2.3.2平面与平面垂直的判定导学案
2.3.2 平面与平面垂直的判定
班级 姓名 编者：景瑞芬 高一级备课组 问题引航
1.二面角的定义是什么？如何度量二面角的大小？
2.面面垂直的定义是什么？面面垂直的判定定理是什么？ 自主探究
阅读课本完成下面类容
1. 从一条直线出发的______________________叫做二面角，这条直线叫做 ，每个平面叫做________________棱为l ，两个面分别为βα、的二面角记作 .
2. 一个平面垂直于二面角βα--l 的棱 l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA 、OB, O 为垂足，则__________________________叫做二面角的平面角βα--l 的平面角.
3. 一个角是二面角的平面角须满足下列条件：顶点在二面角的_______两边在二面角的________且_______________.
4. 平面角是________的二面角叫直二面角，若两个平面相交成直二面角则这两平面_____.
5. 两平面垂直的判定定理：如果一个平面过__________那么这两个平面互相垂直,用符号语言表示为_____________________.
互动探究
1.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC .
2.正方体1111D C B A -ABCD 中，求截面BD A 1与底面ABCD 所成二面角A BD A --1的正切值
当堂检测
1.已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平（如图），图中互相垂直的平面有（ ）
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
2.经过平面外一点和平面内一点与该平面的垂直的平面有（ ）.
A. 0个
B. 1个
C. 无数个
D. 1个或无数个
3. 下列四个命题中正确命题的个数为（ ）个
①γαγββα⊥⊥则,,//②γαγββα//,//,//则
③γαβγβα⊥⊥⊥则,,④γαβγβα//,,则⊥⊥
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4. γααγβ⊥??=m m l l ,,//,那么必有（ ）
A.m l m ⊥且β//
B. βγβ//m 且⊥
C. m l ⊥⊥且γα
D. γαβα⊥且//
5.已知二面角βα--l 的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m α⊥，n β⊥，则m ，n 所成的角为_________________.
6. A 是二面角βα--l 的棱上一点， 3045AB 成角，与面成与，面αβl AB ?则该二面角的大小是 .
自我评价
你对本节课只是掌握的如何 （ ）
Ａ．较好 Ｂ．好 Ｃ．一般 Ｄ．差
高中数学学案：直线与平面垂直
高中数学学案：直线与平面垂直 1. 掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理. 2. 能够熟练运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理解决有关的问题 1. 阅读：必修2第35～40页. 2. 解悟：①圆锥SO的形成；②圆锥SO所在直线和底面内每一条半径的关系；③将圆锥中的相关关系用数学语言描述；④重解第39页例3,体会解题的方法和规范. 3. 践习：在教材空白处,完成第38页练习第2、3、5、6题. 基础诊断 1. 过一点有一条直线与已知平面垂直；过一点有一个平面与已知直线垂直. 2. 若a,b,c表示直线,α表示平面,则下列条件中能使a⊥α的是④.(填序号) ①a⊥b,a⊥c,b?α,c?α； ②a⊥b,b∥α； ③a∩b＝A,b?α,a⊥b； ④a∥b,b⊥α. 解析：①若直线b,c相交,则a⊥α.若直线b∥c,则a与α可能平行,可能垂直,可能相交,也可能a?α；②a可能在平面α内,也可能与平面α平行；③a有可能在平面α内；④若b⊥α,则在平面α内存在两条相交直线m,n,使得b⊥m,b⊥n.因为a∥b,所以a⊥m,a⊥n,所以a⊥α.故填④. 3. 已知l与m是两条不同的直线,直线l⊥平面α,给出下列命题： ①若直线m⊥l,则m∥α； ②若m⊥α,则m∥l； ③若m?α,则m⊥l； ④若m∥l,则m⊥α. 其中正确的是②③④.(填序号) 解析：①当直线m⊥l时,也有可能m?α,故①错误；②根据直线与平面垂直的性质定理可知②正确；③由线面垂直的定义知,若直线l⊥平面α,m?α,则m⊥l,故③正确；④因为m∥l,直线l⊥平面α,所以m⊥α,故④正确.故填②③④. 4. 设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”
2.3.2平面与平面垂直的判定导学案
2.3.2平面与平面垂直的判定导学案 1、教学目标 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： ●知识与技能 使学生经历面面垂直定义及判定定理相关概念的产生过程，掌握并会初步应用两个平面垂直的判定定理.掌握平面与平面垂直的判定定理及其变 式，能利用它们解决相关的问题。 ●方法与过程 通过对面面垂直相关概念及判定定理的探究，培养学生观察、分析、抽象、概括的思维水平,进一步感受转化、类比等思维方法;通过对面面垂直判定定理的应用,进一步培养学生的空间想象、推理论证等水平. ●情感态度与价值观 通过教师引导学生经历直观感知、操作确认等交流探索活动,激发学生的学习兴趣,使学生经历数学思维的过程,获得成功的体验. 2、教学重点、难点 ●重点 两个平面互相垂直的判定定理及其应用. ●难点 两个平面垂直的判定定理的归纳概括及应用。 ●重、难点解决的方法策略 本课通过自制模具的演示，为学生提供直观感性的材料，让学生从中自主探索，经历直观感知，操作确认，思辨论证的过程，并借助多媒体的直观演示，有 ________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________ 复习2：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.。 二、新课导学 ※探索新知（一）、平面与平面垂直定义 问题1：（见课件例1）在正方体ABCD-A’B’C’D’中，二面角A’-AB-D的平面角是多少？问题2：请同学们把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书本与桌面的位置有什么关系？ ※新知1：面面垂直的定义： 两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图，α垂直β，记作αβ ⊥.
人教版高中数学全套教案导学案231直线与平面垂直的判定2
