学而思初二数学(上册)培优辅导讲义(人版)

第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.

3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析

【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的

反向延长线.

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】

01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：

⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .

⑵中有几对对顶角，几对邻补角？

02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.

【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．

⑴求∠EOF 的度数；

⑵写出∠BOE 的余角及补角.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，

以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21

∠AOC ∴

∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()

AOC BOC ∠+∠21

又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21

×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE.

【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，

则∠BOD 的度数是（ ）

A ．20°

B ． 40°

C ．50°

D ．80°

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .

【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的

点，试用三角尺完成下列作图：

⑴经过点A 画直线l2的垂线.

⑵画出表示点B 到直线l1的垂线

段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂

线段是一条线段.

【变式题组】

01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，

A B C D E F A B C D

E

F P

Q R C

E F E A A

C

D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）

l 2

PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm

02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；

⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.

⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在

的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.

【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF

⊥AB ．

【变式题组】

01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.

02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数；

⑵试说明OD 与AB 的位置关系.

03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.

【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：

∠1和∠3：

∠1和∠6：

∠2和∠6：

∠2和∠4：

∠3和∠5： ∠3和∠4：

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先F B A O C

D E

C D

A E

O

B C

D

O A B

A E D

C

F E

B

A

D 1 4 2 3 6 5

弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余

两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.

【变式题组】 01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对 02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. 03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ） A ．∠1和∠2是同旁内角 B ．∠3和∠4是内错角 C ．∠5和∠6是同旁内角 D ．∠5和∠7是同旁内角 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由? ⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内 角，有“ ”即有内错角. 【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，

两直线平行.

⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.

【变式题组】

01．如图，推理填空.

⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）

∴AC ∥ED （ ）

⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ）

02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）

∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）

又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知）

∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ．

A B

D

C H

Ｇ E F 7 1 5 6 8 4 1 2 乙

丙 3 2

3 4 5

6 1 2 3 4

甲 1 A

B

C

2 3 4

5

6 7 A B C D O A B D E F C

A

B

E A B C

D E F

1 2

04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.

【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小

于31°.

【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.

证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°

则12×31°＝372°＞360°

这与一周角等于360°矛盾

所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】

01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.

02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2

∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系

是 .

03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点

在同一直线上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线

的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ . 演练巩固·反馈提高

01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）

A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC

C．∠ACF是α的余角 D．α与∠ACF互补

02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END

03．下列语句中正确的是（）

A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B．过直线上一点的直线只有一条

C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D．垂线段就是点到直线的距离

04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB的长度

A

B

C

D E

l1l2

l3

l4

l5

l6

图⑴

1

l2

l3

l4

l5

l6

图⑵

A

E

B C F

D

A

B

C D

F

E

M

N

α

第1题图第2题图

A

B D C

第4题图

是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD

A．0 B． 2 C．4 D．6

05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，

PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）

A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm

06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝ .

07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）

09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是 .

10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .

11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB ∥CD？

12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠

2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：

⑴∵∠A＝（已知）

∴AC∥ED（）

⑵∵∠2＝（已知）

∴AC∥ED（）

⑶∵∠A＋＝180°（已知）

∴AB∥FD．

14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．

A

B

C

D

O

A

B C

D

E

F

G

H

a

b

c

第6题图第7题图第9题图

1

2

3 4

5

6

7 8

1

A

C D

E

B

A

C D

E

1

2

A

B C

D

E

F

第14题图

培优升级·奥赛检测 01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有

__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？ 09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ） A ．60° B ． 75° C ．90° D ．135° 10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；

⑵总共有29个交点. 第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位

置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.

经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A C 的度数. 【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截

a b A

B C

线，识别角的关系式关键.

【解】：∵AB∥CD BC∥AD

∴∠A＋∠B＝180° ∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)

∴∠A＝∠C ∵∠A＝38°∴∠C＝38°

【变式题组】

01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度

数为（）

A．155°B．50°C．45°D．25°

02．（安徽）如图，直线l1 ∥ l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）

A． 50° B． 55° C． 60° D．65°

03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B

的度数.

【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG

的度数.

【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线

相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.

