初中数学统计与概率

课程简介

初中数学统计与概率

【课程简介】

本课程运用了大量教学中的具体案例来解读《义务教育阶段数学课程标准（修订稿）》第三学段“统计与概率”部分的具体要求、变化、重点等。具体阐释了“抽样与数据分析”的九条要求、“事件与概率”部分的具体要求、简单随机事件的特征、数据分析观念的培养、教学中的困惑以及教师专业发展的重要性和途径等。

学习本课程后，期望学员达到如下学习目标：

1. 掌握标准对于第三学段统计与概率部分的具体要求；

2. 明晰数据分析观念的内涵及培养策略；

3. 对统计概率部分的基本概念有正确的认识；

4. 了解教师专业发展的必要性，并有发展的动力。

【学习要求】

带着对统计概率教学中出现的问题进入学习，在学习过程中能够就新、旧课程标准对第三学段“统计与概率”部分的具体要求进行对比、分析，边学习边理解，并尝试用自己教学的经验及案例呼应新课标的要求，及时记录学习过程中的点滴思考和疑问。

专题讲座

初中数学统计与概率

王尚志（首都师范大学，教授）

张饴慈（首都师范大学，教授）

鲍敬谊（北京大学附属中学，初中部主任）

一、第三学段概率统计的定位

（一）概率的定位

1．经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。

统计最重要的是整个过程，统计就是要从数据里得到信息，在这个过程中收集、整理、描述、分析都是必须的。在教学中学生应该了解并学会如何处理统计的整个过程，不能很片面的认为统计仅仅是对内容的分析。

在小学的第一学段，即小学一到三年级，要帮助学生学会对于一些事物进行分类，其中包括一些对数据的分类，这种分类讨论，对于将来处理数据，是一个非常重要的基础。到了第二学段，学生应该不仅会收集数据，还应该可以处理一些数据，这就需要把数据用某种方式表达出来，比如说统计图表。学生经过整理数据，然后描述数据，最后分析数据的整个过程。所以整个这个过程，就像张老师强调的。在不同的年龄段，我们分析的对象不一样，分析的复杂程度不一样，但是这个基本过程始终是一样的。

在初中收集数据和在小学收集数据有什么差异。在小学收集数据，学生可能更多的是自己去收集，比如收集全班同学的身高，或者视力情况，那么到中学以后，学生不仅可以自己去收集，还可以去查阅资料，因为他学的知识多了，他可以利用现成的数据，比如说利用家长的资源，利用网络的资源，利用报纸上的一些信息，这样他数据的来源，就不仅仅是自己去调查，去收集，还有从别人那现成拿来使用的。从数据来看，比小学生就灵活多了、数据的来源也丰富多了。小学一个是自己收集，一个是老师提供他一些可以供他分析的数据，在初中，希望孩子接触的数据更多一些，所以他得到数据的来源，可能就丰富一点，这是和小学一个很大的差别。

2．体会抽样的必要性，通过案例了解简单随机抽样（参见例68 ）。

体会抽象的必要性，通过案例了解简单数据抽象，也是到了第三学段特别突出的一点。当我们面对这个对象，比如说从特别特别大的时候，想了解整个北京市18 岁男孩的身高，特别大的时候就使得误差程度，这就抽象数据，其次一个我想就是有一些抽样的破坏性的实验，我要了解灯泡的寿命，我很长时间就要点，点完以后就会报废掉，点完就会报废掉，也是不可能做的，所以这个抽样的必要性呢，要通过一些实例才能够了解。

除了抽样的必要性以外，我们还应该理解抽样的合理性。抽样如果做的不好，没有代表性，得到的结论就会有所歪曲，有所看法，所以我们通过案例了解简单抽样不仅是了解这种做法，实际上了解简单数据抽样，它是比较合理的。在初中阶段和小学阶段，一个明显的差异在收集数据上，就是我们要抽取样本。原来是以普查为主，现在要既会普查，通过普查的方式，来得到数据，又要初步的学会通过抽样的方式，特别是随机抽样的方式，来体会

抽样的必要性和合理性。比如说破坏性的东西，你总是要抽取其中一部分，来替代这个整体，要去体会抽样的必要性。另外，我们要体会随机的必要性，随机的必要性的核心是合理。所谓合理，就是能反应整体的面貌。如果不能反应整体的面貌，显然就不合理，比如：你了解成绩只了解实验班的成绩就不太不合理；你调查大家是不是喜欢看哪个电视剧，你只招年龄低段的人去调查，也不合理，因为随着年龄的不同，大家的爱好会发生变化。所以怎么样合理的进行抽样，是我们在初中需要体会的一件很重要的事情，这样的一个变化老师在教学中应该清楚。

3．会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。

第二学段要求学生认识这些图的意义。但在第三学段要求学生会制作这些图，包括直方图。那么在这里头绘画图我想怎么理解？用这个怎么定理？包括前面用计算器处理复杂的数据，怎么理解，就是说这个绘画图我觉得第一位，就是我要画一个，我要什么目的，我要反应什么信息，根据这个信息，我来选择画什么样的图，比如说我要反应他的百分之比是多少？比如说这个08 年奥运竞赛上，如果你想反应中国第一，美国第二，多少那可能是一个条形图，你要反应一下中国金牌整个金牌，那可能扇形图，所以这个绘制图的话，第一位的是，在绘画图时，根据目的选择合适的图是最重要的。

关于图表制作方面，对于图的处理方面，希望老师清楚，第一，不同的统计图表，可以帮助我们整理和描述数据；第二，初中和小学的差异是什么？小学阶段要让学生会看懂、识别。初中阶段就要求学生会制作图，如制作扇形图和直方图；第三，为何要画这个图，目的是什么？制作图表的目的不是仅仅会画这个图，而是希望把这些数据中的某些信息凸现出来，所以不仅要会画扇形图和直方图，还要理解这些图表对展示信息有什么作用？第四，自己选择统计图表，用合适的方式最好的表达数据中所蕴含的信息。画图的目的，不是为了画图而画图，而是为了把数据中蕴含的重要信息凸现出来，让你们看的清楚，一目了然，读图在这个过程中仍然是重要的。

4．理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述（参见例69 ）。

我们把数据进行加工后，构成了一些数字特征，其中平均数是最重要的。在这一阶段，可对平均要求最高的，了解他们是数据，几种趋势方法，第一，最重要还是要平均数，其次就是众数和中位数。

刻画集中趋势的参数中最核心的是平均数，我们对平均数作一点拓展，即加权平均数。对于加权平均数，它的出现是很自然的，在教学时要让学生比较自然的认识它。简单的讲，加权平均数就是反应大家做的贡献不一样，有的贡献大一点，有的贡献小一点。比如在一组分数中95 分的多，那么95 分在平均分里就贡献大一点，一百分的少，那么一百分在整个

平均分中，做的贡献就小一点，占的成分多一点，权重大一点，从而拓展到我们对事物的看重程度。这样的理解是循序渐进的。对于加权的认识，在高中和大学仍然是我们要不断学习的。

5．体会刻画数据离中程度的意义，会计算简单数据的方差（参见例70 ）。

第一，在所有的数据特征数里，可以分成两类，一类是反映这个数据集中程度的特征数，一类是反映数据离中程度的特征数，这是反映数据性质的两类不同的特征数，学生能够理解他们的差异，而平均数，中位数，众数，它反映的意思比较接近。

