二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练

题型一:面积问题

【例１】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4）,交x 轴于点Ａ(3，0），交y 轴于点Ｂ． (1）求抛物线和直线A Ｂ的解析式； (2)求△C ＡB 的铅垂高CD 及S △CAB ;

（３）设点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点P ，使S △ＰＡＢ＝

8

9

S △C ＡB

,若存在，求出P 点的坐标;若不存在，请说明理由.

【变式练习】

1.如图,在直角坐标系中，点A 的坐标为(-2,0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转12０°，得到线段ＯB . （1）求点Ｂ的坐标；

（２)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (３）在(２)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在，求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.

(4）如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有,请说明理由．

２．如图,抛物线y = ax 2

+ ｂx + 4与x 轴的两个交点分别为A (－４,0）、Ｂ（2,0)，与

图2

y 轴交于点C ,顶点为D ．Ｅ（１，2)为线段BC 的中点,B Ｃ的垂直平分线与ｘ轴、y 轴分别交

于F 、Ｇ.

(１)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标；

（2）在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； (３)若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时， △ＥF Ｋ的面积最大？并求出最大面积．

３．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B,抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过Ａ、Ｂ、C （１，0）三点.

(1)求抛物线的解析式;

(２）若点D 的坐标为（-1，0）,在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔAＢO 与ΔＡDP 相似，求出点P 的坐标；

（3)在(２)的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E ，使ΔADＥ的面积等于四边形ＡP ＣE 的面积?如果存在，请求出点Ｅ的坐标;如果不存在,请说明理由．

C E

D G

A

x

y O

B F

题型二:构造直角三角形

【例２】如图,已知抛物线y=ａｘ2+bx+ｃ(ａ≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1,0)、C(0,-3）两点,与ｘ轴交于另一点Ｂ．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点Ｍ的坐标;

(3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PＣB＝9０o的点P的坐标.

【变式练习】

1．如图,抛物线y=与ｘ轴交于A、Ｂ两点（点A在点B的左侧），与ｙ轴交

于点C.

（1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACＢ的面积时，求点D 的坐标;

（３)若直线l过点E(4，0），M为直线ｌ上的动点，当以A、Ｂ、M为顶点所作的直角三角

形有且只有三个时,求直线l的解析式

. E

2.在平面直角坐标系x Ｏy 中,已知抛物线y=2

(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于Ａ、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与ｙ轴交于点C,其顶点为Ｍ，若直线MC 的函数表达式为3y kx =-，与

x 轴的交点为Ｎ，且COS∠BＣ

。 (1）求此抛物线的函数表达式；

(２)在此抛物线上是否存在异于点Ｃ的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形?若存在，求出点P 的坐标:若不存在，请说明理由； （3)过点A 作x 轴的垂线，交直线ＭC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度？

３. 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y ＝k （x ２

+x ﹣1)的图象交于点Ａ(１，k)和点B(﹣1，﹣k)．

(１）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式;

（２）要使反比例函数和二次函数都是y 随着ｘ的增大而增大,求k 应满足的条件以及x 的取值范围；

(3）设二次函数的图象的顶点为Ｑ，当△AＢQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值

4.如图(１),抛物线42

y x x =+-与y 轴交于点A ，E (0，b ）为ｙ轴上一动点,过点Ｅ的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .

（1)求点Ａ的坐标;

(

２）当b =0时(如图（２))，ABE 与ACE 的面积大小关系如何?当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么?

（３）是否存在这样的ｂ，使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形,若存在,求出b ;若不存在,说明理由.

?题型三：构造等腰三角形

【例3】如图,已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0)与x 轴交于点A (1,０）和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．

(1）求抛物线的解析式；

(2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△A ＣQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（３）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Ｐ的坐标;若不存在，请说明理由．

y

x

C

B

A

O

E y

x

C

B

A

O

E 第26题

图（1）

图（2）

【变式练习】

1.如图，在平面直角坐标系中，点Ａ的坐标为（ｍ,m ），点B 的坐标为（ｎ,﹣ｎ),抛物线经过A 、O 、Ｂ三点,连接OA 、O Ｂ、AB ，线段AB 交y 轴于点Ｃ.已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2

﹣２x ﹣3＝0的两根． （1）求抛物线的解析式;

(2)若点P 为线段OB 上的一个动点(不与点Ｏ、B 重合）,直线PC 与抛物线交于Ｄ、E 两点（点Ｄ在y 轴右侧）,连接O Ｄ、BD.

