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线性代数第五章练习题

线性代数第五章练习题
线性代数第五章练习题

第五章练习题

一、 填空题

1. 设A 是n 阶矩阵,0A a =≠,*

A 是A 的伴随矩阵,E 是n 阶单位矩阵,若A 有特征值λ,则*2()A E +必有特征值 .

2. 设A 是3阶矩阵,它的特征值为2,-2,1,则224A A E +-的特征值

为 , 224A A E +-= . 3. 设 10102001,100,010*******A B C ????????????=-==??????????????????

,与A 相似的矩阵是 . 4. 设A ,B 都是3阶矩阵,满足E B AB +=,且A 的特征值为2,3,0,则B 的特征值是 .

5. 设A 是3阶矩阵, 且||A =0, 111,A =222A =, 334A =-, 则*A 的特征值是

*1λ= , *2

λ= , *3λ= . 6. 设A 是元素全为2的n 阶矩阵, 则A 的特征值是 .

二、计算与证明题

1. 已知三阶矩阵231303132A ????=??????

, (1)求A 的特征值和特征向量;

(2)求可逆矩阵P ,使得1P AP -为对角矩阵,并写出此对角矩阵.

2. 设A 为4阶实对称矩阵,()2r A =, 特征值122λλ==是A 的2重特征值,123(1,1,0,0),(1,1,2,0),(2,2,2,0)T T T

ααα===-是A 的属于特征值

122λλ==的特征向量.

(1) 求矩阵A 的另外两个特征值和特征向量;

(2) 求矩阵A .

3. 设3阶实对称矩阵100032023A ????=??????

(1) 求矩阵A 的特征值和特征向量;

(2) 求正交矩阵Q ,使得1Q AQ -=Λ(其中Λ是对角矩阵),并写出对角矩阵Λ;

(3) 多项式87()21G x x x =-+,求矩阵()G A .

4. 设A 是3阶实对称矩阵, 它的特征值是1, -1, -1, 且属于特征值1的特征向量是(1,0,1)T β=-

1) 求属于特征值-1的所有特征向量;

2) 求矩阵A ;

3) 求10A .

5. 设(1,2,3)T α=,11

(1,,)23

β=,A αβ=,求A 的特征值和特征向量.

6. 设A 是3阶实对称矩阵,特征值1232,6λλλ===,属于特征值122λλ==的特征向量为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα=-=-=-,求

1)属于特征值36λ=的特征向量;

2)矩阵A.

7. 设,A B 都是3阶实可逆矩阵, A 的特征值是123111,,,λλλ 这里123,,λλλ是互不相同的正

数, 若B 的特征值是-5, 1, 7, 12()6B A A -=-, 求123,,λλλ, 并写出与1,,A A B -相似的对

角矩阵.

8. 设A 是3阶实对称矩阵且38A E =,求2

32A A E +-的值.

9. 设A 是3阶实对称矩阵,特征值是2,2,3,属于特征值3的特征向量是1(1,1,1)T α=,求矩阵A .

10. 证明:若n 阶矩阵A 满足22E A A =+,则A 与对角矩阵相似.

11. 证明: 设A 为n 阶矩阵,则2A E =的充要条件是()()r A E r A E n ++-=.

12. 设矩阵A 与对角矩阵100020004??????????

相似, ()(2)(4)B A E A E A E =---, 求证 0B =. 13. 设矩阵1()T T A E X X X X -=-,其中E 是n 阶单位矩阵,X 是n m ?实矩阵,且

()()r X m m n =≤,求证存在正交矩阵Q ,使得10n m m E Q AQ --??= ??

?

,这里n m E -是n m -阶单位矩阵,0m 是m 阶零矩阵. 14. A 是n 阶矩阵且32A E =, 若222B A A E =-+,试证明:B 可逆,并求出1B -.