第二，教师不要从抽象的定义出发来讲解，要通过具体的实例帮助学生去感悟，去认识，去理解。

6．通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息（参见例71 ）。

90 分到100 分之间，我们班里多少个人？85 分到90 分有多少人？这就是在算频数。我们把它画成频数直方图，这样可以了解分布的意义，频数分布也就是落在各个段这个频数所占的分布。比起条形图的直观，频数直方图对信息的反应是比较全面的。它也是将来高中学习频率直方图的一个基础。学生在画图的基础上更应该通过尺度的度量来了解频数和频数分布的意义。

频数和频数分布的意义，全面地反映了这个数据带来的信息。我们要不断地理解这些数据所反映的是全面还是分布，他把整个数据的基本状况展示出来我们要把握整体。

7．体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。

我们可以用样本平均数和样本方差来推断总体平均数。在学习总体方差的时候，很多学生会有些困惑，他会认为算出来的样本平均数就是总体平均数。但事实上样本平均数和总体平均数是不一样的。我们应该让学生理解样本可以反映总体的某些问题，但是它和总体的还是有差异的。

8．能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测，并能进行交流（参见例71 ）。

9．通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势（参见例72 ）。

国民经济总产值，调查了经济发展中的物价上升趋势，根据这些数值可以做解释。比如这几个月，通货膨胀上升的趋势，它是随机测的，并没有把所有的消费水平，物价都算进去，但是我们要根据所得到的这些数据，作出一些简单的判断和预测，而基础就建立在我们

的样本、图表和数据特征上。当然我们要认识到，这样的预测是有误差的，甚至还会有扭曲。（二）事件的概率

1．能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率（参看例73 、例74 ）。

在某种意义上，所谓简单随机事件，就是指古典概型。首先，我们要了解一个古典概率模型，我们可以列表，画图，把所有的结果都列出来，这是一个计算的过程，方法。虽然计算方法很重要，但是了解古典概率这种等和的模式是非常必要的。第二，教师应该通过实验来让孩子认识到，通过大量地重复实验，可以用频率来估计概率。也是要来首先应该是不确定和随机的，其次才是定性，大量重复实验体现频率问题，即频率稳定性。所以你不能指望向全班咱们扔硬币扔一百次就出现50 次正面，有的老师就不知道怎么处理的，处理的次数一次，孩子就不对，就不应该，实际上第一位是随机的，这东西太正常了，其次呢，这是怎么样，大量重复实验体现频率问题，频率稳定性，比如说掷出现正负二分之一，掷一个色子出现六分之一，这个二分之一，还是两次，出现一次，六分之一，也不是六次出现一次，他是大量地实验，所以我想我们老师在这些把握上，可能还不够，否则给孩子带来些误导。

第一，初步地理解古典概型，古典概型怎么样进行计算；第二，理解随机现象。什么样的现象是随机现象呢？一个最重要的特征，就是可以重复，经过大量重复，得到一个估计概率的一个重要概念—频率。那么这个频率是估计概率的一个重要的概念。小学阶段，某些随机现象的可能性是不一样的。初中阶段，要理解一个特殊的随机现象，对概率的一个基本定位分为两种。一个是具体的古典概型，一个是一般的，即通过大量重复实验用频率去估计概率。

二、统计概率的本质

（一）统计

要了解统计这门课程，需要先理解统计的概念。一般来说，统计主要研究如何搜集数据，如果整理数据，以及如何从数据得到我们所需要的信息。所以统计的核心词是信息，一切都是为了寻找并得到所需的信息。研究如何搜集数据，如何整理所收集的数据来凸现这个信息，无论是算平面数、算中位数，还是画图表、频数分布直方图，都是为了需要凸显的信息，判断是否能够通过统计得到所需的信息，而以此得出的统计推断靠性有多大等等。所以它的核心问题就是信息，而要得到这样的信息，我们就要关注整个过程。因此它跟我们其他的那些数学上的定义、定理、证明不太一样，它是一个从数据里归纳出结论的过程。

统计课程有以下几个关键词。第一，从数据中提取信息，是统计的第一要务。我们围绕着要得到的信息去收集数据，设计整理描述数据的方法，比如说选择不同的图式，无论是直方图、扇形图、折线图，还是其他的图式，都是希望通过它们将信息清晰、准确、直观地反映出来。第二，统计解决问题是靠一个过程来解决的，这个过程包括数据的收集、描述、整理，以及从数据中提取信息，并且用这些信息来说明问题的过程。第三，统计处理问题是一个归纳的过程，特别是在初中阶段，我们不仅要会搜集所有的数据，整个收集过程都是去体现一个归纳的思维，用部分去说明整体，这样才能解决问题。这是解决问题的一种重要的方法，也是一种重要的思维，更是一种重要的推理。

（二）概率

概率研究的是随机现象。随机现象实际就是在相同条件下，可以做大量地重复实验，其结果不确定，但是在大量实验中呈现出一种规律性，我想这三点是随机现象的根本特点。所以不用去给概率下定义，概率的定义也不在我们讨论的范围，但是有几个要界定清楚的问题，比如说结果是在实验之前无法确定的，一些老师如果把握不好，就会把一些在实验之前结果就完全确定的现象当做随机现象来处理。例如，火星上有没有生命，这是完全确定的，要么就有，要么就没有，只是我们不知道，这是未知现象，必须跟随机现象区分开来。

在中学阶段，我们的老师要帮助我们的学生学会识别，什么是随机现象。随机现象有三个基本特征。第一个特征就是在一定条件下，可以重复实验。凡是不能重复的，条件不确定的，就不是随机的。第二个特点，就是在我们研究实验之前，无法知道这次实验的结果。凡是能知道结果的，一定不是随机的。第三个特点，就是由前两个特点衍生出的一个概念——频率，即大量实验某一个结果出现的次数。我们说在大量实验的前提下，这个频率将稳定在某一个数值，这是反映了我们随机现象的规律性，它的规律性就是稳定。这三个基本条件，是我们对随机现象进行基本判定的基础。

随机性跟频率稳定性相比，随机性是第一位的，所以教师要和孩子们做一些探究，比如扔100 次硬币，出现41 次正面，这是非常正常的，不能指望每次一扔都出现50 次频率。

三、统计概率教学中的困惑

1．关于概率的定义的问题。有很多老师感觉没有定义不踏实，于是要抠这个定义，结果越抠越乱。

概率的确切定义是一个很难说清楚的问题，从某种意义上来说，它是一个哲学问题而

非数学问题。所以在数学上对它进行的是一个公平化的定义，所谓的公平化，就是把它定义成一个具有可加性和非负性的量，也就是说把它跟长度、面积、质量、体积之类等同起来。这样的做法实际上在数学领域里是很常见的，比如在几何中，我们不讨论线和点的定义，只讨论它们之间的关系。既然在数学里有这样一个处理定义问题的方法，我们就只强调和把握概率最基本的特点——在相同条件下做重复实验，实验之前其结果不可预料，而它的频率则是稳定的。我想这样对我们理解、计算和应用概率，都是很有帮助的。而具体去抠什么是概率，甚至去抠什么是实验，不但无助于我们对概率的理解，反而会造成学生的迷惑。所以说虽然定义在数学里非常重要，但不能把它绝对化，因为它是一个无限上推，不可能完成的任务。所以我们在这里讲概率统计，特别强调案例的教学，希望通过大量例子来帮助大家理解其实质，而不是去苛求准确的定义。

