当前位置：文档库 › 数列的概念高考重点题型及易错点提醒doc

数列的概念高考重点题型及易错点提醒doc

一、数列的概念选择题

1．已知数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，且n a ，1n a +是方程220n

n x b x -+=的实数根，

则10b 等于（） A ．24

B ．32

C ．48

D ．64

2．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（）

A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.

B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.

C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.

D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 3．已知数列{}n a 满足: 12a =，11

1n n

a a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（） A ．1007

B ．1008

C ．1009.5

D ．1010

4．在数列{}n a 中，10a =

，1n a +，则2020a =（）

A ．0

B ．1

．D

5．已知数列{}n a 的前n 项和2

23n S n n =-，则10a ＝（）

A ．35

B ．40

C ．45

D ．50

6．已知数列2233331131357135

1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n

，则该数列第2019项是（） A ．

1019892 B ．

2019

2 C ．

1989

2 D ．

2019

2 7．已知数列{}n a 的前n 项和为()*

22n

n S n =+∈N ，则3

=( )

A ．10

B ．8

C ．6

D ．4

8．已知数列{}n a 的通项公式为23n

n a n ??= ???

，则数列{}n a 中的最大项为（） A ．

B ．

C ．

6481

D ．

125

243

9．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（） A ．1

B ．3

C ．2

D ．3-

10．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()

21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（）

A ．4-

B ．5-

C ．4

D ．5

11．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则20

k a

=∑的值不可能是（） A ．2

B ．4

C ．10

D ．14

12．定义：在数列{}n a 中，若满足

1n n n n

a a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则2020

2018

a a 等于（） A ．4×20162－1

B ．4×20172－1

C ．4×20182－1

D ．4×20182

13．数列{}n a 满足1

111,(2)2

n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（）

A ．

B ．

17 C ．

131

D ．

14．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（） A ．45

B ．46

C ．47

D ．48

15．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且11

a =，则{}n a 的前2021项之积为（） A ．

23 B ．

C ．2-

D ．3-

16．已知数列{}n a 满足：11a =，145n n a a +=+，则n a =（） A ．8523

?- B ．1

852

n -?- C ．8543

D ．1

854

n -?- 17．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（）． A ．648

B ．722

C ．800

D ．882

18．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），(

3n n N

≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，

若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

19．已知数列{}n a 满足1N a *

∈，1,2+3,n

n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数

，若{}n a 为周期数列，则1a 的

可能取到的数值有（） A ．4个

B ．5个

C ．6个

D ．无数个

20．已知数列{}n a 满足11a =，()*11

n n a a n N a +=∈+，则2020a =（） A ．

2018

B ．

2019 C ．

2020

D ．

2021

二、多选题

21．已知数列0,2,0,2,0,2,

，则前六项适合的通项公式为（）

A ．1(1)n

n a =+-

B ．2cos

n n a π= C ．(1)2sin

n n a π

+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--

22．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．733S =

C ．135********a a a a a +++

D ．

222

122019

20202019

a a a a a +++= 23．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2

n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为

（） A ．2

B ．5

C ．3

D ．4

24．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =

B ．733S =

C ．135********a a a a a +++???+=

D ．

222

122019

20202019

a a a a a ++??????+= 25．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（） A ．7S 最小

B ．130S =

C ．49S S =

D ．70a =

26．(多选)在数列{}n a 中，若2

1(2,,n n a a p n n N p *

--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方

差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．

(){}1n

- 是等方差数列

C ．{}2

是等方差数列.

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

27．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >

D ．数列

{}n

a 也是等差数列

28．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤

D ．当且仅当0n

S <时，26n ≥

29．（多选题）在数列{}n a 中，若22

1n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称

{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A ．若{}n a 是等差数列，则{}

n a 是等方差数列

B ．

(){}1n

-是等方差数列

C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

30．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．24

d -

<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13

D ．数列n n S a ??

????

