【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第六章 6.2等差数列-教师版

等差数列

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )

(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ ) 2、在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B

解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B. 3、已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C

解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝

a 10－a 5

10－5＝1，

∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.

4、已知数列{a n }中，a 3＝3，a n ＋1＝a n ＋2，则a 2＋a 4＝________，a n ＝________. 答案 6 2n －3

解析 由已知得a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }为公差为2的等差数列，由a 1＋2d ＝3，得a 1＝－1， 所以a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3，a 2＋a 4＝2a 3＝6.

5、若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8

解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大. 无

题型一 等差数列基本量的运算

例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )

A ．2

B ．10 C.52 D.5

4

(2)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案 (1)C (2)6

解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝1

2，

所以数列{a n }是首项为－2，公差为1

2的等差数列，

所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝5

2.

(2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×(6－1)

2×(－2)＝6.

【同步练习】

(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13

B ．35

第2课时

C ．49

D ．63

(2)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9

的值是________． 答案 (1)C (2)20

解析 (1)∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)

2

＝49.

(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得 ?????

a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1

＋5×4

2d ＝10，解得?????

a 1＝－4，

d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 题型二 等差数列的判定与证明

例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1

a n －1(n ∈N *)．

(1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1

a n －1(n ≥2，n ∈N *)，

b n ＝1a n －1

(n ∈N *)，

所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1

a n －1

＝

1(2－1a n

)－1

－1a n －1＝a n a n －1－1

a n －1＝1. 又

b 1＝1a 1－1

＝－5

2.

所以数列{b n }是以－5

2为首项，1为公差的等差数列．

(2)解 由(1)知b n ＝n －7

2，

则a n ＝1＋1b n ＝1＋2

2n －7.

设f (x )＝1＋

2

2x －7

， 则f (x )在区间(－∞，72)和(7

2

，＋∞)上为减函数．

所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究

例2中，若条件变为a 1＝3

5，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．

解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n

n ＋1，

即

a n ＋1n ＋1－a n n

＝1，又a 1＝3

5，

∴????

??a n n 是以a 11＝3

5为首项，1为公差的等差数列，

∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －2

5， ∴a n ＝n 2－25n .

【同步练习】

(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1

a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )

A ．a n ＝1

n

B ．a n ＝2

n ＋1

C ．a n ＝2

n ＋2

D ．a n ＝3

n

答案 A

解析 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1

a n ＋2

可得

1

a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即

a n ＝1

n

.

(2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．

①证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， 得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，

所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②解 由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.

于是∑n

k ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑n

k ＝1 (2k －1)， 所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.

又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项

由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式

设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)

2d .

6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d

2

n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【知识拓展】

等差数列的四种判断方法

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)?{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)?{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)?{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)?{a n }是等差数列． 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质

例3 (1)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝8π，则{a n }前9项的和S 9＝______，cos(a 3＋a 7)的值为________．

(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 (1)24π －1

2

(2)21

解析 (1)由a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝8π，解得a 5＝8π3，所以{a n }前9项的和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9×8π

3＝

24π.

cos(a 3＋a 7)＝cos 2a 5＝cos

16π3＝cos 4π3＝－1

2

. (2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质

例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________.

(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10

10＝2，则S 2 018的值等于( )

A ．－2 018

B ．－2 016

C ．－2 019

D ．－2 017

答案 (1)114 (2)A

解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，

即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S n

n }为等差数列，其公差为1，

∴S 2 0182 018＝S 11

＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018. 【同步练习】

(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176

(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7

b 7等于( )

A.37

27 B.1914 C.3929

D.43

答案 (1)B (2)A

解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)

2

＝11×16

2

＝88.

(2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 13

2×13b 1＋b 132×13＝S 13

T 13

＝3×13－22×13＋1＝3727

. 题型四 等差数列的前n 项和及其最值

例5 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75

D ．90

(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，

所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×9

2＝45.

(2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，

则???

10a 1＋10×9

2

d ＝100，100a 1

＋100×99

2

d ＝10，解得???

a 1＝1 099100

，

d ＝－11

50.