2．天气预报经常说，降水概率是80% ，学生的理解有很大的偏差

在杭州问一个老太太，说下雨概率是80% 怎么理解，她说80% 地区下雨，实际上你要理解什么，我们谈到概率，就是说在相同条件下，也就是说明天如果预报降雨的概率是80% ，一定是我观测的气象条件，在我历史上的资料里头，有跟明天近似，几乎相等的情况下，那在历史中记录了，凡是这样天气里头，大概有80% 都是下雨了，有20% 没下雨，因此我就说，又出现这样情况了，那么根据历史的资料，那么我应该是80% ，也就是说一定是在相应条件下，做重复实验的这些频率稳定性来看的，所以一定不是去抠这样一些东西。

关于概率的几个基本特征，对这几个基本特征的认识，就足以使我们能够很好地区分什么是随机现象，什么不是随机现象，并且如何用随机现象来帮助我们解决一些问题，就够了，那么对于我们的学生和老师来说，没有必要他们必须建立起一个完整地确切的一个定义，专门研究数学的人，或者专门研究概率的人，他们会以某种公平的形势，给出一个自圆其说的定义，有了这三个特征，我们就可以去解释这些现象。在概率里面呢，一定是重视，而不是在所谓严格性去抠，就是说这个必然事件，什么不可能事件，是不是随机事件呢，都是随机性特定的，我觉得像这些东西，其实很清楚，我们把它规定进来了，我们在算时间概率，它也算是其中的一员对不对，就是像这样的一些东西的话，都没有必要在这使劲去抠它。

整个统计，对于定义的看法，都是应该这样，就是你要关注他的意义，比如说中位数，中位数的特征，就在于比它多的那一半，比它少的，那么如果你是偶数个，你这中位数定这么一点，定这么一点，都是无所谓的，因为我最关注的就是比他多的那一半，比他少的那一半，假设10 数，从这，这样它的缺点就在于它不为 1 ，我们有时候把这两数求一下，统计一下，但是你事情搁在这儿了，因为我们关注的是有一半比他多的，有一半比它说的。这是最关注的，抠这些东西就没有太大的意思。这样就等于把这个变成算术了，完全失去了，我们引入中位数这个概念的实质性的作用，所以有中位数，也可能产生四分位数，也可能产生八分位数，那都是根据在具体情景的需要，引入的这些概念，来反映集中的程度，或者集

中偏差的程度等等等等。同样像众数，出现最多的那数，众数，它是反映这个数据里的一个信息。

3．有时候考试的时候，画图，对于这个直方图有一个数，属于它好，什么半开半避这些怎么看待这件事情。

画图的基本方法，当然要会，分组画图，但是呢，在很多细节里头，都不是很多，特别是我们数据中，抽样地来，有它的随机性，有误差，你说是左边避右边开，还是右边避左边开，都是问题不大，你比如说这个直方图，我们有了直方图以后，我们有时候把那个每一个小矩形的中间，连成一个折线，那么有的学生，有的老师就问了，这个我最右边这是在那儿，这边就没有了，这点要不要连呢，下面要不要连，就争吵这个问题，但是你要知道，比如说我考虑的是这个身高，比如说，我量初三人的身高，这一块是 1 米 4 到 1 米65 的，那么为什么不可能就这个别还会有 1 米3 ，未尝估计一下是不可以的，还是可以的，但是如果我考虑这个，我这预期这孩子的年龄，他是从0 开始的，0 到5 ，5 到10 的话，你再连着这边出现负的就没有意义了。

统计它有很强的实际背景，但这实际背景需要结合，比如说出了一个矿难，我就非常关心死亡的人数，或者出了一个禽流感，这个人数，这个频数，这个数就变得非常平等，你说百分比就不行，一般人也不接受，但是如果从我考察一个学校里头，这老年人里头多少高血压的，可能百分比比那个频数，频率比频数就更重要了，在不同情况下，我关注的东西都是跟实际联系的，所以绝对不是直接地就抽象去做一个定义的。

4．有一些教学中，讨论所谓用概率来讨论公平性的问题这个问题怎么看？

我们并没有给公平在数学上给一个很明确的意思，不太主张在我们这个大量地去来讨论这个问题，现在这些问题问得越来越复杂了。比如说咱们两个人说这有一张票，我们两个人要一张票，只能有一个人去，我们就开始扔硬币，或者说掷一个色子，二四六我就去，这个显得就很公平，因为我们的机会是一样的，你看掷出一三五我去，掷出六他去，就不公平了，但是公平程度应该可能不止在这个概率的问题，还应该有一个得到的好处有多少的问题，比如说咱俩概率都一样，扔出正面你拿走，扔出反面，这有两张票，扔出正面你拿走这个，扔出反面我拿走这个，这两票的价值非常非常不一样，我们俩概率当然相等，但是这个也是不一样。所以这东西我觉得是一个比较复杂的问题，在现实中，所以我觉得没有在这个必要，虽然我们非常主张我们概率的一些应用，包括你在班上组织一些活动，抽签什么的，但是过分地去讨论公平问题。

决定公平的因素是多方面的，其中概率相等是影响公平的一个因素，在不同情况下，影响公平的主要因素是谁，我们要清楚，也许并不一定是概率相等不相等是主要因素，如果两张票的面额不一样，那么你这个概率相等不相等的作用就没有那么大了，所以公平是一个相对复杂一点的问题，如果我们老师一定愿意用这样的一个情景来理解概率，一定要界定清楚，让学生体会到，在这个情景中，这个概率是起了主要作用的，而不要让学生产生误解，只有概率是决定公平性唯一标准，那么这样就误导了学生的理解。

5．老师举出来的例子，引入的例子，可能不是我们所谓随机现象，对这样的一些情况有什么样的建议？

概率的最基本的三条，相同条件下做重复实验，结果不确定，和频率稳定性，把这三条我觉得我们把握住了，这样我们就不会出现大的偏差，否则有时候我们老师自己也有讲糊涂，把这些东西全都混在一起，我觉得，因为在初中我没有怎么教，但是我非常希望在初中开发一些好的例子，这些例子不一定是很难，但是呢，比如说要让他觉得还是有用的，别管你是估计鱼也好，估计什么，有用，另外让他知道，因为概率嘛，他既然结果不确定，很多人就觉得，学概率有什么用啊，但实际上你要让他体会，你比如说有两个工厂，这个工厂生产的产品，四平米只有百万分之一，那个四平米只有十分之一对不对，那么如果我不知道，我去买那十分之一的产品，我可能买到好的，十分之一，如果我告诉你概率了，说这个百万分之一，你去上这买去，偏偏那个百万分之一就让你给买到了，好像学到概率没什么，知道以后也没什么用，但是首先我们要知道，第一这是随机现象，本性无法避免的，现实，这随机现象就是这样，但是他对我们还是有指导作用，也就是说如果我是买，还是要去买这个产品，也就是说我们能通过一些简单的例子，让孩子对这个了解的随机现象。

6．通过活动的形式，来帮助我们学生去理解和认识，统计和随机现象，这样是不是一种好的处理方式?

