高2012级高三下期数学试题3

高2012级高三下期数学试题3

―、选择题：

1．

=+-i

i i 1)

1( （ ） A ．

i B ．i -

C ．1

D ．-1

2．数列

{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，则{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是 （ ）

A 6

B 7

C 8

D 9

3．若直线(25)(2)40a x a y ++-+=与直线(2)(3)10a x a y -++-=互相垂直，则a =（ ）

A ．2

B ．2-

C ．2或2-

D ．2或0或2-

4．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数.给出四个函数：()x x f 2

1l o g 2=

()()2log 2

2

+=x x f ，223log )(）

（x x f =，()x x f 2log )(2

4=. 则“同形”函数是 ( )

A ．()x f 1与()x f 2

B ．()x f 2与

()x f 3 C ．()x f 1与()x f 4 D ．()x f 2与()x f 4 5.设,m n 是两条异面直线，下列命题中正确的是 ( )

A ．过m 且与n 平行的平面有且只有一个

B ．过m 且与n 垂直的平面有且只有一个

C ．m 与n 所成的角的范围是()π，0

D ．过空间一点P 与m 、n 均平行的的平面只有一个

6.已知双曲线

124

252

2=-y x 上一点M 到右准线的距离为10，2F 为右焦点，2MF N 是的中点，O 为坐标原点，则ON 的长为

（A ）2 （B ）2或7 （C ）7或12 （D ）2或12

7．如图所示，在A ,B 间有四个焊接点,若焊接点脱落，则导致电路不通。 今发现A 、B 之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有（ ）种.

A.9

B. 11

C. 13

D. 15

8.甲:

2()||f x x mx n =++有四个单调区间，

乙： 2()lg()g x x mx n =++的值域R ，则甲是乙

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．以上均不对 9. 下面4个平面图形中，可以最为合适地卷成右图所示半径为r 的烟囱的“直角弯头”的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．

（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 直线

二、填空题：

11.设若1=a

，,2=b b a c -=，且a c ⊥，则向量a 与b 的夹角为 .

12的焦点与双曲线

的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为≥0

x 4

C 、

D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为_______

15. 符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数{}[]x x x -=。下列命题：

（1）函数{}x 的定义域为R ，值域为[]1,0； （2）方程{}2

1

=

x ，有无数解； （3）函数{}x 是周期函数；（4）函数{}x 是增函数；（5）函数{}x 具有奇偶性。正确的有 。

三、解答题：

16. 已知锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2

223tan b

c a ac

B -+=

， （1）求角B 的大小； （2）求)]10tan(31)[10sin( --+B B 的值.

17．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞

赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.

（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；

（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望。

18. 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，?=∠45CDA ． （I ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ； （II ）设AB=AP ．

（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为0

30，求线段AB 的长；

（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由。

19.已知函数

(I)当a=2时，求.

的单调区间和极值；

(II)若在[2,4]上为单调函数，求实数a 的取值范围

20. 直线)(*N n n y x ∈=+与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为n b ，（整点就是横纵坐标都为整数的点） （1）求3a 和3b 的值； （2）求n a 及n b 的表达式；

（3）对n a 个整点用红、黄、蓝、白四色涂色，其方法总数为n A ，对n b 个整点用红、黄两色涂色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小．

21. 如图，将x 轴正半轴绕原点O 逆时针旋转120°得到射线t ，点A 在射线t 上，且2||=OA ，点B 在x 轴上．若动点

P 满足0=?BO PB ，且PB PA ?、AP AO ?21、2||2

1

AB 成等差数列．

(1)问动点P 的轨迹C 是什么曲线？ (2)设M 1、

M 2是曲线C 上两个不同点，且M 1、M 2的纵坐标之和为1，记u 为M 1、M 2的横坐标之

积．问是否存在最小的常数m ，使u ≤m 恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说

明理由．

参考答案 一、选择题

1-5 CBCDA 5-10 DCADD 二、填空题 11、0

60 12、3

3

2 13、[]10,

3 14、1 15、②③ 三、解答题

16．解：（1）0

60=B (2) -1 17、（1）、

10

1

（2）、E ξ=1 18、本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。 解法一：

（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，

AC ?平面ABCD ，

所以PA AB ⊥，

又,,AB AD PA AD A ⊥= 所以AB ⊥平面PAD 。

又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD 。 （II ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 A —xyz （如图）

在平面ABCD 内，作CE//AB 交AD 于点E ，则.CE AD ⊥ 在Rt CDE ?中，DE=cos 451CD ??=，

sin 451,CE CD =??=

设AB=AP=t ，则B （t ，0，0），P （0，0，t ） 由AB+AD=4，得AD=4-t ，

所以(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---，

(1,1,0),(0,4,).CD PD t t =-=--

（i ）设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，

由n CD ⊥ ，n PD ⊥ ，得0,

(4)0.x y t y tx -+=??