所以S 110＝110a 1＋110×109

2

d ＝－110.

方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×90

2＝－90，

所以a 11＋a 100＝－2，

所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×110

2＝－110.

答案 (1)A (2)－110

例6 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 规范解答

解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，

∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－5

3.

方法一 由a n ＝20＋(n －1)×????－53＝－53n ＋65

3， 得a 13＝0.

即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，

且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112

×????

－53＝130.

方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·????－53＝－56n 2＋1256n ＝－56????n －2522＋3 125

24. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.

∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 一、等差数列运算问题的通性通法

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． 二、等差数列的四个判定方法

(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．

(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．

(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．

(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列． 三、等差数列的性质

(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ?a m －a n

m －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，

a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．

(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .

1．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( ) A ．9 B ．22 C ．24 D ．32

答案 C

解析 由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.

2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40

B ．42 作业布置

C ．43

D ．45

答案 B

解析 a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5， 又a 1＝2，∴d ＝3，a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d ) ＝3×14＝42.

3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11

答案 C

解析 由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51， 所以a n －1＝17，又a 2＝3， S n ＝n (a 2＋a n －1)2

＝100，解得n ＝10.

4．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1＝a 2n －a n －1(n ∈N *

，n ≥2)，则S 2 016等于( )

A ．0

B ．2

C ．2 015

D ．4 032 答案 D

解析 由已知可得a 2n ＝2a n (n ≥2)， ∵{a n }各项均不为零， ∴a n ＝2(n ≥2)，

又{a n }为等差数列，∴a n ＝2，∴S 2 016＝4 032.

5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －5

7

，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号

n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．8或9

答案 C

解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－5

7(n －1)＝40－5n 7，该

数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C.

*6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若

S n

S 2n 为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( ) A ．b n ＝n －1 B ．b n ＝2n －1 C ．b n ＝n ＋1 D ．b n ＝2n ＋1

答案 B

解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)， S n

S 2n

＝k ，因为b 1＝1， 则n ＋12n (n －1)d ＝k [2n ＋1

2×2n (2n －1)d ]，

即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 又公差d ≠0，解得d ＝2，k ＝14

.

所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. 7．已知数列{a n }中，a 1＝1且1

a n ＋1＝1a n ＋1

3(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14

解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×1

3＝1＋3＝4，

故a 10＝1

4

.

8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130

解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.

9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋

a 3

b 8＋b 4的值为________．

答案

1941

解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴

a 9

b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6

＝a 9＋a 32b 6＝a 6

b 6.

∵

S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝19

41， ∴

a 9

b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝19

41

. 10．设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是________． 答案

245

解析 由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，得 na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ， 又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，

所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列， 则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝

245

. 11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d .

由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]

2＝2n －n 2.

由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.

12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1

2

.

(1)求证：????

??

1S n 成等差数列；

(2)求数列{a n }的通项公式．

(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1

S n －1＝2，

又1S 1＝1

a 1

＝2， 故????

??

1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝1

2n .

当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－1

2n (n －1).

当n ＝1时，a 1＝1

2

不适合上式．

故a n

＝???

1

2

，n ＝1，－

1

2n (n －1)，n ≥2.

*13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *

)．

(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．

(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4， 即a 21－2a 1－3＝0， 解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，

又2S n＝a2n＋n－4，

两式相减得2a n＝a2n－a2n－1＋1，

即a2n－2a n＋1＝a2n－1，也即(a n－1)2＝a2n－1，

因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.

若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.

而a1＝3，

所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，

因此数列{a n}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a1＝3，d＝1，

所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.