①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标; ②求△BOＤ 面积的最大值,并写出此时点Ｄ的坐标．

2.如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点,已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=ＢＣ.

(1)写出A ，B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式;

（２）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标;不存在，请说明理由.

3．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x ，y)

A

C B

y x

0 1

1

向直线

5

4

y 作垂线，垂足为M，连ＦＭ（如图）.

（１）求字母ａ，ｂ,c的值；

（2）在直线x=1上有一点

3

(1,)

4

F,求以PM为底边的等腰三角形ＰFM的P点的坐标,并证明

此时△PFM为正三角形;

（3)对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N(1,t），使PM=PN恒成立，若存在请求出ｔ值，若不存在请说明理由.

题型四:构造相似三角形

【例4】如图,已知抛物线经过A(﹣2，０）,B(﹣３，3）及原点O，顶点为Ｃ.

（1)求抛物线的解析式；

（2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且Ａ、Ｏ、Ｄ、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标;

(3)P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以Ｐ、M、A为顶点的三角形△ＢOC相似？若存在,求出点Ｐ的坐标；若不存在,请说明理由．

【变式练习】

1.如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1,0),Ｃ（0，-2)三点．?（1)求该抛物线的解析式; （２)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点Ｄ，使得△ＤCA的面积最大?若存在,求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．?(3)P是直线x＝1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以Ａ、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．

7),且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得2. 如图，二次函数的图象经过点D(0,3

9

的线段AB的长为6.

(1)求二次函数的解析式；

(2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+ＰD最小，求出点P的坐标;

（3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由．

【例5】如图,已知抛物线ｙ=x2 - （b+1）x+（b是实数且b＞2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧）,与y轴的正半轴交于点Ｃ.

(1）点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 (用含b 的代数式表示)； (2）请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形ＰCOB 的面积等于2ｂ,且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由;?（３）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO，△ＱＯA 和△ＱA Ｂ中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在，请说明理由．

?【变式练习】

1.如图，平面直角坐标系xOy 中,已知点A (2，3)，线段AB 垂直于y 轴,垂足为B ，将线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90°，点B 落在点C 处，直线BC 与x 轴的交于点D ． (1）试求出点D 的坐标；

（2）试求经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式，

并写出其顶点E 的坐标；

（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F ,使得

以点A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似.

2．已知直线

1

12

y x =

+与ｘ轴交于点Ａ,与y 轴交于点Ｂ，

将△ＡO Ｂ绕点O 顺时针旋转90?，使点A 落在点C ,点B 落在点D ，抛物线2

y ax bx c =++过点A 、Ｄ、Ｃ，其对称轴与直线

AB 交于点P ,

(图7)

1

1 x

y

B

A

O

（１）求抛物线的表达式; (2)求∠ＰOC 的正切值；

（3)点M 在x 轴上，且△ＡBM 与△APD 相似，求点M 的坐标。

3.如图,二次函数y =ax 2+bx +ｃ的图象交x 轴于A （﹣1,0），B （2，0)，交y 轴于C （0，﹣2),过A ，Ｃ画直线．

(１)求二次函数的解析式；

(2）点Ｐ在x 轴正半轴上，且P A =PC ,求OP 的长；

（3)点Ｍ在二次函数图象上，以Ｍ为圆心的圆与直线AC 相切,切点为H ． ①若M 在ｙ轴右侧,且△CHM ∽△AOC (点Ｃ与点A 对应)，求点M 的坐标； ②若⊙M 的半径为

,求点M 的坐标．

?题型五:构造梯形 【例6】已知,矩形OA ＢC 在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A 的坐标为(４,０)，点C

的坐标为)20(-，

，直线x y 3

2

-=与边ＢC 相交于点D ． （１）求点D 的坐标;

x

y

O

1

1

二次函数的定义专项练习30题有答案

二次函数的定义专项练习30题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） 2y=③y=x（1﹣x）④y=﹣x（②1﹣2x）（1+2x）①y=1 A．1个B．2 个C．3个D．4 个 2．下列结论正确的是（） 2．A是二次函数y=ax B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x ）是二次函数，则m等于（）4．若y=（2﹣m ±2 B．2 C．﹣2 D．不A．能确定 2）是二次函数，则m的值是（（m+m）5．若y= B．m =2 C．m=﹣A．1或m=3 D．m =3 ±2m=1

