当前位置：文档库 › 分割等边三角形

分割等边三角形

课题由来

前不久我参加了一次说课比赛，得以对分割等腰三角形进行研究，从而深刻认识到有四种特定的等腰三角形能够分割成两个等腰三角形，且其中的三种等腰三角形能够分割成任意多个等腰三角形。由此我产生了这样一个问题：等边三角形作为一个特殊的等腰三角形，它能否分割成多个等腰三角形？有无特殊之处？

一、等边三角形能否分割成两个等腰三角形？

等边三角形ABC 的每个内角都为60°，以

分割∠BAC 为例，由于∠CAD<60°，根据三角

形内角和定理可知∠ADC>60°，在⊿ABC 中，

由∠ADC>∠C>∠CAD 得到AC>AD >CD ，因此⊿ADC 不是等腰三角形，同理⊿ADB 也不是等腰三角形。这说明等边三角形不能分割成两个等腰三角形。确切地说，等边三角形分割成两个三角形时，任何一个三角形都不为等腰三角形。

二、等边三角形能否分割成三个等腰三角形？

思路一：先将等边三角形分割成两个三角形，再将其中的一个三角形分割成两个三角形。因为等边三角形分割成两个三角形时，任何一个三角形都不为等腰三角形，所以这不可行。

思路二：先将等边三角形分割成一个三角形和一个四边形，再将四边形形分割成两个三角形。在AB 边上取点D ，作直线DE 交AC 边于点E ，由于∠A=60°，为使⊿ADE 是等腰三角形，即确保⊿ADE

是等边三角形，所以，所作的直线DE须平行

于BC。此时，四边形BDEC是一个等腰梯形。

要将它分割成两个三角形必须联结对角线，联

结CD、BE情况相同，以联结CD为例，在⊿BCD中，由∠BDC>∠B>∠BC D得到BC>CD>BD，因此⊿BCD不是等腰三角形，所以这个思路也不可行。

思路三：不在一直线上的三点共圆。等边

三角形三边的中垂线交于三角形内一点，根据

中垂线定理，将该点分别与三个顶点联结即可

得到三个等腰三角形。此种分割法为锐角三角

形的共性，等边三角形的特殊性只在于所分割

的三个等腰三角形都是全等形。

综上所述，等边三角形能够分割成三个等腰三角形，分割方法仅此一种。

三、等边三角形能否分割成四个等腰三角形？

思路一：三角形的三条中位线将三角形分

割成四个全等的三角形。根据三角形的中位线定理，等边三角形的三条中位线将这个等边三角形分割成四个全等的等边三角形。而等腰三角形的三条中位线也可将这个等腰三角形分割成四个全等的等腰三角形。

思路二：先将等边三角形分割成一个等腰

三角形和一个四边形，再将四边形形分割成三个等腰三角形。在AB 边上取点D ，过点D 作直线DE ∥BC 交AC 于点E ，由此得到等边三角形ADE 和等腰梯形BDEC 。将等腰梯形BDEC 分割成三个等腰三角形按分割角和分割边两大类进行讨论。在按分割角的讨论中联结对角线CD 属于先将等边三角形分割成两个等腰三角形问题，在思路三中叙述。

（一）分割角按分割∠BDE 和∠DBC 进行讨论。

分割∠BDE 有两种情况：DF 交CE 于点F

（见图1-1）和DF 交CB 于点F （见图1-2）。

图1-1中，由于四边形BDFC 有两个角为60°，联结BF(或CD)无法使含60°角的三角形是个

等边三角形。图1-2中，为使⊿ADE 是等边三

角形，过点D 作直线DF ∥AC 交BC 于点F ，

则∠FDE=60°，∠C FD=∠CED=120°。联结EF ，

要使⊿DEF 和⊿CEF 都是等边三角形则需D 、

E 、

F 都是三边的中点，此种情况同思路一。

联结CD ，要使⊿FDC 和⊿EDC 都是等腰三角形则需∠AC D=∠BCD=30°，此时，D 、E 、F 也都是三边的中点，此种情况为一条中线、两条中位线将等边三角形分割成四个等腰三角形，实则是等边三角形的一条中线将等边三角形分割成两个直角三角形，直角三角形运用斜边上的中线再分割成两个等腰三角形。这种分割法也适用于将一个等腰三角形分割成四个等腰三角形。图1-1

