2012高考数学热点集锦：函数性质的综合应用
函数性质的综合应用两年真题重温
2011?新课标全国理，12函数
1
1
y
x
=
-的图像与函数2sin
y x
π
=（24
x
-≤≤）的图像所有
交点的横坐标之和等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8 答案D
2010?新课标全国理，112010?新课标全国文，12
已知函数
|lg|,010,
()1
6,10.
2
x x
f x
x x
<≤
?
?
=?
-+>
?
?若,,
a b c互不相等，且()()(),
f a f b f c
==则a b c的取
值范围是
(A) (1,10)(B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)
最新考纲解读
1．函数与方程
①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．
②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．
2．函数模型及其应用
①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用．
③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==. ④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =. 2. 函数的单调性
1.函数单调性的定义：
（1）如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内是减函数.
（2）设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =在D 内是增函数；若()0
f x '<，则()y f x =在D 内是减函数.
2.单调性的定义（1）的等价形式：
设[]b a x x ,,21∈，那么
()()
()
x f x x x f x f ?>--02121在
[],a b 上是增函数； ()()()
x f x x x f x f ?<--02
121在
[],a b 上是减函数；
3.证明或判断函数单调性的方法：
(1)定义法：设元→作差→变形→判断符号→给出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和等形式，再结合变量的范围，假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断；
①满足条件
()()
f x a f b x -=-的函数的图象关于直线
2
a b x +=
对称.
②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；
(由分母为零确定)和直线
a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)
d a c c -； ⑧|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对
称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到.
5.常见的图象变换
特殊函数图象:
(1)函数
(0,)
ax b
cx d
y c ad bc
+
+
=≠≠
:可由反比例函数
(0)
k
y k
x
=≠
图象平移、伸缩得到.图1
示例.
（3）函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
一般地，对于不能使用公式求根的方程f(x)＝0，我们可以将它与函数y ＝f(x)联系起来，利用函数的图象、性质来求解．
方法技巧提炼
1.研究函数的性质要特别注意定义域优先原则
.
2. 函数的单调性
（1）定义法和导数法的选择
.
例2． 已知函数f （x ）＝
x
a
x x ++22
，),1[+∞∈x ．当a ＝21
时，求函数f （x ）的最小值.
答案10
解析由(2)(2)f x f x -=+，可知函数关于2x =对称，同理由(7)(7)f x f x -=+得到另外一条对称轴7x =，由结论①可知2(72)10T =-=.
点评此例利用函数的对称轴的相关结论，得到函数的周期，体现了利用结论解题的重要性. (3)若已知类似函数周期定义式的恒等式，如何确定函数的周期？由周期函数的定义，采用迭代法可得结论：
①函数()f x 满足()()f a x f x +=-，则()f x 是周期为2a 的函数；
②若
1()(0)
()
f x a a f x +=±
≠恒成立，则2T a =；
③若
()()
f x a f x a
+=-
，则2
T a
=；
④
1()
()
1()
f x
f x a
f x
-
+=-
+，则4
T a
=.
5. 如何转换含有绝对值的函数
点评此题通过去掉绝对值得到分段函数，利用图象进行判断.分类的标准对绝对值里面整体的
正负讨论.此题亦可利用基础函数
2
2y x x =-变换得到：首先翻折变换得到2
2y x x =-的图象，然后平移变换得到
2
2y x x c
=-+.
7.函数图象的主要应用
函数图象的主要应用非常广泛，常见的几个应用总结如下：
（1）利用函数图象可判断函数的奇偶性，求函数的单调区间、对称轴、周期等函数的性质；
答案：C
解析：由()()11f x f x -=+知()f x 是周期为2的偶函数，故当[]1,1x ∈-时，2
()f x x =，由周
期为2可以画出图象，结合
1
()10x
y =的图象可知，方程1
()()10x
f x =在100,3x ??∈??
??上有三个根，要注意在
103,3x ??
∈ ???内无解．
点评此例利用函数的性质画出函数的草图，通过数性结合思想，判断方程根的个数，即寻找
两个函数图象的交点个数.