【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)

又∵∠B＝60° ∠EFC＝45° ∴∠BCD＝60° ∠FCD＝45° 又∵GC⊥CF

∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝90°－45°＝45° ∴∠BCG＝60°－

45°＝15°

【变式题组】

01．如图，已知AF∥BC, 且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝

_______________

02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点O与BC

平行，则∠BOC＝___________

03．如图，已知AB∥ MP∥CD, MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP

的度数.

【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F.

【解法指导】

因果转化，综合运用.

逆向思维：要证明∠A＝∠F，即要证明DF∥AC．

要证明DF∥AC, 即要证明∠D＋∠DBC＝180°，

即：∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC

＝180°即要证明DB∥EC．要证明DB∥EC即要

证明∠1＝∠3.

A

B C

D O E

F

A

E

B C

（第1题图）（第2题图）

A

G

B

B

A

M

C

D

N

P

（第3题图）

D A 2 E

1 B C B F E A C D 证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等?两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） 【变式题组】 01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG

02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB 03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________.

【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ．

【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：

∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】 01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．

02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F, AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF.

AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM

A D M C

N E B C D

A B E F

1 3

2 G

B 3

C A 1

D 2

E

F （第1题图） A

2 C F

3 E D

1 B

（第2题图）

3

1

A

E

α β P B C D A

∠P ＝α＋β 3 2

1 γ 4

ψ D α β E B C A

F

H

F γ D

α β E B C A

F D E B

C A A

A ′

l B ′

C ′

【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________ ⑶____________________________ ⑷____________________________

【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形

善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥

AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）

∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ

＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－

∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180° 【变式题组】

01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）

A ． ∠β＝∠α＋∠γ

B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°

C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°

D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠AB

E 和∠CDE 的平分线相交于点

F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.

【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点.

B

A

P C A C C D

A A P C

B D P

B P

D B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ F

E D 2 1

A

B C

A

北

【解】①连接AA/ ②过点B 作AA/的平行线l ③在l 截取BB/＝AA/,则点B/就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/. 【变式题组】

01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.

02．如图,角形ABC 中，∠C ＝90°, BC＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC 与△

A/B/C/的重叠部分的面积

.

03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米） 演练巩固 反馈提高

01．如图，由A 测B 得方向是（ ）

A ．南偏东30°

B ．南偏东60°

C ．北偏西30°

D ．北偏西60°

02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ）

A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°

B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°

D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°

04．下列命题中，正确的是（ ）

A ．对顶角相等

B ． 同位角相等

C ．内错角相等

D ．同旁内角互补

05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]

从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏

B

B /

A

A /

C

C /

①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种

08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）

09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（ ）

10．如图，AD ∥BC ，AB ∥CD ，AE ⊥BC ，现将△ABE 进行平移. 平移方向为射线AD 的方向. 平移距离为线段BC 的长，则平移得到的三角形是图中（ ）图的阴影部分.

11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例. ⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；

⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.

12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假. ⑴互补的角是邻补角； ⑵两个锐角的和是锐角； ⑶直角都相等.

13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A ＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C ，这时道路CE 恰好和道路AD 平行，问∠C 是多少度？并说明理由.

15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.

培优升级·奥赛检测

01．如图，等边△ABC各边都被分成五等分，这样在从而得到1个封闭图形，并画出阴影.

⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________.

1个单位），请你猜想空白部分草地面积是

F E

B A 多少？ 05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144°

C ．144°

D ．720°或144° 06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b 上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．2006 07．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF. 求∠BEG 和∠DEG. 08．如图，AB ∥CD ，∠BA

E ＝30°，∠DCE ＝60°，E

F 、E

G 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF. ⑴求∠EOB 的度数； ⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值. ⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.

10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.

11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小

段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？

F

E B A

C G

D 100°

F E B

A

C O A

12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？

第06讲 实 数 考点·方法·破译 1．平方根与立方根：

若2

x ＝a(a ≥0)则x 叫做

a 的平方根，记为：a

的平方根为x a 的平方根为x

叫做a 的算术平方根．

若x3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x

2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一

一对应．任何有理数都可以表示为分数p

q （p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）

的形式． 3非负数： 实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根

（或偶次方根）都是非负数．即

a

>0，2n

a ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．

经典·考题·赏析

【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．

【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m ?4与3m ?l 是同一个数的平方根，∴2m ?4 ＋3m ?l ＝0，5m ＝5

，m ＝l

． 【变式题组】

01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m

的最大整数，则m 的平方根是____． 03____．

04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．

【例

2】（全国竞赛）

已知非零实数

a 、

b 满足

244

2

a b b

a -+++=，则

a ＋

b 等于( )

A ．－1

B ． 0

C ．1

D ．2 有意义，∵a 、b

为非零实数，∴b2>0∴a －3≥0 a

≥3 ∵24242

a b a -+++=

∴

24242

a b a -++=，∴20

b ++=．

∴()22030b a b +=???-=??，∴3

2a b =??=-?