中最小项为第7项

31．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（） A ．0d <

B ．70a >

C ．{}n S 中5S 最大

D ．49a a <

32．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（）

A ．100a =

B ．当9n =或10时，n S 取最大值

C ．911a a <

D ．613S S =

33．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（）. A ．10a =0

B ．10S 最小

C ．712S S =

D ．190S =

34．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，

6914a a ?=-．12n n n n b a a a ++=??，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（）

A ．320n a n =-

B ．325n a n =-+

C ．当4n =时，n T 取最小值

D ．当6n =时，n T 取最小值

35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =

D ．15S 是最大值

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、数列的概念选择题 1．D 解析：D 【分析】

根据题意，得到1n n n a a b ++=，12n

n n a a +=，求得22a =，推出

2n n a a +-=，进而可求出10a ，11a ，从而可求出结果.

【详解】

因为n a ，1n a +是方程220n

n x b x -+=的实数根，所以1n n n a a b ++=，12n

n n a a +=，

又11a =，所以22a =；当2n ≥时，1

n n n a a --=，所以

112n n n n n n

a a a a a a ++--==，因此4102232a a =?=，5

111232a a =?=

所以101011323264b a a =+=+=. 故选：D.

【点睛】

本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型.

2．A

解析：A 【分析】

运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】

数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，

121n n n n a a a a +++∴≥--，

设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，

∴数列{}n d 是递减数列.

对于A ，由11a =，20192019a =，则201911220182019a a d d d =+++=，

所以1220182018d d d ++

+=，又1232018d d d d ≥≥≥

≥，

所以1122018201820182018d d d d d ≥++

+≥，

故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，

02019N ?=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++

≤++++=

即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；

结合A ，故B 不正确；

对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列，则n a 无最大值，故C 不正确；

对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确；故选：A 【点睛】

本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.

3．D

解析：D 【分析】

根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且313

2122

S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案. 【详解】

由题意，数列{}n a 满足: 12a =，11

1n n

a a +=-

，

可得23411

1,121,1(1)2,22

a a a =-

==-=-=--=，

可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122

S =+-= 所以20173

672210102

S =?+=. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

4．A

解析：A 【分析】

写出数列的前几项，找寻规律，求出数列的周期，问题即可解. 【详解】

10a =

，1n a +1n =

时，2a 2n =

时，3a 3n =

时，4

a ； ∴ 数列{}n a 的周期是3

20206733110a a a ?+∴===

故选：A. 【点睛】

本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时，周期数列的解题方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和.

5．A

解析：A 【分析】

利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.

【详解】

223n S n n =-,

n 2∴≥时，1n n n a S S -=-

22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n

1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35

故选：A. 【点睛】

本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .

(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2

≥时n a 的表达式．

(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写．．

6．C

解析：C 【分析】由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ????????

? ??? ?????????

项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号

里的第995项. 【详解】由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ????????

? ??? ?????????

，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，

故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11

2m -，所以第12个括号里的第995项是11

1989

2. 故选：C. 【点睛】

本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.

7．D

解析：D 【分析】

根据332a S S =-，代入即可得结果. 【详解】

()()3233222224a S S =-=+-+=.

故选：D. 【点睛】

本题主要考查了由数列的前n 项和求数列中的项，属于基础题.

8．A

解析：A 【分析】

由12233n

n n n a a +-??

-=? ???

，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得

到n ＝2时，a n 最大. 【详解】

解：1

12222(1)3333n n

n n n a a n n ++-??????-=+-=? ? ? ?????

??，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；

当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1a 4>a 5>…>a n ，

所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239

a a ??==?= ???. 故选：A . 【点睛】

此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.

9．C

解析：C 【分析】

根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得

2019a 的值.

【详解】

数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=?+ 所以201932a a ==

【点睛】

本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.

10．B

解析：B 【分析】

根据已知递推条件(

21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5

3214a a a 4321a a a 5

5a a a

故选：B 【点睛】

本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题

11．B

解析：B 【分析】

先由题中条件，得到2

21i i i a a a +-=+，由累加法得到20

2211

221k k a a ==-∑

，根据00a =，

()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.

【详解】

由11i i a a +=+得()2

221121i i i i a a a a +=+=++，

则21221i i i a a a +-=+，所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，

因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或

所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或

4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，

以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或

21±，

因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，

所以22112

2a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，

170，210；

则

k a

=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，

即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20

转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.

