第十九章 解直角三角形教案(共15课时)-
解直角三角形
第1课时 测量
教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触
直角三角形的边角关系。
教学重点：探索测量距离的几种方法。
教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学过程：
一。复习引入：
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？ 二。新课探究：
例1. 书.P.98试一试.
如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1,用刻
度尺量出纸上B 1C 1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计
算的方法吗？
解：∵△ABC ∽△A 1B 2C 3, ∴AC:A 1C 1=BC:B 1C 1=500:1
∴只要用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，就可以计算出BC 的长度，加上AD 长即为旗杆的高度。若量得B 1C 1=a ㎝，则BC=500a ㎝=5a ㎝。故旗杆高(1+5a)m.
说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。
例 2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m 图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m 图(c)中BD=9m,EF=0.2；此人的臂长为0.6m 。
（1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。
（a ） （b ） （c ） O D
C
B A F E
D C
B A F
E
B C
D A
E D
C
B
A 1
1
1
C B A
分析：图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。
解：（1）∵△AOB ∽△COD,∴OD OB CD
AB
=
即4.36
7
.1=
AB ∴AB=3(m).
（2）∵同一时刻物高与影长成正比，∴DF
CD BE
AB
=
即6.01
8
.1=
AB ∴AB=3(m).
（3）∵△CEF ∽△CAB ∴BD FG AB
EF
=
即96
.02
.0=
AB
∴AB=3(m).
方法技巧：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度。 三、引申提高：
例3。设计一种方案，测量学校科技楼的高度。请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由。
分析：测量大楼的高度的方法很多，现采用一种方法，利用人的身高和标杆，依据相似三角形三角对应成比例和平行线的性质，可测出大楼的高度。
解答：测量过程如下： 1、在地面上立一个标杆，使人眼、杆顶、楼顶在一条直线上。
2、测出CF 、CH 的距离。
、算出KE 的长度。 4、用标杆长度减去人的身高，即DE 的长度。 、由DE ∥AB 得△KDE ∽△KAB 。又因为相似三角形三边对应成比例，∴KB KE
AB
DE
=
。
6、再将刚才测量的数值代入比例式中，计算出AB 的长度。
7、用AB 加上人的身高即得出大楼的高度。
探究点拔：1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、楼顶在一条直线上（人是站立的）。
2．大楼的高度=AB+人高。
3．测量的过程要清楚，力求每步都有根有据，达到学以至用。 四．巩固练习：
1.如图1，要测量A 、B 两点间距离，在O 点设桩，取OA 中点C ，OB 中点D ，测得CD=31.4m 求AB 长。 (AB=6
2.8m)
(1) (2) 2. 如图2, 为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A ，再在所在
F
C A B
O
A B C A
的一边找到两点B 、C ，使△ABC 构成Rt △。如果测得BC=50米，∠ABC=73°，试设计一种方法求河的宽度AC 。 (在地面上另作 Rt △A ’B ’C ’，使B ’C ’=5米，∠C ’=Rt ∠,∠B ’=73°, 测得 A ’C ’=16.35米，得 AC=16.35米 ). 五课时小结：
选择适当的方法测量物体的高度或长度等是新时期素质教育的要求，运用所学相似三角形知识设计测量方案时一定要考虑可行性，力求操作简便，计算简洁，同时注意分析环境、天气等要素。 六．课堂作业：
《创新教育目标手册》 P.89 课内练习 A 组 B 组 1—3
第2课时 勾股定理(1)
教学目标：1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2．会应用勾股定理解决实际问题 教学重点：探索勾股定理的证明过程 教学难点：运用勾股定理解决实际问题 教学过程：
一。探索勾股定理
1. 由书本P.99的图探索直角三角形的三边关系： ① 由图19.
2.1得出等腰直角三角形的三边关系
② 由图19.2.2得出一般直角三角形的三边关系.若∠C=90°,则2
22c b a =+
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
△ABC 中，∠C=90°, 则2
22c b a =+(a 、b 表示两直角边，c 表示斜边) 变式：2
22222,a c b b c a -=-=
2．介绍勾股定理的历史背景。 二．例题分析：
例1.Rt △ABC 中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90° （1） 已知a=8,b=10,求c. (c=6) （2） 已知a=5,c=12,求b (b=13) 注意：“∠B 为直角”这个条件。 例2 . 如图，△ABC,∠BAC=90°,AD 、AE 分别为△ABC 的高和中
线，∠=30°,若AD=33㎝,DE=3㎝, 则AE= ,BC= ,
AB= , AC= .
