第三讲 绝对值
绝对值是有理数中非常重要的组成部分,它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石,
希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质
绝对值 简单的绝对值方程
化简绝对值式,分类讨论(零点分段法)
绝对值几何意义的使用
绝对值的定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值,记作|a|。
绝对值的性质:
(1) 绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|≥0,这是绝对值非常重要的性
质;
a (a >0)
(2) |a|= 0 (a=0) (代数意义)
-a (a <0)
(3) 若|a|=a ,则a ≥0; 若|a|= -a ,则a ≤0;
(4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即|a|
≥a ,
且|a|≥-a ;
(5) 若|a|=|b|,则a=b 或 a= -b ;(几何意义)
(6) |ab|=|a|·|b|;|b a |=|
|||b a (b ≠0); (7) |a|2=|a 2|=a 2;
[例1]
(1) 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个?
(2) 若ab<|ab|,则下列结论正确的是( )
A.a <0,b <0
B.a >0,b <0
C.a <0,b >0
D.ab <0
(3) 下列各组判断中,正确的是( )
A .若|a|=b ,则一定有a=b B.若|a|>|b|,则一定有a >b
C. 若|a|>b ,则一定有|a|>|b|
D.若|a|=b ,则一定有a 2=(-b) 2
(4) 设a ,b 是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?其值是多少? 练习
1, 绝对值小于3.1的整数有哪些?它们的和为多少?
2,有理数a 与b 满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确( )
A.a >b
B.a=b
C.a
D.无法确定
3,若|x-3|=3-x ,则x 的取值范围是____________
4,设a ,b 是有理数,则-8-|a-b|是有最大值还是最小值?其值是多少?
5,若3|x-2|+|y+3|=0,则
x
y 的值是多少?
[例2]
有理数a ,b ,c 在数轴上对应点如图所示,化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
练习
1,数a ,b 在数轴上对应的点如图所示,是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||
2、有理数a ,b ,c 在数轴上对应点如图所示,化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|
c b 0
a
例3】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值:
当n 为奇数时,把a 1、a 2、…a n 从小到大排列,x 等于最中间的数值时,
该式子的值最小。
当n 为偶数时,把a 1、a 2、…a n 从小到大排列,x 取最中间两个数值之间
的数(包括最中间的数)时,该式子的值最小。
练习
1、设a <b <c ,求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值
2,设a
4.若,,00< A.6 B. -6 C. 12 D. 1222++-b a 分析: (1) 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3,±4,有4个 (2) 答案C 不完善,选择D.在此注意复习巩固知识点3。 (3) 选择D 。 (4) 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0,则|a+b|≥9,有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些?它们的和为多少? <分析>:绝对值小于3.1的整数有0,±1,±2,±3,和为0。 [巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确( ) A.a >b B.a=b C.a D.无法确定 分析:选择D 。 [巩固] 若|x-3|=3-x ,则x 的取值范围是____________ 分析:若|x-3|=3-x ,则x-3≤0,即x ≤3。对知识点3的复习巩固 [巩固] 若a >b ,且|a|<|b|,则下面判断正确的是( ) A.a <0 B.a >0 C.b <0 D.b >0 分析:选择C [巩固] 设a ,b 是有理数,则-8-|a-b|是有最大值还是最小值?其值是多少? 分析:|a-b|≥0,-8-|a-b|≤-8,所以有最大值-8 [例2] (1)(竞赛题)若3|x-2|+|y+3|=0,则 x y 的值是多少? (2)若|x+3|+(y-1)2=0,求n x y )4(--的值 分析:(1)|x-2|=0,|y+3|=0,x=2,y=-3,x y =2 3- (2)由|x+3|+(y-1)2=0,可得x=-3,y=1。 