222中，二次函数的个数为（x），y=（x﹣1）6．，下列函数y=3x﹣x，，y=x（﹣2）5个4个D．．A．2个B．3个 C ）7．下列结论正确的是（ 二次函数中两个变量的值是非零实数A． xB．二次函数中变量的值是所有实数 2． C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D ．c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中，b， ）8．下列说法中一定正确的是（ 2．A c为常数）一定是二次函数，函数y=ax（其中+bx+ca，b B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时，速度是关于时间的二次函数． C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数．D 2）是二次函数的条件是（m﹣n）x+mx+n．函数9y=（n ≠n是常数，且m≠0 B．m、A．m、n是常数，且m 可以为任何常数m、nn≠0 D．C．m、n是常数，且 ）．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（10 ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 A ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 B ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系D ）11．下列函数中，y是x二次函数的是（22 DC．．A．y=x﹣1 B．1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数：12．下面给出了6 222 y=y=；﹣②y=xy=x﹣3x；③；y=④（x⑥+x+1）；⑤①y=3x．﹣1；）其中是二次函数的有（个D．4 C2A．1个B．个．3个 2）之间的关系是（t（g为常量），h13．自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D．一次函数C．二次函数A．正比例函数 B． 的值一定是_________+kx+1是二次函数，那么k．﹣14．如果函数y=（k3 ）

中考数学中二次函数压轴题分类总结

中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 练习： 1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求 出此时点N 的坐标； 2. 如图，已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作 正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． y x O B N A M E F B y

初中二次函数计算题专项训练与答案

初中二次函数计算题专项训练及答案 ：___________班级：________考号：_______ 1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点 的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（－1，0），以AB的中点P为圆 心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 （1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 （2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。 （3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。 3、已知；函数是关于的二次函数，求： (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小． 4、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．

二次函数培优专项练习

学习必备 欢迎下载 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠） 时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４ 时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式，则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0 Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰 梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由

二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝ 8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 2.如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交 图2

于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大并求出最大面积． 3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P ,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． C E D G A x y O B F

二次函数压轴题题型归纳

一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a

培优二次函数辅导专题训练及答案解析

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

中考二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一:面积问题 【例１】(２０09湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C （1,4),交ｘ轴于点A (３，0),交 y 轴于点B . （1)求抛物线和直线ＡB 的解析式; (2)求△CAB 的铅垂高ＣD 及S △CAB ； (3）设点Ｐ是抛物线(在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ,使Ｓ△ＰＡB = 8 9 S △C ＡＢ，若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【变式练习】 １.(2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-２,0)，连结OA ，将线段O Ａ绕原点Ｏ顺时针旋转１20°,得到线段OB ． （1)求点B 的坐标; （2）求经过A 、O 、Ｂ三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△B ＯC 的周长最小？若存在,求出点C 的坐标;若不存在，请说明理由． （4)如果点P 是(２)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有,请说明理由． 图2

2.(2０１0绵阳)如图，抛物线y ＝ a ｘ2 ＋ bx + ４与x 轴的两个交点分别为A （-4,0)、 Ｂ(2，０）,与y 轴交于点Ｃ,顶点为D .E (１，２）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、ｙ轴分别交于F 、G . （1）求抛物线的函数解析式,并写出顶点Ｄ的坐标; (２)在直线ＥF 上求一点Ｈ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在ｘ轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时, △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3.（2０１2铜仁)如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A,交y 轴于点B,抛物线ｙ=ax 2 +b ｘ+ｃ经过Ａ、B 、C （1，0)三点. (1）求抛物线的解析式; (2)若点D 的坐标为(-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似,求出点P 的坐标; （3）在（２）的条件下，在ｘ轴下方的抛物线上，是否存在点E,使ΔADE 的面积等于四边形APC Ｅ的面积？如果存在，请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由 . C E D G A x y O B F