图1-2

分割∠DBC 也有两种情况：BF 交EC 于

点F （见图2-1）和BF 交ED 于点F （见图2-2）。

图2-1中，由于含60°角⊿BCF 不可能是等边

三角形，因此这种分割不可行。图2-2中，为

使⊿DBE 是等腰三角形，则需BF 平分∠ABC 。

联结BE 不可行；联结CF ，使⊿EFC 是等腰三

角形，也需CF 平分∠ACB ，此时由等角对等

边可知⊿FBC 也是个等腰三角形。所以过等边

三角形两内角的平分线的交点作这两角的夹边的平行线可将等边三角形分割成四个等腰三角形。这种分割法也适用于将一个等腰三角形分割成四个等腰三角形。

（二）分割边按分割一组邻边和对边进行讨论。

分割一组邻边将等腰梯形分割成一个三角

形和一个五边形，而五边形无法分割成两个三

角形。分割一组对边将等腰梯形分割成两个四

边形，而两个四边形无法分割成三个三角形。

因此这类分割不可行。

思路三：先将等边三角形分割成两个三角形，再分别将这两个三角形分割成两个等腰三角形。

那么，怎样的三角形能够分割成两个等腰三角形呢？在⊿ABC 中，以分割∠A 为例，设∠B 的度数为x 。为使⊿ABD 是等腰三角形，有三种情况，见图3-1、图3-2和图3-3。

图2-1

图2-2

其中图3-1中，要使⊿ACD 是等腰三角形，又有细分三种情况，见图3-11、图3-12和图3-13。图3-11中，∠B AC=3∠B ；图3-12中，

∠C=2∠B ，且∠B AC>∠B ；图3-13中，∠B AC=∠B +∠C=90°。

其中图3-2中，要使⊿ACD 是等腰三角形，又有细分三种情况，见图3-21、图3-22和图3-23。图3-21中和图3-22中，⊿ABD 的内

角和度数为2x+y=180，而⊿ACD 的内角和度数为2x+2y+z=180，两式相减得y+z=0，与题设有矛盾。图3-23中，⊿ACD 的内角和度数为x+y+2z=180，两式相减得x=2z ，即∠B =2∠C ，且∠B AC>∠C ，其结论同图3-12得出的结论。 x D

C B A

x y x 2x

图

3-11 x B 图3-12 x 2x A y 2x

C D

B 图3-13 x 2x A y C

2x D z z z z 图3-1 C 图3-2 C

图3-3 x D

C B A

x y x x+y

图3-21 x B 图3-22 x x+y A y x+y

C D

B 图3-23 x x+y A y C

x+y D z z z z

（1）（2）（3）（4）其中图3-3中，要使⊿ACD是等腰三角形，又有细分三种情况，见图3-31、图3-32和图3-33。图3-21中和图3-22中，⊿ABD的内角和度数为x+2y=180，而⊿ACD的内角和度数为2x+2y+z=180，两式相减得x+z=0，与题设有矛盾。图3-23中，⊿ACD的内角和度数为x+y+2z=180，两式相减得y=2z，即∠BAC=3∠C其结论同图3-11得出的结论。

综上所述，如下三种三角形能分割成两个等腰三角形：1、三个内角中存在三倍角关系的三角形；2、三个内角中存在两倍角关系，且单倍角最小的三角形；3、直角三角形。分割方法分别为：1、存在三倍角关系的三角形，三倍角分割；2、存在两倍角关系的三角形，将第三角分割；3、直角三角形，将直角分割。

