极大似然估计方法估计GARCH模型参数

计量案例分析报告--极大似然估计方法估计GARCH 模型参数

一、 引言

金融业的飞速发展以及各种金融衍生工具的不断引入使金融市场变得越来越复杂，金融市场上各种风险的也不断加剧。1998年的亚洲金融危机和2008年发生的美国次级贷风波都导致了一大批没能很好控制风险的金融机构倒闭，现在业界更是提出了“金融的本质就是经营风险”之说，风险管理也在各大金融机构的日常运作中扮演愈来愈重要的角色。风险管理中的一个最重要的任务就是市场风险的度量和监控，在这方面业内已经开发了一些风险管理方法：VaR 、压力测试、Riskmetrics 等。但是在使用这些方法的时候，无一例外的都需要估计资产对数收益率的波动率（通常用对数收益率标准差或方差来衡量），资产收益波动率的估计的好坏直接影响风险监测的准确程度。

目前资产日对数收益率波动率的估计方法依据使用数据不同大致可分为两类：基于日间数据估计法和基于日内数据估计法。基于日间数据估计法的典型方法是GARCH 模型，在估计波动率时使用的信息是交易日日间收益率数据；基于日内数据的波动率估计方法主要是使用日内交易信息进行估计。前者所用信息较少，并且主要以预测波动率为目的，后者却需要更多信息，主要是用来估计已实现波动率，主要用来对交易日当天的风险进行实时监控。

本报告将研究基于日收盘价格的收益率波动率估计方法，利用1996年-2007年上证综合指数的日收盘价格，采用极大似然估计方法对GARCH 模型进行参数估计，进而得到用来预测未来的波动率的模型，并说明这种估计方法的不足。

二、 利用极大似然估计方法估计GARCH 模型参数

假设观测值序列1y 、2y 、…、n y 是来自总体的n 个样本，且假设总体的概率密度函数为()βx f ，概率密度函数的分布类型是已知的，但是分布参数β未知，需要我们去求解。

观测值序列1y 、2y 、…、n y 的联合概率密度函数为：

()()∏==n

i i i y f y L 1ββ（1.1）

已知参数的极大似然估计的基本原理是：寻求参数估计值∧

β，使得式（1.1）所示的样本概率密度函数值在这些参数估计值下达到最大。通常地，我们对式（1.1）取自然对数，从而转化为求对数似然函数的最大值，即

()()∑==n

i i i y f y L 1ln ln ββ（1.2）

使得式（1.2）达到最大，需要满足如下导数条件： ()()∑=??=??n i i i y f y L 1ln ln ββββ （1.3）

每个交易日的对数收益率γ可以分解γ=μ+u 。γ为日对数收益率；其中μ为

平均日对数收益率，是一个固定的常数，它完全由每天影响资产价格重大信息决定，并且在每天影响资产价格重大信息到来后就己经形成；u 是是一个均值为0的随机变量，它是由交易过程中资产的买卖双方互相博弈形成，也受每个交易日到来的重大信息的影响。信息主要是通过影响()u 2σ来影响u 的，这样每个交易日的()u 2σ也不尽相同，我们定义()u 2σ为实现波动率

考虑如下均值方程中包含MA(1)过程，方差方程为GARCH(1，1)的模型为： t γ=μ+t u ，t u =t ε-1-t θε，t ε=t t z σ，~t z N （0，1），2t σ=ω+21-t αε+2t βσ（1.4） 其对数似然函数为：

∑∑∑====n

i t n i t t n i L 1

21221ln 21-21-)2ln(21-ln σσεπ （1.5） 本案例分析报告打算对上证综合指数的日对数收益率γ (百分比)建立如式(1.5)所示的模型，然后编写Eviews 程序，对GARCH 模型中的参数μ、θ、ω、α、β进行估计，并对估计结果进行简单分析。

三、 基于上证综合指数的日对数收益率的估计：（1996-2007）

(一) 数据来源

本报告给出的数据是我国1996年1月2日至2007年12月28日上证综合指数的日收盘价格部分有关数据，由于节假日休市，整个样本范围内的实际观测值数是2900个。为了分析方便，建立一个非时间结构类型的工作文件，本报告所用数据保存“grach.wfl”工作文件夹中。