线性代数第五章(答案)

第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题(正确打√,错误打×) 1.若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6.若112???=n n n n x x A ,则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17.实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量,则将它们先正交化,再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1,这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20.已知A 为n 阶矩阵,x 为n 维列向量,如果A 不对称,则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22.二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ,总有正交变换Py x =,使f 化 为规范型。 ( × )

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分,共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项,则,12 i j = =。 令1,2i j ==,(12354)(13524)134τπ+=+=,取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ,则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子,所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵,5A =,则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知:1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性代数第五章 课后习题及解答

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1) ;1332??? ? ??-- 解:,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以,0)(1=-x A I λ的基础解系为:.)371,6(T - 因此,A 的属于1λ的所有特征向量为:).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以,0)(2=-x A I λ的基础解系为:.)371,6(T +

因此,A 的属于2λ的所有特征向量为:).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解:2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以,特征值为:11=λ(单根),22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以,0)(1=-x A I λ的基础解系为:.)1,1,0(T 因此,A 的属于1λ的所有特征向量为:).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以,0)(2=-x A I λ的基础解系为:.)0,1,1(T 因此,A 的属于2λ的所有特征向量为:).0()0,1,1(22≠k k T

昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

《线性代数B 》 2010~ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2. 设A 、B 为4阶方阵,且,2||1 =-A 813=B ,则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ,且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4.设??????????=210110001A ,则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5.已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示,则21,αα线性 相关 . 6.设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ,且1α,32αα,线性相关, 则=t 8 . 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ,???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8.设三阶方阵A 的每行元素之和均为零,又2)(=A R ,则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择

1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ; )B ( 2 ; )C ( 1 ; )D ( 0. 2.设C B A ,,均为二阶方阵,AC AB =,则当(C )时,可以推出C B =. .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) . )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关,则21,αα线性相关; )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似,则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解,则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解,其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η,???? ????????=+444432ηη, 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是( B ) )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6.若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则(A )

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0,1,1,2,则||A E λ-= 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值,则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ;||A = -2 ;A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值,则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵,||A d =,则*AA 的特征值是,,,d d d ???(共n 个) 二、选择题 1.设1λ,2λ为n 阶矩阵A 的特征值,1ξ,2ξ分别是A 的属于特征值1λ,2λ的特征向量,则( D ) (A )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (B )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必不成比例 (C )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (D )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值,则1 A -有一个特征值等于 ( C ) A 、2; B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的( B ) A 、充分条件; B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解:A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时,解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ,故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时,解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ,故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解:B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时,解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题(共5小题,每题2分,共计10分) 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中,2x 的系数为 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵,(),r A r B =是m 阶可逆矩阵,C 是m 阶不可逆矩阵,且 ()r C r <,则 ( ) (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值,且各自有n 个线性无关的特征向量,则( ) (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似,但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵,且AB BC CA E ===,其中E 为n 阶单位阵,则 222A B C ++= ( ) (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5.设1010,0203A B ???? == ? ????? ,则A B 与 ( ) (A)合同,且相似 (B)不合同,但相似 (C)合同,但不相似 (D )既不合同,又不相似

二、填空题(共 二、填空题(共10小题,每题 2分,共计 20 分) 1.已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠,则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2.设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ,若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3.已知β为n 维单位列向量, T β为β的转置,若T C ββ= ,则 2C = 。 4.设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量,则 12T αα= 。 5.设A 是四阶矩阵,A * 为其伴随矩阵,12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解,则()r A *= 。 6.向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7.已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解,则 λ= 。 8.已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===,则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9.设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10.二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

线性代数第五章答案

第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009-2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明:1、本试卷共6页,五个大题,满分100分,120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人:______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵,数2-=λ,3=A ,则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵,则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ,则=*A (A) a (B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … ( 密) … … … … … … … … … … … … ( 封 ) … … … …… … … … … … … … ( 线 ) … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ,则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-,它们的余子式分别为2,1,1-,则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ,则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解,21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系, 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(,则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数第五章习题