三、引申提高：
E
D
C
B
A A
1
A
例3. 如图,将长为5.41米的梯子AC 斜靠在墙上，BC 长为2.16米， 求①梯子上端A 到墙的底端B 的距离AB （精确到0.01米） ②当梯子上端A 下滑0.5米时，C 左滑多少米？ 解：①Rt △ABC 中，∠ABC=90°,BC=2.16,CA=5.41, AB=
96.416.241.52222≈-=-BC AC （米）
③ 由题意得,A 1B=4.96-0.5=4.46,A 1C 1=5.41, Rt △A 1BC 1中,BC 1=06.346.441.52
2
≈-（米）,
∴CC 1=BC 1-BC=3.06-2.16=0.9（米）. 四．巩固练习：
1．书本P ．102.1.2 2．《创新教育目标手册》P ．91. 当堂课内练习 五．课时小结：
1. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
2. 已知直角三角形两边的长或知道两边关系和第三边的长，可以利用勾股定理求出三角形未知边长，并可运用面积关系式求斜边上的高。 六．课堂作业：
《创新教育目标手册》 P.91 A 组 B 组 1—8
第3课时 勾股定理(2)
教学目标：1.用拼图的方法说明勾股定理的结论正确。
2．会应用勾股定理解决实际问题
教学重点：利用勾股定理解决实际问题 教学难点：构造直角三角形求解。 教学过程：
一． 复习引入：
1. 勾股定理的内容是什么？
2.一直角三角形中有两条边的长为1和2，求第三边。
二． 体验勾股定理的几种探求方法：
由下面几种拼图方法，试一试，能否得出2
2
2
c b a =+的结论。
（1） （2） （3） （4）
c
b
a
c
b
a
c
b
a
探究点拔：1.将这四个全等的直角三角形拼成图（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出2
2
2
c b a =+。
2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到2
2
2
c b a =+。
3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得2
2
2
c b a =+。
三．应用：
例1. 如图,为了求出湖两岸的AB 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使△ABC 恰好为Rt △，通过测量，得到AC 长160米，BC 长128米，问从A 点穿过湖到点B 有多远？
解：Rt △ABC 中，AC=100，BC=128，
根据勾股定理得:=AB
961281602222=-=-BC AC (米)
答：从A 点穿过湖到点B 有96米。
说明：运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形。若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理。
例2 .在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
解：设米米米，则)30(,302010x BC AC AD x BD -==+=+=. Rt △ABC 中，2
2
2
)30(20)10(x x -=++
解之得： .5=x
∴)(1510米树高=+x
四．引申提高：
例3．有一个棱长为1米且封闭的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点A 向顶点B 爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？
分析：最短路程为展开图中的5212
=+=AB 米
C
B
A
B
A
B
A
五。课时小结：
1. 说明勾股定理成立时要有一定的拼图能力。
2.构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题，运用勾股定理建立方程求解。
六．课堂作业：
《创新教育目标手册》 书P.104.习题19.2. 1—5
第4课时 勾股定理（3）
教学目标：使学生进一步掌握勾股定理，运用勾股定理解决实际问题中的测量与计算。 教学重点：运用勾股定理解决实际问题中的测量与计算。 教学难点：运用勾股定理解决实际问题中的测量与计算。 教学过程：
一、复习和练习：
在△ABC 中，∠C=90°.
1.若a=5,b=12,求c ； （c=13）
2.若b=7,c=9,求a ； （a=24）
3.若c=10,a:b=3:4求a,b 。 （a=6，b=8） 二．新课探究：
例1.已知Rt △ABC 中，斜边长为2，周长为62+。求其面积。
分析 ：欲求Rt △的面积，只需求两直角边之积，由已知得直角边之和为6，结合勾股定理又得平方和为4。于是可列方程组求解。 解：如图,设Rt △ABC 的两直角边为a 、,b 则 6=
+b a ①
42
2
=+b a ②
①2
-②得:2ab=2,则2
121=ab ∴S △ABC 2
1=
说明：在直角三角形中，已知几条边之间的某种关系，常结合勾股定理列方程组求解。在此题中，采用了“设而不求”的技巧。 例2.作长为5,3,2的线段。
分析 ：由勾股定理，直角边长为1的等腰Rt △，斜边长等于2；直角边长为2、1的直角三角形的斜边长就是3；类似地也可作出5。
c
b
a C
B
A
作法：1.作直角边长为1（单位长）的等腰Rt △ABC 。
2.以斜边AB 为一直角边，作另一直角边长为1的Rt △ABB1。
3.顺次这样作下去，最后作到Rt △AB2B3。 这时斜边AB 、AB 1 、AB 2、AB 3的长度就是。、、、5432
说明：根据n 确定两直角边的长度，构造直角三角形，则斜边就是所求做的线段。 三、引申提高：
例3．已知，如图△ABC 中，AB=AC,D 为BC 上任一点，
试说明：DC BD AD AB ?=-2
2
分析：欲说明DC BD AD AB ?=-2
2
，必须构造直角三角形，由于AB=AC ，故作BC 边上的高，运用勾股定理即可说明。 解：过A 作AE ⊥BC 于E 。
在Rt △ABE 中，
2
22BE AE AB +=。 ①
在Rt △ADE 中，2
2
2
ED AE AD -=。 ②
①-②得：))((2
2
2
2
ED BE ED BE ED BE AD AB -+=-=-。 ∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∴BE=EC 。
∴DC BD ED EC BD AD AB ?=-=-)(2
2
。
方法技巧：说明某些线段平方式问题常通过作垂线，构造直角三角形，从而运用勾股定理，结论中有两条线段积的形式时，常运用平方差公式进行因式分解。 四。巩固练习：
《目标手册》P.93.当堂课内练习.P.93.1—5 五。课时小结：
1． 根据n 确定两直角边的长度，构造Rt △，则斜边即为所求线段。
2.矩形的折叠问题中，经常会用勾股定理得到一个方程或方程组来求某些未知线段的长。
六．课堂作业：
《创新教育目标手册》 P.93—94 课内练习 A 组 B 组 1—5
第5课时 锐角三角函数（1）
B
A
E D C
教学目标：1.直角三角形可简记为Rt △ABC
2.理解Rt △中锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念。 教学重点：四种锐角三角函数的定义。 教学难点：理解锐角三角函数的定义。 教学过程：
一．复习提问：
1. 什么叫Rt △？它的三边有何关系？
2.Rt △中角、边之间的关系是：①∠A+∠B=90°②2
2
2
c b a =+ 二．新课探究：
1.Rt △ABC 中，某个角的对边、邻边的介绍。
2.如图，由Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3