12．C

解析：C 【分析】

根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +??

????

的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =?求解. 【详解】由题意可得：

23a a =，211a a = ，3221

1a a a a -=，根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +??

20202019220191220181a a =?-=?+，20192018

220181220181420181a a a a a a =?=?+?-=?-. 故选：C

【点睛】

本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.

13．C

解析：C 【分析】

根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】因为1

=+，31131723a ==+，4117

利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解【详解】

当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C

15．B

解析：B 【分析】

由111n n n n a a a a ++-=+，且11

3a =，可得：111n n n

a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论.

【详解】

因为111n n n n a a a a ++-=+，且11

∴==-，33a =-，412a =-，513a =，??，

则{}n a 的前2021项之积50511

133

=?=.

故选：B 【点睛】

方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.

16．D

解析：D 【分析】取特殊值即可求解. 【详解】

当1n =时，11a =，显然AC 不正确，

当2n =时，21459a a =+=，显然B 不符合，D 符合故选：D

17．C

解析：C 【分析】

由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：2

22n a n =，即可得

出．【详解】

由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：2

22n a n =．

则此数列第40项为2220800?=．故选：C

18．A

解析：A 【分析】

根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】

由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……

则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故选：A

19．B

解析：B 【分析】

讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】

已知数列{}n a 满足1N a *

∈，1,2

+3,n

n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数

. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

③若13a =，则26a =，33a =，46a =，

，以此类推，可知对任意的n *∈N ，

2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，

，以此类推，可知对任意的

n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；

⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意

的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，

，以此类推，可知对任意的n *∈N ，

2n n a a +=，

此时，{}n a 为周期数列；

⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2

n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2

n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.

∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列；（2）假设当(

()1

12,23,k k a k k N +*?∈≥∈?

且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(

∈?，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可

知，数列{}n a 不是周期数列；若1a 为正奇数，则(

213

2132

3,232,2k k k k a a ++++??=+∈++???且2a 为偶数，

由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.

综上所述，当19a ≥且1N a *

∈时，数列{}n a 不是周期数列.

因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】

本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．

20．C

解析：C 【分析】

根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，结合等差数列的性质求出通项公式即可．【详解】解：

本题主要考查数列通项公式的求解，结合数列递推关系，利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，属于基础题．

二、多选题

21．AC 【分析】

对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】

对于选项A ，取前六项得：，满足条件；对于选项B ，取前六项得：，不满足条件；对于选项C ，取前六项得：，

解析：AC 【分析】

对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】

对于选项A ，1(1)n

n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；

对于选项B ，2cos 2

n n a π

=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件；对于选项C ，(1)2sin

n n a π

+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC

22．ABD 【分析】

根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】

依题意可知，，，，，，，，故正确；，所以，故正确；由，，，，，，可得，故不

解析：ABD 【分析】

根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，

342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正

确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2

33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，

，2

20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，

累加可知D 正确. 【详解】

依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，

312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以

712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；

由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，

可得

13572019a a a a a ++++

+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，

故C 不正确；

2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2

33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，

，2

20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，

+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，

a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.

23．BD 【分析】

利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵， ∴时，，化为：，

由于数列单调递减，可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3．故选：BD ．【点睛】本

解析：BD 【分析】

利用递推关系可得12

n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵2

n n n S a +=

， ∴2n ≥时，1121

n n n n n n n a S S a a --++=-=

-，化为：112

111

n n a n a n n -+==+--，由于数列21n ??

?-??

单调递减，可得：2n =时，

n -取得最大值2． ∴1

n n a a -的最大值为3．故选：BD ．【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

24．ABCD 【分析】

由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】

对A ，写出数列的前6项为，故A 正确；对B ，，故B 正确；对C ，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第

解析：ABCD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】

对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；

对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，

可得：135********a a a a a +++???+=.故1352019a a a a +++???+是斐波那契数列中的第2020项.

对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2

121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-

2222123201920192020a a a a a a +++??????+=，故D 正确；

故选：ABCD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.