本报告编写的程序保存在“table 12-2.prg”中，编写程序的主要流程如下:

（1）对模型估计中的参数变量进行说明并初始化；

（2）先对均值方程进行估计，将得到的方程估计结果作为模型中一些参数的初始值；

（3）由于GARCH模型的估计使用的是迭代数值解法，因此需要设定初始方差和初始残差；

（4）建立对数似然函数对象，并给出GARCH模型的对数似然函数表达式；

（5）对模型进行最大似然估计，井给出输出结果。

本报告编写的程序中，使用5个只含有一个元素的系数向量对象来保存GARCH模型中的参数估计值，并设定这些参数初始值都为0.1。接下来，首先使用OLS方法估计均值方程eq_mean，然后将方程eq_mean的第一个参数赋值

给μ，将第二个参数赋值给θ，将回归方程的标准误差的平方赋值给ω，接下来，

建立对数似然（LogL）对象并设定似然函数。

(二)GARCH模型估计结果与分析

本文使用极大似然估计对GARCH模型有关参数进行拟合估计。根据本文第二部分的估计方法，我们使用Eviews软件，采用1996-2007年上证综合指数的日收盘价格进行拟合估计。估计的详细结果见表1。

表1 对数似然估计结果

LogL: LOGL1

Method: Maximum Likelihood (Marquardt)

Date: 02/20/16 Time: 16:18

Sample: 2 2900

Included observations: 2899

Evaluation order: By observation

Estimation settings: tol= 1.0e-05，derivs=accurate numeric

Initial Values: MU(1)=0.07867，THETA(1)=0.00952，

OMEGA(1)=2.93127，

ALPHA(1)=0.10000，BETA(1)=0.10000

MU(1) 0.031197 0.022340 1.396453 0.1626

THETA(1) 0.012741 0.019180 0.664284 0.5065

OMEGA(1) 0.048833 0.006315 7.732959 0.0000

ALPHA(1) 0.111313 0.005802 19.18409 0.0000 Avg. log likelihood -1.838187 Schwarz criterion 3.690124

从表1所示的估计结果可以看到，条件方差方程中的参数估计值都为正数，从而能够保证条件方差的非负数要求。估计结果中，除了参数μ和θ估计的z 统计量不显著外，其他参数估计都非常显著。根据输出结果，可以写出GARCH 模型的估计结果：

t t r μ+=03120.0，101274.0--=t t t εεμ

t t t z σε=，()1,0~N z t

212128798.01113.004883.0--++=t t t σεσ

对数似然=-5328.904

需要注意的是，均值方程中的收益率是百分数，上证综合指数的平均日对数收益率0.03%左右。在条件方差方程中α+β=0.9911<1，满足GARCH 模型要求且非常接近于1，从而说明前期的冲击对后面的条件方差的影响是持久的，即以前的冲击影响对未来的条件方差预测有着重要的作用。

分析预测结果，本文认为：一方面，为减轻股市的动荡，应严格执行《证券法》，加强监管，加大信息披露的透明度，减少人为因素造成的剧烈波动；另一方面，尽早引入卖空机制，为投资者提供多样化投资的机会和风险规避手段，为市场提供连续性，增加证券市场的流动性，并能够实现证券市场的价值发现功能、优化资源配置功能。

市场不够透明、信息不对称降低了模型的可预测性，对于我国股票市场每日收益率而言。我国股票市场发展至今，各方面还不够规范，在获知信息上集中地体现为——信息的提前泄露。当一条可能引起股价波动的信息尚未完全到达市场时，已有相当一部分人从各种途径获知该信息并做出了反应，由此造成了信息的泄露。这样，当信息正式到达市场时，市场已将其基本消化，价格的波动性随时已缓慢释放完毕，从而不会发生预想程度的波动，这使得价格与信息的到来不能表现出非常显著的相关性。