第五章 相似矩阵及二次型 一、判断题 1.线性无关的向量组必是正交向量组.( ) 2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( ) 4.若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 不一定等价.( ) 5.若n 阶矩阵A 有n 不同的特征值,则A 相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( ) 8.若n 阶矩阵A 和B 相似,则它们一定有相同的特征值.( ) 9.n 阶实对称矩阵A 的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A 是正定矩阵,则A 的特征值全为正.( ) 二、单项选择题 1. 设001010100A ?? ?= ? ??? ,则A 的特征值是( ). (A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2 2. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是( ). (A) 1200k k ==且 (B) 1200k k ≠≠且 (C) 120k k = (D) 1200k k ≠=且 3. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则( ). (A) A B = (B) ||||A B = (C) A 与B 相似 (D) A 与B 合同 4. 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是( ). (A) 1||n A λ- (B) 1||A λ- (C) ||A λ (D) ||n A λ 5. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量( ). (A)线性相关 (B)线性无关 (C)两两相交 (D)其和仍是特征向量 6. ||||A B =是n 阶矩阵A 与B 相似的( ). (A)充要条件 (B)充分而非必要条件

线性代数第五章作业参考答案(唐明)

第五章作业参考答案 5-2试证:()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基,并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明:要证123,,ααα 线性无关,即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解,即1230k k k ===,因此,123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ,2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ,由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ,2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ,求: (1 ),,,αβαγ 及,,αβγ 的范数;(2)与,,αβγ 都正交的所有向量。 解(1 ),1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = (2)设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =,则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-

线性代数课后习题

第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6 1T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由

????? ? ?-=312123111012421301402230) ,(B A ????? ??-------971820751610402230421301 ~r ????? ??------531400251552000751610421301 ~r ????? ? ?-----000000531400751610421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由 ?? ?? ? ??-????? ??---????? ??-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示. 4. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ; B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由 ??? ? ??-???? ??-???? ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B , 知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.

线性代数第五章课后习题

习题五 (A) 1. 求下列矩阵的特征值与特征向量: (1) 123213336?? ?= ? ???A ; (2) ()121,2,33?? ?= ? ??? A ; (3) 310410482?? ?=-- ? ?--??A ; (4) 563101121-?? ?=- ? ??? A . 2. 已知0是矩阵10102010t ?? ?= ? ??? A 的特征值,求参数t 以及A 的特征值和特征向量. 3. 已知2103??= ? ?? A ,问T 130(,)=x ,T 212(,)=x 是否是矩阵A 的特征向量,并说明理由. 4. 设2 32-+=0A A E ,证明A 的特征值只能是1或2. 5. 已知三阶矩阵A 的特征值为102,,-,求323-+A A E . 6. 证明n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 具有相同的特征值. 7. 设矩阵A 与Λ相似,其中 1241 242 1x --?? ?=-- ? ?--? ?A ,5 4y ?? ?= ? ?-? ? Λ. 求y x ,. 8. 设矩阵20131405x ?? ?= ? ??? A 可相似对角化,求x . 9. 设A 与B 都是n 阶矩阵,且0≠A ,证明矩阵AB 与矩阵BA 相似. 10. 试求一个可逆的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵: (1) 22225424 5-?? ?=- ? ?--? ?A ; (2) 2 202 1202 0-?? ? =-- ? ?-? ? A ; (3)3 242 0242 3?? ?= ? ??? A . (B) 1. 设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1321==-=λλλ,1λ对应的特征向量为T 1)1,1,0(=x ,求矩阵A . 2. 已知T 1)1,1,1(-=x 是矩阵2125312a b -?? ?= ? ?--?? A 的一个特征向量. (1) 试确定参数b a ,及特征向量1x 所对应的特征值; (2) 问矩阵A 能否相似于对角阵?说明理由. 3. 设A 是n 阶方阵,n 2,,4,2 是矩阵A 的n 个特征值,E 是n 阶单位阵,计算行列式3-A E .