用活动的方式来让学生做能非常好地发挥学生的积极性，他的热情非常非常好，自己去搜集数据，自己去先设计搜集方案，搜集数据，去查资料，然后来做，然后互相之间评价，评比，他就特别能容易挑出别人的毛病，这毛病实际上也可能就是他自己也有的毛病，然后有一个区分提高，我觉得这样一个过程，能让他终身不忘，他这样统计的结果。而我们要讲这个步骤，第一步怎么做，第二步怎么做，这东西我想就丧失掉了这样的意义了。

四、教师专业发展的有关问题

概率统计进入中小学课程，对于教师的专业发展提出了挑战。那么我们老师应该如何

不断地提高自己来应对挑战呢？以下从三个角度给老师提出一些建议。

首先，数学方面，因为概率统计进入到中学，初中，时间还不是很长，而概率统计，特别是概率这些感觉都不是很好理解的一个概念，咱们国家进入市场经济也比较晚，有些情况不是靠做一道题，两道题就能弄清楚的，像抽签跟顺序无关，你尽管做题得出的结论，但是在心理上，还是不舒服，就很多这样的问题还是在这存在的，所以我想对我们来说呢，在数学上有一个提高的过程，当然对我们初中老师来说，起码应该把高中中的概率和统计的内容，你应该要比较熟悉，因为大学学的可能比较远了，或者也不太熟悉，但是因为你的课是给高中，他进一步学习，是要在高中学的，起码你应该了解一下高中对抽样他讲了一些什么东西，他在统计过程里，更强调一些什么东西，包括概率，包括古典概型，这些东西，我觉得这是一个非常重要，最起码应该要了解，这样咱们很好地把握初中的教学，如果你对高中的定位，各方面都不太熟的话，可能不太有利于对初中的教学，所以我想在这一点就特别希望我们老师能够关心一下高中的概率统计的教学。

其次，要了解数学模型和实际问题的关系，那么数学模型是一个被理想化了的一个东西，但是实际问题是具有多种因素的问题，那么在我们解决问题的过程中，我们需要对我们的模型进行选择，来解决问题，我想这是我们在概率里头需要学到一些东西，另外我们希望他的教学模式和初中一样，案例出发，能采取活动更好，这样才能让学生学习概率的积极性调动起来，关于统计呢，我想和初中一样，一定要帮助在初中的基础上，能够完善和提升我们统计处理问题的全过程，包括数据的收集，数据的整理，数据的描述，从数据中提取信息，并用这些信息解决问题，只是我们抽样的方式整理和描述数据的方式，以及我们提取信息的多少发生了一定的变化，我们解决问题的广度，我们解决问题的深度，发生了一定的变化，另外呢，我们也希望老师能掌握几个基本的重要的统计模型，比如说回归分析，独立性检验等等，这些学习我们希望初中的老师依然能够了解，在统计的教学中，和概率一样，我们仍然强调案例教学，活动教学，强调过程，强调抓住本质的东西。

最后，要了解学生，了解学生喜欢做什么，那我们就设计学生喜闻乐见的事情，对学生有挑战的事情。做中学，在开发案例的过程中提高自己的教育的本领，教育自己驾驭学生的本领，也提升自己的数学素养。

高中数学统计与概率知识点(原稿)

高中数学统计与概率知识点（文） 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

小学六年级下册数学《统计与概率》检测卷 附加答案

统计与概率检测卷（2） 1.我会填。 (1)扇形统计图的优点是可以清楚地表示出( )与( )的关系。 (2)( )统计图是用长直条表示数量的,从图中很容易看出( )。 (3)要记录一个病人一天的体温变化情况,应选用( )统计图。 (4)盒子里有同样大小的6个红球、5个绿球和8个黄球,从盒子中任意摸出一个球,摸到( )球的可能性最大。 2.我会选。(将正确答案的序号填在括号里) (1)一个月中( )有4个星期日。 A.一定 B.可能 C.不可能 (2)任意两个相邻的自然数的和,( )是偶数。 A.一定 B.可能 C.不可能 (3)抛一枚硬币,第一次正面朝上,第二次( )反面朝上。 A.一定 B.可能 C.不可能 (4)东东的身高是1.45米,一条小河平均水深1米,他趟过这条小河( )会有危险。 A.一定 B.可能 C.不可能 3某服装店5月份男式衬衫进货和销售情况如下表。 (1)请你根据统计表完成下面的统计图。 服装店5月份男式衬衫进货和销售情况统计图 (2)你认为这样进货合理吗?为什么?

(3)你对下一次进货有什么建议? 4.根据统计图回答问题。 小明家4个月水费统计图 (1)小明家这4个月的平均水费是多少元? (2)请你预测一下小明家接下来一个月的水费可能是多少元,说说你的理由。 5.下图是光华小学六年级的学生周末活动情况统计图。 (1)参加特长班学习的和读书的同学占学生总数的百分之几? (2)如果参加户外活动的有32人,玩网络游戏的有多少人? 6.在一次考试中,李欣的语文、数学、英语三科的平均成绩是95分,如果再加上科学和社会两科,五科的平均分是89分。已知科学比社会多得4分,那么李欣的科学和社会各得了多少分?

中考数学统计和概率专题训练

中考数学统计和概率专题训练 1. （2012福建）“六?一”前夕质监部门从某超市经销的儿童玩具、童车和童装中共抽查了300件儿童用品，以下是根据抽查结果绘制出的不完整的统计表和扇形图； 类别 儿童玩具 童车 童装 抽查件数 90 请根据上述统计表和扇形提供的信息，完成下列问题： （1）分别补全上述统计表和统计图； （2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童车的合格率为90%、85%、80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，请估计购买到合格品的概率是多少？ 【答案】解：（1）童车的数量是300×25%=75，童装的数量是300－75－90=135； 儿童玩具占得百分比是（90÷300）×100%=30%。童装占得百分比1－30%－25%=45%。 补全统计表和统计图如下： 类别 儿童玩具 童车 童装 抽查件数 90 75 135 （2）∵儿童玩具中合格的数量是90×90%=81，童车中合格的数量是75×85%=63.75，童装中 合格的数量是135×80%=108， ∴从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，购买到合格品的概率是 8163.75108 84.25% 300++=。

2.（2012湖北）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数； （4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 【答案】解：（1）60÷10%=600（人）． 答：本次参加抽样调查的居民有600人。 （2）喜爱C粽的人数：600－180－60－240=120，频率：120÷600=20%； 喜爱A粽的频率：180÷600=30%。 据此补充两幅统计图如图： （3）8000×40%=3200（人）． 答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人。 （4）画树状图如下：