(三) 模型的缺陷

由GARCH （p ，q ）模型是ARCH 模型的扩展，因此GARCH （p ，q ）同样具有ARCH （q ）模型的特点。但GARCH 模型的条件方差不仅是滞后残差平方的线性函数，而且是滞后条件方差的线性函数。

GARCH 模型适合在计算量不大时，方便地描述了高阶的ARCH 过程，因而具有更大的适用性。但GARCH （p ，q ）模型在应用于资产定价方面存在以下的不足：

首先，GARCH 模型不能解释股票收益和收益变化波动之间出现的负相关现象。GARCH （p ，q ）模型假定条件方差是滞后残差平方的函数，因此，残差的符号不影响波动，即条件方差对正的价格变化和负的价格变化的反应是对称的。然而在经验研究中发现，当利空消息出现时，即预期股票收益会下降时，波动趋向于增大；当利好消息出现时，即预期股票收益会上升时，波动趋向于减小。收

益会上升时，波动趋向于减小。GARCH （p ，q ）模型不能解释这种非对称现象。而国外的许多学者对成熟股市的分析表明，成熟股市普遍存在波动的非对称性，负冲击对股价波动的影响大于同等幅度的正冲击对股票市场的影响。

其次，GARCH （p ，q ）模型为了保证非负，假定（1.4）式中所有系数均大于零。这些约束隐含着t ε的任何滞后项增大都会增加t α因而排除了t α的随机波动行为，这使得在估计GARCH 模型时可能出现震荡现象。

时间序列分析与综合--ARMA模型的阻尼最小二乘法

论文题目：ARMA模型的阻尼最小二乘法班级： 姓名： 学号： 指导教师：

摘要 ARMA模型是将实际问题利用时间序列建立起的模型，只要把ARMA模型的参数估计出来，实际问题就能解决了。本文只对讨论了ARMA模型参数的优化理论估计方法的一种：阻尼最小二乘法。非线性时间序列ARMA模型参数的优化估计法一阻尼最小二乘法，它结合了Newton法和最速下降法的优点，既保证了迭代计算的收敛性，又加快了收敛的速度。当初值的精度较差时，更宜采用阻尼最小二乘法。本文给出实例的MATLAB程序，并利用t统计量检验出阻尼最小二乘法要比最小二乘法的参数估计值更为显著，拟合模型更优。 关键词：非线性；阻尼最小二乘法；ARMA；MATLAB Abstract ARMA model is to establish a real problem using time series models, As long as the ARMA model parameters estimated from the actual problem can be solved. Nonlinear time series ARMA model parameter optimization estimation method—Damped least squares method, It combines the advantage of Newton method and the steepest descent method, It not only ensures the convergence of iterative calculations, but also accelerate the speed of convergence. When the accuracy of the original value is poor, it better to using qualified damped least squares method. This paper gives examples of the MATLAB program,And use the t-statistic tests the damped least squares method more significant than the method of least squares parameter estimates, and better fitting model. Keywords: Nonlinear; Damped least squares method; ARMA; MATLAB

ARMA模型的参数估计主要内容(精)

第六章 ARMA 模型的参数估计—主要内容 §6.1 AR(p)模型的参数估计 问题: 已知p 的AR(p): 1 ,0p t j t j t j X a X t ε-==+≥∑,2~WN(0,)t εσ.(1.1) 由12{,,,}N x x x 去估计12(,,,)T p a a a =a 和2σ. 1. AR(p)模型的Yule-Walker 估计 自回归系数p a 由自协方差函数{}k γ惟一确定.

1111210 2212 0p p p p p p a a a γγγγγγγγγγγγ----?????? ?????? ??=??????????????? ??????? 白噪声的方差2σ由2 0T p p σγ=-γa 决定. 现获12{,, ,}N x x x , N p >, 则作 (1) ,1~t t N y x x t N =-=; (2) 1 1 ?,0,1, ,N k k j j k j y y k p N γ-+== =∑;

(3) 只要12,, ,N x x x 不全同, 则?p Γ正定, 得惟一 1???p p p -=a Γγ, 2100????????T T p p p p p σγγ-=-=-γa γΓγ. 实用中, Levinson 递推公式(无需求逆, 快): (1)2 001,1 10222 1,1,11,2 1,1,101,12,2,1,,1,1,1????????(1)???????...????????...????,1,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k j k j k k k k j a a a a a a a a a a a a a j k k p σγγγσ σγγγγγγγγ-+-++++++-?=?=??=-??----?=?----? =-≤≤≤??