二次函数压轴题解题技巧

图1 图 2 二次函数压轴题解题技巧 引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 一、动态：动点、动线 1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)， 其中x 1、x 2是方程x 2 －2x －8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 二、圆 2．如图1，在平面直角坐标系xOy ，二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ， tan ∠ACO ＝ 1 3 ． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度； (3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．

2017二次函数应用题专题训练

作品编号：DG13485201600078972981 创作者：玫霸* 2017二次函数应用题专题训练 1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元． （1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量； （2）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 2.(2010德州)为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元. （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？

3.（2010恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇 远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克 香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香 菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每 天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式． （2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 4(2010河北)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内

最新中考数学专题培优：二次函数综合应用(含答案)

2020年中考数学专题培优 二次函数综合应用（含答案） 一、解答题（共有7道小题） 1.如图，直线1y x =+与x 轴教育点A ，切经过点B(4，m)。点C 在y 轴负半轴上，满足OA=OC ，抛物线 () 20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点，且与x 轴的另一交点为D 。 （1）球抛物线的解析式。 （2）在抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+ PC 的和最小。求出点P 的坐标。 2.如图，已知二次函数2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3， 0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数 2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形， 请求出此时点P 的坐标； (3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积． 3.如图，已知二次函数 2 ＝ ＋ ＋ y ax bx c 的图象与x 轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴相交于点C(0，－3)． y x C D B A O x y P B A C O

(1)求这个二次函数的表达式； (2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值； ②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标． 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数265＝－ ＋ － y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与 y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ． (1)求点P ，C 的坐标； (2)直线l 上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，已知二次函数2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的图象经过点C(0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B(3， 0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数 2 2y ax x c ＝ ＋ ＋ 的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP′C ．若四边形POP′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标； (3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积． y x M C A O B P H y x D B A l C P O x y P B A C O

二次函数压轴题分类精选---取值范围

1．已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO= （1）求二次函数的解析式； （2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标； （3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写出x1，x2的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）首先根据tan∠ACO=，求出OA的值，即可判断出A点的坐标；然后把A点的坐标代入y=x2+bx﹣4，求出b的值，即可判断出二次函数的解析式．（2）首先根据Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（﹣，n）；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n 的值，进而判断出Q点坐标即可． （3）根据题意，分3种情况：①当x1≤x2≤﹣时；②当x1≤﹣≤x2时；③当﹣ ＜x1≤x2时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x1、x2（x1＜x2），使得当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤即可． 【解答】解：（1）如图1，连接AC，

， ∵二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，∴C点的坐标为（0，﹣4）， ∵tan∠ACO=， ∴， 又∵OC=4， ∴OA=1， ∴A点的坐标为（1，0）， 把A（1，0）代入y=x2+bx﹣4， 可得0=1+b﹣4， 解得b=3， ∴二次函数的解析式是：y=x2+3x﹣4． （2）如图2，

， ∵y=x2+3x﹣4， ∴抛物线的对称轴是：x=﹣， ∵Q为抛物线对称轴上的一点， ∴设点Q的坐标为（﹣，n）， ∵抛物线的对称轴平行于y轴， ∴∠CQP=∠OCQ， 又∵∠OQC=∠CQP， ∴∠OQC=∠OCQ， ∴OQ=OC， ∴， ∴， 解得n=±， ∴Q点坐标是（﹣，）或（﹣，﹣）． （3）①当x1≤x2≤﹣时，二次函数y=x2+3x﹣4单调递减，∵y的取值范围为≤y≤，

中考数学二次函数压轴题题型归纳

中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ；

全国中考二次函数压轴题集锦

1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值． 4．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A

二次函数复习专项练习

二次函数专项练习 一、二次函数图像及其性质有关 1、经过原点的抛物线是（） A y=2x 2+x B 2 21) y x =+ （ C y=2x2-1 D y=2x2+1 2、已知反比例函数 x k y=的图象如图所示，则二次函数2 2 2k x kx y+ - =的图象大致为 （） 4．在反比例函数y= x k 中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=kx2＋2kx的图 象大致是（） 5．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（） 6二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（） 7在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=x b 的图象大致是图中的（） y O x y O x y O x y O x y O x A B C D