在掌握怎样的三角形能够分割成两个等腰三角形下，可以快速判断特定三角形能否分割成两个等腰三角形，怎么去分割；也可用来归纳四种等腰三角形可以分割成两个等腰三角形。

①90°、45°、45°等腰直角三角形

D C

x x+y

图3-31

图3-32

y x+y

x+y

图3-33

y x+y

x+y

②36°、72°、72°

③108°、36°、36°

④180°/7、540°/7、540°/7

下面回到思路三，除了根据等边三角形的轴对称性将等边三角形分割成两个直角三角形，再将直角三角形运用斜边上的中线再分割成两个等腰三角形外，是否还有其它分割方法呢？

通过分析，将∠B AC 分出20°，

使⊿ABD 成为三个内角中存在三倍

角关系的三角形，由三角形外角定理

得∠ADC=80°，得到⊿ACD 是三个

内角中存在两倍角关系，且单倍角最

小的三角形。这样，等边三角形也能

分割成四个各不相同的等腰三角形。这是等腰三角形不具有的分割法。

综上所述，等边三角形能够分割成四个等腰三角形，分割方法共有四种。

含36°的等腰三角形

A C

最全面的三角形面积公式

最全面的三角形面积公式一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ，则三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ，内切圆半径为r ，则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ，外接圆半径为R ，则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中，向量 OA a =uu r r ，OB b =u u u r r ，则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三顶点坐标分别为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。

特别地，当(0,0)C ，或经过平移后(0,0)C ，此时，三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦（Heran ）公式，已知△ABC 中，1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++，则三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ，则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值

相似三角形全讲义(教师版)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

三角形面积公式教学设计(供参考)

三角形面积教学设计教学内容：人教版五年级上册84----85页教材分析：三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。教学目标：1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式，理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。 2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。 3、理解三角形的面积与形状无关，与底和高有关，会运用面积公式求三角形面积。 4、引导学生积极探索解决问题的策略，发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力，并培养学生的创新意识。教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。教学难点：理解三角形面积的推导过程。教法与学法：教法：演示讲解、指导实践。学法：小组合作、动手操作。教学准备：三角形卡片、多媒体课件教学过程：一、情境引入师：同学们，我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾，高高兴兴地来到学校学习新的知识，那你知道做一条红领巾需要多少布料呢？（不知道）我们佩戴的红领巾是什么形状的？（三角形），怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就一起来研究三角形的计算方法（板书课题） [设计意图]通过情境的创设，给学生提供现实的问题情境，使学生产生解决问题的欲望，积极主动地参与到学习活动之中。二、探究新知 1、复习平行四边形面积的求法师：回忆一下，平行四边形面积计算公式是什么？是怎么推导的？

等腰三角形典型例题

等腰三角形 1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q．（1）求证：．（2）求的度数．（3）求证：．【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到．（1）证明：和都是等边三角形，，，，，即．在和中， ≌，．

（2）由（1）知，≌，．，即．（3）在和中， ≌，，．又，，即，．【点拨】（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等．（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等． 2．如图，在中,，，的平分线AM的长15，求BC的长．【分析】由AM平分，，可得，，

则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长．解：在中，，，． AM平分，，，．在中，，．【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法． 3．如图，，，，．求证：．【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明．证明：延长CE、BA交于点F．，．在和中， ≌，

，即．，．在和中， ≌，，．【点拨】（1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系．（2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线． 4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G．求证：DG=GE．【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论．证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）． ∴∠DFB=∠ACB．又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． ∴∠B=∠DFB． ∴DB=DF．