2. 3.1直线与平面垂直的判定 【教学目标】 1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义； 2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题； 3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想. 【教学重难点】 教学重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。 教学难点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。 【教学过程】 1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象 问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？ 问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明． 设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义． 2.提炼直线与平面垂直的定义 问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？ 设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？ 问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义． (1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？ (2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变? (3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线BC的位置关系如何?依据是什么11设计意图：主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念． （学生叙写定义，并建立文字、图形、符这三种语言的相互转化） 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符语言表述：) ，则若． 设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法． 通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法． 3.探究直线与平面垂直的判定定理
2.3直线、平面垂直的判定及其性质 教案设计1
直线和平面垂直的判定与性质（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．直线和平面垂直的定义及相关概念． 2．直线和平面垂直的判定定理． 3．线线平行的性质定理（即例题1）． （二）能力训练点 1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加． 2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用． （三）德育渗透点 引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点 （1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直． （2）掌握直线和平面垂直的判定定理： （3）掌握线线平行的性质定理： 若a∥b，a⊥α则b⊥α．
2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题． 3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可． 三、课时安排 本课题共安排2课时，本节课为第一课时． 四、学生活动设计（略） 五、教学步骤 （一）温故知新，引入课题 1．空间两条直线有哪几种位置关系？ （三种：相交直线、平行直线、异面直线） 2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？ （从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直） 3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？ （直线在平面、直线和平面相交、直线和平面平行．） 4．怎样判定直线和平面平行？ 师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手． （板书课题：§1．9直线和平面垂直） （二）猜想推测，激发兴趣 1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定 [新知初探] 1．直线与平面垂直的定义 (1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足． (2)图形语言：如图． 画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． (3)符号语言：任意a?α，都有l⊥a?l⊥α. [点睛] (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形． (2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α. [点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直． 3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条 直线和这个平面所成的角． 如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角． (2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°. (3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°. (4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°. [点睛]把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行() (2)若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b() (3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α() 答案：(1)×(2)√(3)× 2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是() A．平行B．垂直 C．在平面α内D．无法确定 解析：选D 3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中： (1)与PC垂直的直线有 ________________________________________________________________________； (2)与AP垂直的直线有 ________________________________________________________________________．答案：(1)AB，AC，BC(2)BC 对直线与平面垂直的判定定理的理解 [典例]下列说法正确的有________(填序号)． ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直； ③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直． [答案]② (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交． (2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
直线与平面垂直的判定导学案
2.3.1 直线与平面垂直的判定（第一课时）教案 毕节市第二实验高中杨礼勇 学习目标： 1.理解并掌握直线与平面垂直的定义及判定定理；并能灵活运用判定定理证明线面垂直问题； 2.通过实践体验活动，感受直线与平面垂直的定义形成过程，探究判定直线与平面垂直的方法，进一步培育直观想象、数学抽象与逻辑推理等核心素养。 数学学习的最终目标，是要让同学们会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。 ------------史宁中教授 学习重难点： 重点：直线与平面垂直的定义及判定定理的理解； 难点：直线与平面垂直的判定定理的运用。 学习过程： （一）归纳定义： 列举校园内能抽象出直线与平面垂直的实例 每个小组，结合你们的观察，请选择一个实例，如： 思考1：你用什么办法检验与垂直？ 能抽象为数学模型吗？（作图说明） 思考2：直线与平面垂直的时候，该直线与平面内的直线有什么位置关系？ 请给直 线与平 面垂直 下个定 义：