8图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2 ＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） 9．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 的大致图象为（ ） 10．函数y=ax 2 ＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ） 二、与移动有关 1、抛物线y= 2 1x 2 向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 A 、y= 2 1 (x －3)2－2 B 、y= 21(x －3)2+2 C 、y=21(x+3)2－2 D 、y=2 1 (x+3)2+2 2．将抛物线y=2x 2 向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其表达式为（ ） A ．y=2（x ＋1）2＋3 B ．y=2（x －1）2 －3 C ．y=2（x ＋1）2－3 D ．y=2（x －1）2 ＋3 3．将抛物线y=3x 2 －2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ） A ．y=3（x ＋2）2＋1 B ．y=3（x －2）2 －1 C ．y=3（x ＋2）2－5 D ．y=3（x －2）2 －2 4．抛物线y=2x 2 向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式 为 ．

培优 易错 难题二次函数辅导专题训练附答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知抛物线26y x x c =-++. （1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围； （Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ???，求c 的取值范围. 【答案】（I ）9c -；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是21 74 c -<< 【解析】 【分析】 (1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可; (2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ???可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】 解：（I ）∵抛物线2 6y x x c =-++与x 轴有交点， ∴一元二次方程260x x c -++=有实根。 240b ac ∴?=-，即264(1)0c -?-?.解得9c - （Ⅱ）根据题意，设()()1122,21,,21M x x N x x ++ 由2621 y x x c y x ?=-++?=+?，消去y ，得2410x x c -+-= ①. 由2 (4)4(1)1240c c ?=---=+>，得3c >-. ∴方程①的解为1222x x == ()()()()2 2 2 21212122121520(3)MN x x x x x x c ∴=-++-+=-=+???? 20(3)20c ∴+=，解得2c =- （Ⅲ）设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，且0, 0,m n m n >>≠， 2266m m c n n n c m ?-++=∴?-++=?，两式相减，得227()0n m m n -+-=，即()(7)0m n m n -+-= 7m n ∴+=，即7n m =- 2770m m c ∴-+-=，其中07m << 由0?，即2 74(1)(7)0c -?-?-，得214 c - .

二次函数压轴题总结精华

二次函数常见压轴 y=x2-2x-3（以下几种分类的函数解析式就是这个） 和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标 在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标 y B O C D A x 求面积最大连接AC,在第四象限找一点P，使得?ACP面积最大，求出P坐标 y 讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得?ACP为直角三角形，求出P坐标 或者在抛物线上求点△P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形． B O C y D A x 讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得?ACP B O A x 为等腰三角形，求出P坐标 C y D 讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标B O A x C D

的 和最小差最大 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm ，点 A 、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半 轴上，抛物线 y =ax 2+b x +c 经过点 A 、B 和 D (4, 2 3 ) . （1）求抛物线的解析式. （2）如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm /s 的速度向点 B 运动，同 时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm /s 的速度向点 C 运动 ，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设 S =PQ 2(cm 2) ①试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围； ②当 S 取 5 4 时，在抛物线上是否存在点 R ，使得以 P 、B 、 （第 22 题） Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出 R 点的坐标； 如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点 M ，使得 M 到 D 、A 的距离之差最大，求出点 M 的坐标. 如图 13，抛物线 y=ax 2＋bx ＋c(a≠0) 顶点为（1,4），交 x 轴于 A 、B ，交 y 轴于 D ，其中 B 点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点 E ，交 y 轴于点 F ，其中 E 点的横坐标为 2，若直线 PQ 为抛物线 的对称轴，点 G 为 PQ 上一动点，则 x 轴上是否存在一点 H ，使 D 、G 、F 、H 四点围成的四边形周长最小.若存 在，求出这个最小值及 G 、H 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图 15，抛物线上是否存在一点 T ，过点 T 作 x 的垂线，垂足为 M ，过点 M 作直线 M N ∥BD ，交线段 AD 于点 N ，连接 △M D ，使 DNM ∽△BMD ，若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，说明理由.

二次函数解答题专题训练

二次函数解答题专题训练 一．解答题（共30小题） 1．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式． 2．如图，抛物线y=x2-3x+5/4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC 的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标． 3．如图，顶点为A（√3，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C （0，3），tan∠OAC=3/4．（1）求抛物线的解析式；（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对

称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB 的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 6．如图，抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（）元；②月销量是（）件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？