，故选C ．

【变式题组】

0l

3

b+＝0成立，则ab＝____．

02

()230

b-=

，则

a

b的平方根是____．

03．（天津）若x、y

为实数，且

20

x+=

，则

2009

x

y

??

?

??的值为（）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

04．已知x

1

x

π

-

的值是( )

A．

1

1

π

-

B．

1

1

π

+

C．

1

1

π

-

D．无法确定

【例3】若a、b

都为有理效，且满足

1

a b

-+=+a＋b的平方根．

【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但

两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．

∵

1 a b

-+=+

∴

1

a b

-=

??

=

1

a b

-=

??

=

，∴

13

12

a

b

=

?

?

=

?，

a ＋b＝12 ＋13＝25．

∴a＋b

的平方根为：

5

==±．

【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m、n

2）m＋(3－

＋7＝0求m、n．

02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（

1

23

π

+

）x＋（

1

32

π

+

）y?4?π＝0，则x?y＝____．

【例4】若a

2的整数部分，b?1是9的平方根，且

a b b a

-=-

，求a＋b的值．

?2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，

?2 ?2

?4．∵a＝2，b?1＝±3 ，∴b＝－2或4

∵

a b b a

-=-

．∴a

【变式题组】

01．若3

a，3

?b，则a＋b的值为____．02

a，小数部分为b

a）·b＝____．

演练巩固反馈提高

0l．下列说法正确的是( )

A．－2是(－2)2的算术平方根 B．3是－9的算术平方根C． 16的平方根是±4 D．27的立方根是±3

02

．设a=b＝－2

，2

c=-

，则a、b、c的大小关系是( )

A．a

A．－9与81的平方根 B．4与

．4

D．3

04．在实数1.414

，，0.1?5?，5

?π，3.1?4?

( )

A．2个 B．3个 C．4个 D． 5个

05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )

A．b>a B．a b >

C．－a＜b D．－b>a

06．

，

＋1

＋1之间的有( )

A． 1个 B．2个 C． 3个 D ．4个

07．设m

n

＝

2

．则m，n的关系是( )

A. m＝±n

B.m＝n C .m＝－n D.m n

≠

08．（烟台）如图，数轴上 A、B两点表示的数分别为－1

B关于点A

的对称点C，则点C所表示的数为( )

A．－

2．－

1．－2

D．l

09．点A

B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．

10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1

，．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b

＝，如3※2

＝

12.※4＝____．

12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且

()

()

2

2

a b a b

ab a b

??

?

??

≥

<

，已知3*m ＝36，则实数m＝____．

14．设a是大于1的实数．若a，

2

3

a+

，

21

3

a+

在数轴上对应的点分别是A、B

、

C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．

15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．

16．已知整数x、y

＋

x、y．

17．已知2a?1的平方根是±3，3a＋b?1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．

18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．

19．若b

＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn?2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．

20．若x、y为实数，且（x?y＋1）2

的值．

培优升级奥赛检测

01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a?3，则a值为( )

A． 2 B．－1 C． 1 D． 0

02．

( )

A．0 B． 1

C．1 D． 2

03

?2的最小值为____．

04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋

21?

a＋b

＝

____． 05．若

a b

-＝1，且3

a

＝4

b

，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____．

06．已知实数a

满足2009a a

-=，则a ? 20092＝_______．

m 满足关系式

199y x =--，

试确定m

的值．

08．（全国联赛）若a 、

b 满足5b

＝7，S ＝

3b

，求S 的取值范围．

09．（北京市初二年级竞赛试题）已知

0

123303030a a a ??????+++++????????????2830a ??+++????2930a ??++????18=，求[10a]的值

[其中[x]表示不超过x 的最大整数] ．

10

．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y ＋

2

1a =-，

2

31x y b -=--，求2

2x y

a b +++的值．

第14讲平面直角坐标系（一）

考点．方法．破译

1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．

2．了解点与坐标的对应关系．

3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．

经典．考题．赏析

【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．

A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0) 【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】

01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是-_____________．

02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.