初中数学统计与概率知识点精炼

统计与概率 一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式： 普查：对调查对象的全体进行调查； 抽样调查：对调查对象的部分进行调查； 总体：所要考察对象的全体； 个体：总体中每一个考察的对象； 样本：从总体中所抽取的一部分个体； 样本容量：样本中个体的数目（不带单位）； 平均数：对于n 个数12,,,n x x x ，我们把121()n x x x n +++ 叫做这n 个数的平均数； 中位数：几个数据按大小顺序排列时，处于最中间的一个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做中位数； 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据； 方差：2222121()()()n S x x x x x x n ??=-+-++-?? ，其中n 为样本容量，x 为样本平均数； 标准差：S ，即方差的算术平方根； 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差； 频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数； 频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率； ★ 频数和频率的基本关系式：频率 = —————— 各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于1； 扇形统计图：圆表示总体，扇形表示部分，统计图反映部分占总体的百分比，每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的百分比； 会填写频数分布表，会补全频数分布直方图、频数折线图； 频数 样本容量 各 基 础 统 计 量 频 数 的 分 布 与 应 用 2、 3、

二、概率的基础知识 必然事件：一定条件下必然会发生的事件； 不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件； 2、不确定事件（随机事件）：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件； 3、概率：某件事情A 发生的可能性称为这件事情的概率，记为P(A)； P (必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1； ★概率计算方法： P(A) = ———————————————— 例如 注：对于两种情况时，需注意第二种情况可能发生的结果总数 例：①袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 1 10 ②袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后放回 ．．，再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 4 25 1、确定事件 事件A发生的可能结果总数 所有事件可能发生的结果总数 运用列举法（常用树状图）计算简单事件发生的概率 …………

六年级统计与概率

3、统计与概率 （1）统计 一、填空。 1、简单的统计图有（）统计图、（）统计图和（）统计图。 2、扇形统计图的优点是可以很清楚地表示出（）与（ 3、（）统计图是用长短不同、宽窄一致的直条表示数量，从图上很容易看出（）。 4、为了表示某地区一年内月平均气温变化的情况，可以把月平均气温制成（）统计图。 5、4、7.7、8.4、6.3、7.0、6.4、7.0、8. 6、9.1这组数据的众数是（），中位数是（），平均数是（）。 6、在一组数据中，( )只有一个, 有时( )不止一个，也可能没有( )。(填众数或中位数) 一、选择题。 1、对于数据 2、4、4、5、 3、9、 4、 5、1、8，其众数、中位数与平均数分别为（）。 A 4, 4, 6 B 4, 6, 4.5 C 4, 4, 4. 5 D 5, 6, 4.5 2、对于数据2，2，3，2，5，2，10，2，5，2，3，下面的结论正确有（）。 ①众数是2 ②众数与中位数的数值不等③中位数与平均数相等 ④平均数与众数数值相等。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 三、下面记录的是六（1）班第一组学生期中考试成绩（单位：分） 83、89、81、55、62、70、78、94、84、97、86、100、66、75 请根据上面的记录的分数填写下表，并回答问题。 （1）该小组的平均成绩是（）分。 （2）优秀率（接满分80分以上计算）是（）%。

（3）及格率是（）%。 （4）优秀学生比其他学生多（）人，多（）%。 四、将下面的两个表格填完整。 （表1）某服装厂去年和今年产量情况统计表 （表2）进入某市旅游人数统计表 五、六年级一班第一组男、女生体重情况如下表。（单位：千克） （1）这个组男生体重的平均数和中位数分别是多少？女生呢？ （2）你认为表示这个组男生体重的一般情况，平均数和中位数哪个更合适？ 六、应用题。

小学六年级数学统计与概率

统计与概率 一、填空。 1、简单的统计图有（）统计图、（）统计图和（）统计图。 2、扇形统计图的优点是可以很清楚地表示出（）与（）的关系。 3、（）统计图是用长短不同、宽窄一致的直条表示数量，从图上很容易看出（）。 4、为了表示某地区一年内月平均气温变化的情况，可以把月平均气温制成（）统计图。 5、4、7.7、8.4、6.3、7.0、6.4、7.0、8. 6、9.1这组数据的众数是（），中位数是（），平均数是（）。 6、在一组数据中，( )只有一个, 有时( )不止一个，也可能没有( )。(填众数或中位数) 7、一个骰子掷出“ 1”朝上的可能性为________，“ 2”朝上的可能性为________。 8、数据58，57，42，45，50，54的平均数是________，中位数是________。 9．已知数据1，2，x，5的平均数为2.5，则这组数据的中位数是___________。 10．扔硬币时，正面朝上的可能性为__________，若扔100次，大约有__________次正面朝上。 11、把37只白兔放进9个笼里，总有一只笼子至少要放进（）只。 二、选择题。 1、对于数据 2、4、4、5、 3、9、 4、 5、1、8，其众数、中位数与平均数分别为（）。 A 4, 4, 6 B 4, 6, 4.5 C 4, 4, 4. 5 D 5, 6, 4.5 2、对于数据2，2，3，2，5，2，10，2，5，2，3，下面的结论正确有（）。 ①众数是2 ②众数与中位数的数值不等③中位数与平均 数相等④平均数与众数数值相等。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3、某人射击一次，击中0-10环的结果的可能性都相等，那么击中8环的可能性是（）。 A．1/12 B．1/

小学六年级统计与概率练习题

小学六年级统计与概率练习题 1、抛出一枚硬币，落下后有( )种结果。出现反而的可能性有 ( ) 2、李明和高飞下跳棋，他们用掷骰子的方式决定谁走几步，骰子各面分别写着1、2、 3、 4、 5、6，抛出每个数字的可能性是( )。 3、一个装满白球的盒子里，( )摸出红球，( )摸出白球。 4、商业大厦电梯的载重限额是1250千克，那么电梯最多可以运送 ( )个75千克的人而不超载。 5、医生想用统计图记录病人24小时的体温变化情况，他选用( )统计图比较合适。 6、要表示本校三至六年级各年级的人数，用( )统计图表示比较合适。 7、小明从家去相距4千米远的图书馆看书和借书。从所给的折线图中可以看出小明在图书馆呆了( )分钟，去时平均速度是每小时( ) 千米，返回时平均速度是每小时( )千米。 13．在全年级的375名学生中，有两名学生生日相同的概率是_________．14．从甲、乙两班抽取人数相等的学生参加了同一次数学竞赛，其竞赛成绩 的平均分、方差分别为： 甲= 乙 =80，s 甲 2=240；s 乙 2=180，则成绩较稳定的是 ________． 15．某班50名学生在适应性考试中，分数段在90～100分的频率为0.1，?则该班在这个分数段的学生有_________人． 16．用5分评价学生的作业（没有人得0分），然后在班上抽查16名学生的作业质量来估计全班的作业质量，从中抽查的数据中已知其众数是4分，那么得4分的至少有_______人． x x

贝贝欢欢 17．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命跟踪调查结果如下（单位：年）： 甲：3，4，6，8，8，8，10， 5 乙：4，6，6，6，8，9，12，13 丙：3，3，4，7，9，10，11，12 三个厂家在广告中都标明产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、?众数、中位数哪一种集中趋势的特征数，?甲：?______．?乙：_______．丙：________． 18．要把北京奥运的5个吉祥物“福娃”放在展桌上，有2个位置如右图已定，其他3个“福娃”在各种不同位置放置的情况下，“迎迎”和“贝贝”的位置不相邻这一事件发生的概率为__________． 19．小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是 ． 20．为了解某新品种黄瓜的生长情况，抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到上面的条形图，观察该图，可知共抽查了________株黄瓜，并可估计出这个新品种黄瓜平均每株结________根黄瓜． 二、选择题（将唯一正确的答案填在题后括号内）： 19题图 5 10 15 20 10 12 黄瓜根数/株 株数 20题图