8.函数零点的求解与判断
判断函数y ＝f (x )在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易
考场经验分享
(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．
(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
(3)一般我们只讨论函数的实数零点．
(4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．
5.本热点常常命制成压轴的选择题，故难度较大，需要较强的解题能力和知识综合应用能力.涉及的数学思想丰富多样，故基础性的学生不易花费过多的时间，能力不够可适当放弃.另外，如果以抽象函数为背景，可采用抽象问题具体化得思路进行求解.如果涉及到范围问题的确定，可选择特指进行代入验证的方法求解.
新题预测演练
[答案]B
(
(
( (D) {|21,}x x k k Z =+∈
[答案]B
为，画出两个函数的图象，在[1,3]-一个周期内，
.R P Q ∴>>
4.2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)
已知定义域为R 的函数()x f 是奇函数，当0≥x 时，()=x f |2
a x -|-2a ，且对∈x R ，恒有
()()x f x f ≥+1，则实数a 的取值范围为
A ．[0，2]
B ．[-21，21
] C ．[-1，
D ．[-2，0] 答案B
解析当0≥x 时，
答案C 解析设
11(,),(,),P x y Q x y ==1
(,3),(,0)26m n π
==∴，11111
(,3)(,)(,3),
22x m O P x y y ?=?=
(,)O Q m O P n x y =?+∴= ，11(,3)2x y +(,0)
6π，
1111,3,2,,
2
6
3
3x y
x y y x x y π
π
∴=
+
=∴=-=
又11sin ,sin(2),3sin(2),
3
3
3
y y x x y x π
π
=∴
=-
∴=-
显然当
sin(2)1
3
x π
-
=时，取得最大值
为3.
对于函数
()lg 21
f x x =-+，有如下三个命题：
① 3(03)y x x =-+≤≤； ②
(0)y x =≤； ③
1(0)
y x x
=-
>．
其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3 答案C
解析对于①，3(03)y x x =-+≤≤的图像是一条线段，记为,BB '如图（1）所示，从图中可
以看出：=BB B A AC '''==
=
>
∴ 在线
段B C '上一定存在两点B,C 使△ABC 为正三角形，故①满足Γ型曲
线；对于②，(0)y x =
≤≤
的图象是圆2
2
2x y +=在第二象限的部分，如图（2）所示，显然，无论点B 、C 在何处，△ABC 都不可能为正三角形，所以②不是Γ型
x
曲线。
对于③，
1(0)
y x x
=-
>表示双曲线在第四象限的一支，如图（3）
所示，显然，存在点B,C ，使△ABC 为正三角形，所以③满足； 综上，Γ型曲线的个数为2，故选
C.
A ．23log ,12?? ???
B ．()3log 2,1
C ．2,13?? ??
? D ．30,4??????
答案
C
数列，且30a <，则
12345()()()()()
f a f a f a f a f a ++++的值 A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0 D ．可正可负 答案C
11河南省南阳市2012届高中三年级期终质量评估
1
2.山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题
已知函数)(x f 是定义在),-(+∞∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有
)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)0
12()201
(f f +-的值为（ ）
A. -1
B. -2
C. 2
D. 1 答案：A
解析：∵对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+,∴函数)(x f 在(0,)+∞周期为2,
(2011)(2012)(2011)(2012)(1)(0)f f f f f f -+=-+=-+=(1)f -,
又2(1)log (11)1f =+=，∴(2011)(2012)1f f -+=-.
15.山东省枣庄市2012届高三上学期期末测试试题
定义在R上的函数
()x
f满足
()
()
()()
?
?
?
-
-
-
≤
-
=
x
x
f
x
f
x
x
x
f
,
2
1
,0
,
1
log
2
则
()8f的值为
A.-1
B.0
C.1
D.2 答案：A
解析：由题意可得，x>0时，
()()()
12
f x f x f x
=---
，
()()()
123
f x f x f x
-=---
，
∴
()()3
f x f x
=--
，
()
2
8(2)(1)(0)(1)(0)(1)log21
f f f f f f f
==-==--=-=-
.
