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湖北省黄梅一中2014届高三下学期适应性训练(十九)数学试题

湖北省黄梅一中

2014届高三下学期适应性训练（十九）

数学试题

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若(1)(2)a bi i i +=+-（i 是虚数单位，,a b 是实数），则a b +的值是（）

（A ）2

（B ）3

（C ）4

（D ）5

2．若正实数,x y 满足x y +=M ≥恒成立，则 M 的最大值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．执行如图所示的程序框图．若输出15S =，则框图中① 处可以填入（）（A ） 4n >？（B ）8n > ？（C ）16n >？（D ）16n <？ 4．设函数)(x f y =对任意的R ∈x 满足)()4(x f x f -=+,当]2,(-∞∈x 时,有()25x f x -=-．若函数)(x f 在区间))(1,(Z ∈+k k k 上有零点,则k 的值为（）

A ．-3或7

B ．-4或7

C ．-4或6

D ．-3或6 5．函数2cos ()2

y x x x π

≤≤

的图象是（）

6．等差数列前n 项和为n S ，若281130a a a ++=，则13S 的值是( ) (A) 130

(B) 65

7. 0y m ++=与圆2

9x y +=交于,A B 两点，则与向量OA OB +(O 为坐标原点)共线的一个向量为（）

（A

）13

（，（B ）13

（，（C

）（D

）1（， 8．某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是

（）

（

A) （B ） 8 （C

）（D ）

9．若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数

2y x =+的图像上，则22()()a c b d -+-的最小值为（）

（A

（B ） 2 （C

）（D ）8

10．设12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若

126,PF PF a +=且12PF F ?的最小内角为30,则C 的离心率为( )

（A

（B

）（C

（D

第II 卷（非选择题，共100分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。

11．已知函数()64,f x x =-(1,2,3,4)x =的值域为集合A ，函数1

()2,x g x -= (1,2,3,4)x =的值域为集合B ，任意a A B ?，则a A B ?的概率是_______．

12．设,x y 满足约束条件112210

x y x x y ≥???

≥??+≤??，向量(2,),(1,1)a y x m b =-=-，且//a b ,则m 的最小

值为 .

13．已知点()()()0000167n O ,,A ,,A ,,点()1212n A ,A ,

,A n ,n -∈≥N 是线段

0n A A 的n 等分点，则011+

n n OA OA OA OA -+++等于．

14．抛物线2

(22)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的体积是

．

15．设函数()f x 的定义域为D ，如果x D ?∈，存在唯一的y D ∈，使()()

f x f y C +=（C 为

常数）成立。则称函数()f x 在D 上的“均值”为C 。已知四个函数：

①3()y x x R =∈；②1()2

y =()x R ∈；③ln ((0,))y x x =∈+∞；④2sin 1().y x x R =+∈ 上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为１的函数是．（填入所有满足条件函数的序号）

16．某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：

由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．

（Ⅰ）表格中x +y = （Ⅱ）从被检测的5件B 种元件中任取2件，2件都为正品的概率为．

17．（1）函数x x f πsin 2)(=与函数31)(-=x x g 的图像所有交点的橫坐标之和为．（2）已知函数x x f 10)(=，对于实数m 、n 、p 有)()()(n f m f n m f +=+，

)()()()(p f n f m f p n m f ++=++，则p 的最大值等于．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。 18．（本小题满分12分）

已知函数()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2．（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域；

(Ⅱ)已知ABC ?外接圆半径3=R ，()()sin 4

f A f B A B ππ

-+-=，角,A B 所对的边

分别是,a b ，求

a 1

1+的值． 19（本小题满分13分）

设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2

1441

,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．

（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，

()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的

取值范围．

20．（本小题满分13分）

如右图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A BC D -中,1D D ⊥底面ABCD ,

1AD =,2CD =,60DCB ∠=?．

（Ⅰ)求证:平面11A BCD ⊥平面11BDD B ；

（Ⅱ）若1D D BD =,求四棱锥11D A BCD -的体积．

21．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆22

22:1(0)x y G a b a b

+=>>的左、右焦点，椭

圆G 与抛物线2

8y x =-

有一个公共的焦点，且过点(-. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;

(Ⅱ)设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点,若OA OB ⊥(O 为坐标原点),试判断直线l 与圆

228

x y +=

的位置关系，并证明你的结论. 22．（本小题满分14分）

已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． (Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3m m ?

?+ ???

()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围；

(Ⅱ)设[]1()()1(1)

g x xf x a x +=--，若对任意(0,1)x ?恒有()2g x <-，求实数a 的取值范围．

（Ⅲ）

参考答案

一、选择题(5'×10=50')

二、填空题(5'×5=25') 11）、

； 12）、6- ； 13)、5(1)n + 14）、8； 15）、①③ 16。17x y +=；概率为3

.17。17 3lg 2lg 2-

三、解答题（本大题共6小题，计75分） 18．（本小题满分12分）

解：（1）由题意，()f x

．………………………2分

而0m >

，于是m =π

()2sin()4

f x x =+．…………………………………4分

()f x 在]4,

0[π

上递增．在

ππ4??