高中数学统计与概率测试题

高中数学统计与概率测试 题 Revised by Liu Jing on January 12, 2021

高中数学统计与概率测试题一选择题 1．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是( ) A． 1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本的容量是100 2．某班级在一次数学竞赛中为全班同学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元，参与奖2元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法不正确的是（） A．获得参与奖的人数最多 B．各个奖项中三等奖的总费用最高C．购买奖品的费用平均数为元 D．购买奖品的费用中位数为2元3．滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间[1,820]的人做问卷A，编号落入区间[821,1520]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（） A． 23 B． 24 C． 25 D． 26

4．为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人、60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取3名，则n＝( ) A． 13 B． 12 C． 10 D． 9 5 ,,, A B C D四位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一大人和一小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A的小孩坐C妈妈或D妈妈的车概率是 A．1 3 B． 1 2 C． 5 9 D． 2 3 6．如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图 根据频率分布直方图，下列说法正确的是 ①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值 ②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值 ③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值 ④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 7．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（） A． 5 B． 4 C． 3 D． 2

六年级数学统计与概率相关试题

六年级数学统计与概率试题 一、填空题。 1．某公司去年1～12月生产产值统计后，制成（）统计图，能比较清晰地反映出各月产值的多少；假如要反映各月产值增减变化的情况，能够抽成（）统计图。 2．请你把下面的统计表填写完整。

某机床厂4、5月份生产机床情况统计表： 3．把下面的统计表补充完整。 某连锁店2005年第四季度营业额统计表： 4．三（1）班民主选举班委，有8位同学参加竞选（以编号代替姓名），全班48位同学参加了投票选

举。得票如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 编 号 39 23 43 18 41 46 18 42 票 数 （1）得票最多的是（）号同学。 （2）得票数超过半数的同学能当选为本届班委。 那么，这次民主选举（）位同学竞选成功，光荣地当选为本届班委，当选率为（）%。 5．看图填空。 哈尔滨市与南京市的月平均气温统计图 (1998年7月～10月)

（1）两个都市在（）月温差最小，在（）月温差最大。 （2）（）市（）月的平均气温与前一个相比下降最快。 二、选择题。 1．在我们学过的统计知识中，最能清晰地表示出数量增减变化情况的是（）。 A、平均值 B、统计表 C、折线统计图 D、条形统计图 2．要统计某一地区气温变化情况，应选用（）统计图。 A、条形 B、折线 C、扇形 D、任意选用 3．某省统计近期禽流感疫情，既要明白每天患

病动物数量的多少，又能反映疫情变化的情况和趋势，最好选用（）。 A、条形统计图 B、折线统计图 C、扇形统计图 D、统计表 4．下面的信息资料中，适合用统计图表示的是（）。 A、学校各年级的人数 B、五年级各班做好事的件数 C、6月份气温变化情况 D、学校教师的人数 5．下面哪个图是小明测到六月份北京室外温度变化情况（）。

高考数学复习专题：统计与概率(经典)

11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p

六年数学统计与概率

课题统计课 时 3 教学目标知识与能力： 经历收集数据、整理数据、分析数据的活动，体现统计在实际生活中的应用。在运用统计知识解决实际问题的过程中，发展统计观念。 过程与方法： 感受统计与现实生活实际的联系。 情感与态度： 在学习活动中形成解决问题的一些基本策略，获得成功的学习体验，树立学习数学的自信心 学习重难点 会收集、整理和分析数据。 重难点指引可以收集数据、整理数据、分析数据的活动，体现统计在实际生活中的应用。 导案学习生成单 1、创设情境 分析上面的数据，，你能够得到到哪些信 息？ 2、平均数、中位数、众数 3、出示教材第83页第4题图， 4、下图是某地区6—12岁儿童平均体重情 况。 5、下图是某日部分城市空气质量日报， 6、学校气象小组测得上周星期一至星期五 的室外气温， 日期星 期 一 星 期 二 星 期 三 星 期 四 星 期 五 平 均 气 温 一.自主探索 我们班要和希望小学的六（1）班建立手拉手 班级。你准备怎样向他们介绍我们班的情况 呢？ （1）列出几个你想调查的问题，全班交流后， 选择3个问题开展调查。 （2）你需要收集哪些数据？与同伴交流收集 数据的方法。 （3）实际开展调查，把数据记录下来，并进 行整理。 二.合作交流 1、回想一下，什么是平均数、众数和中位数？ 2、回答下面的问题。 （1）怎样整理六（1）班家庭成员人数的调查 结果？ 可以画条形统计图，并提出一些问题。 （2）用折线统计图表示月平均气温变化有什 么好处？ （3）假如小芳买课外书用了20元钱，那么小 芳的零花钱共有多少元？ （4）除了上面的扇形统计图与折线统计图， 你还学了哪些统计图？举例说明集中统计图 各自的特点。 三.达标检测 1、看图回答下面的问题： （1）从统计图中可以看出，随着年龄的增长，

高中数学概率与统计测试题

概率与统计 1.如果一个整数为偶数的 概率为 (1)a+b 为偶数的概率； (2)a+b+c 为偶数的概率。 0.6 ，且 a,b,c 均为整数，求 2.从 10 位同学 (其中 6 女，4 男)中随机选出 3 位参加测验，每位女同学能通过测验的概率 43 均为，每位男同学能通过测验的概率均为，求55 (1)选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率； (2)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。 3.袋中有 6 个白球， 4 个红球，甲首先从中取出 3 个球，乙再从余下的 7 个球中取出 4 个球，凡取得红球多者获胜。试求 (1)甲获胜的概率； (2)甲，乙成平局的概率。 4.箱子中放着 3 个 1 元硬币， 3 个 5 角硬币， 4 个 1 角硬币，从中任取 3 个，求总钱数超过 1 元 8 角的概率。 5.有 10 张卡片，其号码分别位 1，2，3?，10，从中任取 3 张。 (1)求恰有 1 张的号码为 3 的倍数的概率； (2)记号码为 3 的倍数的卡片张数为ξ，求ξ的数学期望。 6.某种电子玩具按下按钮后，会出现白球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球 1 的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率2 1 2 3 2 分别为, ；若前次出现绿球，则下次出现红球、绿球的概率分别为, ，记第 n(n ∈ 3 3 5 5 N,n ≥1) 次按下后，出现红球的概率为P n

(1)求P2的值； (2)当 n∈N,n ≥2 时，求用P n 1表示P n的表达式； (3)求P n关于 n 的表达式。 7.有甲、乙两个盒子 ,甲盒子中有 8 张卡片 ,其中两张写有数字 0,三张写有数字 1 ，三张写有数字 2 ；乙盒子中有 8 张卡片，其中三张写有数字 0，两张写有数字1，三张写有数字 2 ， (1) 如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的 3 张卡片都写有 1 的概率是多少？ (2)如果从甲、乙盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望。 8.甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有 1 个白球， 3 个黑球， 2 个红球且只有颜色不同的 6 个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一个人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取 (1) 求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率； (2) 求甲获胜的概率。 9.设有均由 A,B,C 三个部件构成的两种型号产品甲和乙，当A或 B 是合格品并且 C 是合格 品时，甲是正品；当 A， B 都是合格品或者 C 是合格品时，乙是正品。若 A 、 B、C 合格的概率均是 P，这里 A ，B，C 合格性是互相独立的。 (1) 产品甲为正品的概率P1是多少？ (2)产品乙为正品的概率P2 是多少？ (3)试比较P1与P2的大小。 10.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。 (1) 求前二次取出的都是二等品的概率； (2) 求第二次取出的是二等品的概率； (3)用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取的件数，求ξ的分布列及数学