（二）探究定理： 思考3：以旗杆为例，想想安装的师傅是怎样确定旗杆与地面已经垂直了？（即如何判定线面的垂直？） 思考4：你若用定义来判定，“所有直线”的条件是不具有可操作性的，能否简化？（无限验证------有限验证） 探究： 1.直线垂直于平面内的一条直线，能判定线面垂直吗？ 2.直线垂直于平面内的两条、三条、......、无数条直线，一定能判定线面垂直吗？ 3.当直线垂直于平面内的两条相交直线时，能否得到该直线垂直于此平面？ 大胆猜想： 动手操作，验证猜想 请抽象概括出线面垂直的判定定理： （三）定义与定理的辨析：
高中数学8.6.1直线与直线垂直8.6.2直线与平面垂直第1课时学案新人教A版必修第二册
第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定 问题导学 预习教材P146－P150的内容，思考以下问题： 1．异面直线所成的角的定义是什么？ 2．异面直线所成的角的范围是什么？ 3．异面直线垂直的定理是什么？ 4．直线与平面垂直的定义是什么？ 5．直线与平面垂直的判定定理是什么？ 1．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b． (3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°. ■[名师点拨] 当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别． 2．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形． (2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． 3．直线与平面垂直的判定定理 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．( ) (2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( ) (3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( ) 答案：(1)×(2)×(3)√ 直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( ) A．平行．垂直 C．在平面α内．无法确定
平面与平面垂直的判定教案
《平面与平面垂直的判定》 【课题】平面与平面垂直的判定 【教材】普通高中课程标准实验教科书数学2 必修 人民教育出版社 一．教学目标 1．教材分析 ⑴教学内容 《平面与平面垂直的判定》〉普通高中课程标准实验教科书（必修2·人民教育出版社）“§2.3 直线、平面垂直判定及其性质”的第二节课，主要内容是，二面角的概念和平面与平面垂直的判定定理的归纳与应用。 ⑵地位与作用 本节课学习平台是学生已学习了空间两直线位置关系，空间直线和平面位置关系,特别是已学习了直线和平面垂直判定定理,二面角的平面角,这是学习本节内容的基础，而本节内容是多面体、旋转体的学习基础，所以，本节的学习有着极其重要的地位。 2.学法分析 二面角是空间角，概念与度量严谨而抽象；判定定理内容不要求证明，要做到抽象概括确实有很大困难，所以本课采用类比发现式教学法，即体现大量的实例，让学生通过直观感知，操作确认，归纳数学原理，并作一定的应用。 3．教学目标
依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标． ⑴知识与技能 ①体会二面角的概念与度量 ②归纳两个平面垂直的判定定理内容 ③应用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题 ⑵过程与方法 ①通过二面角的概念的探索和推导过程，渗透类比迁移的思想； ②通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，训练并提升学生抽象概括水平 ③通过使用定理的过程，提升学生类比化归水平，培养学生降低空间维数的思想．通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程； ⑶情感态度与价值观 直观感知，操作确认数学定理，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣． 二．教学重点、难点 1．教学重点 ⑴两个平面垂直的判定定理及应用； 2．教学难点 二面角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括三．教学过程
直线、平面垂直的判定及其性质
直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 . 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：??? ???0，π2. 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
直线与平面垂直的判定经典例题
2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 一、基础达标 1．下列说法中正确的个数是() ①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α. ②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α； ④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α； ⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α. A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析对①②⑤，均不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B. 2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个 C．有一个或无数个D．不存在 答案 B 解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．(2014·淮北高一检测)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为() A．30°B．45° C．60°D．120° 答案 C 解析如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α
内的射影，则BC ＝1 2AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角． 4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交 答案 C 解析 取BD 中点O ， 连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C. 5．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________． 答案 外心 解析 P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心． 6．(2014·舟山高一检测)如图所示，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________． 答案 4 解析 ? ??? ?P A ⊥平面ABC BC ?平面ABC ?