x y --4=314+-=-1 n 为偶数时,原式=1;n 为奇数时,原式=-1 小知识点汇总:(本源 |a|≥0 b 2 ≥0) 若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0; 若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0; 若|x-a|+|x-b|=0,则x-a=0且x-b=0; 当然各项前面存在正系数时仍然成立,非负项增加到多项时,每一项均为0,两个非 负数互为相反数时,两者均为0 【例3】 (1) 已知x 是有理数,且|x|=|-4|,那么x=____ (2) 已知x 是有理数,且-|x|=-|2|,那么x=____ (3) 已知x 是有理数,且-|-x|=-|2|,那么x=____ (4) 如果x ,y 表示有理数,且x ,y 满足条件|x|=5,|y|=2,|x-y|=y-x ,那么x+y 的值是多少? 分析: (1)4,-4 (2)2,-2, (3)2,-2 (4)x=±5,y=±2,且|x-y|=y-x ,x-y ≤0; 当x=5,y=2时不满足题意;当x=5,y=-2时不满足题意; 当x=-5,y=2时满足题意;x+y=-3;当x=-5,y=-2时满足题意,x+y=-7。 【巩固】巩固|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值 分析:因为|x|=4,所以x=±4,因为|y|=6,所以y=±6 当x=4,y=6时,|x+y|=|10|=10; 当x=4,y=-6时,|x+y|=|-2|=2; 当x=-4,y=6时,|x+y|=|2|=2; 当x=-4,y=-6时,|x+y|=|10|=10 【例4】 解方程:(1)05|5|2 3=-+x (2)|4x+8|=12 (3)|3x+2|=-1 (4)已知|x-1|=2,|y|=3,且x 与y 互为相反数,求 y xy x 43 12--的值 分析:(1)原方程可变形为:|x+5|=310,所以有x+5=±310,进而可得:x=-35,-325; (2)4x+8=±12,x=1,x=-5 (3)此方程无解 (4)|x-1|=2,x-1=±2,x=3,x=-1,|y|=3,y=±3,且x 与y 互为相反数,所以x=3, y=-3,2443 12=--y xy x 【例5】 若已知a 与b 互为相反数,且|a-b|=4,求 12+++-ab a b ab a 的值 分析:a 与b 互为相反数,那么a+b=0。 12+++-ab a b ab a =,4,4||,1 001)(±=-=--=+?-=++-+b a b a ab a ab b a a ab b a 当a-b=4时,且a+b=0,那么a=2,b=-2,-ab=4; 当a-b=-4时,且a+b=0,那么a=-2,b=2,-ab=4; 综上可得 12+++-ab a b ab a =4 【例6】 (1) 已知a=-21,b=-31,求|| 32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 (2) 若|a|=b ,求|a+b|的值 (3) 化简:|a-b| 分析:(1)原式=718||31|33 |2|32|4)32(|341|2-=---+--------- (2)|a|=b ,我们可以知道b ≥0,当a<0时,a=-b ,|a+b|=0;当a ≥0时,a=b ,|a+b|=2b (3)分类讨论。 当a-b >0时,即a >b ,|a-b|=a-b ; 当a-b=0时,即a=b ,|a-b|=0; 当a-b <0时,即a <b ,|a-b|=b-a 。 【巩固】 化简:(1)|3.14-π| (2)|8-x|(x ≥8) 分析:(1)3.14<π,3.14-π<0,|3.14-π|=π-3.14 (2)x ≥8,8-x ≤0,|8-x|=x-8。 【例7】有理数a ,b ,c 在数轴上对应点如图所示,化简|b+a|+|a+c|+|c-b| 分析:|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-(a+c )-(c-b )=2b-2c 【巩固】已知a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a| 分析:|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a 【巩固】数a ,b 在数轴上对应的点如图所示,是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|| 分析:|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-(a+b )+(b-a )+b-(-2a )=b 【例8】(1)若a<-b 且0>b a ,化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| (2)若-2≤a ≤0,化简|a+2|+|a-2| (3)已知x<0 分析:(1)若a<-b 且0>b a ,a<0,b<0,a+b<0,ab>0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a (2)因为-2≤a ≤0,所以a+2≥0,a-2≤0,|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4 (3)由x<0 【巩固】如果0 分析:|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x 【例9】(1)已知x<-3,化简|3+|2-|1+x||| (2)若a<0,试化简| |3|||3|2a a a a -- 分析:(1)当x<-3时,|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x (2)||3|||3|2a a a a --=|3|32a a a a --+=a a 45-=-4 5 【例10】若abc ≠0,则 | |||||c c b b a a ++的所有可能值 分析:从整体考虑: (1)a ,b ,c 全正,则| |||||c c b b a a ++=3; C B 0 A (2)a ,b ,c 两正一负,则| |||||c c b b a a ++=1; (3)a ,b ,c 一正两负,则 ||||||c c b b a a ++=-1; (4)a ,b ,c 全负,则| |||||c c b b a a ++=-3 【巩固】有理数a ,b ,c ,d ,满足 1||-=abcd abcd ,求d d c c b b a a ||||||||+++的值 分析:有1||-=abcd abcd 知abcd<0,所以a ,b ,c ,d 里含有1个负数或3个负数: (1) 若含有1个负数,则d d c c b b a a ||||||||+++=2; (2) 若含有3个负数,则d d c c b b a a ||||||||+++=-2 【例11】化简|x+5|+|2x-3| 分析:先找零点。x+5=0,x=-5;2x-3=0,x= 23,零点可以将数轴分成几段。 当x ≥2 3,x+5>0,2x-3≥0,|x+5|+|2x-3|=3x+2; 当-5≤x <2 3,x+5≥0,2x-3<0,|x+5|+|2x-3|=8-x ; 当x<-5,x+5<0,2x-3,|x+5|+|2x-3|=-3x-2 【巩固】化简:|2x-1| 分析:先找零点。2x-1=0,x= 21,依次零点可以将数轴分成几段 (1) x<2 1,2x-1<0,|2x-1|=﹣(2x-1)=1﹣2x ; (2) x=2 1,2x-1=0,|2x-1|=0 (3) x>2 1,2x-1>0,|2x-1|=2x-1。也可将(2)与(1)合并写出结果 【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值 分析:先找零点,m=0,m-1=0,m-2=0,解得m=0,1,2 依这三个零点将数轴分为四段:m <0,0≤m <1,1≤m <2,m ≥2。 当m<0时,原式=﹣m ﹣(m-1)-(m-2)=-3m+3 当0≤m <1时,原式=m-(m-1)-(m-2)=-m+3 当1≤m <2时,原式=m+(m-1)-(m-2)=m+1 当m≥2时,原式m+(m-1)+(m-2)=3m-3 |a|的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离 |a-b|的几何意义:在数轴上,表示数a,b对应数轴上两点间的距离 【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值 分析:由上题可知,本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2,-1,-7所对应的点距离和。通过数轴可以看到,当x=2时,五段距离的和有最小值16。这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解: 【小学奥数相关题目】如图,在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼,现在设立一个邮筒,为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短,邮局应立于何处? 分析:我们来分析以下A、E两个点,不论这个邮筒放在AE之间的哪一点,A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短,再看为了使 B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的,等于BD。最后,只需要考虑C点到邮筒 的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中 心靠拢的思想” 题后小结论: 求|x-a 1|+|x-a 2 |+…+|x-a n |的最小值: 当n为奇数时,把a 1、a 2 、…a n 从小到大排列,x等于最中间的数值时,该式子的值 最小。 当n为偶数时,把a 1、a 2 、…a n 从小到大排列,x取最中间两个数值之间的数(包括 最中间的数)时,该式子的值最小。 【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义 分析:|a|即为表示a的点A与原点之间的距离,也即为线段AO的长度。 关于|a-b|,我们可以引入具体数值加以分析: 当a=3,b=2时,|a-b|=1;当a=3,b=-2时,|a-b|=5; 当a=3,b=0时,|a-b|=3;当a=-3,b=-2时,|a-b|=1; 从上述四种情况分别在数轴上标注出来,我们不能难发现:|a-b|对应的是点A与点 A B C D E B 之间的距离,即线段AB 的长度。 