得
,3
3
3222111k AC C B AC C B C A C B === 可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一
个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的。
同样，其对边与斜边，邻边与斜边，邻边与对边的比值也是惟一确定的。 3.四种锐角三角函数。
,
cot ,tan cos ,sin 的对边
的邻边
的邻边的对边
，
的斜边
的邻边
的斜边的对边
A A A A A A A A A A A A ∠∠=
∠∠=∠∠=
∠∠=
分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数. 显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0
1cot tan ,1cos sin 2
2=?=+A A A A
三．四种三角函数值
例1.①求出如图所示的Rt △ABC 中，∠A 的四个三角函数值。
解：Rt △ABC 中，AB=2
2
AC BC +=2
2
815+=17
∴sinA=
178=AB BC ，cosA=17
15
=AB AC
tanA=158=AC BC ，cotA=8
15
=BC AC
8
②若图中AC ︰BC=4︰3呢？ 15
A
B
C
A B C
C C 3
2111
B B 1
C B A
解：设AC=4κ，BC=3κ，则AB=5κ
∴sinA=
53，cosA=54，tanA=43，cotA=34 ③若图中tanA=4
3
呢？（解法同上）
例2.△ABC 中，∠B=90°，a=5，b=13，求∠A 的四个三角函数值。
解：Rt △ABC 中，c=2
2
a b -=2
2
513-=12 ∴sinA=
135，cosA=1312，tanA=125，cotA=5
12 注意：解Rt △，如无图，应根据题意自己画图，寻找线段比值也应根据定义，不能死
记公式。
四．巩固练习：
书P 1091-3
五．引申提高：
例3．如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若AD=2，BD=8。 求cosB 。你还能求什么？
法一：Rt △BCD,5
5
2cos ==
BC BD B 法二：Rt △ABC 中，5
5
2cos ==
AB BC B 变式：若AD:BD=9:16, 求∠A 的四个三角函数值。 (
4
3
,34,53,54 ) 六．课时小结：
灵活运用四个三角函数求值。 七．课堂作业：
《创新教育目标手册》 P.95。课内练习 1—4 A 组 1—4
第6课时 锐角三角函数（2）--------特殊值
教学目标：1、使学生熟记30°、45°、60°的三角函数值
2、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边
的一半。
A B
C
A B
C
D
教学重点：特殊角的三角函数值。 教学过程： 一、 复习：
1.什么叫锐角A 的正弦、余弦、正切、余切？
2.如图，∠C=90°，AC=7，BC=2
（1） 求∠A 和∠B 的四个三角函数值 （∠A ：27,72,
5353
7,
5353
2
∠B ：7
2,27,
5353
2
,
5353
7） （2） 比较求值结果，你发现了什么？
（sinA=cosB, cosA=sinB, tanA=cotB, cotA=tanB ） 得出：如果两个锐角互余，则有 sin(90°－A)=cosA, cos(90°－A)=sinA, tan(90°－A)=cotA, cot(90°－A)=tan A
二、 新授
1.推导特殊角的三角函数值
例1、直角△ABC 中，∠A=30°，求sinA 、cosA 、tanA 、 cotA 由sin30°=
2
1
得出： 在直角三角形中如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
练习：∠A=45°、∠A=60°呢？
2.已知特殊角的三角函值求锐角 例2.①已知sinA=
2
1
,则∠A= 30° ; ②已知tanA=1,则∠A= 45° ; ③已知cosB=
2
1
,则∠B= 60° ; ④已知sinB=
2
3
,则∠B= 60° ; A B
C
⑤已知,03cot 3=-α则∠α= 60° ; ⑥已知,2
3
)15sin(3=
?-β则∠=β 75° ; ⑦已知
(
)
03
3
tan 1sin 22
=-
+-B A ,A,B 为△ABC 的内角，则∠C = 75° ； ⑧已知03tan )31(tan 2
=++-αα，则=α 45°或60° ； 3.计算：
例3.①?+?+?45tan 60cos 330sin 2 （
2
7
） ②?-??-?45cot 230cot 45tan 30cos （ 2
1 ） ③?+?30cos 30sin （ 1 ）
④?-++?-?30sin 1160sin 260sin 2
（
2
3
3- ） 三、 引申提高：
1sin )1(cos 2---αα ( ααcos sin - )
注意: ①2
2
2
30sin )30(sin 30sin ?≠?=? ②0＜αsin ＜1, 0＜αcos ＜1 四、 巩固练习
计算①?+?-?+?60sin 245tan 250cot 30tan 3 （ 132- ）
②
???+?
-??
30cos 45cos 60tan 60cot 45sin （ 0 ）
③?
+?+
?-?30cos 45sin 1
45cos 60sin 1 （ 34 ） ④?-+-?30sin 1)160(cos 2
（ 1 ） 五、 课时小结
1.特殊角30°45°60°的四种三角函数值，
2.注意30°、60°角的函数值的区别 六、课作
《目标手册》P95课内练习5 A 组 5 B 组 6、7、8
第7课时 锐角三角形函数（3）-----计算器求值
数学目标：利用计算器求出任意一个锐角的四个三角形函值；同时已知一个锐角的三角形
函数值可求出这个锐角。
数学重点：利用计算器求三角函数值和锐角。
数学难点：用计数器求锐角三角函数值是要注意按键顺序。 数学过程： 一、复习提问
1、30° 、45°、60° 的三角函数值。
2、计算：1）
???+?+?30cos 30sin 45cos 2260sin 21 （ 2
13+ ） 2）
?
-??
-?45cot 230cot 45tan 60cos （ 232+ ）
3）△ABC 中，.0cos 2)3sin 2(2
=-+-B A 求△ABC 的三个内角。
二、新授
1、求已知锐角的三角函数值。
例1.求sin63°52′41″的值（精确到0.00001）
分析：由于计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度，所以我们必须先把角63°52′42″转换为″度″。
解：如下方法将角度单位状态设定为″度″：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897859012 ∴Sin63°52′41″≈0.8979
例2．求cot70°45 ″的值（精确到0.0001）.
分析：因为计数器上无法计算余切值，于是我们根据tanA.cotA ＝1， 用A
A tan 1
cot =
来计算。
），按下列顺序依次按键：
显示结果为
0.349215633.
∴cot70
°45
′≈0.3492.
巩固练习：
书P.111.
练习.1.
2.由锐角三角函数值求锐角.
例3. 已知
tanx＝0.7410. 求锐角x.（精确到1′）.
解：在角度单位状态为″度″的情况下（屏幕显示出，按下列顺序依次按
显示结果为：36.53844577.
再按键
显示结果为36°32°18.4 .
