《误差理论与数据处理(第5版)》费业泰主编习题答案.

1-4在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。

%

108.66 %

1002.31

1020 100%

max

max 4-6

-?=??=?=

测得值

绝对误差相对误差

1-6检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？

%5.22%100%100

2

100%

<=?=

?=

测量范围上限

某量程最大示值误差

最大引用误差

该电压表合格

1-8用两种方法分别测量L 1=50mm ，L 2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差

L 1:50mm 0.008%100%5050

004.501=?-=

I L 2:80mm 0.0075%100%8080

006.802=?-=I

21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。

1-10若用两种测量方法测量某零件的长度L 1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L 2=150mm 。其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。 相对误差

0.01%110111±=±

=mm m

I μ

0.0082%11092±=±=mm m

I μ

%008.0150123±=±=mm

m

I μ

123I I I <<第三种方法的测量精度最高

2-4测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

168.41168.54168.59168.40168.50

5

x ++++=

168.488()mA =

)(082.01

55

1

2

mA v

i i

=-=

∑=σ

0.037()x mA σ=

=

= 或然误差：0.67450.67450.0370.025()x R mA σ==?= 平均误差：0.79790.79790.0370.030()x T mA σ==?=

2-5在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

20.001520.001620.001820.001520.0011

5

x ++++=

20.0015()mm =

0.00025σ=

=

正态分布 p=99%时，t 2.58= lim x x t δσ=±

2.58=± 0.0003()mm =±

测量结果：lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±

2-7用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差mm 004.0=σ，若要求测量结果的置信限为mm 005.0±，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。 正态分布 p=99%时，t 2.58=

lim x t

δ=±

2.580.004

2.064

0.005

4.265

n n ?=

===取

2-10某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

)(34.1020288

1

8

1

Pa p

x

p x i i

i i

i ==

∑∑==

)(95.86)18(8

1

8

1

2

Pa p v

p i i

i xi i x ≈-=

∑∑==σ

2-11测量某角度共两次，测得值为6331241'''= α，

''24'13242 =α，其标准差分别为8.13,1.321''=''=σσ，试求加权算术平均值及其标准差。 961:190441

:

1

:2

2

2

1

21==

σσp p

''35'1324961

19044'

'4961''1619044''20'1324

=+?+?+

=x

''0.3961

1904419044

''1.32

1

≈+?

==∑=i i

i

x

x p

p i

σσ

2-12 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角α各重复测量5次，测得值如下：

;5127,0227,5327,037,0227:''''''''''''''' 甲α

;5427,0527,0227,5227,5227:''''''''''''''' 乙α 试求其测量结果。 甲：20"60"35"20"15"

72'72'30"

5

x ++++=

+=甲

σ甲

18.4"= x 8.23"σσ=

=

=甲 乙：25"25"20"50"45"

72'72'33"5

x ++++

=+

=乙

σ=

=

乙

13.5"=

x 6.04"σ==

=乙 22

22

x x

1

1

11

::

:3648:67738.23 6.04p p σσ=

=

=乙

乙甲甲 364830"677333"

72'36486773

p x p x x p p +?+?=

=+++甲乙乙甲乙甲72'32"=

78.46773

36483648

32.8''=+?

''=+=乙

甲甲甲

p p p x x σσ

''15''32'273±=±= x x X σ

2-14重力加速度的20次测量具有平均值为2/811.9s m 、标准差为2/014.0s m 。另外30次测量具有平均值为2/802.9s m ，标准差为2/022.0s m 。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准差。 147:24230022.01:

20014.011

:

1

:2

2

222122

2

1=??

?

????

? ??=

=

x x p p σ

σ

)/(9.808147

2429.802

1479.8112242s m x ≈+?+?=

）

（2m/s 0.0025147242242

20

014.0≈+?=

x σ 2-15对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，

14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 96.14=x 按贝塞尔公式 2633.01=σ

按别捷尔斯法0.2642)

110(10253.110

1

i 2≈-?

=∑=i

v

σ

由

u +=112σσ 得 0034.011

2=-=σσ

u 67.01

2

=-<

n u 所以测量列中无系差存在。

2-16对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）： 50.82，50.83，50.87，50.89；

50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。 使用秩和检验法：

排序：

T=5.5+7+9+10=31.5 查表 14=-T 30=+T

+>T T 所以两组间存在系差

3-1相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由

四块量块研合而成，它们的基本尺寸为mm l 401=，mm l 122=，mm l 25.13=，mm l 005.14=。经测量，它们的尺寸偏差及其测

量极限误差分别为m l μ7.01-=?,m l μ5.02+=?,m l μ3.03-=?,

,

20.0,25.0,35.0,1.03lim 2lim 1lim 4m l m l m l m l μδμδμδμ±=±=±=+=?m l μδ20.04lim ±=。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。 修正值=)(4321l l l l ?+?+?+?- =)1.03.05.07.0(+-+-- =0.4)(m μ 测量误差:

l δ=4321lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++± =2222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ±

3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=，

mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=?，mm b 8.0-=?，mm c 5.0=?，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ，

mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。

abc V = ),,(c b a f V =

2.115.446.1610??==abc V

)(44.805413mm =

体积V 系统误差V ?为：

c ab b ac a bc V ?+?+?=?