高中文科数学(统计与概率)综合练习

《概率与统计》练习 求：(Ⅰ)年降雨量在) 200 , 100 [范围内的概率； (Ⅱ)年降雨量在) 150 , 100 [或) 300 , 250 [范围内的概率； (Ⅲ)年降雨量不在) 300 , 150 [范围内的概率； (Ⅳ)年降雨量在) 300 , 100 [范围内的概率． > · 2.高三某班40名学生的会考成绩全部在40分至100分 之间，现将成绩分成6段：) 50 , 40 [、) 60 , 50 [ 、) 70 , 60 [、 ) 80 , 70 [、) 90 , 80 [、] 100 , 90 [.据此绘制了如图所示的频率分布直方图。在这40名学生中， （Ⅰ）求成绩在区间) 90 , 80 [内的学生人数； （Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间] 100 , 90 [内的概率. " @

3.已知集合}1,1(},2,0,2{-=-=B A . ； （Ⅰ）若},|),{(B y A x y x M ∈∈=，用列举法表示集合M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）中的集合M 内，随机取出一个元素),(y x ，求以),(y x 为坐标的点位于区 域D ：?? ? ??-≥≤-+≥+-10202y y x y x 内的概率. . 4.某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于%90，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如 A 组 B 组 C 组 ? 疫苗有效 673 x y 疫苗无效 77 90 z > 已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是33.0． （Ⅰ）求x 的值； （Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问C 组应抽取几个？ （Ⅲ）已知465≥y ，30≥z ，求不能通过测试的概率．

六年级数学统计与概率练习题

统计与概率试题精选 一、填空题。 1．某公司去年1～12月生产产值统计后，制成（ ）统计图，能比较清楚地反映出各月产值的多少；如果要反映各月产值增减变化的情况，可以抽成（ ）统计图。 2．请你把下面的统计表填写完整。 某机床厂4、5月份生产机床情况统计表： 计划 产量 实际 产量 完成计划的百分数 合计 4月份 432 108% 5月份 400 110% 3．把下面的统计表补充完整。 某连锁店2005年第四季度营业额统计表： 总计 10月 11月 12月 合计 1280 430 荔湾分店 200 230 越秀分店 190 210 4．三（1）班民主选举班委，有8位同学参加竞选（以编号代替姓名），全班48位同学参加了投票选举。得票如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 票数 39 23 43 18 41 46 18 42 （1）得票最多的是（ ）号同学。 （2）得票数超过半数的同学能当选为本届班委。 那么，这次民主选举（ ）位同学竞选成功，光荣地当选为本届班委，当选率为（ ）%。 5．看图填空。 哈尔滨市与南京市的月平均气温统计图 (1998年7月～10月) （1）两个城市在（ ）月温差最小，在（ ）月温差最大。 （2）（ ）市（ ）月的平均气温与前一个相比下降最快。 二、选择题。 1．在我们学过的统计知识中，最能清楚地表示出数量增减变化情况的是（ ）。 A 、平均值 B 、统计表 C 、折线统计图 D 、条形统计图 2．要统计某一地区气温变化情况，应选用（ ）统计图。 A 、条形 B 、折线 C 、扇形 D 、任意选用 3．某省统计近期禽流感疫情，既要知道每天患 病动物数量的多少，又 能反映疫情变化的情况和趋势，最好选用（ ）。 A 、条形统计图 B 、折线统计图 C 、扇形统计图 D 、统计表 4．下面的信息资料中，适合用统计图表示的是（ ）。 A 、学校各年级的人数 B 、五年级各班做好事的件数 C 、6月份气温变化情况 D 、学校教师的人数 5．下面哪个图是小明测到六月份北京室外温度变化情况（ ）。 三、综合应用 1．下表是育才小学五年级学生人数统计表，请将该表补充完整，然后回答下列问题： 班级 五(1) 五(2) 五(3) 五(4) 班级平均人数 人数 48 49 50 50 (1)五(1)班的人数占全年级总人数的百分之 项 目 台 数 月 份 月 份 金 额 ( 万 元 ) 分 店

小学六年级统计与概率复习题

小学六年级数学总复习资料（二十二） 〖统计与概率〗 班级： 姓名： 一、 填空题： 1、商业大厦电梯的载重限额是1250千克，那么电梯最多可以运送（ ）个75千克的人而不超载。 2、医生想用统计图记录病人24小时的体温变化情况，他选用（ ）统计图比较合适。 3、要表示本校三至六年级各年级的人数，用（ ）统计图表示比较合适。 4、根据统计图填空 东风机械厂2001年全年产值统计图 ⑴平均每个季度产值（ ）万元。 ⑵全年平均每月产值约（ ）万元。 ⑶第四季度比第一季度增产（ ）%。⑷第三季度比第四季度少产（ ）%。 ⑸下半年的产值占全年产值的（ ）%。 5、完成统计表。 东新村总收入和村办企业收入统计表 项目 金额（元） 年度 全村总收入 其中村办企业 收入 村办企业收入占总 收入的百分数 2001年 750万 420万 2002年 875万 530万 2003年 1800万 1439万 合计 6、小明从家去相距4千米远的图书馆看书和借书。从所给的折线图中可以看出小明在图书馆呆了（ ）分钟，去时平均速度是每小时（ ）千米，返回时平均速度是每小时 （ ）千米。 0 1030507090120 1 234距离(千米)时间(分钟) 7、下面是2006年4月某地三个药店中西药销售情况统计图，请看图填空。 （1）这是（ ）统计图。 （2）中药销售额最多的是（ ），最少的是（ ）。 （3）西药销售额最多的是（ ），最少的是（ ）。

（4）康复药店中西药销售总额是（ ）万元。 （5）东方药店西药销售额比风华药店销售额多（ ）%。 1 2345678中药西药 8、下面是程苏六年级第一学期四次数学平时成绩和数学期末测试成绩统计图。 ⑴程苏四次平时成绩的平均分是（ ）分。 ⑵数学学期成绩是这样算的：平时成绩的平均分×60%＋期末测验成绩×40%。程苏六年级第一学期的数学学期成绩是（ ）分。 二、解决下列各问题： 1、下面记录的是某班一次数学测验的成绩。将整理数据的结果填写在表格里。 甲组：98 76 80 94 88 94 75 96 87 95 98 58 100 100 95 53 92 分数 100 90~99 80~89 70~79 60~69 60以下 甲组 乙组 2、李军、张明、陆强、王宏四人参加100米跑和推铅球两项体育测验，成绩在下面表中。 李军 张明 陆强 王宏 100米跑 17秒 15秒 16秒 19秒 推铅球 6米 4米 9米 7米 第一名 第二名 第三名 第四名 100米跑 推铅球

