中考压轴题分类专题一《抛物线中的三角形面积》

中考压轴题分类专题一——抛物线中的三角形面积

基本题型：

AB 为()0≠+=k d kx y :l 与抛物线()02≠++=a c bx ax y 相交，点P 在抛物线上。

（1）已知ABP S ?，求点P 的坐标： 利用斜弦长公式求出

AB ，进而求出AB 边上的高AB h 。设点P 为()c bt at ,t ++2，利用点到直线的距离公式列

出点P 到直线AB 的距离AB l P d -，而AB l P h d AB =-，则可求得点P 的坐标。 （2）如图，若点P 在AB 上方的抛物线上时，求ABP S ?的最大值： 利用斜弦长公式求出AB 。作/l ∥AB l 且与抛物线相切，则切点为所求。

设/

l

为/

d

kx y +=

()()42---=//d c a k b ?进而可求得ABP S ?

所需知识点：

（1）点到直线的距离公式：

已知点()00y ,x P 与直线()0≠+=k b kx y :l ，点P 到直线l 的距离记作l P d -，则有1

2

00++-=

-k b

y kx d l P 。

（2）弦长公式

抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线()02

≠++=a c bx ax y 与x 轴两交点为()()0021，，，

x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故a c x x a b x x =?-=+2121,

()

()

a a ac

b a

c a b x x x x x x x x AB ?=

-=-???

??-=-+=

-=

-=44422

212

212

2121。

（3）斜弦长公式：

一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02

≠++=a c bx ax y 的图像G 两个交点

()()2211y x B y x A ，，，，由于1x 、2x 是方程02

=-+-+)n c (x )k b (ax 的两个根，

()()n c a k b /---=42?

()()()()()()

()

。

a

k x x x x k

x x

k n kx n kx x x y y x x AB /

2

212

212

2

212

2

212212

212211411??+=-++=-+=

--++-=

-+-=

（4）两平行线之间的距离公式：

已知两平行线11b kx y :l +=，与()21220b b ,k ,b kx y :l ≠≠+=，1l 与2l 之间的距离记作d ，则有1

2

21+-=

k b b d 。

典型例题：

例一（08深圳）：如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2

>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝

3

1

． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.

解：（1）二次函数的表达式为：322

--=x x y ；（2）、（3）略。 （4）易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．

例二（09深圳）：已知，Rt ABC ?的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直接坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA OB <），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图11）。 （1）求线段OA 、OB 的长和过点A 、B 、C 的抛物线的解析式。（4分）

（2）如图12,点D 的坐标为（2，0），点(),P m n 是该抛物线上的一个动点（其中0,0m n >>），连接DP 交BC 于点E 。

①当BDE ?是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标。（3分） ②又连接CD 、CP （如图13），C D P ?是否有最大面积？若有，求出CDP ?的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由。（3分）

图11 图12 图13

例三（广大附中09一模）：已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.

（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB

m 的值；

（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.

例四（09茂名模拟）：如图，矩形OABC 的长OA=3，AB=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。 （1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P 点坐标为＿＿＿＿＿ （2）若P 、A 两点在抛物线c bx x y ++-

=2

3

4上，求抛物线的解析式，并判断点C 是否在这抛物线上。 （3）在（2）中的抛物线CP 段上（不含C 、P 点）是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求这个最大值和M 点坐标，若不存在，说明理由。

y

图（16）

同步训练：

1、如图（16），抛物线2

(0)y x bx c b =++≤的图象与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为

(20)-，；直线1x =与抛物线交于点

E ，与x 轴交于点

F ，且4560FAE ≤∠≤．

（1）用b 表示点E 的坐标； （2）求实数b 的取值范围；

（3）请问BCE △的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．

2、（09安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(10)A -，，(0B ，(00)O ，，将此三角

板绕原点O 顺时针旋转90°，得到A B O ''△．

（1）如图，一抛物线经过点A B B '、、，求该抛物线解析式；

（2）设点P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB '的面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值．

x

3、（09甘肃定西）如图14（1），抛物线2

2y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］

（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线2

2y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；

（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．

4、（09肇庆）已知一元二次方程2

10x px q +++=的一根为 2． （1）求q 关于p 的关系式；

（2）求证：抛物线2

y x px q =++与x 轴有两个交点；

（3）设抛物线2

y x px q =++的顶点为 M ，且与 x 轴相交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式． 图14（1） 图14（2） 图14（3）

5、（2009年山东临沂市）如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．

（1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．

6、（09永州）如图，在平面直角坐标系中，点A C 、

的坐标分别为(10)(0--，、，，点B 在x 轴上．已知某二次函数

的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线1x =，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合）

，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长． （3）求PBC △面积的最大值，并求此时点P 的坐标．

（第25题）