)(74.2745)(744.274533mm mm ≈=

立方体体积实际大小为：)(70.7779530mm V V V =?-=

2

22222lim )()()(

c b a V c

f b f a f δδδδ??+??+??±= 2

22

22

2)()()(c b a ab ac bc δδδ++±= )(11.37293mm ±=

测量体积最后结果表示为:

V V V V lim 0δ+?-=3)11.372970.77795(mm ±=

3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分别为mA I 5.0=σ，V U 1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。UI P =5.226.12?=)(5.283mw =

),(I U f P =I U 、 成线性关系 1=∴UI ρ

I u I U P I

f U f I f U f σσσσσ))((2)()(2

222????+??+??= I U I U U I I

f

U f σσσσ+=??+??=

5.06.121.05.22?+?= )(55.8mw =

3-11对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g )为428.6，429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误差

,6.2g -=?测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下

表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。 4

=

x

)(8.428)(775.428g g ≈=

最可信赖值 )(4.4316.28.428g x x =+=?-=

∑∑==??+??±=31222

2

5

1)(41)(i i i i i i

x x f e x f δδ

)(9.4g ±≈

测量结果表示为:x x x δ+?-=g )9.44.431(±=

4-4某校准证书说明，标称值10Ω的标准电阻器的电阻R在20C

时为Ω

±

Ωμ

129

000742

.

10（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。

由校准证书说明给定

∴属于B类评定的不确定度

R在[10.000742Ω-129μΩ，10.000742Ω+129μΩ]范围内概率为99%，不为100%

∴不属于均匀分布，属于正态分布

129

a=当p=99%时， 2.58

p

K=

∴

129

50()

2.58

R

p

a

U

K

μ===Ω

4-5在光学计上用52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：

140l mm =， 210l mm =，3 2.5l mm =，量块按“级”使用，

经查手册得其研合误差分别不超过0.45m μ±、0.30m μ±、0.25m μ±（取置信概率P=99.73%的正态分布）

，求该量块组引起的测量不确定度。 52.5L mm = 140l mm =

210l mm = 3 2.5l mm =

123L l l l ∴=++ 99.73%p = 3p K ∴=

10.450.15()3l p a U m k μ=

== 20.30

0.10()3l p a U m k μ=== 30.250.08()3

l p a U m k μ=

== 321l l l L U U U U ++=

= 0.20()m μ=

5-1测量方程为3 2.920.923 1.9x y x y x y +=??

-=??-=?

试求x 、y 的最小二乘法处理及其相

应精度。误差方程为123

2.9(3)0.9(2)1.9(23)v x y v x y v x y =-+??

=--??=--?

列正规方程11121111

212221

11n

n n

i i i i i i i i i n n n

i i i i i i i i i a a x a a y a l a a x a a y a l ======?+=????+=??∑∑∑∑∑∑代入数据得 14513.4

514 4.6x y x y -=??-+=-?解得 ??

?==015

.0962.0y x 将x 、y 代入误差方程式123

2.9(30.9620.015)0.001

0.9(0.96220.015)0.0321.9(20.96230.015)0.021v v v =-?+=-??

=--?=-??=-?-?=?

测量数据的标准差为0.038σ=

=

=

求解不定乘数 11

1221

22d d d d ???

???111211122122212214515140

1450

5141

d d d d d d d d -=??

-+=?-=??

-+=?

解得 082.02211==d d

x 、y 的精度分别为01.011==d x σσ 01.022==d y σσ

5-5不等精度测量的方程组如下：1233 5.6,148.1,220.5,3

x y p x y p x y p -=-=??

+==??-==?

试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

列误差方程11223

35.6(3),1

8.1(4),20.5(2),3

v x y p v x y p v x y p =---=??

=-+=??=--=?

正规方程为3

33

11121111

333

212221

11i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i p a a x p a a y p a l p a a x p a a y p a l ======?+=????+=??∑∑∑∑∑∑ 代入数据得

4562.2

1431.5x y x y -=??-+=?解得 ??

?==352

.2434.1y x 将x 、y 代入误差方程可得???

??-===016.0012.0022

.03

21v v v

则测量数据单位权标准差为039.02

33

1

2

=-=

∑=i i

i v p σ

求解不定乘数 11

122122d

d d d ??????1112111221222122451

140

450

141

d d d d d d d d -=??

-+=?-=??

-+=? 解得 ???==072.0022

.022

11d d

x 、y 的精度分别为006.011==d x σσ 010.022==d y σσ

6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的

数据如下：

假设正应力的数值是正确的，求

（1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。

（2）当正应力为24.5Pa 时，抗剪强度的估计值是多少？ （1）设一元线形回归方程 bx b y +=∧

0 12=N

?????-==

x b y b l l b xx xy 0

047.43=∴xx l 533.29-=xy l 69

.0047

.43533

.29-=-=

=

xx

xy l l b ()x y

b y x 69.069.42?69.4297.2569.077.2477.242.29712

1

97.256.31112

1

0-==?--=∴=?=

=?= （2）当X=24.5Pa

)(79.255.2469.069.42?Pa y

=?-=

6-10 用直线检验法验证下列数据可以用曲线x y ab =表示。 x

30

35

40

45

50

55 60 y -0.4786 -2.188 -11.22 -45.71 -208.9

-870.9

-3802

()x b a y ab y x log )log()log(+-=-?=

)log(1y Z -= x Z =2

取点做下表

Z 2 30 40 50 60 Z 1

-0.32

1.05

2.32

3.58

以Z 1与Z 2画图

所得到图形为一条直线，故选用函数类型x ab y =合适