线性代数第五章习题答案

思考题5-1 1. 1123123100,000=?+?+?=?+?+?a a a a 0a a a . 2.不一定。例如,对于123101,,012?????? ===???????????? a a a ,它们中的任两个都线性无关,但 是123,,a a a 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是2a 能由13,a a 线性表示,还可能是3a 能由12,a a 线性表示。 4. 不一定。例如,对于12121100,;,0012-???????? ====???????????????? a a b b 。12,a a 和12,b b 这两个 向量组都线性相关,但1122,++a b a b 却是线性无关的。 5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。 习题5-1 1.提示:用行列式做。 (1)线性无关。 (2)线性相关。. 2. 0k ≠且1k ≠。 3.证:1212,,,1,,,,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。 设[]12,,,,T n b b b =b 则1122.n n b b b =+++b e e e 4. 证法1:因为A 可逆,所以方程组=Ax b 有解。根据定理5-1,向量b 能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示,所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关. 证法2:通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。 5. .证: (1)因为A 的列向量组线性相关,所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解,设≠u 0是它的非零解,则.=Au 0 由=B PA ,得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解,所以B 的列向量组线性相关。 (2)若P 可逆,则1-=A P B 。由(1)的结论可知,B 的列向量组线性相关时,A 的列向量组也线性相关,所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。 注:该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。 6. 证:由A 可逆知,A 的列向量组线性无关。根据定理5-6,增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关.

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) (A )任意r 个列向量线性无关

(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解

第一章 行列式 4.计算下列各行列式: (1)???? ????? ???71 10 025********* 4; (2)????????????-26 52321121314 1 2; (3)????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ; (4)????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100 110011001---21ar r +d c b a ab 1 001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+

2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分

线性代数期末考试题及答案

(2011 至 2012学年 第__2_学期) 课程名称:线性代数A 考试时间:110分钟 课程代码:7100059试卷总分:100分 考试形式:闭卷 学生自带普通计算器: 否 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1、A 和B 均为n 阶矩阵,且222()2A B A AB B -=-+,则必有( ) A A E =; B B E =; C A B =. D AB BA =。 2、设A 是方阵,如有矩阵关系式AB=AC ,则必有( ) A. A =0B. B ≠C 时A=0C. A ≠0时B=CD. |A|≠0时B=C 3、设A 是s n ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( ) A.A 的行向量组线性无关 B.A 的列向量组线性无关 C.A 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关 4、若1x 是方程=AX B 的解,2x 是方程=AX O 的解,则()是方程=AX B 的解(c R ∈) A.12x cx + B. 12cx cx + C.12cx cx - D.12cx x + 5 、设矩阵A 的秩为r ,则A 中( ) A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1 阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为0 二、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知向量T )4,2,3,1(=α与T k k )2,3,1,(--=β正交,则=k _. 2、1 1101-?? ??? =. 3、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为. 4、如果21,X X 都是方程O X A n n =?的解,且21X X ≠,则=?n n A ; 5、设向量组123100130121T T T (,,),(,,),(,,)==-=-ααα线性 (填相关或无关)

历年自考线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.已知2阶行列式m b b a a =2 1 21, n c c b b =2 1 21,则 =++2 21 121c a c a b b ( B ) A .n m - B .m n - C .n m + D .)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+ = ++2 1 212 1 212 21 121. 2.设A , B , C 均为n 阶方阵,BA AB =,CA AC =,则=ABC ( D ) A .ACB B .CAB C .CBA D .BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(. 3.设A 为3阶方阵,B 为4阶方阵,且1||=A ,2||-=B ,则行列式||||A B 之值为( A ) A .8- B .2- C .2 D .8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B . 4.????? ??=3332 312322 21131211a a a a a a a a a A ,????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ,????? ??=100030001P ,??? ? ? ??=100013001Q ,则=B ( B ) A .PA B .AP C .QA D .AQ ????? ??=3332312322 211312 11a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333. 5.已知A 是一个43?矩阵,下列命题中正确的是( C ) A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩(A )=2 B .若A 中存在2阶子式不为0,则秩(A )=2 C .若秩(A )=2,则A 中所有3阶子式都为0 D .若秩(A )=2,则A 中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误..的是( C ) A .只含有1个零向量的向量组线性相关 B .由3个2维向量组成的向量组线性相关

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