等差数列讲义(学生版)

2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念、通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列的定义(重点)； 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题； 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点). 【要点整合】 1. 等差数列的概念 2. 等差中项 如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 注意 根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2 ，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项?A ＝a ＋b 2 3. 等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为： (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…；

(4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，…. 练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列() A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 题型二等差中项 例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列. 练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 题型三等差数列的通项公式及应用 例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. (2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？ （3）等差数列2,5,8,...,107共有项

等差数列习题课(教师版)

等差数列习题课 1. 进一步了解等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式； 2. 理解等差数列的性质，等差数列前n 项和公式的性质应用； 项和之比问题，以及实际应用。 一、知识回顾 1．等差数列的定义用递推公式表示为： )(1++∈=-N n d a a n n 或),2(1+-∈≥=-N n n d a a n n ，其中d 为常数，叫这个数列的公差。 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=， 3．等差数列的分类： 当0>d 时，}{n a 是递增数列；当0

等差数列练习题(教师版,附详细答案)

等差数列练习题 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 例1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……； （2）2212-，2313-，2414-，251 5-； （3）11*2-，12*3，13*4-，1 4*5 。 解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)11n n +-+； （3）n a = (1)(1) n n n -+。 点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。 如（1）已知* 2 ()156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ； （2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为 __ ； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围； 2、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 例2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案：B ； 解法一：a n =???≥-==??? ?≥-=-)2( 12) 1( 1) 2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n+1－a n =2为常数， 1 21 21-+= +n n a a n n ≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列. 解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a n =S n －S n －1的推理能力.但

等差数列及其性质典型例题及练习(学生)

等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n +都成立。求证：c 的最大值为 2 9。

考点4 等差数列(学生版)

考点4 等差数列 [玩前必备] 1．数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式． 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ， 则a n ＝????? S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2). 4．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示． 5．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 说明：等差数列{a n }的通项公式可以化为a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n 的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n 的一次表达式，则该数列为等差数列. 6．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d . 说明：数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．这表明d ≠1时，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次表达式，并且没有常数项. 7．等差中项 如果A ＝a ＋b 2 ，那么A 叫作a 与b 的等差中项． 8．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . [玩转典例] 题型一 数列的概念 例1 根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项： (1)a n ＝n 2－12n －1 ；(2)a n =n(n+2). [玩转跟踪]

高二数学C数列、等差数列(教师版)

学科教师辅导讲义

f.若数列中含有偶数项（2n 项），则nd s s =-奇偶； g.n n n n n s s s s s 232,,--成等差数列，且公差为d n 2 。 （4）等差数列判断的方法：（先让学生总结，老师再进行补充） a.定义法：a n+1-a n =d （常数）?{a n }为等差数列； b.中项公式法：2a n =a n-1+a n+1（n ≥2，n ∈N +）?{a n }为等差数列； c.通项公式法：a n =an+b ，即a n 是n 的一次型函数，则{a n }为公差是a 的等差数列； d.前n 项和公式法： S n =an 2 +bn ，即S n 是n 的不含常数项的二次函数，则{a n }为等差数列。 【典型例题分析】 例1、已知数列的前项和，数列 的每一项都有 ，求数列 的前项和 . 解析： ，当 时， . 又当， . ∴ 数列的通项公式为. 故数列是首项为9，公差为 的等差数列. 在中. 由二次函数的性质知， 当时， 最大（若令 则 ）. 而 . ∴ 的前五项为正， 故，从第6项起又组成一个首项为1， 公差为2的等差数列， 其和为 又. 故当 时， .