∴x≈36°32′
注意：由角x的三角函数值求角x，按键的次序有所不同，它与求角x的三角函数值是一个“互递”的过程。
例4：已知cotx＝0.7410. 求锐角x.（精确到1′）
分析：根据
x
x
cot
1
tan=可以求出tanx的值.然后根据例3的方法可求出锐角x. 解：∵cotx＝0.7410，
∴349527665
.1
7410
.0
1
tan=
=
x
三、巩固练习：
书P.111.练习2.
四、课时小结。
1.利用计数器求出任意一个锐角的四个三角函数值，同时已知一个锐角函数值可求出这
个锐角。
2.求已知锐角的余切时，应先求出正切值，再根据
x
x
cot
1
tan=求出其余切值；结果应注意近似要求.
五、课作：
《目标手册》.P.97.课内练习.1.2 A 组.B 组 1---4
第8课时 锐角三角形函数（4）—复习
教学目标：熟练运用三角函数知识解题 教学重点：锐角三角函数
教学难点：锐角三角函数的运用 教学过程： 一、 复习
1. 直角三角形中四个锐角三角函数的求法
2. 特殊三角的三角函数值
3. 练习：书P 111习题19.3 1-5 二、
新授
例1.如图，菱形ABCD 中，对角线AC=16，BD=30，求:①∠ABD 的四
个三角函数值。②sin ∠ABC
解：①在菱形ABCD 中，AO=CO=8，BO=DO=15，AC ⊥BD ，∴
AB=2
2
AO BO +=2
2
158+=17
在Rt △ABO 中，sin ∠ABD=
178=
AB AO ，cos ∠ABD=17
15
，tan ∠ABD=158，cot ∠ABD=815 ②过C 作CE ⊥AB 于E ，菱形ABCD 中，AB=BC=17，S ABCD 菱形=CE AB BD AC ?=?2
1
∴21×16×30=CE ?17，∴CE=17
240
Rt △BCE 中，sin ∠ABC=289
240
=
CB CE 例2.在△ABC 中，∠C=90°，sinA=4
3
，求cosA 的值
分析：本题可有两种方法求解
1. 利用∠A 的正弦、余弦的定义来解
2. 利用同角三角函数中的平方关系式 解法一：设a=κ3，c=κ4，则b=7
κ，∴cosA=4
7
47==
κκc b 解法二：∵sin 2A+cos 2
A=1，sinA=
4
3，∴cosA=47)43(1sin 122
=-=-A
O E D
C
B
A
三。引申提高：
例3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，sinB=5
3
，D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，CD=DE ，AC+CD=9，求BE 、CE 的长。
分析：由sinB=
5
3
==AB AC DB DE ，可设DE=CD=κ3 ，DB=κ5，则BC=8κ，AC=6κ，AB=10κ，再由AC+CD=9，可求出各边长。在Rt △BDE 中，由勾股定理求BE 长，过C 作CF ⊥AB ，再用勾股定理求解。
解：∵sinB=
53，∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴sinB=5
3
==AB AC DB DE ，设DE=CD=3κ，则DB=5κ 又CD=DE=3κ，∴CB=8κ，∴AC=6κ，AB=10κ，∵AC+CD=9，∴693=+κκ，∴1=κ
∴DE=3，DB=5，∴BE=4352
2
=-
过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ∥DE ，∴85===BC BD BF BE CF DE ，求得CF=524，BF=5
32
∴EF=512，在Rt △CEF 中，55
122
2=+EF CF
四、巩固练习
1. △ABC 中，∠C=90°，a=40,c=41.
求B B B 2
2
cos 9sin 9tan 40--的值。 ( 0 ) 2.计算①?+???+?45sin 60cot 30cos 30cos 2
( 2
3
1+ ) ②
?
-??
-?45sin 30cos 45cos 60sin ( 1 )
3.△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,求cosB 。 （ 5
4
）
五、课时小结．
1. 熟记锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值。
2. 三角函数定义的理解在复杂图形中求某角的三角函数值。
3. 通过作垂线构造Rt △，运用勾股定理列方程求解。 六、课作：
1. △ABC 中,02
3
sin 1cos 2=-
+-B A ,∠C= 60° 2.△ABC 中,∠C=90°,斜边上的中线长为m,且m AC 3
4
=
，
求最小角的余弦值。 (35 ) F E D
C
B
A
E
D
C B
A
A
2. △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是BC 上一点， 且DC=2BD ，DE ⊥AB 于E ，求sin ∠AEC 的值。（
13
13
3）
3. △ABC 中，∠C=30°，D 为AC 上一点，DB ⊥BC ，已 知AD ︰DC=1︰2，求tan ∠ABD 的值。 （
3
3
） 4. △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ， tanB=21，AE=7，求DE 长。（3
7）
第9课时 §19.4 解直角三角形（1）
教学目标：利用直角三角形边角之间的关系，解决与直角三角形有关的实际问题 教学重点：解直角三角形的有关知识 教学难点：运用所学知识解决实际问题 教学过程：
一、 复习提问
1. Rt △中的关系式.（∠C=90°）
1） 角：∠A ﹢∠B=90°
2） 边；a 2
﹢b 2
=c 2
3） 边角关系：sin
c a coA=c b tanA=b a cotA=a
b 2. △ABC 中,若∠C=90°,∠A=30°,c=10㎝,则a=2
1
c=5㎝,b=3a=53㎝；
若∠A=40°,c=10㎝,则由sinA=c
a
,∴?=?=40sin 10sin A c a ,由cosA=
c
b
,∴?=?=40cos 10cos A c b
由以知的边角关系，求得未知的边与角，叫做解直角三角形。 二、 新授
看书P 112例1、例2
得出：1.解Rt △的定义；在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解
直角三角形。
2.解Rt △，只有下面两种情况：1）已知两条边
B C
A
E
D
C
B
A
2）已知一条边和一个锐角
3.在解Rt △的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个
有效数字，角度精确到1′。
例3. 某施工人员在离地面高度为5米的C 处引拉电线杆，若固定点离电线杆3米，
如图所示，则至少需要多长的缆线AC 才能拉住电线杆？（结果保留两位小数）
分析：由图可知，AC 是Rt △ABC 的斜边，利用勾股定理就可求出。 解：在Rt △ABC 中，AC=
22BC AB +=2235+=34≈5.83（米）
答：至少需要5.83米的缆线AC 才能拉住电线杆。
三、引申提高：
例4. 如图，上午8时，小明从电视转播塔C 的正北方向B 处以15千米/时的速度沿着笔直的公路出发，2小时后到达A 处，测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向，试求出发前小明与电视转播塔之间的距离，并求出此时距电视转播塔有多远？（精确到1千米）
解：在RtABC 中，∠CAB=90°－50°=40°，AB=15×2=30（千米），
∵tan ∠CAB=
AB BC
，∴?=∠?=40tan 30tan CAB AB BC ≈25（千米）， ∵cos ∠CAB=AC AB ，∴AC=?
