温州市高一摇篮杯数学竞赛试题(含答案)教学提纲
2015年温州市高一摇篮杯数学竞赛试题(含
答案)
2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
2015年4月 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．已知全集Z U =，},3|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==，则B A C U ?)(是（▲）
A.},16|{Z n n x x ∈±==
B.},26|{Z n n x x ∈±=
C.},36|{Z n n x x ∈-=
D.},13|{Z n n x ∈±=
2.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（▲） A.6 B.26 C.10 D.12
3. 函数242x x y -=的值域是（▲）
A.]4,0[
B.]4,4[-
C.]2,2[-
D.]2,0[ 4．设,1
1
)(+-=
x x x f 记)()(1x f x f =，若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2015x f （▲） A ．x B.x
1
-
C.11+-x x
D.x x -+11
5．化简
=-+)
4
tan()4(
sin 42cos 2απ
απ
α
（▲）
A.αcos
B.αsin
C.1
D.
2
1
6.已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ.若1||>-b a ，则θ的取值范围为（▲） A.3
0π
θ<
≤ B.
2
3
π
θπ
≤
< C.
πθπ
≤<3
D.
πθπ
<<3
7．设)0,2
1
(-
∈x ，以下三个数παπαπα)1cos(),sin(cos ),cos(sin 321+===x x x 的大小关系是（▲）
A.123ααα<<
B.231ααα<<
C.213ααα<<
D.132ααα<<
8．若对任意的实数n m ,，有)1(log )1(log 232333n n m m n m -++-+≥+成立，则有（▲）
A. 0≤+n m
B. 0≥+n m
C.0≤-n m
D.0≥-n m 9．方程
)4sin(log 4
1
2x x π=的实根个数是（▲） A.62 B.63 C.64 D.65
10．设方程0133=--x x 的三个实根是1x 、2x 、3x )(321x x x <<.则代数式
)())((132323x x x x x x --+-的值为（▲）
A. 2-
B.1-
C.1
D.0 二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.
11.函数x
x
y 2log 2-=
的定义域为 ▲ . 12.若)(log log )(log log 3993x x =，则=x ▲ . 13. 不等式06||52||23<+--x x x 的解集是 ▲ .
14.已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在区间),0[+∞上是增函数，若
)2()1(-≤+x f ax f 在区间]1,21
[上恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .
15. 定义区间],[21x x 的长度为)(1212x x x x >-，已知函数
)0,(1)()(22≠∈-+=a R a x
a x a a x f 的定义域与值域都是)](,[m n n m >，则区间],[n m 取
最大长度值为 ▲ .
16.若ABC ?的重心为G ，4,3,2===BC AC AB ，动点P 满足
z y x ++=（1,,0≤≤z y x ），则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 ▲ .
17.已知函数||3)(2a x x x f -+=，若4])([2≤+b x f 对任意]1,1[-∈x 恒成立，则b a +3的取值集合 ▲ .
三、解答题：本大题共3小题，共51分．
18. （本题满分15分）已知函数)0(3cos 32cos sin 2)(2>+-=ωωωωx x x x f 的最小正周期为.π
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图像向左平移
6
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像.若)(x g y =在)0](,0[>b b 上至少有20个零点，求b 的最小值.
19. （本题满分18分）已知O 为坐标原点，)4,3(),,0(),0,(===OC a OB a OA . （I ）当]0,4[-∈a 时，求||OC OB OA ++的取值范围；
（II ）若),(y x OP =，记|}||,||,max{|PC PB PA M =，当a 取遍一切实数时，求
M 的最小值.
20. （本题满分18分）
已知函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，),,()(2R f e d f ex dx x g ∈++=.
（I ）当1=a 时，对任意实数x 均有|132||)(|2+-≤x x x f ，求函数)(x f 的解析式；
（II ）若|)(|)(x g x f ≥对任意实数x 成立，求证：|4|422e df b ac -≥-.
2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
2015年4月 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1.已知全集Z U =，},3|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==，则B A C U ?)(是（ C ）
A.},16|{Z n n x x ∈±==
B.},26|{Z n n x x ∈±=
C.},36|{Z n n x x ∈-=
D.},13|{Z n n x ∈±=
解析：},36,16|{Z n n x n x x A C U ∈-=±==，},36,6|{Z x n x n x x B ∈-===， 则B A C U ?)(=},36|{Z n n x x ∈-=，故答案选C .
2.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（ A ） A.6 B.26 C.10 D.12
解析：设扇形的半径为,r 弧长为l .由题意：???????==422
1
r
l lr ，解得???==41l r ，所以扇形的周长为
62=+r l ，故答案选A .
3.函数242x x y -=的值域是（ B ）
A.]4,0[
B.]4,4[-
C.]2,2[-
D.]2,0[
解析：Θ函数242x x y -=是在]2,2[-上的奇函数，∴只需考虑当]2,0[∈x 时函数的取值范围，当]2,0[∈x 时，]4,0[4)2(2422242∈+--=-=x x x y ，所以函数
242x x y -=的值域为]4,4[-，答案选.B
4．设,1
1
)(+-=
x x x f 记)()(1x f x f =，若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2015x f （ D ） A ．x B.x
1
-
C.11+-x x
D.x x -+11
解析：x x x x x x x f x f 11
11111)11()(2-=++--+-=+-=，11
111
1)1()(3-+-=+---=-=x x x x x f x f ，
x x x x x x x f x f =+-+---+-
=-+-=11
11
11
)11()(4，)(11)(15x f x x x f =+-=，依次类推可知：
).()(4x f x f n n =+
所以1
1
)()(32015-+-
==x x x f x f ，故答案选.D 5． 化简
=-+)4
tan()4(
sin 42cos 2απ
απ
α
（ D ）
A.αcos
B.αsin
C.1
D.
2
1
解析：先考虑分母：α
ααπ
απαπtan 1tan 12)
22cos(14)4tan()4(sin 42+-?+-=-+ αααααααα2cos 2)sin (cos 2sin cos sin cos )2sin 1(222=-=+-?
+=，所以原式等于.2
1
6.已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ.若1||>-b a ，则θ的取值范围为（ C ） A.3
0π
θ<
≤ B.
2
3
π
θπ
≤
< C.
πθπ
≤<3
D.
πθπ
<<3
解析：Θ1||>-b a ，两边平方可得：122
2
>+?-，因为与均为单位向量，则
21cos <
θ，又因为],0[πθ∈，则πθπ
≤<3
，答案选C . 7．设)0,2
1
(-
∈x ，以下三个数παπαπα)1cos(),sin(cos ),cos(sin 321+===x x x 的大小关系是（ A ）
A.123ααα<<
B.231ααα<<
C.213ααα<<
D.132ααα<< 解析：法一：取特殊值4
1
-
=x ，则22cos 1=α，22sin 2=α，223-=α，
4
220π
<<
，则123ααα<<，答案选A . 法二：当)0,21(-
∈x 时，0,0,0321<>>ααα，)sin 2
sin(1x ππ
α+=，此时x ππ
sin 2+与x πcos 都属于区间)2,0(π，易知x x πππ
cos sin 2
>+，则21αα>.
8．若对任意的实数n m ,，有)1(log )1(log 2
32
33
3
n n m m n m -++-+≥+成立，则有（ B ）
A. 0≤+n m
B. 0≥+n m
C.0≤-n m
D.0≥-n m 解
析
：
因
为
)1(log )1(log )1(log )1(log 2323232333n n m m n n m m n m ++-++-=-++-+≥+，