时间序列ARMA模型及分析

ARMA模型及分析 本次试验主要是通过等时间间隔，连续读取70个某次化学反应的过程数据，构成一个时间序列。试对该时间序列进行ARMA模型拟合以及模型的优化，最后进行预测。以下本次试验的数据： 表1 连续读取70个化学反应数据 47 64 23 71 38 64 55 41 59 48 71 35 57 40 58 44 80 55 37 74 51 57 50 60 45 57 50 45 25 59 50 71 56 74 50 58 45 54 36 54 48 55 45 57 50 62 44 64 43 52 38 59 55 41 53 49 34 35 54 45 68 38 50 60 39 59 40 57 54 23 资料来源：O’Donovan, Consec. Readings Batch Chemical Proces, https://www.wendangku.net/doc/da17970576.html,ler et al. 下面的分析及检验、预测均是基于上述数据进行的，本次试验是在Eviews 6.0上完成的。 一、序列预处理 由于只有对平稳的时间序列才能建立ARMA模型，因此在建立模型之前，有必要对序列进行预处理，主要包括了平稳性检验和纯随机检验。 序列时序图显示此化学反应过程无明显趋势或周期，波动稳定。见图1。

图2 化学反应过程相关图和Q统计量 从图2的序列的相关分析结果:1. 可以看出自相关系数始终在0周围波动，判定该序列为平稳时间序列2.看Q统计量的P值：该统计量的原假设为X的1期，2期……k期的自相关系数均等于0，备择假设为自相关系数中至少有一个不等于0，因此如图知，该P值在滞后2、3、4期是都为0,所以拒接原假设,即序列是非纯随机序列,即非白噪声序列(因为序列值之间彼此之间存在关联,所以说过去的行为对将来的发展有一定的影响,因此为非纯随机序列,即非白噪声序列)。 二、模型识别 由于检验出时间序列是平稳的，且是非白噪声序列，因此可以建立模型，在建立模型之前需要识别模型阶数即确定阶数。阶数确定要借助于时间序列的相关图，即序列的自相关函数和偏自相关函数，并根据他们之间的理论模式进行阶数最后的确定。 下面给出自相关函数和偏自相关函数之间的理论模式：

R语言实现ARMA模型的估计

基于R 的ARMA 模型的估计 首先，我们给出一个ARMA 模型：110.60.8t t t t y y εε--=-+- 随机生成一组含200个观测值的时间序列，代码如下： #ARMA(1,1) y[t]=-0.6y[t-1]+x[t]-0.8x[t-1] set.seed(10) x<-rnorm(200) y<-vector(length=2) y[1]=x[1] for(i in 2:200) { y[i]=-0.6*y[i-1]+x[i]-0.8*x[i-1] } y 事实上，在R 中有更简单的语句可以生成ARIMA 时间序列，以上述ARMA （1,1）模型为例： set.seed(10) y<-arima.sim(list(order=c(1,0,1),ar=-0.6,ma=-0.8),n=200) 在本次实验中，我们采用第一种方法生成的时间序列做估计。 时间序列图如下： ts.plot(y) ACF 和PACF 图如下： acf(y,xaxp=c(0,20,20),yaxp=c(-1,1,10)) pacf(y,xaxp=c(0,20,20),yaxp=c(-1,1,10))

下面给出三个模型的估计： 模型1：11t t t y a y ε-=+ 模型2：1111t t t t y a y b εε--=++ 模型3：1122t t t t y a y a y ε--=++ 【模型1】 a<-1;b<-0,c<-0 ARMA<-arima(y,order=c(a,b,c),method="ML") ARMA SBC 准则： #SBC=－2ln(模型中极大似然函数值)+ln(n)(模型中未知参数个数) loglike<-ARMA$loglik SBC<--2*loglike+log(200)*1 SBC 残差平方和： residual<-ARMA$residuals #残差 ssr<-0 for(i in 1:200) { ssr=ssr+(residual[i]^2)

