第一次数学危机

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第一次数学危机

曾月莲

摘要：本文从毕达哥拉斯的“万物皆整数”定理引发出

这个数是否为整数，从而产生了数学史上的

第一次数学危机，之后论述了科学家们是怎样的论证与探索解决了这次危机，并阐述了这次危机的影响以及我的体会。

关键字：数学第一次危机 无理数 毕达哥拉斯 1．第一次数学危机的产生

公元前5世纪或六世纪无理数的发现是数学史上的一个重大事件。它的发现导致了数学史上的第一次危机的产生，并推进了“数”这一概念的发展。

公元前5世纪左右，是古希腊的毕达哥拉斯学派的全盛时期。毕达哥拉斯创立了一个崇拜阿波罗神和从事数学研究的秘密社团．历史上称为毕达哥拉斯学派．他们认为数是万物的本原，数产生万物，数的规律统治万物，用毕达哥拉斯的话来讲，就是“万物皆数”．毕达哥拉斯发现了著名的毕达哥拉斯定理。而这个定理导致了他的学生希帕苏斯发现边长为1

既不是整数，也不是整数比，希帕苏斯发现了新的数，即无理数。

无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大地震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心即“万物皆依赖整数”以致命一击。其次，这与通常直觉相矛盾，因为人们直观上总认为任何两线段都是刻度量化的。然而，无理数这一发现，使得已经确定的几何学的大部分内容必须抛弃，因为它们的证明基础被推翻了。这样就产生了数学史上的第一次危机。

2、第一次数学危机的消除

无理数的发现引起了数学家们打得争论，同时也推进了对无理数的研究。解决这个矛

但可以用一条线段表示。二是把无理数当做常数来处理，即承认它和整数及整数之比具有同等地位。

传统观念的希腊人选择了前一种方法。大约在公元前370年。希腊数学家欧多克索斯（约公元前400-347年）以及柏拉图约公元前427-347年）引进了量的概念，用以表示能连续变动的线段、角、面积、体积、时间等。量跟数不同，数是离散的，而量是连续的，然后给定了两个量之比和比例的定义。这个理论使希腊的几何学有了很大的发展，在此后的2000年间，希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。

而中国和印度数学家却采取了第二种方法，他们把兴趣放在计算上，中国古代很早就

接触了无理数，如求某数的平方根。公元3世纪刘徽采用

2r a a

≈+

和

21

r a a ≈+

+两种方法求不尽根印度人进行无理数运算时，也是把它当做有理数

=a b +=

。

在15—16世纪，欧洲数学家在研究用十进小数表示无理数时发现“它们无止尽的往远跑”这是无限不循环小数具体表现，但他们不清楚这是否就是无理数。16世纪在无理数

上还用了连分数来平方逼近，意大利数学家邦贝利（1526—1572）

首先给出了的连分数：

1

1

1

2

1

2

1

2

2

=+

+

+

+

+

。后来，

英国的布兰克给出了π的连分数。欧拉（1707—1783）给出了无限连分数的计算平方根的一般方法。但到是18世纪末，在弄清无理数本质上都没有什么重大突破。

人们真正认识无理数是在19世纪。1983年，法国数学家柯西（1789—1857）在《分析教程》一书中，用有理数序列来定义无理数。1886年，奥地利数学家斯托尔兹（1842—1905）得出一个很有意义的结论：每个无理数都可以表示成无限不循环的小数，这实际上就是无理数的定义。在19世纪后期，数学家们建立了无理数理论。1872年，三位数学家外耳斯特拉斯、康托尔、戴德金各自提出三种不同的无理数理论。外耳斯特拉斯在《算术基本原理》一书中用递增数列来定义。康托尔利用基本序列概念，证明任一个实数都被一个由有理数构成的基本序列所确定。戴德金用“分割”概念引人，证明对应一个分割必存在唯一一个有理数或无理数。以上这些都是通过有理数来定义无理数，这样，又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数”。

3、第一次数学危机的影响

数学史上的第一次危机对数学乃至其他科学的发展都产生了深远的影响，希腊人在解决这次危机中取得了一系列重要成果．

首先，古希腊人为了继续维护自己“万物皆数”的信仰，拒绝承认

几何量．把数和量加以割裂，认为数是离散的，几何量是连续的，是不可公度量的．于是，希腊学者使用了包括不可公度在内的比例论来克服这个困难．这项成果被欧几里得收集在《几何原本》第五卷和第十卷中．比例论似乎能使希腊人发现无理数，并由此建立研究连续变化的算术理论——实数理论．然而，由于他们受哲学偏见所禁钢，始终没有做到这一点．但是他们为了克服这次危机而发展的比例论却是欧氏几何中的最大成就之—．其次，由于无理数的发现导致了对连续量的研究，而当时的算术理论中没有连续性，这就必然以几何量的连续性这种直观概念为依据，也就产生用于处理连续量的穷竭法，一般称它为阿基米德预备定理．虽然穷竭法在当日并还没有充分推广，但它可以看成是近代积分理论的先驱。

此外，这次危机使古希腊人在数学研究方向和数学思想方法上产生巨大的变化．由于几何量不能完全由自然数及其比表示，而任何数却可由几何量表示，放自然数在人们心目中的地位动摇了．希腊人开始转向偏爱几何学．由于直觉和经验不一定靠得住，推理和证明才靠得住．从此希腊人开始重视几何学的演绎推理，导致欧几以得《儿何原本》的出现，从而建立了几何学的公理体系；同时由于注重推理，产生了亚里斯多德的名著《工具篇》，创立了逻辑学的公理体系．这两个历史上最早的公理体系是几乎同时诞生的，可以说这是数学思想及科学思想上的一次重大革命，它们被视为金科玉律与推理楷模，享受了两千多年的盛誉，直到19世纪末才得到本质上的改造和完善．

第一次数学危机的出现从根本上动摇了毕达哥拉斯学派荒谬的哲理，导致了它的瓦解。“危机”孕育着革命，必然导致新的科学理论产生。正是这场危机，是人们认识到凭直觉和

想象不一定可靠，从而重视和严格了演绎推证，对以后的数学发展都产生了深远的影响。

作为一名数学系的学生,我也从中更深一层的感受到数学的魅力与探索的艰辛。更深的是体会到在学问上的实事求是与严谨的治学态度。我们不能凭着主观意识妄加推测，生活亦是如此，也许有危机，困难也重重，但是努力明天就更有新的希望,才能有新发展。

参考文献:

[1]穆国杰数学的历程浙江大学出版社 2005年6月

[2] 林永伟数学史与数学教育浙江大学出版社 2004年

[3]庄瓦金数学思想史高等教育出版社 2006年