????

，递减，所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分

（2

）化简ππ

()()sin sin 44f A f B A B -+-=得

s i n

s i n 6s i n s i n

A B A B +=．……7分

由正弦定理，得(

)2R a b +=，……………………………………………9分因为△ABC 的外接圆半径为3=R

．a b +=．…………………………11分

所以

1=+b

a …………………………………………………………………12分 19．(本题满分13分)

（Ⅰ）当2n ≥时，()2

14411n n S a n -=---，2

114444n n n n n a S S a a -+=-=--

()2

221442n n n n a a a a +=++=+,

102n n n a a a +>∴=+………………2分 ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.

2514,,a a a 构成等比数列，2

5214a a a ∴=?，

()

()2

222824a a a +=?+，解得23a =,…………3分

由条件可知，2

12145=4,1a a a =-∴=………………4分

21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.

∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.………………5分,

数列{}n b 的通项公式为3n n b =………………6分

(Ⅱ) 11(1)3(13)331132

n n n n b q T q +---===

--， 1333

()3622n k n +-∴+≥-对*n N ∈恒成立，即24

n k -∴≥

对*n N ∈恒成立，----9分令243n n n c -=，1

124262(27)

333n n n n n

n n n c c -------=-=，当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -

()27

n c c ∴==，227k ≥．…………13分

19．(本题满分13分)

解：（1）证明：在ABD ?中,由余弦定理得：BD 所以222AD BD AB +=,所以90ADB ∠=?,即AD BD ⊥，…………………………3分又四边形ABCD 为平行四边形,所以BC BD ⊥，

又1D D ⊥底面ABCD ,BC ?底面ABCD ,所以1D D BC ⊥，…………………………4分又1D D

BD D =,所以BC ⊥平面11BDD B , ……………………………………5分

又BC ?平面11A BCD ,所以平面11A BCD ⊥平面

11BDD B ．……………………………………6分

（2）法一：连结1BD ，∵1DD BD =1BD =∵BC ⊥平面11BDD B ，所以1BC BD ⊥，所

以

四

边

形

A BCD 的面积

1111

A BCD S BC BD =???=…………9分

取1BD 的中点M ，连结DM ，则1DM BD ⊥，且DM =，又平面11A BCD ⊥平面1BDD ,平面11

A BCD 平面1BDD 1BD =，

所以DM ⊥平面11A BCD ，……………………………………11分所以四棱锥11D A BCD -的体积：

111

A BCD V S DM =??=． ……………………………………13分

法二: 四棱锥11D A BCD -的体积111D A BD D BCD V V V --=+，……………8分而三棱锥11D A BD -与三棱锥1D BCD -底面积和高均相等，……………10分

所以11112D A BD D BCD D BCD V V V V ---=+=111

2213

D BCD BCD V S DD -==???=． ……………13分（20）（本小题满分13分）

解(Ⅰ)由已知得,由题意得2c = ，又22

421a b +=，………………………2分消去a 可得，42280b b --=，解得24b =或22b =-（舍去），则28a =，

所以椭圆C 的方程为2

2184

y x +=．……………………………………………………4分 (Ⅱ)结论：直线l 与圆2

x y +=

相切. 证明:由题意可知,直线l 不过坐标原点,设,A B 的坐标分别为112212(,),(,),()x y x y y y > (ⅰ)当直线l x ⊥轴时,直线l 的方程为(0)x m m =≠

且m -<<

则1122,,x m y x m y ==== OA OB ⊥ 12120x x y y ∴+=

(4)02

m m ∴--=

解得3m =±

，故直线l

的方程为3

x =± ，

因此,点(0,0)O 到直线l

的距离为d =

83x y +=的圆心为(0,0)O ,

半径r d =

= 所以直线l 与圆2283x y +=相切 …7分

(ⅱ)当直线l 不垂直于x 轴时,

设直线l 的方程为y kx n =+，联立直线和椭圆方程消去y 得；

又圆228 3

x y

+=的圆心为(0,0)

半径

r=，

圆心O到直线l

的距离为d=

13(1)

n n

k k

∴===

②

将①式带入②式得：

888

3(1)

，

所以

d r

==因此,直线l与圆22

x y

+=相切………………13分

21．（本小题满分14分）

解：（1）由题意()

1ln x

k f x

==，0

x>……………………………………1分

所以()2

1ln ln

x x

f x

x x

'==-

…………………………………………2分

当01

<<时，()0

f x

'>；当1

x>时，()0

f x

'<．所以()

f x在()

0,1上单调递增，在()

1,+∞上单调递减，故()

f x在1

x=处取得极大值． (3)

分

因为函数()

f x在区间

m m

（其中0

m>）上存在极值，

所以

，得

<<．即实数m的取值范围是

，．……………5分

(1)若(]0,1a ?,则0D ，()0t x 3，()0h x ￠3，所以()h x 在(0,1)内单调递增，又(1)0h =所以