03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．

A(－3，0)，B(－2，－

1

3)，C(2，

1

2)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)

【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．

【变式题组】

01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．

04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．

【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】

01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．

02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．

03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．

04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．

05．如果点Ｍ(a ＋b ，ab)在第二象限内，那么点N(a ，b) 关于y 轴对称的点在第______象限．

【例４】P(3，－4)，则点P 到x 轴的距离是____________．

【解法指导】P(x ，y)到x 轴的距离是| y|，到y 轴的距离是|x|．则P 到轴的距离是|－4|＝4 【变式题组】

01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P 、Q 到x 轴的距离分别是_________，__________．P 到y 轴的距离是点Q 到y 轴的距离的________倍． 02．若x 轴上的点Ｐ到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是__________．

03．如果点B(m ＋1，3m －5) 到x 轴的距离与它到y 轴的距离相等，求m 的值．

04．若点(5－a ，a －3)在一、三象限的角平分线上，求a 的值．

05．已知两点A(－3，m)，B(n ，4)，AB ∥x 轴，求m 的值，并确定n 的取值范围．

【例５】如图，平面直角坐标系中有A 、B 两点． (1)它们的坐标分别是___________，___________；

(2)以A 、B 为相邻两个顶点的正方形的边长为_________； (3)求正方形的其他两个顶点C 、D 的坐标．

【解法指导】平行x 轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y 轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB ∥x 轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB ∥y ，则|AB|＝|y1－y2|

，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－

1，－1)． 【变式题组】

01．如图，四边形ACBD 是平行四边形，且AD ∥x 轴，说明，A 、D 两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A 、B 、C 、D 四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．

02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD ，请根据A 、B 、C 三点的坐标，写出第四个顶点D 的坐标，你的答案是唯一的吗？

03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC 的面积为5，请写出点C 的坐标规律．

【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC 的面积．

【解法指导】(1)三角形的面积＝1

2×底×高．

(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC

＝Ｓ△ABD ＝Ｓ△BCD ＝12·3·5－1

2·3·1＝6．

【变式题组】

学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版新编)

第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. A B C D E F A C D E F P Q R

问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式 从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠ AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠ BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）

八年级数学上册期末试卷培优测试卷

八年级数学上册期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD； （2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明 △DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论； （2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论. 试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F， 则△ADF为等边三角形 ∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB， ∠DEC+∠EDB=60°， ∠DCB+∠DCF=60°， ∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD， 在△DEB和△CDF中， 120 EBD DFC EDB DCF DE CD ， ， ∠=∠=? ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DEB≌△CDF， ∴BD=DF， ∴BE=AD . (2).EB=AD成立；

理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示： 同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ， 又∵∠DBE=∠DFC=60°， ∴△DBE ≌△CFD （AAS ）， ∴EB=DF ， ∴EB=AD. 点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键. 2．如图①，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，AE 是过A 点的一条直线，且 B 、 C 在AE 的异侧，B D A E ⊥于D ，CE AE ⊥于E . （1）求证：BD DE CE =+. （2）若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与 DE 、CE 的关系如何？请予以证明. 【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE ，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AE=AD+DE ，所以BD=DE+CE ； （2）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AD+AE=BD+CE ，所以BD=DE-CE ． 【详解】 解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， ∴∠BDA=∠AEC=90°， ∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90° ∴∠ABD=∠CAE ，

数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷

数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，C 在直线BE 上，∠=?,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则 1A =_____?；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的 平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________?． 【答案】（2m ） （1024 m ） 【解析】 【分析】 根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题． 【详解】 解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2 m ° ． 依此类推∠A 2=224m m ??=，∠A 3=328m m ??=，…，∠A 10=1021024 m m ?? =． 故答案为：()2m ；()1024 m ． 【点睛】 此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． 2．如图，在△ABC 中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC =_______°. 【答案】65 【解析】 如图，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，