相似三角形及黄金分割

相似三角形知识点一、☆内容提要 1、比例的有关性质： ()b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++===ΛΛΛΛ等比性质：0 的比例中项是c a b c a b c b b a ,2??=?= 应用变形: 已知 d c c b a a d c b a +=+=:,求证，d kd c b kb a ±= ±。证明:（1）∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c c b a a += + （2）d c b a =Θ k d c k b a ±=±∴ d kd c b kb a ±= ±∴ 2、黄金分割的定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 AC BC AB AC = （整段大线段大线段小线段=）,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中 2 1 5-＝AB AC ≈0.618. A B C 推导黄金比：设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以 x x x -= 11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 特别提示：1、一条线段有2个黄金分割点，它们关于原点对称。 2、黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比。黄金比没有单位。例：若矩形的两邻边长度的比值约为0.618，这个矩形称为黄金矩形；若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。 3、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 c d a b = d b c a a c b d ==或合比性质：d d c b b a ±= ± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理）

三角形的面积计算公式的推导

“三角形的面积计算公式的推导”教学活动设计一、活动主题的提出数学实践活动是教师结合学生相关数学方面的生活经验和知识背景，引导学生以自主探索或合作交流的方式，展开形式多样、丰富多彩的学习活动。“三角形面积计算公式的推导”教材是通过拼的方法探究计算方法的，从表面上看，学生动手操作了，也探究了公式的形成过程，但实际上学生仅仅机械地拼了一拼，做了一次“操作工”，他们并没有自己的猜想和创造，没有真正参与知识的产生和形成，教材所提供的学习材料缺乏思维含量，缺少挑战性，学生体会不到思考的乐趣，思维得不到充分发展，为了培养学生的探究意识和探究水平，促动学生探究的有效性，特安排主题活动“三角形面积计算公式的推导”。二、活动目标 1．探索并掌握三角形的面积计算公式，培养学生应用已有知识解决新问题的水平。 2．使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观点和初步的推理水平。 3．在探索活动中使学生获得积极地情感体验，感受数学的乐趣，体会成功的喜悦，进一步培养学生学习数学的兴趣。三、课前准备 1．分组：每4人为一小组。 2．每人准备3张正方形纸片。 3．每位同学准备尺子、剪刀、铅笔。四、时间：一课时（不包括活动前的准备）五、活动过程 1．检查学生课前的准备情况。 2．揭示课题师：三角形的面积能够怎样计算呢？这就是我们这节课要研究的问题。板书课题：三角形面积的计算公式 3．探究操作师：（先每4人一小组分好小组）每人拿出一张正方形纸片，在上面剪一刀，要求剪下一个三角形。当然你用笔和尺子把想剪的三角形在正方形上画出来，不剪也能够。（学生剪、画）汇报展示。（选择如下三种图） ①②③ 师：这三种剪法中哪种剪法剪下的三角形面积你能计算？你是怎么知道的？学生观察、思考、分析、推理、小组讨论、汇报。第三种（图③）剪法剪下的三角形面积能计算，三角形面积正好是这个正方形面积的一半，只要把剪下的两个三角形重叠在一起，就能够发现他们完全一样（形状

小学奥数-三角形的分割(一)

三角形的分割（一）同学们大家好！三角形的面积的计算方法大家已经知道了，今天我再告诉大家一个规律：等底等高的三角形面积相等。这是一个非常重要的规律，在解决多边形面积的许多问题中都要用到它。今天，我们就一起来研究应用这一规律可以解决哪些问题。【典型例题】一. 阅读思考：例1. 有一个三角形花坛，想把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？分析与解答：因为“等底等高的三角形面积相等”，所以要把这个三角形花坛平均分成两个相等的三角形，就是把这个三角形花坛分成两个等底等高的三角形就可以了。而三角形的每条边都可以作三角形的底，所以我们只要把这三条边分别二等分，再把中点与这条边相对的顶点连接起来就可以了。例2. 将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？分析与解：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形，它们的面积就必然相等。而要找这六个等底等高的小三角形，只需把三角形的某一边六等分，再将各分点与这边相对的顶点连结起来即可。如图（1）图（1）又因为6163223=?=?=?，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看成1，即16? 而32?可以看成是先把原三角形等分两份，再把每一份分别等分成三份。 C C 图（2）同理，23?可以看成是先把原三角形等分成三份，然后再把每一份等分成两份。即