ARMA模型建模与预测指导

实验一ARMA 模型建模与预测指导 一、实验目的 学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA 模型的阶数p 和q ，学会利用最小二乘法等方法对ARMA 模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA 模型进行诊断，以及掌握利用ARMA 模型进行预测。掌握在实证研究中如何运用Eviews 软件进行ARMA 模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。 二、基本概念 宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。 AR 模型：AR 模型也称为自回归模型。它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测， 自回归模型的数学公式为: 1122t t t p t p t y y y y φφφε---=++++ 式中: p 为自回归模型的阶数i φ（i=1，2， ，p ）为模型的待定系数，t ε为误差， t y 为一个平稳时间序列。 MA 模型：MA 模型也称为滑动平均模型。它的预测方式是通过 过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。滑动平均模型的数学公式为: 1122t t t t q t q y εθεθεθε---=---- 式中: q 为模型的阶数； j θ（j=1，2， ，q ）为模型的待定系数；t ε为误差； t y 为平稳时间序列。 ARMA 模型：自回归模型和滑动平均模型的组合， 便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA ， 数学公式为: 11221122t t t p t p t t t q t q y y y y φφφεθεθεθε------=++ ++---- 三、实验内容及要求 1、实验内容： （1）根据时序图判断序列的平稳性； （2）观察相关图，初步确定移动平均阶数q 和自回归阶数p ； （3）运用经典B-J 方法对某企业201个连续生产数据建立合适的ARMA （,p q ）模型，并能够利用此模型进行短期预测。 2、实验要求： （1）深刻理解平稳性的要求以及ARMA 模型的建模思想； （2）如何通过观察自相关，偏自相关系数及其图形，利用最小二乘法，以及信息准则建立合适的ARMA 模型；如何利用ARMA 模型进行预测； （3）熟练掌握相关Eviews 操作，读懂模型参数估计结果。 四、实验指导 1、模型识别 （1）数据录入

ARMA模型建模与预测

实验一 ARMA 模型建模与预测 一、实验目的 学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA 模型的阶数p 和q ，学会利用最小二乘法等方法对ARMA 模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA 模型进行诊断，以及掌握利用ARMA 模型进行预测。掌握在实证研究中如何运用Eviews 软件进行ARMA 模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。 二、基本概念 宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。 AR 模型：AR 模型也称为自回归模型。它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测， 自回归模型的数学公式为: 1122t t t p t p t y y y y φφφε---=++++ 式中: p 为自回归模型的阶数i φ（i=1，2， ，p ）为模型的待定系数，t ε为误差， t y 为一个平稳时间序列。 MA 模型：MA 模型也称为滑动平均模型。它的预测方式是通过 过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。滑动平均模型的数学公式为: 1122t t t t q t q y εθεθεθε---=---- 式中: q 为模型的阶数； j θ（j=1，2， ，q ）为模型的待定系数；t ε为误差； t y 为平稳时间序列。 ARMA 模型：自回归模型和滑动平均模型的组合， 便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA ， 数学公式为: 11221122t t t p t p t t t q t q y y y y φφφεθεθεθε------=++++---- 三、实验内容及要求 1、实验内容： （1）根据时序图判断序列的平稳性； （2）观察相关图，初步确定移动平均阶数q 和自回归阶数p ； （3）运用经典B-J 方法对某企业201个连续生产数据建立合适的ARMA （,p q ）模型，并能够利用此模型进行短期预测（2步预测）。 2、实验要求： （1）深刻理解平稳性的要求以及ARMA 模型的建模思想； （2）如何通过观察自相关，偏自相关系数及其图形，利用最小二乘法，以及信息准则建立合适的ARMA 模型；如何利用ARMA 模型进行预测； （3）熟练掌握相关Eviews 操作，读懂模型参数估计结果。 （4）完成实验报告