【巩固】设a 1、a 2、a 3、a 4、a 5为五个有理数,满足a 1< a 2< a 3< a 4< a 5,求|x- a 1|+|x- a 2|+|x- a 3|+|x- a 4|+|x- a 5|的最小值 分析:当x= a 3时有最小值,a 4+ a 5- a 1- a 2 【例14】设a 分析:根据几何意义可以得到,当b ≤x ≤c 时,y 有最小值为c+d-a-b 【例1】 若|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a>b>c,那么a+b-c=______ 分析:根据题意可得:a=±1,b=-2,c=-3,那么a+b-c=0或2 【例2】 已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0,那么ab=______ 分析:因为(a+b)2+|b+5|=b+5,我们可以知道b+5>0,所以原式可以表示为: (a+b)2+b+5=b+5,(a+b)2=0,a=-b ,又因为|2a-b-1|=0,进而2a-b-1=0,进而2a-b-1=0,3a=1,a= 31,b=-31,ab=-91 【例3】 对于|m-1|,下列结论正确的是( ) A.|m-1|≥|m| B.|m-1|≤|m| C. |m-1|≥|m|-1 D. |m-1|≤|m|-1 分析:我们可以分类讨论,但那样对于做选择题都过于麻烦了。我们可以用特殊值 法代入检验,对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到 准确答案。易得答案为C 。 【例4】 设a ,b ,c 为实数,且|a|+a=0,|ab|=ab ,|c|-c=0,化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c| 分析:|a|+a=0,|a|=-a ,a ≤0;|ab|=ab ,ab ≥0;|c|-c=0,|c|=c ,c ≥0。 所以可以得到a ≤0,b ≤0,c ≥0; |b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+(a+b )-(c-b )-(a-c )=b 【例5】 化简:||x-1|-2|+|x+1| 分析:先找零点。x-1=0,x=1,|x-1|-2=0,|x-1|=2,x-1=2或x-1=-2,可得x=3或者x=-1;x+1=0,x=-1;综上所得零点有1.,-1,3,依次零点可以将数轴分成几段。 (1) x ≥3,x-1>0,|x-1|-2≥0,x+1>0, ||x-1|-2|+|x+1|=2x-2; (2) 1≤x<3,x-1≥0,|x-1|-2<0,x+1>0,||x-1|-2|+|x+1|=4; (3) -1≤x ≤1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1≥0,||x-1|-2|+|x+1|=2x+2; (4) x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0, ||x-1|-2|+|x+1|=-2x-2 【例6】 已知有理数a ,b ,c 满足 1||||||=++c c b b a a ,求abc abc ||的值 分析:对于任意的整数a ,有1||±=a a ,若1||||||=++c c b b a a ,则a ,b ,c 中必是两正一负,则abc<0,abc abc ||=-1 【例7】 若a ,b ,c , d 为互不相等的有理数,且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,求|a-d| 分析:从|a-c|=|b-c|我们可以知道,c 到a ,b 的距离都是1,且三者不相等,那么在数轴上就有: 因为|d-b|=1,且a ,b ,c ,d 为互不相等的有理数,则有: 显然易得|a-d|=3 1、|m+3 |+|n- 2 |+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值 分析:绝对值为非负数,|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,所以m+3=0,n-2 7=0,2p-1=0,即得m=-3,n=27,p=21,所以p+2m+3n=21-6+3×27=5 2、(1)已知|x|=2,|y|=3且x-y>0,则x+y 的值为多少? (2)解方程:|4x-5|=8 分析:(1)x=±2,y=±3, 当x=2,y=3时,不满足x-y >0; x=2,y=-3时,满足x-y >0,那么x+y=-1; x=-2,y=3时,不满足x-y >0; x=-2,y=-3时,满足x-y >0,那么x+y=-5。 综上可得x+y 的值为-1,-5 (2)4x-5=±8,x=4 13,x=-43 3、(1)有理数a ,b ,c 在数轴上对应点如图所示,化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c| (b) (a) (b) (a) (2)若a <b ,求|b-a+1|-|a-b-5|的值 (3)若a <0,化简|a-|-a|| 分析:(1)a-b <0,b-c >0,a+b <0 |a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-(a-b )+(a+b )+(b-c )+c=3b (2)|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4 (3)|a-|-a||=|a+a|=|2a|=-2a 4、已知a 是非零有理数,求| |||||33 22a a a a a a ++的值 分析:若a >0,那么| |||||33 22a a a a a a ++=1+1+1=3; 若a <0,那么| |||||33 22a a a a a a ++=-1+1-1=-1 5、化简|x-1|-|x-3| 分析:先找零点。x-1=0,,x=1;x-3=0,x=3,依照零点可以将数轴分成几段。 (1) x ≥3,x-1>0,x-3≥0,|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2; (2) 1≤x <3,x-1≥0,x-3<0 ,|x-1|-|x-3|=x-1+(x-3)=2x-4; (3) x <1,x-1<0,x-3<0,|x-1|-|x-3|=-(x-1)+(x-3)=-2 6、设a <b <c ,求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值 分析:|x-a|+|x-b|+|x-c|实际表示x 到a ,b ,c 三点距离和,画图可知当x=b 时,原式有最小 值c-a 初一数学绝对值练习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 绝对值经典练习 1、 判断题: ⑴ 、|-a|=|a|. ⑵ 、-|0|=0. ⑶ 、|-31 2|=-31 2. ⑷ 、-(-5)?-|-5|. ⑸ 、如果a=4,那么|a|=4. ⑹ 、如果|a|=4,那么a=4. ⑺ 、任何一个有理数的绝对值都是正数. ⑻ 、绝对值小于3的整数有2,1,0. ⑼ 、-a 一定小于0. ⑽ 、如果|a|=|b|,那么a=b. ⑾ 、绝对值等于本身的数是正数. ⑿ 、只有1的倒数等于它本身. ⒀ 、若|-X|=5,则X=-5. ⒁ 、数轴上原点两旁的点所表示的两个数是互为相反数. ⒂ 、一个数的绝对值等于它的相反数,那么这个数一定是负数. 2、 填空题: ⑴ 、当a_____0时,-a?0; ⑵ 、当a_____0时,1 a ?0; ⑶ 、当a_____0时,-1a ?0; ⑷ 、当a_____0时,|a|?0; ⑸ 、当a_____0时,-a?a; ⑹ 、当a_____0时,-a=a; ⑺ 、当a?0时,|a|=______; ⑻ 、绝对值小于4的整数有_____________________________; ⑼ 、如果m?n?0,那么|m|____|n|; ⑽ 、当k+3=0时,|k|=_____; ⑾ 、若a 、b 都是负数,且|a|?|b|,则a____b; ⑿ 、|m-2|=1,则m=_________; ⒀ 、若|x|=x,则x=________; ⒁ 、倒数和绝对值都等于它本身的数是__________; ⒂ 、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则|a|=___;|b|=____; ⒃ 、-22 3的相反数是_______,倒数是______,绝对值是_______; 绝对值综合专题讲义 绝对值的定义及性质 绝对值的定义: 绝对值的性质: (1)绝对值的非负性,可以用下式表示 (2) |a|= ( 3)若|a|=a,则;若|a|=-a,则;任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, (4)若 |a|=|b| ,则 ( 5)|a+b||a|+|b||a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b||a|+|b||a-b| 【例 1】 ( 1)绝对值大于而小于的整数有多少个 ( 2)若 ab<|ab|,则下列结论正确的是() < 0, b< 0> 0, b< 0< 0, b> 0< 0 ( 3)下列各组判断中,正确的是() A.若 |a|=b,则一定有 a=b B.若|a| > |b|,则一定有 a> b C. 若 |a| >b,则一定有 |a|> |b| D.若 |a|=b,则一定有 a 2 =(-b)2 ( 4)设 a, b 是有理数,则 |a+b|+9 有最小值还是最大值其值是多少 ( 5)若3|x-2|+|y+3|=0,则y 的值是多少x ( 6)若|x+3|+(y-1) 2 =0,求( 4 ) n的值 y x 【巩固】 1、绝对值小于的整数有哪些它们的和为多少 2、有理数 a 与 b 满足 |a|>|b|,则下面哪个答案正确() >b =b 绝对值 教学目的和要求: 1.使学生初步理解绝对值的概念。 2.明确绝对值的代数定义和几何意义;会求一个已知数的绝对值;会在已知一个数的绝对值条件下求这个数。3.培养学生用数形结合思想解决问题的能力,渗透分类讨论的数学思想。 教学重点和难点: 重点:让学生掌握求一个已知数的绝对值及正确理解绝对值的概念。(绝对值的概念) 难点:对绝对值的几何意义、代数定义的导出、对“负数的绝对值是它的相反数”的理解。 (绝对值的几何意义) 教学工具和方法: 工具:应用投影仪,投影片。 方法:分层次教学,讲授、练习相结合。(通过创设情境,以问题为载体给学生提供探索的空间,引导学生积极探索) 教学过程: 一、复习引入: 1.在数轴上分别标出–5,3.5,0及它们的相反数所对应的点。 2.在数轴上找出与原点距离等于6的点。 3.相反数是怎样定义的? 引导学生从代数与几何两方面的特点出发回答相反数的定义。从几何方面可以说在数轴上原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数;从代数方面说只有符号不同的两个数互为相反数。那么互为相反数的两个数有什么特征相同呢?由此引入新课,归纳出绝对值的定义。 二、讲授新课: 1.发现、总结绝对值的定义: 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值( abso lute value )。记作|a|。 例如,在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6,所以―6和6的绝对值都是6,记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4,|+1.7|=1.7。 2.(探索绝对值的性质:) 试一试:你能从中发现什么规律? 