高中数学函数单调性教案

课题：§1.3.1函数的单调性教学目的：

（1）通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（2）理解函数的单调性的定义及单调函数的图象特征；

（3）能够熟练应用定义判断函数在某一区间上的的单调性；

（4）通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力，用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质；同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看待问题.教学重点：函数单调性的定义及单调函数的图象特征．

教学难点：利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性．

教法与学法：启发式教学，充分发挥学生的主体作用．

教学用具：黑板、计算机多媒体、投影仪

教学过程：

一．情景引入：

1．在第23届奥运会上中国首次参加就获得15枚金牌，第24届奥运会中国获得5枚金牌，第25届和第26届奥运会中国都获得了16枚金牌，第27

届奥运会中国获得了28枚金牌，第28届奥运会中国获得了32枚金牌，第29届北京奥运会中国获得51枚金牌的好成绩. 画出散点图，由图象很清晰的可以看到，从1996年第26届奥运会开始，中国所获得的金牌数不断增加，这充分说明了我们祖国的繁荣富强也大大的促进了体育事业的飞速发展. 2．德国着名心理学家艾宾浩斯的研究数据：

将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是着名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线，你能得出什么规律呢（学生回答）

这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小. 第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢. 这一规律就提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆.

象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的. 观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的. 这就是我们今天要研究的函数的单调性.二．学习新课：

观察下列函数的图象,回答当自变量x的值增加时,函数值f(x)是如何变化的（学生回答）

（1）

f (x ) 随着增大,（2y (-∞,0]上当 x 增大时f (x )随着增大. 2x 在(-0,+∞)上是增

函数.

那么如何用数学语言来描述增函数与减函数呢

考察函数2 ()f x x =在（0,+∞)上任取x 1、x 2 ,则112 ()f x x =，

222 ()f x x =，对任意0

由此归纳出增函数的定义，类似地得出减函数的定义（学生讨论、回答）.

定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I:

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数.

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数.

分析定义可得：

（1）增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.

（2）x 1、x 2的三大特征：①属于同一区间；②任意性； ③有大小：通常规定x 1

根据定义判断：函数1()x f x =在(-∞,0)和(0，+∞)上都是减函数. 问：能否说函数1()x f x =在区间(-∞,0)∪(0，+∞)上也是减函数 答：不能. 因为不是对任意的x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x >.

反例如：－1<1，－1＝f (-1)< f (1)＝1. 如果函数y=f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f (x )在区间D 上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数f (x )的单调区间.

三．概念应用：

例1．如图是定义在闭区间[-5，5] 上的函数

函数是增函数还是减函数（学生活动）

解：函数y =f (x )的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].

其中y=f (x )在区间[-5, -2）,[1，3)上是减函数； 在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.

注意：（1）在书写时区间与区间之间用逗号隔开，不能用集合中的“∪”连接.

（2）因为孤立的点没有单调性，所以区间端点处若有定义写开写闭均可.

例2．证明函数()23f x x =-+在R 上是单调减函数.（学生分组讨论、分别演板展示）

证明：设x 1、x 2是R 上任意两个值，且12x x <，

则121211()()(23)(23)2()f x f x x x x x --=-+--+=-

∵1212, 0,x x x x <-<∴122()0x x -->∴

∴12()()0, f x f x ->即12()()f x f x >

∴函数()23f x x =-+在R 总结证明函数单调性的步骤：

1.设值:设任意x 1、x 2属于给定区间，且12x x <；

2.作差变形:差12()()f x f x -变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等；

3.判断差符号:确定12()()f x f x -的正负；

4.下结论:由定义得出函数的单调性. 四．课堂练习：

证明函数()k f x x =（k 为负的常数）在区间（0,+∞）上是增函数.（学生演练）

五．课堂小结

设值

作差变形

1.增函数、减函数的定义；

2.

图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函数的图象

从左到右下降.

3.（定义法）证明函数单调性的步骤: 六．布置作业

1.课本39页A 组第1、2、3题.

2.课下思考题：如何确定函数4

() , [1 , 5]f x x x x =+∈的单调区间，并证明你的

结论.

判断差符号 下结论

设值

高中数学《函数的单调性》教案

《函数的单调性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： 1、知识目标： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2、能力目标： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与

高一数学 函数单调性讲解

高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

高中数学必修一教案-函数的单调性

课题：§1.3.1函数的单调性 教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？ ○2能否看出函数的最大、最小值？ ○3函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学

（一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

高一数学函数的单调性知识点

高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比

高一数学教案：函数的单调性1(1)

《函数的单调性》说课稿 北大附中深圳南山分校：马立明 一、教材分析-----教学内容、地位和作用 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。总课时安排为3课时，《函数的单调性》是本节中的第一课时。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 按现行教材结构体系，该内容安排在学习了函数的现代定义及函数的三种表示方法之后，了解了在生活实践中函数关系的普遍性，另外学生已在初中学过一次函数、反比例函数、二次函数等初等函数。 在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势； 在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、学情分析 教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。 不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。 我所教授的班级的学生具体学情 具体到我们班级学生而言有以下特点：学生多才多艺，个性张扬，但学科成绩不很理想，参差不齐； 经受不住挫折，需要经常受到鼓励和安慰，否则就不能坚持不懈的学习；学习习惯不好，小动作较多，学习时注意力抗干扰能力不强，易被外界因素所影响，需要不断的引导；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。 三、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： (一)三维目标 1 知识与技能： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力； 2 过程与方法： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。。 （二）重点、难点 重点：函数单调性的概念: 为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：