综合上述，可得数列的前项和为 点评 对于数列的问题要注意从函数的观点去认识．因为的前五项为正，从第六项起为负，所以 的前项 和 只能用分段函数加以表述． 变式练习：已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和T n .（只是数值上有所改变，让学生独立完成） 解析：由S n =12n －n 2知S n 是关于n 的无常数项的二次函数（n ∈N *），可知{a n }为等差数列，求出a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n . 解：当n =1时，a 1=S 1=12－12=11； 当n ≥2时，a n =S n －S n －1=12n －n 2－［12（n －1）－（n －1）2］=13－2n . ∵n =1时适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n =13－2n . 由a n =13－2n ≥0，得n ≤ 2 13， 即当 1≤n ≤6（n ∈N *）时，a n ＞0；当n ≥7时，a n ＜0. （1）当 1≤n ≤6（n ∈N *）时， T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =12n －n 2. （2）当n ≥7（n ∈N *）时， T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =（a 1+a 2+…+a 6）－（a 7+a 8+…+a n ） =－（a 1+a 2+…+a n ）+2（a 1+…+a 6） =－S n +2S 6=n 2－12n +72. ∴T n =?????+--72121222 n n n n ). ,7(),,61(**N N ∈≥∈≤≤n n n n 评述：此类求和问题先由a n 的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成{a n }的求和问题. 例2、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。 解析： 利用前奇数项和和与中项的关系 令m=2n-1，n ∈N + 则 ???=-==-=-33a )1n (S 77a )1n 2(S n n 1n 2偶 ∴ 33771n 1n 2= --∴ n=4∴ m=7 ∴ a n =11∴ a 1+a m =2a n =22 又a 1-a m =18∴ a 1=20，a m =2∴ d=-3∴ a n =-3n+23 变式练习：已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。

等差数列(学生版)

等差数列 导引： 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项 练习： 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?

例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 练习： 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。 3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。 练习： 1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 2、计算5+10+15+20+? +190+195+200的和。

3、计算100+99+98+…+61+60的和 例题4计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 练习： 1、计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 2、计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99) 3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 例题5 已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。 练习： 1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。

三年级等差数列教师版

三年级等差数列教师版 https://www.wendangku.net/doc/de2541228.html,work Information Technology Company.2020YEAR

小学三年级奥数专项练题《等差数列》 【知识要点屋】 1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。 2．特点：①相邻两项差值相等；②要么递增，要么递减。 3．名词：公差，首项，末项，项数 ★按一定次序排列的一列数叫做数列。 ★数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；最后一个数叫末项。 ★如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。 ★后项与前项的差就叫做这个数列的公差。如： 1，2，3，4，是等差数列,公差是 1; 1，3，5，7，是等差数列，公差是 2； 5，10，15，20，是等差数列，公差是 5. ★由高斯的巧算可知，在等差数列中，由如下规律： 通项公式：末项＝首项＋（项数－1）×公差 第几项 = 首项+（项数-1）×公差； 项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 = 平均数×项数 平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2 (★★★) ⑴一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是______；

⑵一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_______。 (3)一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差＝_____；第19项＝______，212是这个数列的第_____项。 (★★) 计算下面的数列和： ⑴1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＋25＝ ⑵1＋5＋9＋13＋…＋33＋37＋41＝ (3)3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＝ 拓展练习： 1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数？ 解答：d=（40-10）÷(4+1)=6，插入的数是：16、22、28、34。 2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（）。 解答：d=（55-6）÷（8-1）=7 3、（1）2、 4、6、8、……、28、30这个等差数列有( )项。

等差数列教学目标

【教学目标】 1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式； 2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题． 3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．【教学重点】 等差数列的概念及其通项公式． 【教学难点】 等差数列通项公式的灵活运用．“等差”的理解 【教学方法】 本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的． 【教学过程】 问题1 某工厂的仓库里堆放一批钢管（参见教材P39图2-6），共堆放了8层，试写出从上到下列出每层钢管的数量． 问题2. 小明目前会100个单词，但她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，试写出在今后的五天内他的单词量 从上例中，我们得到一个数列，每层钢管数为 （1）4、5、6、7、8、9、10、1 （2）100，98，96，94，92 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d 练习一 抢答：下列数列是否为等差数列？ 1，2，4，6，8，10，12，…； 0，1，2，3，4，5，6，…； 3，3，3，3，3，3，3，…； 2，4，7，11，16，…； －8，－6，－4，0，2，4，…； 3，0，－3，－6，－9，…． 注意：求公差d 2．常数列 特别地，数列3，3，3，3，3，3，3，… 也是等差数列，它的公差为0．公差为0的数列叫做常数列． 3．等差数列的通项公式（引导学生推导） 4.例题讲解 例1 求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项． 例2已知一个等差数列的公差为d,第m项是am，试求第n项an 5.练习 （1）求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项． （2）求等差数列10，8，6，…的第20项． 小结 1．等差数列的定义及通项公式．