直线与平面的位置关系---垂直导学案Word版
直线与平面的位置关系---垂直 教学目标: 1、理解直线与平面垂直的定义； 2、点到面的距离； 3、线到面的距离； 4、掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理并会应用； 5、培养学生的空间想象能力和辨证思维。 教学重点、难点: 重点：直线与平面垂直的判定定理及性质定理的理解及推导。 难点：直线与平面垂直的判定定理及性质定理的灵活运用。 教学过程: 活动一、阅读下列文字，并回答问题 观察圆锥SO ，它给我们以轴SO 垂直于底面的形象，轴SO 与底面内的哪些直线垂直呢？为什么？ 思考：为什么轴SO 垂直于底面内的所有半径，就有SO 垂直于底面内的所有直线？ 1、直线与平面垂直： 如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 与平面α___________，记作________。直线a 叫做平面α的_______，平面α叫做直线a 的______，垂线和平面的交点叫做______。 思考：在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么，在空间： （1）过一点有几条直线与已知平面垂直？ A S O B
（2）过一点有几个平面与已知直线垂直？ 小结： ___________________________________________________________ __________________________________________________________________. 问：你能证明这个结论吗？ 2、点到平面的距离： ________________________________________________ ___________________________________________________________________. 3、问题：（1）将一张矩形纸片对折后略微展开，竖立在桌面上，观察折痕与桌 面的位置关系？ （2）学校的旗杆与地面的位置关系？ 归纳： 直线与平面垂直的判定定理： ________________________________________ ___________________________________________________________________. 上面的定理用符号语言如何表示？ 两根旗杆垂直于地面，给我们以旗杆平行的形象。 归纳： 直线与平面垂直的性质定理：__________________________________________ ____________________________________________________________________.（写出已知、求证，并证明） 已知： a b 求证： 证明： α
平面与平面垂直的判定说课稿
平面与平面垂直的判定 说课稿 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
《2.3.2平面与平面垂直的判定》说课稿 说课人：高长福 我说的课是高中新课标《数学》必修2第二章第2节内容《平面与平面垂直的判定》。 一、教材分析： 1．教材地位和作用 本节课的主要内容有两个：（1）二面角和二面角的平面角的概念，（2）平面与平面们垂直的判定。由于平面与平面垂直的概念是建立在二面角的基础之上，且二面角的平面角不但定量地描述了两相交平面的相对位置，同时也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点，所以搞好二面角的学习，对学生掌握线面垂直、面面垂直的知识。乃至空间思维能力的培养都具有十分重要的意义。2．教学目标课程目标： （1）通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面垂直的判定定理。 （2）能运用平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。 根据上面对教材的分析及课程标准，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标： （1）借助对图片、实例的观察、类比、抽象、概括二面角的概念，面面垂直的定义。并能正确理解定义。 （2）通过直观感知、操作确认，归纳出二面角平面角的定义，平面与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
（3）让学生亲身经历数学研究的全过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。3、本节课的教学重点： （1）二面角及平面角概念的形成过程；（2）面面垂直的判定定理的运用。难点：（1）二面角的平面角的形成过程及寻找方法； （2）面面垂直的判定定理的运用。 二、学情与学法分析： 目前高一学生已学过空间线面、面面的平行和线面的垂直关系，对空间线线、线面、面面三者之间的转化关系比较了解，且（2）班学生思维较活跃，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识和能力。针对目前学生的年龄特点和心理特征以及他们的知识水平，采用诱导、启发式教学方法。用由浅入深的问题引导学生自己去发现问题、产生概念、形成定理。在定理的运用过程中培养学生的思维能力、论证能力，并通过引导学生对定理及例题图形的认识，加深学生对定理的理解，达到培养学生空间想象能力的目的。 本节课结合多媒体教学，尽可能调动学生思维的积极性，激发学生的学习兴趣，让学生始终处于主动学习的状态，体现学生的主体地位和教师的主导作用。本节课中，教师引导学生从具体例子入手总结出定理，体会数学中由“特殊”到“一般”的研究规律；通过判定定理，将“面面垂直”的问题转化为“线面垂直”的问题去处理，体会转化思想在数学的应用。 三、课堂结构设计： 二面角的概念建构→创设情境——感知概念
直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义)含答案
直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义） ?知识点睛 一、直线与平面垂直（线面垂直） 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____________． a b α ∵_________，b⊥α， ∴___________． 其他性质： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面． 二、平面与平面垂直（面面垂直） 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直． α a l β ∵α⊥β，α∩β=l，________，________， ∴a⊥β． 其他性质： 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面； 如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面．
?精讲精练 1.已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l， m的位置关系是（） A．平行B．异面C．相交D．垂直 2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（） A．m∥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 3.若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给 出下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β； ②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n； ③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m，m∥n，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β； ⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m ⊥l，n⊥l．其中正确命题的序号是________________． 4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（） B C D A A B． 2 a C． 2 a D．a
《平面与平面垂直的判定》教学设计(优质课)
平面与平面垂直的判定 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用. 2．过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理. 3．情态、态度与价值观 通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力. （二）教学重点、难点 重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小. （三）教学方法 实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合. 义的？
一、二面角 ．二面角 ）半平面 . ）二面角 . 、β的二面角记作二面角
. ．二面角的平面角 如图（1）在二面角任取一点O，以点 . . ] 二、平面与平面垂直. .