高中数学函数的单调性

一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ） A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为（ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ） A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12．判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明．

总复习教案：函数的单调性与最值(学生版)

第三节 函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1， x 2 当x 1f (x 2) ，那么就说函 数f (x )在区间D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1x D ．y ＝x |x | 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2

3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x (1－x )的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.43 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m

高考数学专题：函数的单调性

高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`a 且0≤b 。 （年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性；

高一数学函数单调性的定义图象及应用

函数的单调性习题 一． 选择题： 1．函数1 1 --=x y 的单调区间是 （ ） ),.(+∞-∞A )0,.(-∞B ),1(),1,.(+∞-∞C ()+∞-∞,1)1,.(Y D 2．如果函数)(x f 在],[b a 上是增函数，那么对于任意的)(],,[,2121x x b a x x ≠∈，下列结论中不正确的是 （ ） 0) ()(. 2 121>--x x x f x f A 0)]()()[.(2121>--x f x f x x B )()()()(.21b f x f x f a f C <<< 0) ()(. 121 2>--x f x f x x D 3.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） ),3.[+∞-A ]3,.(--∞B ]5,.(-∞C ),3[+∞ 4．函数2 1 )(++= x ax x f 在区间),2(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） )21,0.(A ),1()1,.(+∞--∞Y B ),2 1 .(+∞C ),2.(+∞-D 5．函数)2(,2 3 -≠+=x x y 在区间]5,0[上的最大值、最小值分别是（ ） 0,73.A 0,23.B 73,23.C .D 最大值7 3 ，无最小值。 6．函数23)(2++=x x x f 在区间)5,5(+-上的最大值、最小值分别是（ ） 12,42.A 41,42.-B 41,12.-C D 最小值4 1 -，无最大值。 7．下列命题正确的是 （ ） A 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 B 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若有无穷多对),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 C 若)(x f 在区间1I 上为增函数，在区间2I 上也为增函数，那么)(x f 在21I I Y 上也一定为增函数， D 若在)(x f 区间I 上为增函数且),(),()(2121I x x x f x f ∈<，那么21x x <。 8.设),(),,(d c b a 都是)(x f 的单调增区间，且),(),,(21d c x b a x ∈∈21x x <，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系为 （ ） )()(.21x f x f A < )()(.21x f x f B > )()(.21x f x f C = D 不能确定 9．考察函数：①x y =；②x x y =；③x x y 2 -=；④x x x y +=。其中在)0,(-∞上 为增函数的有（ ） .A ①② B 。②③ C 。③④ .D ①④ 10.已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） ),1.[+∞A ]2,0.[B ]2,.(--∞C ]2,1.[D 二． 填空题： 1． 函数x y -=在),[+∞a 上是减函数，则a 的取值范围是 2． 函数x x y 1 2- =的单调递增区间是 3． 函数562+-=x x y 的单调增区间是 4． 已知函数)(x f 在区间),0(+∞上是减函数，那么)1(2+-a a f 与)4 3 (f 的大小关 系为 5． 函数245x x y --=的单调递增区间是

函数的单调性教案课程(优秀)

课题：函数的单调性 授课教师：王青 【教学目标】 1.知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用 函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性的方法，了解函数单调区间的概念。 2.过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法， 培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。 3.情感态度与价值观：在参与的过程中体验成功的喜悦，感受学习数学的乐趣。【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【使用教具】多媒体教学 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 1、下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题： (1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (3)哪些时段温度升高？哪些时段温度降低？ 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数1+=x y ，1+-=x y ，2)(x x f =的图象，并且思考 （1） 函数1+=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上) (x f 的值随x 的增大而_______ （2） 函数1+-=x y 的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上 )(x f 的值随x 的增大而_______ （3） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而增大 （4） 函数2)(x x f =在区间_____上，)(x f 的值随x 的增大而减小 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．抽象思维，形成概念 问题：你能用数学符号语言描述第（3）（4）题吗？ 任取2121),,0[,x x x x <+∞∈且,因为0))((21212 221<-+=-x x x x x x ,即2 221x x <，所以()()21x f x f > 任意的x 1，x 2∈（0-，∞），x 1 任意的x 1，x 2∈（0-，∞），x 1

2017高考一轮复习教案-函数的单调性与最值

第二节 函数的单调性与最值 1．函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义． 知识点一 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1f (x 2)，那么就说函数 f (x )在区间A 上是减少的 图象描述 自左向右看图象是逐渐上升的 自左向右看图象是逐渐下降的 2.单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间． 易误提醒 求函数单调区间的两个注意点： (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．