由绝对值的意义,我们可以知道: (1)|+2|=,=,|+8.2|=; (2)|0|=;(3)|―3|=,|―0.2|=,|―8.2|=。 (学生独立完成,再对所得的规律进行小组交流讨论。) 概括:通过对具体数的绝对值的讨论,并注意观察在原点右边的点表示的数(正数)的绝对值有什么特点?在原点左边的点表示的数(负数)的绝对值又有什么特点? 由学生分类讨论,归纳出数a的绝对值的一般规律: 1.一个正数的绝对值是它本身; 即:①若a>0,则|a|=a; 0的绝对值是0; ②若a=0,则|a|=0 3. 一个负数的绝对值是它的相反数。 ③若a<0,则|a|=–a; 或写成:。 (3 把绝对值的代数定义用数学符号表示 初一数学绝对值计算题及答案过程例1求下列各数的绝对值: (1)-38; (2)0.15; (3)a(a<0); (4)3b(b>0); (5)a-2(a<2); (6)a-b. 例2判断下列各式是否正确(正确入“T”,错误入“F”): (1)|-a|=|a|; ( ) (2)-|a|=|-a|; ( ) (4)若|a|=|b|,则a=b; ( ) (5)若a=b,则|a|=|b|; ( ) (6)若|a|>|b|,则a>b; ( ) (7)若a>b,则|a|>|b|; ( ) (8)若a>b,则|b-a|=a-b. ( ) 例3判断对错.(对的入“T”,错的入“F”) (1)如果一个数的相反数是它本身,那么这个数是0. ( ) (2)如果一个数的倒数是它本身,那么这个数是1和0. ( ) (3)如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是0或1. ( ) (4)如果说“一个数的绝对值是负数”,那么这句话是错的. ( ) (5)如果一个数的绝对值是它的相反数,那么这个数是负数. ( ) 例4 已知(a-1)2+|b+3|=0,求a、b. 例5填空: (1)若|a|=6,则a=______; (2)若|-b|=0.87,则b=______; (4)若x+|x|=0,则x是______数. 例6 判断对错:(对的入“T”,错的入“F”) (1)没有最大的自然数. ( ) (2)有最小的偶数0. ( ) (3)没有最小的正有理数. ( ) (4)没有最小的正整数. ( ) (5)有最大的负有理数. ( ) (6)有最大的负整数-1. ( ) (7)没有最小的有理数. ( ) (8)有绝对值最小的有理数. ( ) 例7 比较下列每组数的大小,在横线上填上适当的关系符号 (“<”“=”“>”) (1)|-0.01|______-|100|; (2)-(-3)______-|-3|; (3)-[-(-90)]_______0; (4)当a<3时,a-3______0;|3-a|______a-3. 绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是()。 (A)(B)(C)(D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选(B). 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路. 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于(). (A)(B)(C)(D) 思路分析由数轴上容易看出,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选(C). 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清: 1.零点的左边都是负数,右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解令得零点:; 令得零点:, 把数轴上的数分为三个部分(如图) ①当时, ∴原式 ②当时,, ∴原式 ③当时,, ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是: 1.求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个). 2.分段:根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定. 3.在各区段内分别考察问题. 4.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案. 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件,以免得出错误的结果. 练习: 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1.已知a、b、c、d满足且,那么 2.若,则有()。 (A)(B)(C)(D) 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为(). 初一数学《绝对值》教学设计通过数轴上的点与原点的距离引出有理数的绝对值的概教学目的:念。使学生会求一个数的绝对值。求一个数的绝对值。教学重点: 绝对值在数轴上的意义问题。教学关键: 教学过程设计:教学引入[环节一] )在一节体育课中,老师组织了一次游戏。(引例1 达最 先到圆的中心。谁上学,如图所示四位同站在圆,比赛A BDC 1、四位同学到达中心的距离相等吗?提问:、他们的方向会影响距离的长度吗? 2 结论:与方向无关,距离相等。找一找数轴的哪些点到原点的距离是相等的。2(引例)提问: 与-33到原点的距离相等、到原点的距离相等。-11结论:与[环节二]概念与例题讲解 1 1、概念讲解 在数轴上表示-6的点与原点的距离是6,数100的点与原点的距离是100。