个平面垂直. 是圆周上不同于A、B的任意一点， . 条件， 的直径，
成一个四面体，使G1，G2， 重合后的点记为G，则在四面体 答：面ABC⊥面BCD 面ABD⊥面BCD
备选例题 例1 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，A ∈EF ，AG α?，∠GAE = 45°若AG 与β所成角为30°，求二面角EF αβ--的平面角. 【分析】首先在图形中作出有关的量，AG 与β所成的角(过G 到β的垂线段GH ，连AH ，∠GAH = 30°)，二面角EF αβ-- 的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH 建立联系，抓住 GH ⊥β这一特殊条件，作HB ⊥EF ，连接GB ，利用相关关系即可解决问题. 【解析】作GH ⊥β于 H ，作HB ⊥EF 于B ，连结GB ， 则CB ⊥EF ，∠GBH 是二面角的平面角. 又∠GAH 是AG 与β所成的角， 设AG = a ，则1,2GB GH a ==，sin GH GBH GB ∠=. 所以∠GBH = 45° 反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系. 例2 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ， E 是S A 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD ． 【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需 要寻找已知条件“SC ⊥平面ABCD ”与需证结论 “平面EDB ⊥平面ABCD ”之间的桥梁． 【证明】连结AC 、BD ，交点为F ，连结EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF ∥SC ． ∵SC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ． B S C
2018学年第二学期高二数学《直线与平面垂直》学案
直线与平面垂直 班级 学号 姓名 复习目标： 掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；并会规范地写出解题过程。 课前预习： 1、知识要点：直线与平面垂直 2、基础自测 1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ ） ()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥?? ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=?⊥ ()D //,a b b α⊥ 2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若 m α⊥，则//m l ；③若m α?，则m l ⊥；④//m l ，则m α⊥。上述判断正确的是 ()A ①②③ ()B ②③④ ()C ①③④ ()D ②④ 3．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD 满足条件 时， 有1 11AC B D ⊥（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 4.设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题： ①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ?的垂心 ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ?的垂心 ③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC == ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ?的外心 其中正确命题的命题是 例题分析： 例1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点．（Ⅰ）求证：⊥DE 平面BCE ；（Ⅱ）求证：//AF 平面BDE ． 1C 1D E F
直线与平面垂直的判定与性质
直线与平面垂直的判定与性质 典型例题 1、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．βαβα⊥?⊥?⊥n m n m ,, B ．n m n m ⊥?⊥βαβα//,,// C ．n m n m ⊥?⊥⊥βαβα//,, D ．ββαβα⊥?⊥=⊥n m n m ,, 解析：正确的命题是n m n m ⊥?⊥βαβα//,,//，选B. 2、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、 BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 求证：AO ⊥平面BCD ； 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所 成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象 能力、逻辑思维能力和运算能力。 ）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ 在AOC ?中，由已知可得1, 3.AO CO == 而2,AC = 2 2 2 ,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ ,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD 一、选择题 1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1 的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ） A ． 2 3 B ．22 C ．2 1 D ． 3 3 2、在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ） （A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面P A E A B M D E O C
平面与平面垂直的判定 优秀教案
平面与平面垂直的判定和性质 第一课时 教学目标： 1．理解二面角的有关概念，能画出二面角． 2．会求二面角的平面角． 教具准备：投影胶片、三角板． 教学过程： ［设置情境］ 看看日常生活中常见的例子：公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．那么，怎么定义两个平面所成的角呢？ ［探索研究］ 1．二面角 （1）半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面． （2）二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （3）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．图1，记作二面角βα--AB ． ①直立式 ②平卧式 图1 2．二面角的平面角 教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量．这说明二面角不仅有大小．而且其大小是惟一确定的． 平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况．为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题．从而提问：二面角的大小应该怎么度量？ 让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到度量二面角大小的方法． 现给出二面角的平面角的定义： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 如图2，二面角βα--l ，l O ∈，α?AO ，β?BO ，l AO ⊥，l BO ⊥．AOB ∠是二面角βα--l 的平面角．