40cos AB
≈39（千米）
答：出发前小明与电视转播塔的距离约25千米，此时距电视塔39千米。
变式： 若已知敌舰与A 炮台的距离及∠DAC 的读书分，如何求两炮台间的距离？
测量中能应用解直角三角形的知识吗？
四。巩固练习
《目标手册》P 98，课内练习1-5
五．课时小结：
本节的重要内容是解Rt △的有关知识，解Rt △的依据是勾股定理.两锐角互余和边角之间的关系,一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除法运算。 六．课作。
《目标手册》P 99 A 组。B 组。1—4
第10课时 §19.4解Rt △（2）
教学目标：分清仰角、俯角等概念的意义，准确把握这些概念解决一些实际问题 教学重点：仰角、俯角、等位角等概念 教学难点：解与此有关的问题 教学过程：
一、 仰角、俯角的概念
B C
A 50
B
D
C
A
铅垂线 几个概念 1.铅垂线
2.水平线 仰角
3.视线
俯角 4.仰角：视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角。 5.俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角。 练习：1.由A 测得B 的仰角为36°，由B 去测A 时的俯角为 。
2.一棵树AC 在地面上的影子BC 为10米，在树影一端B 测得树顶A 的俯角为 45°，则树高 米；若仰角为60°，树高 米。（精确到1米） 二、 应用
例1．书P114 例4
例2.如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼，AB ⊥CD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶A 测乙楼顶C 的仰角α=30°，已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼高。
解：Rt △ACE 中，CE=?=?=?30tan 24tan tan ααBD AE =83m ，
∴CD=CE+DE=CE+AB=（83+15）（米） 答：乙楼高为（83+15）米。
三、引申提高：
例3.如图，为了测量顶部不能达到的建筑物AB 的高度，现在地平面上取一点C ，用测量仪测得A 点的仰角为45°，再向前进20米取一点D ，使点D 在BC 延长线上，此时测得A 的仰角为30°，已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB 的高度。
解：在Rt △AEG 中，EG=??45cot AG =AG ，在Rt △AFG 中，
FG=??30cot AG =3AG ∴EF=FE －EG=（3－1）AG=20，
∴AG=310+11.5（米）
答：建筑物AB 的高度为（310+11.5）米。
说明：解此类问题的关键是建立实际问题的数学模型，即构建Rt △。必要时可添加适当的
辅助线，解题时应选择适当的关系式进行解题，并按照题目中的要求进行近似计算。 变式：若点E 在FG 的延长线上，且∠AEG=45°，已知FE 的长度，其他条件不变，如何求建筑物AB 的高度？
例4.如图，在一座山的山顶处用高为1米的测顶器望地面C 、D 两点，测得俯角分别为 60°和45°，若已知DC 长为20㎝，求山高。
分析：已知∠FAD=45°，∠FAC=60°，要求山高，只需求AE 。
解；设AE=χ，在Rt △ADE 中，χ=??=45tan AE DE ，
A
C
B E
D
A
C
B
F E D
A F
在R △ACE 中，χ3
3
30tan =??=AE CE ，DC=DE －CE=χχ3
3
-
=20， ∴31030+=χ，∴BE=AE －AB=29＋103， ∴山高为（29+103）米。
四．巩固练习。
1. 了解仰角、俯角的概念。
2. 学会几何建模，通过解Rt △求解。 五．课作。
《目标手册》P 101 A 组。B 组。1—5
第11课时 解直角三角形（3）
教学目标：弄清铅垂高度、水平长度、坡高（或坡比）、坡角等概念； 教学重点：理解坡度和坡角的概念
教学难点：利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题 教学过程：
一、复习提问：
什么叫仰角、俯角？ 二、坡度、坡角的概念
几个概念： 1、铅垂高度h
2、水平长度l
3、坡度（坡比）i :坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比
α
αtan 1
1====
m h
l l h i 4、坡角α：坡面与水平面的夹角α. αtan ==
l
h
i 显然，坡度i 越大，坡角α就越大，坡面就越陡。
练习：1、沿山坡前进10米，相应升高5米，则山坡坡度
3
1，坡角 30°，
2、若一斜坡的坡面的余弦为
10103，则坡度3
1
=i , h l
i=h:l
3、堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）
① 若AB=10,CD=4,高h=4，则坡度i =3
4
,AD= 5
②若AB=10,CD=4 ,5
1
=i ,则=h 2 ， 例1、书P115 例4
例2、如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD,DC ∥AB,迎水坡AD 长为32米，上底DC 长为2米，背水坡BC 长也为2米，又测得∠DAB=30°,∠CBA=60°,求下底AB 的长. 解：过D 、C 分别作DE ⊥AB 于E,CF ⊥AB 于F,
在直角△ADE 中,∠A=30°，AD=32
∴DE=AD sin30°=3,AE=AD cos30°=3. 30°
60° 在直角△CBF 中,BF=BC cos60°=1 ∴AB=AE+EF+BF=3+2+1=6 答：下底的长为6米。
思考：延长两腰或平移一腰能求出下底的长吗？
说明：以上解法体现了“转化”思想，把梯形的有关问题转化为解直角三角形可多角度的分析，添加辅助线，灵活、恰当地构造直角三角形，使解法合理化。
例3.铁道路基的横断面是等腰梯形,其尺寸如图所示,其中i =1:1.5是坡度每修1m 长的这种路基,需要土石多少立方?