∴∠1= 12∠DAC ，∠2=1 2 ∠ACF ， ∴∠1+∠2=1 2 （∠DAC+∠ACF ）， 又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC ）+（180°-∠ACB ）=360°-（∠BAC+∠ACB ），且 ∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°， ∴∠1+∠2= 1 2 （360°-130°）=115°， ∴在△ACE 中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°. 3．如图，1BA 和1CA 分别是ABC ?的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线， 2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若1A α∠=，则2018A ∠=_____________ 【答案】2017 2α 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的1 2 ，根据此规律即可得解． 【详解】 ∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线， ∴∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，

初二数学上册培优辅导讲义人教版

第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两 边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1 ∠BOC ，∠FOC ＝ 21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2 1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝2 1×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上 的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线 段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm A B C D E F A B C D E F P Q R C E F E A B C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2

八年级上册数学培优及答案

一、填空题 1、设ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b 满足a b 4(a b 2) 2 0 ， 则第三边的长 c 的取值范围是． 2、函数y 4 x 3 的图象上存在点P，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是。 3、在△ABC中，∠B 和∠C 的平分线相交于O，若∠BOC= ，则∠A= 。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是。 5、已知直线y a 2 x x a 4 不经过第四象限，则 a 的取值范围是。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为。 7、如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km) 和行驶时间t(h) 之间 的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km；②汽车在行驶途中停留了0.5h ； 80 ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 km；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正 3 确的说法有. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工 了28 千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了 D 千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm°则顶角度数为( ) A.m° B.2m° C.(90-m) ° D.(90-2m) ° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y( 微克/ 毫升) 与服药后时间x( 时) 之间的函数关系如图所示，则

八年级数学上册期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册期末试卷（培优篇）（ Word 版 含解析） 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，在平面直角坐标系中，点D （m ，m +8）在第二象限，点B （0，n ）在y 轴正半轴上，作DA ⊥x 轴，垂足为A ，已知OA 比OB 的值大2，四边形AOBD 的面积为12． （1）求m 和n 的值． （2）如图2，C 为AO 的中点，DC 与AB 相交于点E ，AF ⊥BD ，垂足为F ，求证：AF ＝DE ． （3）如图3，点G 在射线AD 上，且GA ＝GB ，H 为GB 延长线上一点，作∠HAN 交y 轴于点N ，且∠HAN ＝∠HBO ，求NB ﹣HB 的值． 【答案】（1）4 2 m n =-?? =?（2）详见解析；（3）NB ﹣FB ＝4（是定值），即当点H 在GB 的 延长线上运动时，NB ﹣HB 的值不会发生变化． 【解析】 【分析】 （1）由点D ，点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12，可列方程组，解方程组即可； （2）由（1）可知，AD ＝OA ＝4，OB ＝2，并可求出AB ＝BD ＝25，利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ，并可得∠AEC ＝90°，利用三角形面积公式即可求证； （3）取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，证明△ABH ≌△CAN ，即可得到结论. 【详解】 解：（1）由题意()()218122 m n n m m --=?? ?++-=?? 解得4 2m n =-??=? ； （2）如图2中， 由（1）可知，A （﹣4，0），B （0，2），D （﹣4，4），

初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

精品 第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1 ∠BOC ，∠FOC ＝ 21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2 1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线 段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2

八年级上数学培优及答案

八年级培优试卷 一、填空题 1、设?ABC的三边长分别为a，b，c,其中ａ，b满足0 )2 ( 42= + - + - +b a b a，则第三边的长c的取值范围是． 2、函数3 4+ - =x y的图象上存在点P,点P到x轴的距离等于4，则点Ｐ的坐标是__＿____＿。 3、在△ＡBＣ中，∠B和∠C的平分线相交于O,若∠BOC=α,则∠A=______＿_＿。 ４、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是。 5、已知直线()4 2- + - - =a x x a y不经过第四象限,则a的取值范围是。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为3０°，则顶角度数为＿_ ＿____＿___。 7、如图，折线ABＣDE描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和 行驶时间t(ｈ)之间的函数关系,根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了12０kｍ；②汽车在行驶途中停留了0.5h；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km;④汽车自出发后3ｈ-４．5ｈ之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_＿＿＿___________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小 丽说:“我已加工了2８千克,你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考,左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系,你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我,你现在加工了________千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm°则顶角度数为（） A.m° B.2m° C.(9０-m）°Ｄ.(９０-2ｍ）° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后,首次用于临床人体试验,测得 成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升）与服药后时间ｘ（时）之间的函数关系如图所示,则 当1≤x≤６时,y的取值范围是( ） y(微克/毫升)