16.山西省第二次四校联考
偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ，且在]1,0[∈x 时，1)(+-=x x f ，则关于x 的方程
)1lg()(+=x x f ，在]9,0[∈x 上解的个数是
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
答案C
且值域为(,1)-∞，函数f (x )的图象如图所示，故()f x k =有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是（0,1）．
19.河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学
①存在实数k ，使得方程恰有1个不同实根；②存在实数k ，使得方程恰有2个不同实根；③存在实数k ，使得方程恰有3个不同实根；④存在实数k ，使得方程恰有4个不同实根；其中假命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案：C
解析： 当0,(())(),x
x e
x f f x f e e ≥==当20,(())(2),x
x f f x f x e
-<=-=
当0,x
e
x y e ≥=是增函数，20,x
x y e -<=是减函数，由()[]0=+k x f f 得(()),f f x k =- 方程(())f f x k =-解的个数即y k =-与(())y f f x =的图像交点的个数，由图像得当1,k e ≤-≤有1个解；当k e -≥时，有2解。
22.2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷
设()f x 是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立. 如果实
数m n 、满足不等式组22
(623)(8)03f m m f n n m ?-++-
>?，那么22m n +的取值范围是
A.(3, 7)
B.(9, 25)
C.(13, 49) D . (9, 49)
答案：C
解析：由(1)(1)0f x f x -++=得(1)(1)f x f x -=-+，
O
x
y
e
1
-
k
专题一 函数图象与性质的综合应用
专题一 函数图象与性质的综合应用 (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( ) A ．y ＝x 3＋x B ．y ＝－log 2x C ．y ＝3x D ．y ＝－1 x 2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1 a ＋1 ，则 ( ) A ．a <1 2且a ≠－1 B ．－10 D ．－10f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ????43＋f ???? －43的值为________． 7．已知函数f (x )＝? ??? ? x 2＋x (x ≥0)，－x 2－x (x <0)， 则不等式f (x )＋2>0的解集是________． 8．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为 ___________．
2021届高考数学核按钮【新高考广东版】3.1 函数的概念及其表示
第三章函数的概念与基本初等函数Ⅰ 1.函数的概念与性质 (1)了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域． (2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． (3)了解简单的分段函数，并能简单应用． (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义． (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质． (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． (4)知道指数函数是一类重要的函数模型． 3.对数函数 (1)理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． (2)了解对数函数的概念，了解对数函数的单调性，了解对数函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型． (4)知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，且a≠1)． 4.幂函数 (1)了解幂函数的概念． (2)结合函数y＝x，y＝ 1 x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律． 5.函数与方程 (1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． (2)结合具体连续函数及其图象的特点，能够用二分法求相应方程的近似解． 6.函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等不同函数类型增长的含义． (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 3.1函数的概念及其表示 1.函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的． 2.函数的表示方法 (1)解析法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法． (2)图象法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法． (3)列表法：就是来表示两个变量之间的对应关系的方法． 3.构成函数的三要素 (1)函数的三要素是：，， . (2)两个函数相等：如果两个函数的相同，并且完全一致，则称这两个函数相等． 4.分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数． 5.补充几个常用概念
函数性质综合应用专题
函数及其性质专题 A 组题 1. 已知函数()133x x f x ?? =- ??? ，则()f x （ ） A. 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 是偶函数，且在R 上是增函数 C. 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】()()113333x x x x f x f x --?? ??-=-=-=- ? ??? ??，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13x y ??= ??? 是减函数，根据增函数?减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 2.函数33()11f x x x =++-，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ） A ．(,())a f a -- B ．(,())a f a - C ．(,())a f a - D ．(,())a f a --- 【解析】可验证函数()f x 满足()()f x f x -=，()f x 是偶函数，故选B . 3.已知函数21,0 ()cos ,0x x f x x x ?+>=?? ≤，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为[)1,-+∞ 【解析】当0x ≤时，()cos [1,1]f x x =∈-，当0x >时，),1(1)(2+∞∈+=x x f ，故选.D 4.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是（ ） A ．增函数且最小值是-5 B ．增函数且最大值是-5 C ．减函数且最大值是-5 D ．减函数且最小值是-5 【解析】奇函数图像关于原点对称，故由题()f x 在[7,3]--上递增，故在[7,3]--上， m i n ()( 7)(7)5f x f f =-=-=-，故选.A 5.若函数()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1,(2)2f f ==，则(3)(4)f f -=( ) A.1- B.1 C. 2- D. 2 【解析】因为函数()f x 是R 上周期为5的奇函数，所以(3)(4)(2)(1)(1)f(2) 1.f f f f f -=---=-=-故选.A 6.函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【解析】当,x k k Z π≠∈时，()()f x f x -=且()lg |sin()|lg |sin |()f x x x f x ππ+=+==，故选.C 7. 已知函数f (x )恒满足()(2)f x f x =-，且当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f 1 ()2 - ，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系( )