A A A B C 图（3）类似于这样的分法，我们还可以画出许多，这里就不一一列举了。这两道例题有一个共同的思路，就是想办法找出等底等高的三角形，而找这种三角形，就要几等分某一条线段。如果两个三角形的底相等，高不相等，它们的面积有什么关系呢？如果两个三角形底的长度相等，高的长度不相等，那么它们的面积之比正好等于这两个三角形高的长度比。同样的道理，我们还可以推出，如果两个三角形高的长度相等，底的长度不相等，那么这两个三角形的面积之比正好等于它们的底的长度比，因此我们有下面的结论：如果甲、乙两个三角形的底（高）的长度相等，那么甲、乙两个三角形的面积之比等于它们的高（底）的长度之比。例3. 把三角形ABC 分成甲、乙、丙三部分，使甲的面积是乙的面积的3倍，丙的面积是乙的面积的4倍。分析与解：要想使三角形甲的面积是三角形乙的面积的3倍，可以使这两个三角形的高相同，而三角形甲的底是三角形乙的底的3倍，同样使三角形丙的高和三角形乙的高相同，而三角形丙的底是三角形乙的底的4倍，这样一来，我们将三角形ABC 的一条边 8等分，使乙占其中的一份，甲占其中的3份，丙占其中的4份，即可达到目的。 B C 例4. 三角形ABC 中，DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC 的面积。（如图） B D C 分析与解：根据如果两个三角形的高相等，那么这两个三角形的面积比等于它们底的比的结论，即可

等腰三角形经典例题透析

经典例题透析类型一：探究型题目 1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数）思路点拨:在三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑。下面提供四种分割方法供大家参考。解析：总结升华：对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。举一反三：【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。

请你先阅读下面的证明过程。证明：在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC（第一步），所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。【答案】第一步错误。因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等，不能判定它们全等。正确的证明过程是：因为EB=EC，所以∠EBD=∠ECD，所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2，即：∠ABC=∠ACB，所以AB=AC。在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC，所以∠3=∠4，所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N 是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。

相似三角形——比例线段

教学过程一、课堂导入 1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。

2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？

二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？答案：1、2：（—3）=—2 3；—4：6=—4 6=— 2 3； 2 —3= —4 6，2，—3，—4，6四个数成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 3、a:b=c:d 即a b= c d，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。

三、知识讲解考点 1 比例线段一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如d c b a ＝是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。

a c a k b c k d b d b d ++=?=考点2 比例的性质 1、比例的基本性质：比例式化积、积化比例式。 bc ad d c b a =?= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。 (k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则 b a n f d b m e c a =+???++++???+++。 4、比例中项：若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项。

三角形面积公式的五种推导方法

三角形面积公式的五种推导方法 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

三角形面积公式的五种推导方法摘自：《小学数学网》六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下：第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。

2021年中考数学热点专题复习：例谈“等腰三角形”的分割问题

2021年中考数学热点专题复习：例谈“等腰三角形”的分割问题近几年各地中考试卷中经常出现一些有特色的图形分割题，这类问题趣味性强，想象空间广阔，一般没有复杂的计算，但需要较强的空间想象和分析问题的能力，其中就包括等腰三角形的分割问题．现例说如下．例1 如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．仿照图1，请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（注：如果两个图中分割出的3个三角形分别全等而只是分割线的具体位置不同，认为是同一种分割方法．）分析与解本题的背景是数学中“黄金三角形”（顶角是36°的等腰三角形称为黄金三角形）的分割问题．除了题中给出的分割方法，还有如下的分割方法： (1)如图2，线段BD＝BC＝BE，AE＝AD，这种分割方法其实借鉴了题中给出的分割方法，第一次分割方法(分割线BD)与原图相同，第二次改为把△ABD分割成两个等腰三角形． (2)如图3，分别作△ABC任意两边垂直平分线交于点O，连结OA、OB、OC．由垂直平分线的性质，可知OA＝OB＝OC，所以分割符合题意，进一步看，其实点O就是△ABC的外心，从圆的角度来说OA、OB、OC都是⊙O半径． (3)更一般的结论：对于任意锐角三角形，外心O与三角形顶点的连线都可以把原三角形分割成三个等腰三角形，如图4所示．例2 经过等腰三角形的一个顶点的直线，把等腰三角形分成的两个较小的三角形，都是等腰三角形，求原三角形各角的度数．分析与解易知上题中的“黄金三角形”就是符合题意的一个答案．那么，还有哪些

