12-13-01概率统计试题A及参考答案
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2012-2013学年第一学期《概率论与数理统计》A 卷
参考答案与评分标准
一、填空题（每题3分，共24分） 1、0.1；2、λ
-e
；3、180；4、
31；5、1
2；6、2
1-e ；7、[4.804, 5.196]8、)1,0(N . 二、选择题（每题3分，共18分） 1、C ；2、B ；3、C ；4、D ；5、C ；6、C. 三、计算和应用题（共58分）
1、（8分）
解： 设,,A B C 分别表示 “甲,乙,丙同学不及格” , 则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.4P C =，由题意,,A B C 相互独立 (1) 事件“恰有2位同学不及格” 为: D ABC ABC ABC = ，……2分
()P D ()()()P ABC P ABC P ABC =+
()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=0.188 ……3分
(2)()()
|()P BD P B D P D = ()()()
P ABC P ABC P D +==33/47 ……3分
2、（10分）
解：(1) 由()F x 的连续性得，0A B += ……2分 又由()1F +∞=得，1A =，……2分 解得1,1A B ==- ……1分
(2) ()2
2,0()0,
x
xe x f x F x -??>'==???其它, ……3分
(3) )2P
X <<(
)2F F
=-1
2e
e --=-……2分
3、（10分）
解：{}(){}21Y F y P Y y P X y =≤=+≤…………2分
1
2
1()2y X y P X f x dx --∞
-??=≤=????
?…………2分 当02
1
≤-y 即1≤y 时，0)(=y F Y ；…………1分 当12
1
0≤- 0y y dx x x y F y Y --=-=?-；…………2分 当12 1 >-y 即3>y 时，1)1(6)(10=-=?dx x x y F Y ；…………1分 即 ?? ??? >≤<--≤=3,131),4()1(4 1 1,0)(2y y y y y y F Y 所以?? ???<<--=其他,03 1),3)(1(43 )(y y y y f Y …………2分 4、（10分）解： ① )(X E 021== -∞ +∞-?dx e x x …………2分 )(X D 22)]([)(X E X E -= 22 12021022==-=??∞+-∞+∞--dx e x dx e x x x …………2分 ②)()()(),(X E X E X X E X X Cov -=002 1=-=-∞+∞-?dx e x x x …………2分 0) ()() ,(==X D X D X X Cov X X ρ，…………2分 所以X 与X 不相关. …………2分 5、（10分）解： （1）()(,)X f x f x y dy +∞ -∞ = ? 222/3,01 0, x x x ?+≤≤=? ?其他……2分 ()(,)Y f y f x y dx +∞ =? 1/3/6,02 0,y y +≤≤?=?其他 ……2分 (2) 当02y ≤≤时, ()|(,) |() X Y Y f x y f x y f y ==2 62,0120,x xy x y ?+≤≤?=+??? 其他 ……3分 (3) {}P X Y >(,)x y f x y dy >=? 120017/243x dx x xy dy ?? =+= ?? ??? ……3分 6、（10分）解： ⑴2~(0,3)Z N σ 所以，Z 的概率密度26()z f z σ-=，（z -∞<<∞）……2分 （2）似然函数为 ()() 2 222 2116exp 6n n i i L z σ πσσ-=?? =-???? ∑ …………2分 因而 ()2 221 1ln ln 626n i i n L z πσσ==--∑ 所以， 2 2241ln 1026n i i d L n z d σσσ==-+=∑，…………2分 解得2 21 13n i i z n σ==∑，…………2分 因此，2σ的极大似然估计量为2 21 1?3n i i z n σ ==∑． （3）()2 211?3n i i E E z n σ =?? =????∑ 2σ= 所以，2 21 1?3n i i z n σ ==∑是未知参数2σ的无偏估计．…………2分