八年级上数学培优及答案

八年级数学---培优精品教案◆◆◆ 认真解答,一定要细心哟! 一、填空题 1、设?ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 则第三边的长c 的取值范围是 ． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时 工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了___D_____千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( )A.m B.2mC.(90-m) D.(90-2m) 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11≤y ≤8 C ． 8 3 ≤y ≤8 D ．8≤y ≤16

初二数学上册培优辅导讲义人教版

1 / 83 第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线、、相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两 边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线、、相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线上一点，、分别平分∠、 ∠． ⑴求∠的度数； ⑵写出∠的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵、平分∠、∠ ∴∠＝ 21∠，∠＝21∠ ∴∠＝∠＋∠＝2 1 ∠＋21∠＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠＋∠＝180° ∴∠＝21 ×180°＝90° ⑵∠的余角是：∠、∠；∠的补角是：∠. 【变式题组】 01．如图，已知直线、相交于点O ，平分∠，且∠＝100°，则∠的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 2．（杭 州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交 于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线， 垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且＝4，＝ 5，＝6，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4 B ． 5 C ．不大于4 D ．不小于6 02 如图，一辆汽车在直线形的公路上由A 向B 行驶，M 、N A B C D E F A B C D E F P Q R C E F E A B C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2

北师大版八年级上册数学培优练习

八年级上试题 一、填空题 1、设?ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 则第三边的长c 的取值范围是 ． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了___D_____千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ) A.m ° B.2m ° C.(90-m)° D.(90-2m)° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11≤y ≤8 C ． 8 3 ≤y ≤8 D ．8≤y ≤16

初二数学上册培优辅导讲义版教案 ( 人教版 )

第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】: ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ A B C D E F A B C D E F P Q R

02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化 为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1∠BOC ，∠FOC ＝2 1 ∠AOC ∴∠EOF ＝∠ EOC ＋∠FOC ＝ 21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝2 1 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】: 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° C E F E A A D O 1 4 3 2

八年级数学上册 期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图1所示，已知点D 在AC 上，ADE ?和ABC ?都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点. （1）求证：BMD ?为等腰直角三角形； （2）将ADE ?绕点A 逆时针旋转45?，如图2所示，（1）中的“BMD ?为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由； （3）将ADE ?绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“BMD ?为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由. 【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析. 【解析】 【分析】 ()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==， 90ADE EBC EDC ∠∠∠===，推出BM DM =，BM CM =，DM CM =，推出BCM MBC ∠∠=，ACM MDC ∠∠=，求出 22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可． ()2延长ED 交AC 于F ，求出12 DM FC =，//DM FC ，DEM NCM ∠=，根据ASA 推出EDM ≌CNM ，推出DM BM =即可． ()3过点C 作//CF ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，推出 MDE ≌MFC ，求 出DM FM =，DE FC =，作AN EC ⊥于点N ，证BCF ≌BAD ，推出 BF BD =，DBA CBF ∠∠=，求出90DBF ∠=，即可得出答案． 【详解】 ()1证明： ABC 和ADE 都是等腰直角三角形， 45ACB BAC ∠∠∴==，90ADE EBC EDC ∠∠∠=== 点M 为EC 的中点， 12BM EC ∴= ，1 2 DM EC =， BM DM ∴=，BM CM =，DM CM =， BCM MBC ∠∠∴=，DCM MDC ∠∠=， 2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=，

八年级上数学培优测试试题

八年级上数学培优试题

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2

第十二章全等三角形及其应用 证明线段（或角）相等 【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC . （2）证明线段平行 【例2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD D C B A E F （3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE (ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。（ⅱ）加倍法 证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.

说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF. (4)证明线段相互垂直 【例4】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。 5、中考点拨： 【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC． 求证：∠F＝∠A． 说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。 【例2】如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED 题型展示： 【例1】如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD． 剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），

数学八年级上册 期末试卷培优测试卷

数学八年级上册 期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点 D 作DF D E ⊥与点 F ， G 为BE 中点，连接AF ，DG ． （1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥； （2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明． 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析. 【解析】 【分析】 (1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可. (2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出. 【详解】 解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图， ∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°, ∴△ABD 是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF. ∴△DAE ≌△DBF.