等腰三角形符合题意呢？可以根据顶角的大小分类考虑： (1)如果顶角是直角，即原三角形是等腰直角三角形，尝试画图不难发现只要作顶角的平分线即可，如图5，易证AD＝BD＝CD．如果从底角画分割线，如图6，△ABD中，∠A＝90°，AB>AD，所以△ABD不可能是等腰三角形（因为在直角三角形或钝角三角形中直角、钝角只能作为顶角）； (2)如果顶角是钝角，同理也只能从顶角画分割线，并且可以说明分割方法是唯一的，如图7，△ABC中，AD是分割线．过点A作AG⊥BC于点G，由“垂线段最短”原理可知AG最短，并且线段AB＝AC>AD，图中∠ADB为钝角，若△ABD是等腰三角形，只可能AD＝BD，∠B＝∠BAD．在△ADC中，由于AD

《相似三角形》最全讲义(完整版).docx

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形 1?图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位?用、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括?立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形. 3?相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意:当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a. b的长度分別是m、n,那么就说这两条线段 a _ m 的比是a： b = m： n （或〃n） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a： b屮。a叫做比的前项，b叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。兰_ ￡ 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如芦° a _ ￡ 4、比例外项：在比例“ d（或a： b=c： d）中a、d叫做比例外项。 a _ c 5、比例内项：在比例〃〃（或a： b = c： d）中b、c叫做比例内项。 a _ c 6、第四比例项：在比例〃d（或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为U（或a:b=b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。 &比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长

等腰三角形的分类讨论

等腰三角形的分类讨论模块一等腰三角形的分类讨论例1 （1）等腰三角形的一边长为3，一边长为7，那么它的周长是。（2）等腰三角形的一边长为4，周长为9，那么它的腰长是。（3）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和12两部分，求此等腰三角形的腰长。练习（1）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：2，求这个等腰三角形顶角的度数。（2）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为。例2 （1）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，求该三角形的底角的度数。（2）（2016—2017武昌区八上期中第16题）已知△ABC是等腰三角形，由点A作BC边上的高恰好等于BC的一半，则∠BAC的度数为。练习在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，求∠B的度数。

例3 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°.将△ABC 绕B 点逆时针旋转α（0<α≤60°）角度后得到△A ’BC ’，A ’C ’与AC 交于点F ，与AB 交于点E ，连BF 。当△BEF 为等腰三角时，α= 。 A 模块二两圆一中垂知识导航已知线段AB ，在平面上找一点C ，使△ABC 为等腰三角形。图1 图2 图3 A A B B ① 如图1，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上的所有点C 均满足AC=AB 。 ② 如图2，以B 为圆心，BA 为半径作圆，此圆上的所有点C 均满足BC=BA 。 ③ 如图3，作AB 的垂直平分线，此垂直平分线上的所有点C 均满足CA=CB 。 “两圆一中垂”上的所有点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的C 点有无数个。因此，题目会对C 点再加上另外一个限定条件----例如还限定C 点在坐标轴上或格点，这样，C 点的个数就只有几个了。

相似三角形完整讲义(教师版)