解:过A 、D 分别作AE ⊥BC 于E,DF ⊥BC 于F.则AE=DF=1.2m. ∵i =1:1.5.ABCD 为等腰梯形.
∴BE=CF=1.8m
∴BC=1.8+10+1.8=13.6m ∴SABCD=16.142.1)6.1310(2
1
=?+㎡
∴V=1×14.16=14.163
m
答:需要土面14.16立方米。
三、引申提高：
例4.沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m,坡度由原来的1:2改为1:2.5,已知坝高6m,坝长50m,求：
① 加宽部分横断面的面积
② 完成这一工程需要的土方是多少？
分析：加宽部分的横断面AFEB 为梯形，故通过 β α
A
B
C D F
A
B
C D
E
F
A D i=A D
B E
F H G
解直角三角形教案设计
解直角三角形教案设计 教学建议 1.知识结构： 本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法. 2.重点和难点分析： 教学重点和难点：直角三角形的解法. 本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键. 3. 深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化. 锐角三角函数的定义： 实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中. 当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素. 由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求
边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具. 4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下： 5. 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化 由上述(3)可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例. 例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角(如图) 这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高(想一想：作其它边上的高为什么不好.)，问题就转化为两个解直角三角形的问题. 在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了. 掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法 是十分重要的，如 (1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角
人教版五年级上册数学教案第五单元第15课时教学设计
第五单元简易方程 第十五课时 【教学内容】：教材P77～78例3、例4及练习十七第1、4、8、9题。 【教学目标】： 知识与技能：学习解答形如a(x ±b)=c的方程。 过程与方法：学生在利用迁移类推的方法解决问题的过程中，体会数学与现实生活的密切联系。结合具体的情景，使学生掌握根据两积之和的数量关系列方程以及把小括号内的式子看作一个整体进行求解的思路和方法。 情感、态度与价值观：通过学习两积之和的数量关系来理解两积之差、两商之和、两商之差的数量关系，培养学生举一反三的能力。 【教学重、难点】 重点：分析数量关系，列出含有小括号的方程并解答。 难点：用方程解答类似两积之和或差的逆向思考问题。 【教学方法】：多媒体。 【教学准备】：创设情境，自主探索，合作交流。 【教学过程】 一、复习导入 出示习题。 (1)舞蹈组有男生x 人，女生人数是男生的2倍，女生有( )人，男、女生共有( )人。 (2)城郊中学图书馆有科技书m本，故事书的本数是科技书的1.8倍，那么，m+1.8m表示( )，1.8m-m表示( )。 2．教师：像上题中m+1.8m，1.8m-m如果在方程中出现，该怎样解这样的方程呢？今天我们就来学习用这样的方程解决问题。 （板书课题：列方程解决稍复杂的问题） 二、互动新授 1．出示：妈妈买了2kg苹果和3kg梨，已知梨每千克2.8元，苹果每千克2.4元，妈妈一共要付多少元？ 学生思考，说出数量关系，并列式。 得出：苹果的总价＋梨的总价＝总钱数 2.4×2+2.8×3=1 3.2（元） 2．把这一题改一改，出示教材第77页例3：让学生观察与上一题有什么区别。 小组内交流，汇报：梨和苹果都是2kg，梨每千克2.80元总钱数是已知的，求苹果的单价。 小结：两题的数量关系没变，只是已知数和未各数交换了位置。 思考：你能列方程来解答吗？学生尝试用方程解答，汇报。 并根据学生汇报板书解题步骤： 解：设苹果每千克x 元。 2x +2.8×2=10.4 x =2.4
解直角三角形教案(完美版)
在线分享文档地提升自我 By ：麦群超 解直角三角形 一、教育目标 (一)知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的 两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角 三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感态度与价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、重、难点 重点：直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 三、教学过程 (一)明确目标 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sin ;cos ;t an ;cot b a b a B B B B c c a b ====； sin ;cos ;tan ;cot a b a b A A A A c c b a ==== 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． (二)整体感知 教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．
(完整版)解直角三角形超经典例题讲解
课 题 解直角三角形 授课时间： 备课时间： 教学目标 1. 了解勾股定理 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求 各考点 教学方法：讲授法 教学内容 （一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； （1）
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。 记作i,即i = l h ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1
《解直角三角形及其应用》教案
【教案三】23.2解直角三角形及其应用 一．教学三维目标 (一)、知识目标 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边A A ∠∠，sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠ （二）新授概念 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1 如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米) 解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC ∴AB=B AC sin =2843.01200 =4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米． 例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ） 分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。斜边 的邻边 A A ∠=cos 斜边的对边 A A ∠=sin
华师大版解直角三角形教案
第19章 解直角三角形 第1课时 §19.1 测 量 【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解 决生活中某些测量问题。 【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。 【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。 【教学方法】探究法 【教具准备】皮尺、测角仪 【教学过程】 一、问题引入 1．测量操场旗杆有多高？ 如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。 图19.1.1 2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识。 二、试一试 如图19.1.2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。） 实际上，我们利用图19.1.2（1）中 已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角 图19.1.2
形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容。 三、归纳小结： 两种测量的方法： 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长； 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。 四、课堂练习 1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。 2．请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。 五．课后作业P99（习题19.1） 第2课时§19.2勾股定理（1） 【教学目标】1.研究直角三角形的特殊性质：勾股定理； 2．运用勾股定理进行简单的计算。