25．BCD 【分析】

由是等差数列及，求出与的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】

设等差数列数列的公差为. 由有，即所以,则选项D 正确.

选项A. ,无法判断其是否有最小

解析：BCD 【分析】

由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】

设等差数列数列{}n a 的公差为d .

由13522,a a S +=有()111254

2252

a a a d d ?+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176

773212

S a d a d d ?=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113

137131302

a S a a +=

?==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件

13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,

属于中档题.

26．BD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】

对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故

解析：BD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】

对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222

(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故

-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方

{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数

列，()()2

112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，

故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22

10n n a a --=是常数，故D 正确.

故选：BD. 【点睛】

关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.

27．AB 【分析】

根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】

依题意，等差数列中，即， .

对于A 选项，，所以A 选项正确. 对于C 选项，，，所以，

2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案

2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练【题型归纳】等差数列、等比数列的基本运算题组一等差数列基本量的计算例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ．【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。题组二等比数列基本量的计算例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________．【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．

数列高考题型分类汇总

题型一 1．设{a n }是公比为正数的等比数列a 1 =2，a 3 =a 2 +4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n +b n }的前n项和S n ．题型二 2．已知数列{a n }、{b n }、{c n }满足．（1）设c n =3n+6，{a n }是公差为3的等差数列．当b 1 =1时，求b 2 、b 3 的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n ≥b k ；（3）设，．当b 1=1时，求数列{b n }的通项公式．题型三 3．已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n ﹣1+2（m﹣n）2 （1）求a 3，a 5 ；（2）设b n =a 2n+1 ﹣a 2n﹣1 （n∈N*），证明：{b n }是等差数列；（3）设c n =（a n+1 ﹣a n ）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n }的前n项和S n ．题型四 4．已知数列{an}满足，，n∈N×．（1）令b n =a n+1 ﹣a n ，证明：{b n }是等比数列；（2）求{a n }的通项公式． 5．设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，（Ⅰ）求a 1，a 4 （Ⅱ）证明：{a n+1 ﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{a n }的通项公式． 6．在数列{a n }中，a 1 =1，．

（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n }的前n 项和S n ；（Ⅲ）求数列{a n }的前n 项和T n ． 7．已知数列{a n }的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n 项和S n ． 8.在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d 。 (Ⅰ)若k d =2k ，证明21222,,k k k a a a -+成等比数列（*k N ∈）； (Ⅱ)若对任意*k N ∈，21222,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . 设1q ≠1.证明11k q ????-??是等差数列； 9.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式。 10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --?是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式

高考理科数学《数列》题型归纳与训练

高考理科数学《数列》题型归纳与训练【题型归纳】等差数列、等比数列的基本运算题组一等差数列基本量的计算例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ．【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。题组二等比数列基本量的计算例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________．【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．

数列高考常见题型分类汇总情况

数列通项与求和一、数列的通项方法总结：对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则： ①对于同时出现n a ,n ,n S 的式子，首先要对等式进行化简。常用的化简方法是因式分解，或者同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式； ②利用1--=n n n S S a 关系消掉n S （或者n a ），得到关于n a 和n 的等式，然后用传统的求通项方法求出通项； ③根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列； ④对于出现2n a 或2 n S （或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提取公因式法；遇到1+?n n a a 时还会两边同除1+?n n a a . 1. 规律性形式求通项 1-1.数列{a n }满足a n+1=，若a 1=，则a 2016的值是（） A ． B ． C ． D ． 1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦?B ?曼德尔布罗特（Benoit B ．Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（） A ．55 B ．89 C ．144 D ．233 1-3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为（n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，

，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（） A ． B ． C ． D ． 2.出现n a ,n ,n S 的式子 1-4.正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+= (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令()2221n n a n n b ++= ,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <. 1-5.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =, 2121233 n n S a n n n +=---,*n ∈N . (1) 求2a 的值; (2) 求数列{}n a 的通项公式.