第34讲 数列的概念与等差数列(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第34讲：数列的概念与等差数列 一、课程标准 1、通过实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数. 2、通过实例，理解等差数列的概念． 3、探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式． 4、.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 5、体会等差数列与一次函数的关系. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 数列的概念 (1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．数列可以看做是定义域为N *或其非空子集的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，其图像是一群孤立的点． 注：数列是特殊的函数，应注意其定义域，不要和函数的定义域混淆． (2)数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项． 2. 数列的分类 (1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． (2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列． 3. 数列的通项公式 一般地，如果数列{}a n 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列{}a n 的通项公式． 注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一． 4. 数列的表示方法 数列可以用通项公式来描述，也可以通过图像或列表来表示． 5．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等

小学三年级上学期思维逻辑训练第12讲--等差数列(一)【教师版】

第12讲——等差数列 【精讲精练】 例1、有一个等差数列：4，7，10，13……，这个等差数列的第28项是多少？【答案】85 【解析】 4＋（28－1）×3＝85 练1、有一个等差数列：10、16、22、28……，这个等差数列的第42项是多少？【答案】256 【解析】 10＋（42－1）×6＝256 例2、一个等差数列有12项，每一项都比它的前一项小2，并且首项为55，那么末项是多少？ 【答案】77 【解析】 55－（12－1）×2＝33 练2、一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大2，并且首项为30，那么末项是多少？ 【答案】58 【解析】 30＋（15－1）×2＝58

例3、一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项小2，末项为75，那么首项是多少？ 【答案】57 【解析】 75－（10－1）×2＝57 练3、某露天剧场有30排座位，最后一排座位有86个，后面每排比前排多2个座位，第一排有多少个座位？ 【答案】28个 【解析】 86－（30－1）×2＝28（个） 例4、（1）一个等差数列首项为13，第9项为29，这个等差数列的公差是多少？【答案】2 【解析】 （29－13）÷（9－1）＝2 （2）一个等差数列第5项是16，第11项是70，那么这个等差数列的公差是多少？ 【答案】9 【解析】 （70－16）÷（11－5）＝9

练4、一个等差数列第4项是19，第14项是79，那么这个等差数列的公差是多少？ 【答案】6 【解析】 （79－19）÷（14－4）＝6 例5、（1）一个等差数列首项为13，末项为85，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？ 【答案】10项 【解析】 （85－13）÷8＋1＝10（项） （2）一个等差数列第3项为40，末项为100，公差为6，那么这个等差数列一共有多少项？ 【答案】13项 【解析】 （100－40）÷6＋3＝13（项） 练5、已知等差数列2，9，16，23，30，…那么93是其中的第几项？ 【答案】14 【解析】 （93－2）÷7＋1＝14

三年级计算等差数列学生版

知识要点 1.按一定次序排列的一列数叫做数列．数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差． 如：1,2,3,4， 是等差数列，公差为1；2,4,6,8， 是等差数列，公差为2；5,15,20， 是等差数列，公差为5． 等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+ -?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =- -?（） 同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到： 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++ 共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 等差数列

等差数列公开课教案教学设计(必修五)

《等差数列》教学设计 一．教材分析 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修五第二章第二节——等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。 本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 二．教学目标 知识目标： （1）理解并掌握等差数列的概念； （2）能用定义判断一个数列是否为等差数列； （3）了解等差数列的通项公式，等差中项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，会应用等差中项公式，并能在解题中灵活应用它们；（4）初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。 能力目标：

（1）培养学生观察、分析、归纳、推理的能力； （2）在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力； （3）通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 情感目标： （1）通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；（2）通过对等差数列的研究，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 三、教学重点、难点 重点：①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式，等差中项公式的推导过程及应用。 难点： ①理解等差数列"等差"的特点及通项公式的含义。 ②如何推导出等差数列的通项公式。 四．教学策略和手段 数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。 教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。多媒体的运用使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注