锐角三角函数及解直角三角形的应用练习题
第18题图 C B A 锐角三角函数及解直角三角形的应用 一、选择题 1.如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处. 已知AB=38, ∠B=30°, 则DE 的长是( ). A. 6 B. 4 C. 34 D. 23 2.如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为（ ） A 80 3 3米 B ．403米 C ．40米 D ．10米 3．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ） A ． 1：2 B. 3 ：2 C. 1： 3 D. 3 ：1 4．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）1213 （C ）10 13 （D ）512 5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)1 (B)2 （C ）2 2 (D)22 6．在△ABC 中，三边之比为2:3:1::=c b a ，则sinA+tanA 等于（ ） （A ） 6323+ （B ）32 1 + （C ）233 （D ）213+ 7．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ∶AC 等于（ ） （A ）2:3 （B ）3:3 （C ）1∶2 （D ）1:2 8．如图是一束平行的光线从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=32米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为（ ） （A ）32米 （B ）3米 （C ）3.2 米 （D ） 2 3 3米 A B C M N
解直角三角形教学设计及反思.doc
解直角三角形教学设计及反思 教学内容分析: 本节内容是在学习了“锐角三角函数” “勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形。通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。将为一般性地学习三角形的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。对部分学生来说，有一定的难度。 教学目标： 1、知识技能：使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2、过程与方法：经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。 3、情感态度与价值观：形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心, 养成良好的学习习惯。 教学课时：一课时教学重难点:
创设情境: 2.4米时，梯子与地面所称的角a 等于多少（精 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。 难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。 教学过程： 问题1:如图所示，一棵大树在一次强大台风中折断倒下，树干折断处距 地面3米，且树干与地面的夹角是30° ,大树折断之前高多少米？ 问题2：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角Q —般要满足50° W a W 75。（如图）,现有一个长6米的梯 子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位） 确到1。）？这时人是否能够安全使用这个梯子 ? （2）当梯子底端距离墙
五年级数学上册5简易方程第十五课时实际问题与方程教案新人教版
第十五课时实际问题与方程(3) 教学内容：教材P77～78例3、例4及练习十七第1、4、8、9题。 教学目标： 知识与技能：学习解答形如a(x ±b)=c的方程。 过程与方法：学生在利用迁移类推的方法解决问题的过程中,体会数学与现实生活的密切联系。结合具体的情景,使学生掌握根据两积之和的数量关系列方程以及把小括号内的式子看作一个整体进行求解的思路和方法。 情感、态度与价值观：通过学习两积之和的数量关系来理解两积之差、两商之和、两商之差的数量关系,培养学生举一反三的能力。 教学重点：分析数量关系,列出含有小括号的方程并解答。 教学难点：用方程解答类似两积之和或差的逆向思考问题。 教学方法：多媒体。 教学准备：创设情境,自主探索,合作交流。 教学过程 一、复习导入 出示习题。 (1)舞蹈组有男生x 人,女生人数是男生的2倍,女生有( )人,男、女生共有( )人。 (2)城郊中学图书馆有科技书m本,故事书的本数是科技书的 1.8倍,那么,m+1.8m表示( ),1.8m-m表示( )。 2．教师：像上题中m+1.8m,1.8m-m如果在方程中出现,该怎样解这样的方程呢？今天我们就来学习用这样的方程解决问题。 （板书课题：列方程解决稍复杂的问题） 二、互动新授 1．出示：妈妈买了2kg苹果和3kg梨,已知梨每千克2.8元,苹果每千克2.4元,妈妈一共要付多少元？ 学生思考,说出数量关系,并列式。 得出：苹果的总价＋梨的总价＝总钱数 2.4×2+2.8×3=1 3.2（元） 2．把这一题改一改,出示教材第77页例3：让学生观察与上一题有什么区别。 小组内交流,汇报：梨和苹果都是2kg,梨每千克2.80元总钱数是已知的,求苹果的单价。小结：两题的数量关系没变,只是已知数和未各数交换了位置。 思考：你能列方程来解答吗？学生尝试用方程解答,汇报。 并根据学生汇报板书解题步骤： 解：设苹果每千克x 元。
解直角三角形知识点及典型例题
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
整理解直角三角形的应用经典题型
解直角三角形应用经典 【例1】：为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度． 练习1、如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高（精确到0.1）． （参考数据：414 .12≈ 732.13≈） 练习2、2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图， 有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米） （参考数据：, 75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈?≈?≈?73.13≈） B A C
【例2】：在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处 有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经 过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83的C处． （1）求该轮船航行的速度； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 练习：如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装 天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于 C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长. 【例3】：如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=ο 60,坡长AB=m 3 20,为加强水坝强度,将 坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角∠F=ο 45,求AF的长度(结果精确到1米,参考数据: 414 .1 2≈,732 .1 3≈). N M 东 北 B C A l
新高一unit15教案第一课时
新高一unit15教案（第一课时）Unit 15 The necklace Ⅰ。Teaching Goals: 1。Talk about drama and theatre。 2。Use the modal verbs:must，can/could，may/might (1)ask for permission;(2)ask about possibilities 3。Write and act a simple play。 Ⅱ。Teaching Time: Four periods The First Period Teaching Aims: 1。Learn and master the following words: footprint shoeprint fingerprint tire mystery mysterious scary dormitory 2。Do some listening。 3。Do some speaking by acting out some short plays。 Teaching Important Points: 1。Do listening and speaking practice。 2。Improve the students' listening ability。 3。Improve the students speaking ability by acting out some short plays in English。 Teaching Difficult Points:
