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高等数学练习题1

练 习 1

1、下列函数中哪一个是微分方程02=-xdx dy 的解( )

A. x y 2=

B. 2x y =

C. x y 2-=

D. 2x y -= 2. 设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ,则两平面的夹角为( ) A.

6π B. 4π C. 3π D. 2

π

3. 设223y xy x z ++=,则()

=??2,1x

z

( )

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9 4. 交换积分次序后dy y x f dx x

?

?1

10

),(=( )

A.

dx y x f dy ?

?1

10

),( B.

dx y x f dy x

?

?1

1),(

C.

dx y x f dy y

??

1

1

),( D.

dx y x f dy y

??

1

),(

5. 若p 级数

∑∞

=11

n p

n

收敛,则( ) A. p 1< B. 1≤p C. 1>p D. 1≥p 6.

dv z ???

Ω

2

在柱面坐标下化为三次积分为( ),其中Ω为2222R z y x ≤++ 的上半球体. A .dz z d d R R ???

20

20

ρρθπ

B .dz z d d r

R ???0

20

20

ρρθπ

C .

dz z d d r R R

?

??

-2

20

2

020

ρθπ

D .dz z d d r R R

?

??-2

20

20

20

ρρθπ

7. 设→

→→

→+=-+=k i b k j i a λ2,4,且→

⊥b a ,则=λ_____ .

8. 平行于xoy 面且过点)2,1,3(--的平面方程是_ _. 9. 二元函数中偏导数存在是全微分存在的__ 条件. 10. 函数xy

e z =的全微分为_____________. 11.二重积分

??=D

d σ___________其中1:2

2≤+y x D . 12.化二次积分dx y x dy y a a

?

?-+2

20

220

)(为极坐标形式___ ____.

13. 若级数

1

n

n u

=∑收敛,则lim n n u →∞

=__ __.

14. 部分和数列}{n S 有界是正项级数

∑∞

=1

n n

u

收敛的 条件.

15. 级数

()∑∞

=+-1

131n n

n (填“绝对收敛”

、“条件收敛”、“发散”) 16. 已知L 是连接)1,0(,)0,1(两点的直线段,则

=+?

ds y x L

)( .

17. 求044=+'+''y y y 的通解.

18. 求极限

x xy y x )

sin(lim

)2,0(),(→.

19. 设(

)

xy y x f z ,2

2

-=,其中函数f 具有二阶连续的偏导数,求x z ??,y

x z

???2.

20. 求二重积分??

≤++=

4

222

2

y x y x dxdy e I 的值.

21. 计算三重积分:

zdxdydz Ω

???,其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域.

22. 计算曲面积分

xdydz+ydzdx+zdxdy ∑

?? ,其中∑是界于0z =和3z =之间

的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧.

23. 验证曲线积分

?

-++)

3,2()

1,1()()(dy y x dx y x 在整个xoy 面上与路径选取无关,

并计算积分值.

24. 求幂级数

∑∞

=-1

1

n n nx

的收敛域及和函数.

25. 某工厂生产两种型号的机床,产量分别为x 台和y 台.成本函数为

xy y x y x c -+=222),(.经过市场调查分析,共需两种机床8台,求如何

安排生产使总成本最少?最小成本为多少?(要求用拉格朗日乘数法) 26. 当轮船的前进速度为0v 时,推进器停止工作,已知受水的阻力与船速的平方

成正比(比例系数为mk ,其中0>k 为常数,而m 为船的质量).问经过多少时间,船的速度减为原速度的一半?

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