2019版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率课时达标62离散型随机变量的均值与方差20180507
第62讲 离散型随机变量的均值与方差
[解密考纲]离散型随机变量及其分布列、均值与方差在高考中一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合，以实际问题为背景呈现在三种题型中，难度中等或较大，正态分布一般以选择题或填空题进行考查．
一、选择题
1．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝( D ) A ．1
2＋p B ．1－p C ．1－2p
D ．12
－p 解析 由正态分布的概念可知，当P (ξ>1)＝p 时，P (0<ξ<1)＝1
2－p ，而正态分布曲线
关于y 轴对称，所以P (－1<ξ<0)＝P (0<ξ<1)＝1
2
－p ，故选D ．
2．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X ，得分为Y ，则E (X )，D (Y )分别为( C )
A ．0.6,60
B ．3,12
C ．3,120
D ．3,1.2
解析 X ～B (5,0.6)，Y ＝10X ，∴E (X )＝5×0.6＝3，D (X )＝5×0.6×0.4＝1.2，D (Y )＝100D (X )＝120.
3．若离散型随机变量X 的分布列为
X 0 1
P
a 2
a 2
2
则X 的数学期望E (X )＝( C A ．2 B ．2或1
2
C ．1
2
D ．1
解析 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 2
2
＝1，即a 2
＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或
a ＝1，所以E (X )＝12
.
4．(2018·山东潍坊质检)已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2
)，且P (X <5)＝0.8，则P (1 A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 解析 由正态曲线的对称性可知，P (X <3)＝P (X >3)＝0.5，故P (X >1)＝P (X <5)＝0.8，所以P (X ≤1)＝1－P (X >1)＝0.2，P (1 5．(2017·浙江卷)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0 2 ，则( A ) A ．E (ξ1) B ．E (ξ1) C ．E (ξ1)>E (ξ2)， D (ξ1) E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2) 解析 根据题意得，E (ξi )＝p i ，D (ξi )＝p i (1－p i )，i ＝1,2， ∵0 2 ，∴E (ξ1) 则f (x )在? ?? ??0，12上单调递增，所以f (p 1) 6．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2 )，且二次方程x 2 ＋4x ＋X ＝0无实数根的概率为1 2 ，则μ＝( C ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．不能确定 解析 因为方程x 2 ＋4x ＋X ＝0无实数根的概率为12， 由Δ＝16－4X <0，得X >4， 即P (X >4)＝1 2＝1－P (X ≤4)， 故P (X ≤4)＝1 2，所以μ＝4. 二、填空题 7．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为__73 __. 解析 由正态分布的性质知，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则2a －3＋a ＋22＝3，解得a ＝73 . 8．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每 粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为__200__. 解析 记不发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000,0.1)， 所以E (Y )＝1 000×0.1＝100.又X ＝2Y ，所以E (X )＝E (2Y )＝2E (Y )＝200. 9．(2018·贵州七校第一次联考)在某校2015年高三11月月考中理科数学成绩X ～ N (90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P (60≤X ≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780 人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有__78__人． 解析 因为成绩X ～N (90，σ2 )，所以其正态曲线关于直线x ＝90对称．又P (60≤X ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的1 2×(1－0.8)＝0.1，所以估计成 绩高于120分的有0.1×780＝78人． 三、解答题 10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示. 版本 人教A 版 人教B 版 苏教版 北师大版 人数 20 15 5 10 (1)从这(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 解析 (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C 2 50＝1 225. 选出2人使用版本相同的方法数为C 2 20＋C 2 15＋C 2 5＋C 210＝350. 故2人使用版本相同的概率为P ＝3501 225＝2 7. (2)X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 2 15C 235＝317，P (X ＝1)＝C 1 20C 1 15C 235＝60 119， P (X ＝2)＝C 220C 235＝38 119. ∴X 的分布列为 X 0 1 2 P 317 60119 38119 ∴E (X )＝0×317＋1×60119＋2×119＝119＝7 . 11．(2018·广东广州五校联考)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为 二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2.5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如茎叶图所示． (1)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2.5的平均值和方差； (2)从所抽样的6天中任意抽取3天，记ξ表示抽取的3天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望． 解析 (1)x ＝ 26＋30＋36＋44＋50＋60 6 ＝41， s 2＝16 ×[(26－41)2＋(30－41)2＋(36－41)2＋(44－41)2＋(50－41)2＋(60－41)2]＝ 137. 根据样本估计今年9月份该市区每天PM 2.5的平均值为41，方差为137. (2)由茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则ξ的可能取值为1,2,3，其中P (ξ＝1)＝C 1 4·C 2 2C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 2 4·C 1 2C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 3 4·C 0 2 C 3 6＝1 5 . 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 15 35 15 所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×5 ＝2. 12．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表. 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 解析 (1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500， 由表格数据知 P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝36 90＝0.4， P (X ＝500)＝ 25＋7＋4 90 ＝0.4， 因此X 的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)200，因此只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，Y ＝6n －4n ＝2n ； 若最高气温位于区间[20,25)， 则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ， 因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1 200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . 当200≤n <300时， 若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n . 因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n . 所以当n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．