∴BF=AE,DF=DE. ∴△FDE是等腰直角三角形. ∴∠DFE=45°. ∵G为BE中点, ∴BF=EF. ∴AE=EF. ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴∠AFE=45°. ∴∠AFD=90°,即AF⊥DF. （2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM, ∵点G为BE的中点,BG=GE. ∵∠BGM∠EGD, ∴△BGM≌△EGD. ∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE. ∴∠MBE=∠EFD,BM=DF. ∵∠DAC=∠DBE, ∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE. ∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF, ∴∠BDF=45°-∠DBE. ∵∠ADE=∠BDF, ∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD. ∵BD=AD, ∴△BDM≌△DAF. ∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM. ∵∠BDM+∠MDA=90°, ∴∠MDA+∠FAD=90°. ∴∠AHD=90°. ∴AF⊥DG. ∴AF=2DG,且AF⊥DG 【点睛】 本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质. 2．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足

人教版八年级数学上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级数学上册 全册全套试卷（培优篇）（Word 版 含解 析） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，在ABC ?中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠： 1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠=________________． 【答案】 20202α 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知 21211112222 a A A A A a ∠=∠=∠=∠=，，…，依此类推可知2020A ∠的度数． 【详解】 解：∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1， ∴11118022 A ACD AC B AB C ∠=?-∠-∠-∠ 1118018022 ABC A A ABC ABC =?-∠+∠-?-∠-∠-∠（）（） 1122 a A =∠=， 同理可得221122a A A ∠= ∠=， … ∴2020A ∠= 20202α． 故答案为： 2020 2α. 【点睛】 本题是找规律的题目，主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时也考查了角平分线的定义． 2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ?=，则AB 的长度为_______．

【答案】15 【解析】 【分析】 作辅助线EH AB ⊥交AB 于H ，再利用等量关系用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积，利用三角形的面积公式来求解底边AB 的长度 【详解】 作EH AB ⊥ ∵AE 平分∠BAC BAE CAE ∴∠=∠ EC EH ∴= ∵P 为CE 中点 4EC EH ==∴ ∵D 为AC 中点，P 为CE 中点 =x =y PEF PCF CDF ADF S S S S ==△△△△∴设， 15x BEF S =-△∴ 15+x+y BCD BDA S S ==△△∴ y=15+x+y-y=15+x BFA BDA S S =-△△∴ 15x+15+x=30BEA BEF BFA S S S =+=-△△△∴ 1=302 BEA S AB EH ?=△∵ =15AB ∴ 【点睛】 本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积，解题的关键在于如何利用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积 3．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．

学而思初二数学上册培优辅导讲义

第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的 反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义， 以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21 ∠BOC ， ∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°， 则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线 段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm 02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、 N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行 驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、 A B C D E F A B C D E F P Q R C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2

初二上数学培优题答案

初二上数学培优题答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

初二数学培优题（一） 1．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，（1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AE∥BC，且∠E=∠CAD，求∠C的度数． 【分析】（1）由∠1=∠2=∠3，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，即∠BAC=∠DAE，又∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，已知AC=AE，即可证得：△ABC≌△ADE； （2）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△ABD中，可得x+4x+4x=180°，解答处即可； 【解答】解：（1）∵∠1=∠2=∠3， ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 即∠BAC=∠DAE， 又∵∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（AAS）； （2）∵AE∥BC， ∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C， 又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x， 则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB， 又∵由（1）得AD=AB，∠E=∠C， ∴∠ABD=4x， ∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°， ∴x=20°， ∴∠E=∠C=20°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC． （1）证明：BC=DE； （2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可； （2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案； 【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD， ∴∠BAC=∠EAD． 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． ∴BC=DE （2）∵△ABC≌△ADE， ∴S △ABC =S △ADE ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =S △ADE +S △ACD =S △ACE =×122=72． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD的面积是解此题的关键，难度适中． 3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=8，BC=6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a 个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）． （1）用含t的代数式表示线段PC的长； （2）若点P、Q的运动速度相等，t=1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由． （3）若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a的值． 【分析】（1）用BC的长度减去BP的长度即可； （2）求出PB，CQ的长即可判断； （3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）PC=BC﹣BP=6﹣2t；