高中数学函数概念
函数 1、 函数的概念 定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、 函数图象 定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零； 偶次根式下的数或式大于等于零； 实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．
高考数学函数及其性质练习题
函数及其性质 一、填空题 （2016·12）已知函数()() f x x∈R满足()2() f x f x -=-，若函数 1 x y x + =与() y f x =图像的交点为 11 (,) x y，22 (,) x y，…，(,) m m x y，则 1 () m i i i x y = += ∑（） A．0 B．m C．2m D．4m （2015·5）设函数2 1 1log(2)(1) () 2(1) x x x f x x - +-< ? =? ≥ ? ，则 2 (2)(l og12) f f -+=（）A．3 B．6 C．9 D．12 （2015·10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（） A．B．C．D． （2013·8）设 3 log6 a=， 5 log10 b=， 7 log14 c=，则（） A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >> （2013·10）已知函数32 () f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（） A. 00 ,()0 x f x ?∈= R B.函数() y f x =的图像是中心对称图形 C.若 x是() f x的极小值点，则() f x在区间 (,) x -∞单调递减 D.若 x是() f x的极值点，则 ()0 f x'= （2012·10）已知函数 x x x f - + = )1 ln( 1 ) (，则) (x f y=的图像大致为（） A. B. C. D. （2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞ （0，）单调递增的函数是（） A．3 y x =B．||1 y x =+C．21 y x =-+D．|| 2x y- = （2011·12）函数 1 1 y x = - 的图像与函数2sin,(24) y x x π =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（） 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o
高考数学一轮复习： 专题2.6 函数性质综合运用(练)
专题2.6 函数性质综合运用 1. 【山东改编，理10】已知当时，函数的图象与的图象 有且只有一个交点，则正实数的取值范围是 【答案】 2. 【天津改编，理6】已知奇函数在R 上是增函数， .若， ，，则a ，b ，c 的大小关系为 【答案】 【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，， 从而是上的偶函数，且在上是增函数， ， ，又，则，所以即， ， 所以． 3. 【课标3，理15】设函数则满足的x 的取值范围是 _________. 【答案】 []0,1x ∈()2 1y mx = -y m = m (] [)0,13, +∞()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =b a c <<()f x R 0x >()0f x >()()g x xf x =R [0,)+∞22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8 202 log 5.13<<<0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <?，，，， 1 ()()12f x f x +->1,4?? - +∞ ???
4. 【北京，理13】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的 一组整数a，b，c的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）
5. 【山东，理15】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单 调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 . ① ② ③ ④ 【答案】①④ 6. 【北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、 纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名 工人下 午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3. ①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________. ()x e f x 2.71828e =()f x ()f x M M ()2x f x -=()3x f x -=()3f x x =()22f x x = +
高考理科数学专题二 函数概念与基本初等函数 第三讲函数的概念和性质
专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第三讲 函数的概念和性质 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)函数2 ()--=x x e e f x x 的图像大致为 2．(2018全国卷Ⅲ)函数4 2 2y x x =-++的图像大致为 3．(2018浙江)函数|| 2sin 2x y x =的图象可能是
A ． B ． C ． D ． 4．(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ． 若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f f A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 5．（2017新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 6．（2017浙江）若函数2 ()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m - A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关 7．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =， 则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a << 8．（2017北京）已知函数1()3()3 x x f x =-，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数 9．(2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3 ()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时， ()()f x f x -=-；当12x > 时，11 ()()22 f x f x +=-，则f (6)=
