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关于C1,C2,G1,G2连续的问题

关于C1,C2,G1,G2连续的问题

来自shaorachel的百度空间,谢谢她的解答

设计一条复杂曲线时,常常通过多段曲线组合而成,这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题。

曲线间连接的光滑度的度量有两种:一种是函数的可微性,把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢,即n阶连续可微,这类光滑度称之为C n或n阶参数连续性。另一种称为几何连续性,组合曲线在连接处满足不同于C n的某一组约束条件,称为具有n阶几何连续性,简记为G n。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾,C n连续包含在G n连续之中。下面我们来讨论两条曲线的

关于C1,C2,G1,G2连续的问题

若要求在结合处达到G0连续或C0连续,即两曲线在结合处位置连续:

P(1)=Q(0) (3.1.6)

若要求在结合处达到G1连续,就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下,并有公共的切矢:

关于C1,C2,G1,G2连续的问题

当a=1时,G1连续就成为C1连续。

若要求在结合处达到G2连续,就是说两条曲线在结合处在满足G1连续的条件下,并有公共的曲率矢:

关于C1,C2,G1,G2连续的问题

代入(3.1.7)得:

关于C1,C2,G1,G2连续的问题

这个关系式为:

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图3.1.7 两条曲线的连续性

我们已经看到,C1连续保证G1连续,C2连续能保证G2连续,但反过来不行。也就是说C n连续的条件比G n连续的条件要苛刻。

曲线光顺度量C0、C1、C2和G0、G1、G2的定义和区别

来自尧起纳海的新浪微博,同样感谢

曲线的光顺有两种不同的度量:

一种是多年沿用的函数曲线的可微性,组合参数曲线在连接处具有直到n阶的连续导矢,这类光顺性称之为Cn或n阶参数连续性(parametric continuity);另一种称为几何连续性(geometric continuity),组合曲线在连接处满足不同于Cn的某一组约束条件称之为具有n阶的几何连续性,简称为Gn。

由定义可知,参数连续性是与所取参数有关,而事实上,当样条曲线的控制顶点给定后,曲线的形状就完全确定下来了(如果是NUBRS,还要可以调整权值),随之,曲线连接的光顺性也就完全确定,它是与所取参数无关。同时实践表明,可微的参数曲线有可能是不光滑的,而光滑的曲线又可能是不可微的。人们从经验直觉中发现,两条曲线段相连接,只要在连接点处有相同的切线方向就认为是光滑的。而按照参数连续性来度量光顺性,还必须有相同的切矢模长才是C1连续的。因此,参数连续是对参数曲线连接光顺性的过分限制,是人为强加的限制,参数连续与参数的选取及具体的参数化有关,而形状的客观内在几何特征,如光顺性,是不依赖参数选取及具体参数化的。

正是由于参数连续性不能客观地准确度量参数曲线连接的光顺性,取而代之的就是视觉连续性。在汽车行业,有A级曲面概念,采用的符号也是G0、G1、G2。曲线:

C0与G0是一致的;

C1与G1是不一致的,G1表示具有公共单位切矢;

G2表示具有公共曲率矢。

曲面:

C0与G0是一致的;

C1与G1是不一致的,G1表示具有公共切平面;

G2表示在连接线处具有公共切平面,和公共的主曲率。