数列题型及解题方法归纳总结

累加累积归纳猜想证明掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 (1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 ⑴递推式为a n+i =3+d 及a n+i =qa n (d ，q 为常数) 例1、已知｛a n ｝满足a n+i =a n +2，而且a i =1。求a n 。例1、解 ■/ a n+i -a n =2为常数 ??? ｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列 /? a n =1+2 (n-1 ) 即 a n =2n-1 1 例2、已知｛a n ｝满足a n 1 a n ，而a 1 2，求a n =? 佥 1 2 解■/^ = +是常数 .■-傀｝是以2为首顶，公比为扌的等比数把n-1个等式累加得： .' ? an=2 ? 3n-1-1 ji i ? / ] — 3 ⑷ 递推式为a n+1=p a n +q n (p ，q 为常数) s 1 1 【例即己知何沖.衍二右札+ 吧求％略解在如十冷)*的两边乘以丹得 2 严‘ *珞1 = ~〔2怙血)+1.令亠=2n 召则也€%乜于是可得 2 2 n b n 1 n 1 n b n 1 b n (b n b n 1)由上题的解法，得：b n 3 2(—) ? a . n 3(—) 2(—) 3 3 2 2 3 ★说明对于递推式辺曲=+屮，可两边除以中叫得蹲= Q 計/斗引辅助财如(%=芒.徼十氣+护用 (5) 递推式为 a n 2 pa n 1 qa n 知识框架数列的概念数列的分类数列的通项公式数列的递推关系函数角度理解 (2)递推式为 a n+1=a n +f (n ) 1 2 例3、已知｛a n ｝中 a 1 a n 1 a n 1 ，求 a n . 4n 2 1 等差数列的疋义 a n a n 1 d(n 2) 等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d 等差数列等差数列的求和公式 S n (a 1 a n ) na 1 n(n 1)d 2 2 等差数列的性质 a n a m a p a q (m n p q) 两个基本数列等比数列的定义 a n 1 q(n 2) 等比数列的通项公式 a n n 1 a 1q 数列等比数列 a 1 a n q 3(1 q ) (q 1) 等比数列的求和公式 S n 1 q 1 q / n a 1(q 1) 等比数列的性质 S n S m a p a q (m n p q) 公式法分组求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和解：由已知可知a n 1 a n (2n 1)(2n 1)夕2n 1 2n 令n=1，2，…，(n-1 )，代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) + 1广 K z 1】、 =-[(1-" + J J 5 _■ 冷(一 Jr ★ 说明只要和f ( 1) +f (2) 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 ⑶ 递推式为a n+1=ps n +q (p , q 为常数) 1 a n a 1 (1 2 +?…+f 例 4、｛a n ｝中，ai 1，对于 n > 1 (n € N) 有a n (a 3-a 2) + ? + (a n -a n-1) L )也 2n 1 4n 2 (n-1 )是可求的，就可以由 a n+1=a n +f (n )以n=1，2，…， 3a n 1 2 ，求 a n ? 数列求和解法一：由已知递推式得 a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3 (a n -a n-1) 因此数列｛a n+1-a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为 a 2-a 1= (3X 1+2) -1=4 --a n+1 -a n =4 ? 3 - a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ? 3 即 a n =2 ? 3 -1 解法_ : 上法得｛a n+1-a n ｝是公比为 3 的等比数列，于是有： a 2-a 1=4， a 3-a 2=4 ? 3， a 4-a 3=4 ? 3 ? 3 ，数列的应用分期付款其他