直线与平面垂直的判定导学案
数学必修2 导学案 ……………………… ..装…………………… 订…………………… 线………………………. 直线与平面垂直的判定导学案导学案（B） 日期______编写______审定_______ 一、学习目标： 1.掌握直线与平面垂直的判定定理及应用 2. 求直线与平面所成的角 二、重点、难点 1.直线与平面垂直的判定 2.灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题 三、知识链接 1、三角形的外心、垂心的性质 四、学法指导： 空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关 系，它是空间问题平面化的典范。线面垂直是立体几何的核心。本节课要灵 活应用直线与平面垂直判定定理解决问题 五、学习内容 一、新知探究 阅读教材p64-p67页，并独立思考下列问题： ①根据课本的实验探究直线与平面垂直的定义和画法；如果一条直线垂直于 一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明. ②探究直线与平面垂直的判定定理. ③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理. ④探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角. 二、探究结果 1、直线与平面垂直的定义和画法： 2、直线和平面垂直的判定定理（用三种语言表示） 3、斜线在平面内的射影：直线和平面所成的角： 4动手做课本例一、例二并解答p67页练习 三、应用示例思路1 例一变式训练：如图,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求 证：PB⊥AC. 点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线 面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁 例二变式训练：如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点， 求CQ与平面DBC所成的角的正弦值
人教版高中数学必修2学案：2.3.1直线与平面垂直的判定
2.3.1直线与平面垂直的判定 一、学习目标: 知识与技能：理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. 理解直线与平面所成的角的定义及求法； 过程与方法：培养几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 情感态度与价值观：亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣,同时培养从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。 二、学习重、难点 学习重点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 学习难点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用 三、使用说明及学法指导: 1、限定45分钟完成，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。 3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成80%以上,平行班完成60%以上. 4、A 级是自主学习,B 级是合作探究,C 级是提升 四、知识链接： 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 五、学习过程：自主探究 一、直线与平面垂直的判定 1、线面垂直的定义 A 问题1、结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义． (1)阳光下，直立于地面的旗杆A B 与它在地面上的影子B C 所成的角度是多少？ (2)随着太阳的移动,影子BC 的位置也会移动,而旗杆AB 与影子BC 所成的角度是否会发生改变? (3)旗杆AB 与地面上任意一条不过点B 的直线B 1C 1的位置关系如何?依据是什么？ A 问题2、直线与平面垂直的定义 如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α. 直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。 符号语言： 图形语言: 思想: 直线与平面垂直 直线与平面垂直 A 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？ ?a l l a αα ? ?⊥?⊥? 是平面内任一直线α l P
新教材人教A版高中数学必修第二册学案设计-直线与平面垂直
8.6.2 直线与平面垂直 学习目标 1.理解直线与平面垂直的定义。 2.理解直线与平面垂直的判定定理。 3.理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明。 4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。 5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。 基础梳理 1.一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂 直，记作l⊥。直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。 2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线，则该点 与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。 3.一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理：定理如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 4.如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直 线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上 斜足以外的一点P向平面引垂足PO，过垂足O和斜足A的直线AO 叫做斜线在这个平面上射影，平面的一条斜线和它平面上的射影所成 的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 5.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角是0。直线与平面所成的角的取值范围是。 6.我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：定理垂直于同一个平面的两条直线平行。 7.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到 这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。 随堂训练