1。How to finish the task of speaking。 2。How to make up short plays。 Teaching Methods: 1。Warming up to arouse the students' interest in creating good stories。 2。Listening-and-choosing activity to help the students go through with the listening material and understand it。 3。Making and acting out simple plays to practise the students' speaking ability。 4。Individual，pair or group work to make every student work in class。 Teaching Procedures: Step Ⅰ。 Greetings Greet the whole class as usual。 Step Ⅱ。 Lead-in T:Have you read thrilling and exciting stories? S1:Yes，I've read one。It is Huckleberry Finn。It was written by Mark Twain。It tells us something about a boy who met with much danger and trouble。 T:Have you seen the soul-stirring film? S2:Yes。I have seen the film“Titanic”。It tells
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案 ―－俯角仰角问题教学目标： 1、了解仰角、俯角的概念。 2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际 问题。 3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合的思想方 法。 教学重点： 解直角三角形在实际中的应用。 教学难点： 将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。 教学方法：三疑三探 教学过程： 一、复习引入新课 如图：在△ABC中，∠C=90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别为 a,b,c. 则三边之间关系为； 锐角之间关系为；边角之间关系(以锐角A为例)为。 看来大家对基础知识掌握得还是比较牢固的。下面我们来看这样一个问题： 问题：小玲家对面新造 了一幢图书大厦，小玲心想： “站在地面上可以利用解直角 三角形测得图书大厦的高，站 在自家窗口能利用解直角三角 形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？ ο 46A B C Cο 29 A
AE ＝DE ×tan a ＝BC ×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17 AB ＝BE ＋AE ＝AE ＋CD ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米） 答:旗杆的高度约为10.4米． 2、解：在ΔABC 中，∠ACB =90° ∵ ∠CAB =46° AC=32m tan ∠CAB= ∴BC=AC ·tan46° ≈33.1 在ΔADC 中，∠ACD=90° ∵ ∠CAD=29° AC=32m tan ∠CAD= ∴DC=AC ·tan29° ≈17.7 ∴BD=BC+CD=33.1+17.7=50.8≈51 答：大厦高BD 约为51m. 二、 质疑再探 在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。 三、 运用拓展 １、 生自编题 ２、 师补充题 1、一架飞机以300角俯冲400米,则飞机的高度变化情况是( c ) C ο29D A BC AC DC AC ο46A B C
《解直角三角形》典型例题
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4 cos =? == B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是 的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求：
《解直角三角形及其应用》 word版 公开课一等奖教案1
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 解直角三角形及其应用 课题 28.2解直角三角形及其应用1 授课时间 课型 新授 二次修改意见 课时 1 授课人 科目 数学 主备 教学目标 知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 情感态度价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 教材分析 重难点 重点：直角三角形的解法 难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 教学设想 教法 三主互位导学法 学法 小组合作 教具 三角板，多媒体
本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。 课堂设计 一、目标展示 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、预习检测 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 三、质疑探究 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形． 四、精讲点拨 已知一边一角，如何解直角三角形？ 五、当堂检测 1、Rt △ABC 中，若sinA= 4 5 ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=3 5 ，则cos A 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916 .2525 D 六、作业布置 板 书 设 计 28.2解直角三角形及其应用1 边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思
(完整版)15课景阳冈第一课时教案.doc
鲁村镇集体备课课时教学设计年级五学科语文主备人王琦审核人王琦序号29 课题《景阳冈》课型 教学目标（三维目 标）教学重点教学难点 新授课 1、理解课文内容，使学生了解武松豪放倔强、勇敢无畏的性格。 2、能在理解内容的基础上分清事情的前因、后果。 3、重点朗读课文中描写武松打虎的部分。 了解武松打虎的经过和所表现出来的豪放倔强、机智勇敢的性格 除了打虎，课文还写了哪些内容，这些内容跟打虎有什么关系。 教法学法 小组合作交流 教具、学 具 景阳冈 事情发展 板书设计进店饮酒 --- 不听劝告 ---- 执意过冈 ---- 继续上冈 ---- 打死老虎 ---- 挨下山冈 豪放、倔强、无所畏惧的英雄气概 1、认读课文中的生字、新词，并把课文中着重认读的词语抄写下来。 2、读课文思考： （1）认真读课文，找出具体描写打虎的部分多读几遍。 （2）想一想，除了“打虎” ，课文还写了哪些内容，这些内容跟打虎有什 么前置预习关系。 （3）武松给你留下了怎样的印象，你是通过哪些句子感受到的 3、搜集与课文相关的资料。 教学过程学法指导
五环节（引入 - 合作 - 运用 - 提升 - 拓展） 一、激趣导入，明确阅读目标 前面我们已经学习了两篇根据名著改编的课文，让我们再来读读节选 自名著的文章。（板书： 20. 景阳冈） 1、你们了解《水浒传》吗？认识武松吗？知道的请举手，说说你 们是怎么知道的？ 2、指名读课文前的导语，其他同学边听边想：导语提出了哪些阅 读要求。（小黑板出示） （1）认真读课文，找出具体描写打虎的部分多读几遍。 （2）想一想，除了“打虎” ，课文还写了哪些内容，这些内容跟打虎有什么关系。 （3）武松给你留下了怎样的印象，你是通过哪些句子感受到的。 二、合作交流 1、把课文读正确、读流利。（播放《好汉歌》，由电视剧主题曲导出名著《水浒传》。） 全班交流。一起读文后的“资料袋”。 由于课文一些语句的意思或用法与现代文有所不同，老师适当做一些提示。如，“这酒真有气力” ──这酒很有劲；“筛一碗酒” ──倒一碗酒； “吃酒” ──喝酒；“武松把脚往大虫面门上眼睛里只顾乱踢。”──武松只顾往大虫面门上眼睛里乱踢。 2、四人小组交流学习情况 三、精读领悟，反馈点拨 1、学习汇报：课文哪几个自然段写“武松打虎” ，课文还写了哪些内容，找出相关段落。 （课文的 8～13 自然段写“武松打虎” ，除此之外， 1～4 自然段主要写武松在酒店喝酒， 5～ 7 自然段写武松上景阳冈。） 2、抽查四人小组读“武松打虎”段落。 3、在描写“武松打虎”的段落中，哪些语句给你留下深刻的印象？ 读后有什么感受？ （1）引导学生抓住武松打老虎的几个回合里，描写双方动作的词句 进行比较体会。 老师巡视，指导学生养成一边读书一边思考批注的好习惯。
初中数学九年级下册解直角三角形(教案)教学设计
28．2．1 解直角三角形 教学目标 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 教学过程 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cos B ＝363 2 ＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33 ，∴∠A ＝30°，
∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长． 解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可． 解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答． 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝3 7，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积． 解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解． 解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37 ，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，
解直角三角形中考题型
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D
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