数列的概念及表示

课题：数列（第一课时）一、教学目标：知识目标：（1）了解数列的概念，了解数列的分类，了解数列是一种特殊的数列，会用列表法和图像法表示数列；（2）理解数列的通项公式，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。能力目标：通过数列概念的归纳概括，初步培养学生的归纳、抽象、概括的能力，渗透函数思想。情感目标：通过有关数列的实际应用，激发学生学习数列的积极性。二、重点：数列的概念，数列的通项公式及其简单应用. 三、难点：根据数列的前几项归纳概括出数列的一个通项公式. 四、教学方法：观察发现、探究合作、启发引导、讲练结合五、教学手段：多媒体课件、投影仪六、教学过程： 1、问题情境（1）庄子说：一尺之棰，日取其半，万世不竭。每次剩下的部分依次是： 1111,,,,24816 （2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分类成2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为：1,2,4,8,16,32，┅┅ （3）2012----伦敦奥运,从1984年到2012年,我国共参加了8次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为：15,5,16,16,28,32,51,38. 问题1：这几组数据有什么共同的特点？ 2、学生活动都是一列有顺序的数。特点1：都是一列数，2：有一定的次序 3、建构数学（1）数列的定义：按照一定次序排成一列的数称为数列；数列中的每个数都叫做这个数列的项；各项依次叫做这个数列的第1项（首项）,第2项，…，第n 项，…，如：数列 2, 4, 8, 16 问题2：① 1，-1,1，-1，……是数列吗？ ② 数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是否是同一个数列？（2）数列的分类：有穷数列，无穷数列。问题3：下面三个数列哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？ a 4 a 1 a 2 a 3

2017年高考试题分类汇编(数列)

2017年高考试题分类汇编（数列）考点1 等差数列 1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=， 648S =，则{}n a 的公差为 C A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件考点2等比数列 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则 4a =____．8- 2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知 374S = ,6634 S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 B A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏考法3 等差数列与等比数列综合 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A A ．24- B ．3- C ．3 D ．8

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。（a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较

4、典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ，解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，

数列的概念与简单表示法(含解析)

第一节数列的概念与简单表示法知识要点 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： (3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数－1 列的递推公式．

3.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 4．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n) ＝a n(n∈N*)．题型一：由数列的前几项求数列的通项公式 [例1]　下列公式可作为数列{a n}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A．a n＝1 B．a n＝C．a n＝2－ D．a n＝ [自主解答]　由a n＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案]　C 变式：若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n}的一个通项公式为________．答案： a n＝由题悟法 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．

高考文科必考题型训练11数列大题学

2013年高考文科必考题型训练11数列大题 1.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且 S n =22n n +， n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （1）求a n ，b n ；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 2.【2012高考重庆文16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。 3. （2011年高考福建卷文科17)（本小题满分12分）已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3. （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值.

4.（2011年高考全国新课标卷文科17)（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，3 1,311== q a ，（1）n s 为数列{}n a 前n 项的和，证明：2 1n n a s -= （2）设n n a a a b 32313log log log +++= ，求数列{}n b 的通项公式； 5．（2011年高考重庆卷文科16)（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n s 。 6、（2010陕西文数）16.（本小题满分12分）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n .

高考数学数列知识点及题型大总结

20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结等差数列知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2

⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解

数列的概念及其表示法

第六章数列命题探究解答过程 (1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以b n=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2. 所以,数列{a n}的通项公式为a n=3n-2,数列{b n}的通项公式为b n=2n. (2)设数列{a2n b2n-1}的前n项和为T n,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2n b2n-1=(3n-1)×4n,故T n=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, 4T n=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1, 上述两式相减,得 -3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1= - - -4-(3n-1)×4n+1 =-(3n-2)×4n+1-8. 得T n=-×4n+1+. 所以,数列{a2n b2n-1}的前n项和为-×4n+1+ §6.1数列的概念及其表示法考纲解读分析解读本节内容在高考中主要考查利用a n和S n的关系求通项a n,或者利用递推公式构造等差或等比数列求通项a n,又考查转化、方程与函数、分类讨论等思想方法,在高考中以解答题为主,题目具有一定的综合性,属中高档题.分值为5分或12分.

五年高考考点数列的概念及其表示 1.(2016浙江,13,6分)设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1=,S5=. 答案1;121 2.(2015江苏,11,5分)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为. 答案 3.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n=. 答案(-2)n-1 4.(2015四川,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值. 解析(1)由已知S n=2a n-a1, 有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2), 即a n=2a n-1(n≥2). 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n=2n. (2)由(1)得=, 所以T n=++…+=- - =1-. 由|T n-1|<,得--<,即2n>1000. 因为29=512<1000<1024=210, 所以n≥10. 于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10. 教师用书专用(5—6) 5.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形 A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是. 答案a n=- 6.(2014广东,19,14分)设数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2na n+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.