(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 必记结论 1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 >0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 <0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数． [自测练习] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________． 3．已知函数f (x )＝???? ? －x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．[－3，－2]

高中数学函数单调性的判断方法

高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；

高中数学教师资格面试函数的单调性教案

高中数学教师资格面试函数的单调性教案 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案： 函数的单调性 课题：函数的单调性 课时：一课时 课型：新授课 一、教学目标 1.知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念。 （2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。 2.过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。 （2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。 （3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。

3.情感态度价值观： 通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题。 二、教学重点 函数单调性的概念形成和初步运用。 三、教学难点 函数单调性的概念形成。 四、教学关键 通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。 五、教学过程 （一）创设情境，导入新课 教师活动：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律，描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数 学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x 在实数集变化时，y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增

高中数学必修一函数单调性练习题

函数单调性练习题 1、函数()x x f 1-=的增区间是_____ ___ 2、函数()x x f 2=的减区间是_____ ___ 3、函数()222+-=x x x f 的增区间是_____ ；减区间是_____ ___ 4、函数()228x x x f -+=的增区间是_____ ；减区间是_____ ___ 5、若函数b mx y +=在()+∞∞-,上是增函数，则 A ．0>b B ．0m D ．0f D ．增函数且()00>f 7、函数()1 1--=x x f 的单调区间是_____ 8、函数()322-+=x x x f 的增区间是_____ ；减区间是_____ ___ 9、函数()()215+-=x a x f 在R 上为增函数，则a 的取值范围是_____ 10、函数()x x f -=在[)+∞,a 上为减函数，则a 的取值范围是_____

11、函数()()2122+-+=x m x x f 在(]4,∞-上为减函数，则m 的取值范围是_ 12、函数()542+-=mx x x f 在[)+∞-,2上为增函数，则()1f 的取值范围是 A ．()251≥f B ．()251=f C ．()251≤f D ．()251

高一函数单调性教案

§2.2.1 函数的单调性 一、教学目标 1、通过对函数概念的认识，了解函数的单调性、单调区间的概念 2、使学生能用自己的语言来表述函数单调性的概念，并能根据函数的图象指出单调性，写出单调区间 3、运用函数的单调性定义来证明一些简单函数的单调性 二、课型：新课程 三、课时：（略） 四、教学工具与教学方法 使用多媒体辅助教学工具；采用自主学习、合作探究的教学方法。 五、教学重点 函数单调性的概念 六、教学难点 利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性 七、教学过程 （一）知识导入 第2.1.1节开头的第三问题中，气温θ是关于时间t 的函数，记)(t f =θ。观察这个气温变化图（如图所示），问： （1）从图中你能得出什么信息？ （2）说出在哪些时段内是逐渐升高的或下降的？ （3）怎样用数字语言刻画上述时段内“随时间的增加 气温逐渐升高”这一特征？ 讨论并与观察下例图象： -2 -1 引出：什么是函数的单调性？单调区间？ （二）定义 设)(x f y =的定义域为A ，区间A I ?。 如果对于区间I 内的任意两个值x x 2 1 ,，当x x 2 1 <时，都有 )()( 2 1 x x f f < 那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 c /θh t /o 14 4 9 24 12)^1(--=x y x y 1 y x o 1 2+=x y

若对于区间I 内的任意两个值x x 2 1 ,，当x x 2 1 <时，都有 )()( 2 1 x x f f > 那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 如果)(x f y =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数)(x f y =在区间I 上具有单调性；单调增区间和单调减区间统称为单调区间 （三）例题讲解 例1：画出下列函数图象，并写出单调区间： （1）22 +-=x y （2）)0(1 ≠= x x y 解：（1）函数图象如图（1）所示，单调曾区间为]0,(-∞，单调减区间为),0[+∞ （2）函数图象如图（2）所示，)0,(-∞和),0(+∞是两个单调区间 注：先让学生练习，然后再讲解 例2：求证：函数11 )(--=x x f 在区间)0,(-∞上是单调曾函数 证：设 x x 2 1 ,为区间)0,(-∞上的任意两个值，且x x 2 1 <，则 0,0212 1 ><-x x x x 因为 )11 ()11 ()()( 2 1 21----- =-x x x x f f x x 2 1 1 1 - = x x x x 2 1 21 -= 2 o x y (1) -1 1 -1 1 x y (2)

高一数学中函数的单调性4种求法

高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明： 1.定义法 例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。 解分析函数在R+上的单调性 任取x1>x2>0 Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2) =(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1) 令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0 因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1 当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的 同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的 故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3) 因此 a=根号3/3 一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。 2.图像法 例题求y=x+3/x-1的单调区间 解函数定义域为（-，1）并（1，+) Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1 由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。 函数的图像是解决这类问题的关键。 3.性质法 性质：增+增=增减+减=减

y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性 y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性 例题求y=x^3+x的单调区间。 解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。 由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R. 4.复合法 u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。 例题求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。 解令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u 当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增 当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减 Y=根号u递增 所以原函数的单调增区间为[1,+) 减区间为（-，-1]