决策中的应用及其Matlab实现
插值法在图像处理中的运用要点
五种插值法的对比研究开题报告
数值分析常用的插值方法
计算方法实验报告 插值
插值法的原理
数值分析常用的插值方法
插值方法比较Word版
数学建模案例分析插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用
常见插值方法及其介绍
常见几种插值方法
各种插值方法比较
几种插值法的应用和比较
几种常用的插值方法