函数性质综合运用(讲义)
函数性质综合运用（讲义） ?课前预习 1.填空： ①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应 两个函数图象的__________________；方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________． 特别地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标．当?＞0时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当?=0时，与x轴有_____个交点；当?＜0时，与x轴______交点． ②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________． 2.借助二次函数图象，数形结合回答下列问题： ①当a＞0时，抛物线开口_____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x 的增大而增大；该二次函数有最____值，是_______； ②当a＜0时，抛物线开口____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的 增大而增大；该二次函数有最___值，是______． ③已知二次函数y=x2+2x-3．当-5＜x＜3时，y的取值范围为__________；当 1＜x≤5时，y的取值范围为__________． 注：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为 2 4 () 24 b a c b a a --，． ?知识点睛
a b c k ???? ?? ????? ?????? ???????①坐标代入表达式，得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断，，，等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围 ③图象平移：左加右减，上加下减 将方程、不等式转化为函数，函数与方程、不等式数形结合，借助图象分析 ?????????????????? ??????????????? ?? 第一步：设坐标 利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步：坐标相减竖直线段：纵坐标相减，上减下水平线段：横坐标相减，右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似，利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ? 精讲精练 1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示． y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2．由表可知，正确的说法有______个． 2. 已知二次函数y =(x -h )2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况 下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ．5或1 B ．-1或5 C ．1或-3 D ．1或3 3. 已知二次函数y =ax 2-bx -2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)， 当a -b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12 D ． 14或34 4. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称 轴为直线x =2．给出下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④
《一次函数的性质及运用》专题练习(含答案)
《一次函数的性质及运用》专题练习 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列图像中，表示y 是x 的函数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列函数中自变量的取值范围选取错误的是 ( ) A ．y ＝x 2中x 取全体实数 B ．y ＝11x -中x ≠0 C ．y ＝11 x +中x ≠－1 D ．y x ≥1 3．某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x 升，如果每升汽油2.6元，则油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系是 ( ) A ．y ＝2.6x(0≤x ≤20) B ．y ＝2.6x ＋26(0
高中数学：函数的概念及其表示
高中数学：函数的概念及其表示 1．函数与映射的概念 2．函数的三要素 函数由________、________和对应关系三个要素构成，在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的________；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的________． 3. 函数的表示法 函数的常用表示方法有：________、________、________． 4．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 常用结论 1．常见函数定义域： (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (5)y ＝tan x 的定义域为???? ??xx ∈R 且x ＝k π＋π 2，k ∈Z . 2．基本初等函数的值域： (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为??? ?4ac －b 2 4a ，＋∞；当a <0时，值 域为? ??? －∞，4ac －b 2 4a .
(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . 题组一 常识题 1．[教材改编] 以下属于函数的有________．(填序号) ①y ＝±x ；②y 2＝x －1；③y ＝x －2＋1－x ； ④y ＝x 2－2(x ∈N )． 2．[教材改编] 已知函数f (x )＝? ????ln x －2，x >0， x ＋a ，x ≤0，若f [f (e)]＝2a ，则实数a ＝________． 3．[教材改编] 函数f (x )＝ 8－x x ＋3 的定义域是________． 题组二 常错题 ◆ 索引：函数概念理解不透彻；分段函数解不等式忘记范围；换元法求解析式，反解忽视范围；函数值域理解不透彻． 4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________． ①f ：x →y ＝12x; ②f ：x →y ＝1 3x ； ③f ：x →y ＝2 3 x; ④f ：x →y ＝x . 5．设函数f (x )＝???（x ＋1）2 ，x <1， 4－x －1，x ≥1， 则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为 ______________． 6．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________． 7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 题组三 常考题 8．[2015·重庆卷改编] 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 9．[2015·全国卷Ⅱ改编] 函数f (x )＝? ????1＋log 3（3－x ），x <1，x 2＋2，x ≥1，则f (－6)＋f (2)＝________. 探究点一 函数的定义域 考向1 求给定函数解析式的定义域