我们叫做-6的绝对值是6,100的绝对值是100,也就是说,把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数。 a a的绝对值,记做练习2、 )试一试:口答:(10 = +2 = 1/5 = +8.2 = -3 = -0.2 = -8.2 = 下列各数的绝对值:(2)10.5 +1/10 , -15/2 , -4.75 , P 31 (3)书本练习小结求绝对值的方法、3 一个负零的绝对值是零;一个正数的绝对值是它的本身;数的绝对值是它的相反数。(板书)用数学式子表述:; a = 1()当a>0时,; a )当(2a=0时,= ; a<03()当时,a = 4、例题讲解+ 0 1()+1 算:计-2 - )(2-1-3 计算:+2 2 -8 -12 ×+2 ÷)(3计算: 拓展训练5、 6)正式排球比赛对所用的排球质量有严格的规定,下面是(1用负数记不(用正数记超过规定质量的数,个排球的质量检测结果,足规定质量的数量),+14 -39 。,,-25 ,+10 -11 ,+30 指出哪个排球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 y的值。x 绝对值综合练习题一 1、判断 (1)|31|-和31-互为相反数。( ) (2)-|a|=|a| ( ) (3)|-a|=|a| ( ) (4)-|a|=|-a| ( ) (5)若|a|=|b|,则a =b ( ) (6)若a =b ,则|a|=|b| ( ) (7)若|a|>|b|,则a >b ( ) (8)若a >b ,则|a|>|b| ( ) (9)若a >b ,则|b-a|=a-b( ) (10)若a 为任意有理数,则|a|=a ( ) (11)如果一个数的倒数是它本身,那么这个数是1和0. ( ) (12)如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是0或1. ( ) (13)如果说“一个数的绝对值是负数”,那么这句话是错的. ( ) (14)如果一个数的相反数是它本身,那么这个数是0. ( ) 2、在数轴上,绝对值为4,且在原点左边的点表示的有理数为________. 3、若x 绝对值的性质及化简 【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . (距离具有非负性) 【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是0. 注意:① 取绝对值也是一种运算,运算符号是“| |”,求一个数的绝对值,就是根 据性质去掉绝对值符号. ② 绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相 反数;0的绝对值是0. ③ 绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0. ④ 任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5-符号是负 号,绝对值是5. 【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??- ②(0)(0)a a a a a ≥?=?- ③(0)(0)a a a a a >?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小. 绝对值非负性:|a|≥0 如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0. 例如:若0a b c ++=,则0a =,0b =,0c = 【绝对值的其它重要性质】 (1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, 即a a ≥,且a a ≥-; (2)若a b =,则a b =或a b =-; (3)ab a b =?; a a b b =(0)b ≠; (4)222||||a a a ==; (5)||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b| a 的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离. a b -的几何意义:在数轴上,表示数a .b 对应数轴上两点间的距离. 《绝对值》练习 一.选择题 1. -3的绝对值是( ) (A )3 (B )-3 (C )13 (D )-13 2. 绝对值等于其相反数的数一定是 A .负数 B .正数 C .负数或零 D .正数或零 3. 若│x│+x=0,则x 一定是 ( ) A .负数 B .0 C .非正数 D .非负数 5.绝对值最小的数( ) A .不存在 B .0 C .1 D .-1 6.当一个负数逐渐变大(但仍然保持是负数)时( ) A .它的绝对值逐渐变大 B .它的相反数逐渐变大 C .它的绝对值逐渐变小 D .它的相反数的绝对值逐渐变大 7.下列说法中正确的是( ) A .a -一定是负数 B .只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C .若b a =则a 与b 互为相反数 D .若一个数小于它的绝对值,则这个数是负数 8.绝对值不大于11.1的整数有( ) A .11个 B .12个 C .22个 D .23个 12.______7.3=-;______0=;______3.3=--;______75.0=+-.初一数学绝对值练习题
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