--=?

取x t =，得平面PCD 的一个法向量{,,4}n t t t =-，

又(,0,)PB t t =-

，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30?，得

21cos 60||,,2

||||n PB n PB ??==?

解得

445t t =

=或（舍去，因为AD 40t =->），所以

4.5AB = （ii ）假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等， 设G （0，m ，0）（其中04m t ≤≤-）

则(1,3,0),(0,4,0),(0,,)GC t m GD t m GP m t =--=--=-

，

由||||GC GD = 得222

(4)t m m t --=+，（2）

由（1）、（2）消去t ，化简得2

340m m -+=（3）

由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ， 使得点G 到点P ，C ，D 的距离都相等。 从而，在线段AD 上不存在一个点G ，

使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等。 解法二：

（I ）同解法一。 （II ）（i ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A —xyz （如图）

在平面ABCD 内，作CE//AB 交AD 于E ，

则CE AD ⊥。在平面ABCD 内，作CE//AB 交AD 于点E ，则.CE AD ⊥ 在Rt CDE ?中，DE=cos 451CD ??=，

sin 451,CE CD =??=

设AB=AP=t ，则B （t ，0，0），P （0，0，t ） 由AB+AD=4，得AD=4-t ，

所以(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---，

(1,1,0),(0,4,).CD PD t t =-=--

设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，由n CD ⊥ ，n PD ⊥ ，得0,

(4)0.x y t y tx -+=??

--=?

取x t =，得平面PCD 的一个法向量{,,4}n t t t =-，

又(,0,)PB t t =-

，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30?，得

21cos 60||,,2

||||n PB n PB ??==?

解得

445t t =

=或（舍去，因为AD 40t =->），所以

4.5AB = （ii ）假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等， 由GC=CD ，得45GCD GDC ∠=∠=?，

从而90CGD ∠=?，即,CG AD ⊥∴sin 451,GD CD =??= 设,AB λλ=则AD=4-,3AG AD GD λ=-=-， 在Rt ABG ?

中，

GB ==

1,

=>这与GB=GD 矛盾。所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点B ，C ，D 的距离都相等，

从而，在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等。

20、解：（1）3=n 时，直线0=x 上有（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）个点，直线1=x 上有（1，0）（1，1）（1，2），

直线2=x 上有（2，0）（2，1），直线3=x 上有（3，0） 所以101234,133=+++==b a ……………………………4（分） （2）1=n 时，0,311==a b ； 2=n 时，0,622==a b 当3≥n 时，2

)

2)(1(12)1()1(++=

+++-+++=n n n n n b n 2

)

2)(1(3)1(3--=

++-=n n n b

a

n n 。 当2,1=n 时也满足。

所以)(2

2

3,223*22N n n n b n n a n n ∈++=+-=……………9（分）

（3）对于n a 个整点中的每一个点都有4种着色方法，故2

2324+-=

n n n A

对于n b 个整点中的每一个点都有2种着色方法，故2

2

322++=

n n n B ……11（分）

2465)29(2

2922

3)23(22222

22

-

-+-++-

+-=

=

=

n n n n n n n n

n B A

当n=1．2．3．4．5．6．7．8时n n B A <

当n ≥9且n ∈N *时，n n B A >…………………………………14（分） 21、(1)解：设P (x ，y )，∵0=?，∴PB ⊥BO ，故B (x ，0)，A (22

-，2

6) )2

622

(y x PA ---=，，)0(y PB -=，，)2

622(-=，AO ， ∴y y y y x PB PA 2

6)0()2622

(2-

=-?---=?，， 22

622

)2

622

()2622(+-=

+-

+?-=?-=?y x y x PA AO AP AO ，， 222

3

)22(||222++=++=x x x

由已知226246222+++-=+-x x y y y x

整理得：1222

=+y x ，∴点P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆．

4分

(2)解：若直线M 1M 2平行于y 轴，则)2126(1，M ，)2126(2-，M 或)2

126(1，-M ，)21

26(2--

，M ，∴23=u

6分

若直线M 1M 2不平行于y 轴，设过M 1、M 2两点的直线方程为b kx y += 由???+==+b

kx y y x 2

222 得 0224)21(222=-+++b kbx x k

8分

0)22)(21(4162222>-+-=?b k b k ，即0)21(22>-+b k ①

设M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)，则

222122*********k b x x k kb x x +-=+-=+，，∴221212122)(k

b b x x k y y +=++=+ 由已知b

k k b 22112122

2

=+?=+，代入①得：022>-b b ，即0＜b ＜2 b b b b x x u 1

222221-=-==

10分 ∵01

12>+='b u ∴u 在(0，2)上是增函数

∴23212=-

1

=m 使u ≤m 成立．