小学数学统计与概率

小学数学统计与概率 汇集同一范围内的若干事物，进行计算机比较以观察分析全体现象特 征，叫做统计 ．．，其中每一．．。统计工作中所要考察的对象的全体，叫做总体 个考察对象，叫做个体 ．．。从总体中取出的一部分个体，叫做总体的一个样． 本．，样本中个体的数目，叫做样本容量 ．．．．。将样本按一定的方法分成若干小 组，每个小组内的样本个数叫做频数 ．．，频数与样本容量的比值，叫做这个 小组的频率 ．．。 人们在实践活动中常常遇到两类现象，性质截然不同的事件，一类是 确定事件 ．．．．（必然现象），它在一定的条件下必然发生或必然不发生。另一 类是随机事件 ．．．．（偶然现象），它在一定条件下可能发生，也可能不发生。确定事件条件和结果存在必然联系，可由条件预知结果；随机事件，条件和结果之间不存在必然联系。虽然随机事件从个体上看，似乎没有什么规 律存在，但当它大量出现时，却呈现出一种总体规律性，这就是统计规律 ．．．．。 也就是说，随机事件发生 ．．的可能性在大量、多次重复的过程中发生的可能 性有一个比较稳定的比值，这种比较稳定的比值称做“概率 ．．”。根据统计 规律性可知，统计的基本思想 ．．．．是：从局部观测资料的统计特征来推断整个系统的状态。统计方法是由“局部到整体”科学方法。 统计作为一种社会实践活动，已有四、五千年的历史，而统计学作为这种社会活动经验总结和理论概括，作为研究统计原理和方法的科学也由三百多年的历史了。现在统计学本身也逐步发展为两大分支：一是应用统计学（属于有各自研究对象的应用科学）；二是数理统计学（是研究抽象数量关系的一个数学分支）。

统计学的内容大体可分为统计描述、统计推断和统计决策。统计描述 ．．．．是把实验、测试或调查获得的数据，通过整理、制表或绘图、分析和计算， 将数据资料的特征清晰地显示出来。统计推断 ．．．．是研究如何利用统计描述中 的信息作出尽可能精确和可靠的结论。统计决策 ．．．．是根据统计推断或预测制定适当的行动方案，以期望效益尽可能大或损失尽可能小。 1、小学数学统计的数学核心是渗透统计思想（见上述统计的基本思想），掌握简单统计的全过程，能从数据中提取信息并进行简单的判断。其主要内容有：收集、整理和描述数据（含全面调查、简单抽样、记录调查数据、描绘统计图表）；处理数据（含计算机平均数、中位数、众数等）；统计判断（从数据中提取信息进行简单的判断；统计决策（仅要求学生全能根据具体、简单的案例进行一些预测或提出一点建议）。小学数学概率的教学的核心是体验数据是随机的和有规律的，一方面同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。在概率的学习中，“所涉及的随机现象都基于简单事件，所有可能 发生的结果 ．．发生的可能性是相同 ．．的。”（摘自新课程标．．的，每个结果 ．．是有限 准） 2、统计表的结构及功能。统计表：把生产、工作和生活中所遇到的相互关联的数量按照一定标准加以分类整理，并按照一定的顺序排列起来，串成表格，这种表格叫做统计表。它的作用是把数量发生、变化情况或者相互间的差别情况显著地表示出来，以便于分析、比较。结构：总标题（统计内容及名称、时间）；表头（纵目与横目的内容类别）纵目（表的横行所列举的统计项目，在表的最上方）；横目（表的纵行所列举的统

人教版六年级数学统计与概率教案

课题：统计与概率课型：新授课 集体备课个性备课教学内容：人教版六年级上册第109-110页“统计与概率” 教学目标： 1．会综合应用学过的统计知识，能从统计图中准确提取统 计信息，能正确解释统计结果。 2．能根据统计图提供的信息，做出正确的判断或简单预测。 重、难点： 重点：让学生系统掌握统计的基础知识和基本技能。 难点：能根据统计图提供的信息，做出正确的判断或简单预测。 一、创设情景，生成问题 1、收集数据，制作统计表 师：我们班要和希望小学六（2）班建立手拉手班级，你想向手拉手的 同学介绍哪些情况？ 学生可能回答： （1）身高、体重 （2）姓名、性别 （3）兴趣爱好 A调查表 为了清楚记录你的情况，同学们设计了一个个人情况调查表。 （设计意图：通过上面的的调查表，调动学生的好奇心和积极性， 让学生感悟到数学源于生活用于生活，体现了数学的应用价值，从而 激发了学生的探究欲望。）

为了帮助和分析全班的数据，同学们又设计了一种统计表六（2）学生最喜欢的学科统计表 学科语 文 数 学 语 文 音 乐 美 术 体 育 科 学 将数据填在统计表中，你认为用统计表记录数据有什么好处？你对统计表还知道哪些知识？与同学交流一下。 2、统计图 （1）你学过几种统计图？分别叫什么统计图？各有什么特征？ a、条形统计图（清楚表示各种数量多少） b、折线统计图（清楚表示数量的变化情况） c、扇形统计图（清楚表示各种数量的占有率） （设计意图：统计图在表述统计结果时具有直观、形象的特点，故统计活动中常用统计图来描述统计信息，展示统计结果。） 二、探索交流，解决问题。 出示例1 a、认真观察例题中的图表 b、指出各种统计图的名称 c、从统计图中你能得到哪些信息？ 小组交流。 重点汇报

高中数学必修三：概率与统计

高中数学必修三：概率与统计 1．要从已编号(1－50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( ). A ．5，10，15，20，25B ．3，13，23，33，43C ．1，2，3，4，5D ．2，4，8，16，32 2．从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是( ).A ．300克 B ．360千克 C ．36千克 D ．30千克 3．以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y 的值分别为 （ ） A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 4．为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都分别相等，且值分别为s 与t ，那么下列说法正确的是( ). A ．直线l1和l2一定有公共点(s ，t)B ．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s ，t) C ．必有直线l1∥l2 D ．直线l1和l2必定重合 5..设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( ).A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ， y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ， 则可断定其体重比为58.79kg 6．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是（ ） A ．r 越大，相关程度越大 B ．()0,r ∈+∞，r 越大，相关程度越小，r 越小，相关程度越大 C ．1r ≤且r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小 D ．以上说法都不对 7、.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A B x x 和,样本标 准差分别为sA 和sB,则（ ） (A) A x ＞B x ，sA ＞sB(B) A x ＜B x ，sA ＞sB (C) A x ＞ B x ，sA ＜sB(D) A x ＜B x ，sA ＜sB 8.山东采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷

最新高中数学统计与概率知识点归纳(全)

高中数学统计与概率知识点（文） 一、众数: 一组数据中出现次数最多的那个数据。 二、 众数与平均数的区别: 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 三、二、.中位数: 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数) 四、 三 .众数、中位数及平均数的求法。 五、 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。 五.平均数、中位数与众数的异同： ⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑵平均数、众数和中位数都有单位； ⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响； ⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。 六、对于样本数据x 1，x 2，…，x n ，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？ 思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s 表示.假设样本数 据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则标准差的计算公式是： 12|||||| n x x x x x x n 22 2 12()()()n x x x x x x s