函数图象与性质的综合应用
《函数图象与性质的综合应用》教学设计 一、内容及其解析 1．内容：函数图象与性质的综合应用。 2．解析： （1）函数图象是高考的必考内容，其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容。 （2）函数的性质是高考的必考内容，它是函数知识的核心部分．函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等，在历年的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位。 (3)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质。 二、目标及其解析 1.目标：（1）能根据要求作图、识图、用图，（2） 会用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题。 2.解析： （1）作图一般有两种方法：描点法、图象变换法．特别是图象变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律；识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起足够的重视；用图，主要是数形结合思想的应用。 （2）利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题，其实是考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题，特别是函数的最值问题，它是高考中的重要题型之一，所以要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧，灵活、准确地列出函数模型。 三、问题与例题 问题1：函数有哪些性质，用这些性质可以解决哪些数学问题？ 题型一 函数求值 例1 已知f (x )＝????? 2t x (x <2)，log t (x 2－1) (x ≥2)， 若f (2)＝1，则f [f (5)]＝________. 设计意图：求解分段函数的函数值应注意验证自变量的取值范围．易错点是忽视自变量取值范围的限制。 变式训练1 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 009)＋f (－2 010)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 题型二 函数与不等式
高考数学函数的基本性质
第二节 函数的基本性质 高考试题 考点一 函数的单调性 1.(2012年山东卷,理3)设a>0且a ≠1,则“函数f(x)=a x 在R 上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x 3 在R 上是增函数”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:若函数f(x)=a x 在R 上为减函数,则有0 一、选择题 1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x | C ．y ＝x 12 D ．y ＝x 3 2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ????20152等于( ) A.3＋1 B.3－1 C ．－3－1 D ．－3＋1 3．(2016·西安模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ????13 C ．{x |x <0或x >4} D ．{x |0 高考数学 函数及其性质 1．函数f (x )＝ －x 2＋9x ＋10－ 2 ln (x －1) 的定义域为( ) A ．[1,10] B ．[1,2)∪(2,10] C ．(1,10] D ．(1,2)∪(2,10] D [要使原函数有意义，则??? －x 2＋9x ＋10≥0， x －1＞0， x －1≠1， 解得1＜x ≤10且x ≠2， 所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．] 2．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1] C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞) A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 3．设f (x )－x 2＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( ) A ．x 3 B ．cos x C ．1＋x D ．x e x B [由题意知，两个偶函数差是偶函数，因此只要g (x )为偶函数即可，由选项可知，只有选项B 的函数为偶函数，故选B.] 4．(2019·济宁调研)函数f (x )＝lg 12(x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) D [由复合函数的单调性，要使f (x )单调递增，需??? x 2 －4>0， x <0， 解得x <－2. 故选D.] 5．已知函数f (x )＝??? 2cos πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f ? ???? 43的值为( ) A ．－1 B ．1 C.32 D.5 2 B [依题意得f ? ????43＝f ? ????13＋1＝f ? ????－23＋1＋1＝2cos ? ????－2π3＋2＝2×? ?? ?? －12＋2 1、不等式)2(log log )1()32()1(->---x x x x 成立的一个充分不必要条件是 （ ） （A ）2>x （B ）4>x （C ）21< 函数的基本性质 知识梳理 1) 函数的单调性 ①定义及判定方法 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减 去一个增函数为减函数． ③对于复合函数y f[g(x)]，令u g(x)，若y f(u)为增，u g(x)为增，则y f [ g(x)]为增；若y f(u)为减，u g(x)为减， 则y f[g(x)]为增；若y f(u)为增，u g(x)为减，则y f[g(x)]为 减；若 y f （u ）为减， u g （x ）为增，则 y f [ g （x ）]为减． f （x ） （2）打“√”函数 a x (a 0) x 的图象与性质 y f(x) 分别在 ( , a]、 [ a, ） 上为增函数，分别在 [ a,0) 、 (0, a] 上为减函数． （3）最大（小）值定义 o x ①一般地，设函数 y f （x ） 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满 足：（1 ）对于任意的 x I ，都有 f （x ） M ； （2）存在 x 0 I ，使得 f （x 0） M ．那么，我们称 M 是函数 f （x ） 的最大值，记作 f max （x ） M ②一般地，设函数 y f （x ） 的定义域为 I ，如果存在实数 m 满足：（1）对于任意的 x I ，都有 f （x ） m （ 2）存在 x 0 I ，使得 f （x 0） m ．那么，我们称 m 是函数 f （x ） 的最小值，记作 f max （x ） m ． 2）函数的奇偶性 ①定义及判定方法 ②若函数 f （x ） 为奇函数，且在 x 0处有定义，则 f （0） 0 ． ③ 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④ 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或奇函数） 的积函数的性质综合应用
高考数学 函数及其性质
函数性质综合应用1
高考数学-函数的基本性质