人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)

人教版高中数列知识点总结(知识点+例题) Lesson6 数列知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1) d . 3．等差中项 a ＋b 如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *) ． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *) ，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为. (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *) 是公差为的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 n (a 1＋a n )n (n －1) 设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n 或S n ＝na 1＋22. 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 d d 2? S n 2＋ a 1－2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数) ． ?? 7．等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d 0，则S n 存在最小值． [难点正本疑点清源] 1．等差数列的判定 (1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2) ； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法 [考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．【知识通关】 1．数列的有关概念 n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝??? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2. 4．数列的分类 [

求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用??? a n ≥a n －1， a n ≥a n ＋1.(n ≥2， n ∈N *)或?? ? a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2，n ∈N *)求解，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1 n (n ＋1) ，…，下列各数中是此数列中的项的是( ) A .135 B .142 C .148 D .154 B 3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 A 4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A .32 B .53 C .85 D .23 D 5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________. 5n －4

高考数学题型全归纳：数列要点讲解(含答案)

数列一、高考要求 1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n 项. 2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 二、热点分析 1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. 2.有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题 3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如243546225a a a a a a ++=，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有 223355225a a a a ++=，即235()25a a +=. 4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下： ①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法 5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，

高考数学题型全归纳：数列在生活中的应用(含答案)

数列在生活中的应用在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。这是对数学与生活关系的精彩描述。首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。（一）按揭货款中的数列问题随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有: a1=a0(1+p)-a, a2=a1(1+p)-a, a3=a2(1+p)-a, ...... an+1=an(1+p)-a,.........................(*) 将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p. 由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。（二）有关数列的其他经济应用问题数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。 (三)数列在艺术中的广泛应用

数列的概念与表示(一)

数列的概念与表示导学案一、基础知识引例：按一定次序排列的一列数（1）1，2，3，4，5 （2）1，51,41,31,21 （3）,1,1,1,1--…… （4）1，1，1，1，…… （5）1，3，5，4，2 （6）2的精确到1，0.1，0.01，0.001，……的不足近似值排列成一列数 1、概念：（1）数列：注：①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现上例中能构成数列的是：。（1）与（5）相同吗？（2）项：（3）项的序号： 2、表示：数列的一般形式为：，简化为。例：,41,31,21, 1…,1,n …简记为： 1，3，5，7，…12-n ，…简记为注：}{n a 与n a 的区别： 3、数列与函数的关系： 4、数列的通项公式：作用：①以序号代n 可求数列各项；②可验证某数是否是数列中的项注：①通项公式有时不存在；②一个数列的通项公式形式可能不唯一。 5、递推公式： 6、分类：二、例题解析例1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项。（1）1+=n n a n （2）n a n n ?-=)1( 例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数（1）1，2，3，4；（2）1，3，5，7；（3）5 15,414,313,2122222----；例3、已知：}{n a 中，11=a ，以后各项由111-+ =n n a a 给出，写出这个数列的前5项。

三、课后练习 1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项：（1）1)1(5+-?=n n a （2）1 122++=n n a n 2、根据通项公式，写出它的第7项与第10项（1）)2(+=n n a n （2）32+-=n n a 3、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。（1）1，2，3，4 （2）2，4，6，8 （3）161,81,41,21-- （4）5141.4131,3121,211---- 4、写出下面数列}{n a 的前5项（1）)2(35 11≥+==-n a a a n n （2）)2(2211≥==-n a a a n n

全国各地高考数学试题数列分类汇编

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 11111132433(3)24996732022 a d a d a d a d a d a d ??+?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-， ∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =- 【解析】13a =Q ，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165 6615482 S a d a d ?=+=+=，联立112724 ,61548 a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） A ．24- B ．3- C ．3 D ．8 【答案】A 【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2 3 26a a a =?，即()()()2 11125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =- ∴()616565 61622422 S a d ??=+=?+?-=-，故选A. 6．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{} n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165 6615482 S a d a d ?=+=+=，联立112724 ,61548 a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C.