1-2-1-1等差数列的认识与公式运用学生版

本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。 一、等差数列的定义 ⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列． 譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 ⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到：11n n a a d = -÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、L 、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145 -+=知识点拨 教学目标 等差数列的认识与公式运用

统考版2022届高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和教师用书教案北师大版

等差数列及其前n 项和 [考试要求] 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数． (2)等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作 a 与 b 的等差中项，即A ＝ a ＋b 2 . 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ＝ n a 1＋a n 2 . 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 (1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． (2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d 2 n 2＋? ?? ??a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． 4．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．

[常用结论] 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d . (5)若{a n }是等差数列，则???? ?? S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公 差的12 . (6)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ， S 奇 S 偶＝ a n a n ＋1 . (7)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则. (8)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；② S 奇S 偶 ＝ n ＋1n . 一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的. ( )

等差数列-学生版

等差数列 ㈠求等差数列的通项公式 1、已知数列{a n }为等差数列，且a 5=11，a 8=5，则a n =__________． 2、已知{a n }是等差数列，a 5=10，d =3，求a 10. 3、已知{a n }是等差数列，a 5=10，a 12=31，求a 20，a n . 4、等差数列2，5，8，…，107共有多少项？ 5、在-1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c 使这五个数成等差数列，试求出这个数列. 6、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 7、设数列{a n }是等差数列,a p =q,a q =p(p ≠q),求a p+q . 8、两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？ ㈡等差数列的判断 1、已知数列{a n }的通项公式为a n =pn+q,其中p 、q 为常数,且p≠0,问这个数列一定是等差数列吗？ 2、数列{a n }的通项公式a n =2n+5,则此数列( ) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n 的等差数列 3、在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1=2a n +1则a 101的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 ㈢等差数列的性质 1、等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=3,a 4+a 5+a 6=9,则a 10+a 11+a 12=______________. 2、等差数列{a n }中,已知a 2+a 3+a 10+a 11=36,则a 5+a 8=___________________. 3、已知等差数列{a n }中,a 5+a 6+a 7=15,a 5·a 6·a 7=45,求数列{a n }的通项公式. 4、设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.-37 5、已知方程(x 2-2x+m)(x 2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为4 1的等差数列,则|m-n|的值为 A.1 B. 43 C. 21 D. 8 3 ㈣等差数列的前n 项和 1、求下列数列的和 (1)1+2+3+…+n ； (2)1+3+5+…+(2n -1)； (3)2+4+6+…+2n ； (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n -1)-2n . 2、已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？ 3、已知数列{}n a 的前n 项和为2 12 n S n n =+ ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如 果是，它的首项与公差分别是什么？ 4、在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） Ａ．90 Ｂ．100 Ｃ．180 Ｄ．200 5、如果一个等差数列中，S 10=100，S 100=10，则S 110=（ ） A .90 B.－90 C.110 .D －110 6、在等差数列{a n }中,S 4=1,S 8=4,则a 17+a 18+a 19+a 20的值是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 7、若一个等差数列前3项和为34，最后3项和为146，且所有项和为390，则这个数列的项数是 （ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 8、在等差数列{}n a 中，a 2+a 5=19,S 5=40,则a 10为（ ）

四年级奥数第五讲等差数列二教师版

第五讲等差数列（二） 解题方法 某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78 页正好看完。这本书共有多少页？ 提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。 解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页） 答：这本书共有1470页。 引申 1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个) 答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。 2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？ 答:（25+63）×20÷2=880（个） 3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项? 答：这个等差数列共有29项。 例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。 提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。 解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。 项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为: 3+4+5+…+9+10 =(3+10)×8÷2 =13×8÷ 2 =52(根)。 答：这堆钢管一共有52根。

等差数列典型例题及分析 (学生用)

数列 §4.1等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同 而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：?? ?≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2 (212-+= ，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2d ，则n S ＝An 2+Bn. 6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3,指出这个数列的通项公式； [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=2 2 ② 12 ++=n n S n