《分割等腰三角形》的课堂教学实录及评析

《分割等腰三角形》的课堂教学实录及评析各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢精题巧问修知炼法——《分割等腰三角形》的课堂教学实录及评析作者/王咪芳在数学教学中，若提问得法、有效，不同程度的学生都能在课堂中跃跃欲试；尤其是复习课，在由浅入深、盘旋而上的问题串中，每个学生都能巩固知识框架，更能通过有效的数学活动，理解掌握数学思想和数学方法。本文就《分割等腰三角形》一课的教学实录评析为例，供参考。一、教学实录 1.巧设问题，力透基础问题1：用一条直线将一个三角形分成两个三角形，怎样分？生1：过三角形的顶点作直线。问题2：用一条直线将一个三角形分

成两个等腰三角形，怎样分？生2：这题是不是条件不足？师：你来加个条件吧！生2：三角形的各内角是36°、72°、72°。问题3：用一条直线将内角分别为36°、72°、72°的三角形分成两个等腰三角形。生3：作72°角的角平分线。问题4：用一条直线将内角分别为25°、50°、105°的三角形分成两个等腰三角形。生4：将105°角分成25°和80°，分成两三角形的内角分别是25°、25°、130°和50°、50°、80° 问题5：顺利正确解决刚才两个问题的同学请举手，采访你一下：你怎么这么厉害，就分成功了？生5：我觉得最小的角是不能分的；根据所给内角的度数，先分出一个等腰三角形，再去证明另一个也是等腰三角形。

问题6：你太棒了！请同学们设计一个三角形，使之能被分成两个等腰三角形。生6：108°、36°、36°。生7：10°、20°、150°。生8：45°、45°、90°。生9：任意的直角三角形。师：因时间关系，同学们不妨将自己的设计写下来，并请思考：任何三角形都能被分成两个等腰三角形吗？生齐答：不是！师：证明一个假命题的方法是什么？生：举反例！师：请证明“任何三角形能被分成两个等腰三角形”是一个假命题。生10：等边三角形。生11：一个三角形的内角为105°、5°、75°。师：反例也可以举出无数种，到底怎样的三角形能被分成两个等腰三角形呢？

三角形的面积计算公式

三角形的面积计算公式三角形的面积计算公式1.已知三角形底a，高h，则 S＝ah/22.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/25.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R则三角形面积=a bc/4R6.S△=1/2 *| a b 1 || c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！7.海伦--秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.8.根据三角函数求面积S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA注:其中R为外切圆半径。9.根据向量求面积SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）

初三数学相似三角形典型例题含答案

2 初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式 a b c (a ： b c ： d )中， a 、 d 叫外项， d b 、 c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a c b d ②合比性质： a c b d ad bc a b c d b d ③等比性质： a c ? b d m (b d ? n n ≠ 0) a c ? m a b d ? n b 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥ l 3 。 AB 则 BC DE ， AB EF AC DE ， BC DF AC EF ，? DF

小学数学《三角形的面积计算公式》

小学数学《三角形面积计算公式》教学设计刘河小学李志强教学内容：人教版九年义务教育六年制小学数学第九册P84 -P85. 教材分析：人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。教学目标： 1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形面积公式的来源；并能灵活运用公式解决简单的实际问题。 2、在学习活动中，培养学生的实践动手能力，合作探索意识和能力，培养创新意识和能力。 3、通过实践操作，自主探究，使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。教学重点：三角形面积计算公式的推导。教学难点：运用拼、剪、平移、旋转等方法，发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面积的相互联系推导出三角形面积计算公式。教具准备：多媒体课件一套。学具准备：工具（尺、剪刀），三组学具（①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三

