山东省青岛二中2017年自主招生考试数学试题

青岛二中2017年自主招生（数学）试题

1．若某个函数的图象与函数223y x x =--的图象关于直线2x =对称，则该函数的表达式为__________．

2．若关于x 的不等式组1892008x a x +??+?

≤≥有有限个整数解，则实数a 的取值范围是__________．

3．若非负整数a ，b 满足方程1

a b ab -+=，求a ，b 的值．

4．如图，已知AD 是ABC △内角BAC ∠的平分线，⊙O 经过A ，B ，D 三点，过点D 作DE AC ∥，交⊙O 于点E ，连接EB ．

O

D A B C E

（1）求证：EB AD ∥．

（2）若2BD CD =，设EBD △面积为1S ，ADC △面积为2S ，且2121640S S -+=，求ABC △面积．

5．小明和小亮来到青岛二中参观，见三元广场上铺满了大小相同深浅两色正方形地砖（如图），他俩设计了一个游戏：让小明随机向地砖上抛掷一颗小石子，连续抛掷四次，若小石子有三次落在颜色相同的地砖上，则小明赢得游戏，那么小明赢得游戏的概率为__________．

6．若三元广场上的正方形地砖边长为1m ，将一块地砖绕其对角线焦点旋转45?，则旋转后地砖与旋转前地砖重叠部分的面积为__________2m ．

7．若小亮需要测量三元广场旗杆AD 高度，此时，旗杆的影子投射在平地和坡角为45?的坡面上（如图），已知10m AB =，252BC ，若小亮身高1.8m ，此时他的影子在平地上的长度为3m ．求旗杆的高度．

8．某商场搞促销活动，设置了两个抽奖游戏，顾客可从两个游戏中任选一个参与，一等奖返现100元，二等奖返现80元，三等奖返现50元．

游戏一：一个转盘被分割成面积相等的六个扇形，指针转到A 区域获一等奖，转到B 区域获二等奖，转到C 区域获三等奖；

游戏二：一个盒子中装有两个红球、两个蓝球和一个白球，这些数除颜色外都相同，从中随机摸出两个球，两个球都为红色获一等奖，恰有一个白球获二等奖，其余情况获三等奖．

你认为选择哪一个游戏对顾客更有利？并说明你的理由．

9．（1）某天，小明观察到父亲开动汽车时，踩下油门约15

，2秒末汽车里程表显示前进了3.2m ，速度表显示速度为12km /h ；5秒末，汽车前进了20m ，速度为30km /h ；10秒末，汽车前进了80m ，速度为60km /h ；12秒末，汽车前进了115.2m ，速度为72km /h ，若汽车速度（单位：km /h ）与时间（单位：秒）满足一次函数关系，汽车前进距离（单位：m ）与时间（单位：秒）满足二次函数关系，请求出这两个函数表达式：

（2）汽车正以48km /h 的速度行驶在笔直公路上（限速120km /h ），在超越前面一辆货车时，小明父亲均匀加大油门，此时小明测得，1秒末汽车速度为50km /h ，2秒末汽车速度为56km/h ，3秒末汽车速度为66km/h ，4秒末汽车速度为80km/h ，请运用生活常识及初中所学函数知识预测小明父亲几秒后会超速？若超速10%及以上，驾驶员会被拍照处罚，则几秒后小明父亲会被拍照处罚？（结果可保留根式形式）

10．阅读预备知识，完成题目

预备知识： 知识1：当0a >，0b >

时，不等式a b +≥成立，当且仅当a b =时等号成立，由此不等式可以看出，当两正数a ，b 的乘积为定值s

时，两数之和有最小值

a b +=≥

知识2：一次函数的图象是一条直线，现将函数32y x =+变形为320x y -+=，利用点到直线距离公式（注：平面内点(,)P m n 到直线0Ax By C ++=

的距离为d =

）可得到(1,2)A 到此

直线的距离为d ==． 如图，已知点P 是反比例函数(0)k y k x

=>在第一象限图象上的一点，过点P 分别向x ，y 轴作垂线，垂足为A ，B ．

（1）求矩形OAPB 的面积（结果用含k 的表达式表示）．

（2）若矩形OAPB

周长的最小值为k 的值．

（3）当1k =时，若一次函数443

y x =--的图象与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，求PMN △的面积PMN S △的最小值．

11．若二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于两个不同的点(1,0)A -，(,0)B m ，与y 轴交于点C ，且以AB 为直径的圆过点C ．

（1）求m 的值和二次函数的表达式．

（2）已知点(1,)D n 在二次函数图象上，一次函数1y x =+的图象过点A 且与二次函数的图象交于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P ，B ，D 为顶点的三角形与AEB △相似，求点P 的坐标．