分割等腰三角形说课稿

《分割等腰三角形》说课稿车墩学校吴烨一、教材分析（一）、教材内容的地位和作用《分割等腰三角形》是新教材第十四章《三角形》之后的探究课，我根据本校班级学生基础知识掌握良好、认知能力良好但是思维品质缺乏、尖子生凤毛麟角等实际情况下，降低要求设计的一节课，三角形是平面几何最简单的直线型封闭图形，三角形的知识是进一步探究学习其他图形性质的基础；这个学习阶段，处在是演绎几何向论证几何的过渡期，本章对三角形的研究呈现从一般到特殊的过程，而等腰三角形对于学生学习和研究轴对称性具有重要意义。本节课《分割等腰三角形》的设计也遵循了这个规律，从研究一般三角形到等腰三角形，探究过程中还可以帮助学生理解和掌握运用三角形知识，通过探究活动，不仅加强探索实践精神，而且还让学生感受到我国古老的数学文明，激发探索热情。（二）、教学目标根据新的《课程标准》要求和教材分析，结合本班学生实际情况，制定如下教学目标： 1．学会探究把一个一般的三角形分成两个等腰三角形的条件，进而会探究将一个等腰三角形分割成两个等腰三角形,计算可以被分割的等腰三角形的度数．2．体现数形结合、分类讨论的思想。 3．培养学生的自主探究的意识，初步掌握探究的一般思路和独立思考的习惯、提高解决问题的能力．（三）教学重点、难点教学重点、难点：探究把一个一般的三角形分割成两个等腰三角形的思路．探究把一个一般的三角形分割成两个等腰三角形的一般规律。二、教法、学法分析本节课涉及的知识点有等腰三角形的“等边对等角”、“等角对等边”、“三角形内角和”定理（“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”定理），都是前阶段学生经常使用的熟悉知识，计算分割好的三角形中角之间的关系应该不难，因此本节课将用较多的时间引导学生如何根据图形探究分割的方法和规律，教师以多媒体为教学平台，通过精心设计问题和有效的激励机制充分调动学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。而学生也在老师的鼓励引导下，小结方法，通过小组讨论等方式体会知识的应用和数学思考的方法增强学习的成就感和自信心，培养学生的探索精神和探究能力。三、教学程序设计教学过程设计思路和各环节分析

初中数学相似三角形之黄金分割专项练习题(附答案详解)

初中数学相似三角形之黄金分割专项练习题（附答案详解） 1．点D 是线段AB 的黄金分割点（AD ＞BD ），若AB ＝2，则BD ＝（） A ．51- B ．3 52 C ．5﹣1 D ．3﹣5 2．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，则有（） A ．A B 2=AP?PB B ．AP 2=BP?AB C ．BP 2=AP?AB D ．AP?AB=PB?AP 3．若线段，且点C 是AB 的黄金分割点，则BC 等于（） A ． B ． C ．或 D ．或 4．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞BP ，设以AP 为边的等边三角形的面积为S 1，以PB 、AB 为直角边的直角三角形的面积为S 2，则S 1与S 2的关系是 ( ) A ．S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1=S 2 D ．S 1≥S 2 5．已知线段AB 的长为4，点P 是线段AB 的黄金分割点(AP ＞BP )，则P A 的长为( ) A ．2﹣2 B ．6﹣2√5 C ． D ．4﹣2 6．已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC 2=BC?AB ，则下列式子成立的是（） A ． B ． C ． D ． 7．已知如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论中正确的是（） A ． B ． C ． D ． 8．线段MN 长为1cm ，点P 是MN 的黄金分割点，则MP 的长是( ) A ． B ． C ．或 D ．不能确定 9．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ．记以AP 为一边的正方形面积为S 1，以BP 、AB 为邻边矩形的面积为S 2，则（） A ．12S S > B ．12S S = C ．12S S < D ．1S 、2S 大小不能确定 10．已知线段AB 长是2厘米，P 是线段AB 上的一点，且满足AP 2＝AB?BP ，那么AP 长为_____厘米．

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=?? ，交换内项，交换外项．同时交换内外项核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2 AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：51 2 -长短＝＝全长注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：??? ????+-=+--=-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． F E D C B A