期末考试信号与系统课程要点(吴大正)
信号与线性系统复习提纲
第一章 信号与系统
1．信号、系统的基本概念
2．信号的分类，表示方法（表达式或波形）
连续与离散；周期与非周期；实与复信号；能量信号与功率信号 3．信号的基本运算：加、乘、反转和平移、尺度变换。
图解时应注意仅对变量t 作变换，且结果可由值域的非零区间验证。 4．阶跃函数和冲激函数
极限形式的定义；关系；冲激的Dirac 定义 阶跃函数和冲激函数的微积分关系 冲激函数的取样性质（注意积分区间）
)()0()()(t f t t f δδ?=?；?
∞
∞
-=?)0()()(f dt t t f δ
)()()()(111t t t f t t t f -?=-?δδ；?
∞∞
-=-?)()()(11t f dt t t t f δ
5．系统的描述方法
数学模型的建立：微分或差分方程
系统的时域框图，基本单元：乘法器，加法器，积分器（连），延时单元（离） 由时域框图列方程的步骤。 6．系统的性质
线性：齐次性和可加性；分解特性、零状态线性、零输入线性。
时不变性：常参量
LTI 系统的数学模型：线性常系数微分（差分）方程（以后都针对LTI 系统） LTI 系统零状态响应的微积分特性
因果性、稳定性（可结合第7章极点分布判定）
第二章 连续系统的时域分析
1． 微分方程的经典解法：齐次解+特解（代入初始条件求系数） 自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应的概念
0—
～0+初值（由初始状态求初始条件）：目的，方法（冲激函数系数平衡法）
全响应=零输入响应+零状态响应；注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性 特别说明：特解由激励在t>0时或t>=0+的形式确定
2． 冲激响应)(t h
定义，求解（经典法），注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性
阶跃响应)(t g 与)(t h 的关系
3． 卷积积分
定义及物理意义
激励)(t f 、零状态响应)(t y f 、冲激响应)(t h 之间关系)()()(t h t f t y f *= 卷积的图示解法（了解）
函数与冲激函数的卷积（与乘积不同）
)()()(t f t t f =*δ；)()()(11t t f t t t f -=-*δ 卷积的微分与积分
复合系统冲激响应的求解（了解）
第三章 离散系统的时域分析
1．离散系统的响应
差分方程的迭代法求解
差分方程的经典法求解：齐次解+特解（代入初始条件求系数）
全响应=零输入响应+ 零状态响应
初始状态（是)()2(),1(N y y y --- ），而初始条件（指的是)1()1(),0(-N y y y ） 2．单位序列响应)(k h
)(k δ的定义，)(k h 的定义，求解（经典法）
； 若方程右侧是激励及其移位序列时，注意应用线性时不变性质求解 阶跃响应)(k g 与)(k h 的关系 3． 卷积和
定义及物理意义
激励)(k f 、零状态响应)(k y f 、冲激响应)(k h 之间关系)()()(k h k f k y f *=
卷积和的作图解 )(k f 与)(k δ的卷积和
)()()(k f k k f =*δ；)()()(11k k f k k k f -=-*δ
结合前面卷积积分和卷积和，知道零状态响应除经典解法外的另一方法。
第四章 连续系统的频域分析
1．周期信号的傅立叶级数展开：两种形式
三角形式：
∑∑∑∞
=∞
=∞=+Ω+=
Ω+Ω+=1
11
0)cos(2sin cos 2)(n n n n n n n t n A A t
n b t n a a t f ?
指数形式（常用）：t
jn n n
e
F t f Ω∞
-∞
=∑=
)(；?-Ω-=22
)(1
T
T t jn n dt e t f T F
周期信号的频谱（幅度谱和相位谱）：双边谱，单边谱； 频谱特点 ：离散谱线。谱线间隔T
π2=Ω。 信号带宽的概念
2．傅立叶变换（对非周期信号和周期信号） 定义：?
∞
∞
--=
dt e t f j F t j ωω)()(；ωωπ
ωd e j F t f t j ?
∞
∞
-=
)(21
)(
)(ωj F 称为频谱密度函数，物理意义。 频谱：幅度谱ωω~)(j F ；相位谱ωω?~)(
周期信号的傅立叶变换与傅立叶级数之间关系∑∞
-∞
=Ω-=n n
T n F t f FT )(2)]([ωδπ
傅立叶系数n F 的另一求法：Ω==n n j F T
F ωω)(1
0 3．常用的FT 对 4．FT 的性质
线性、奇偶性、对称性、尺度变换、时移、频移、卷积定理（时域、频域） 时域微积分性质可以只作了解（S 域中必须掌握）
5． 系统的频率响应)
()
()(ωωωj F j Y j H =
连续系统频响的物理意义。 频域分析法求系统响应（零状态）：
非周期信号输入：FT 法；
周期信号输入： 傅立叶级数法 Ω=?=n n n j H F Y ωω)(；也可用FT 法（了解）
6． 无失真传输：时域表示和频率响应如何 7． 理想滤波器的响应及物理可实现系统的条件 8． 采样定理
取样前后信号的频谱图
理想取样和实际取样的相同与不同
时域取样，频域周期延拓。（离散信号的频谱是周期的） 定理内容m s ωω2≥或m s f f 2≥。能确定采样频率。
第五章 连续系统的S 域分析
1． 单边拉普拉斯变换的定义及ROC dt e t f s F st ?
∞
--
=
0)()(
ROC ：0]Re[σσ>=s
S 与w 之间的关系，单边拉氏变换的特点。 2． 拉氏变换的性质
线性、尺度变换、时移、频移
时域微分（1次、2次）——注意初始状态是否为0、时域积分（1次） 时域卷积定理、初值终值定理 3． 拉氏逆变换的求解（)(s F 为有理真分式）
要求掌握两种方法：部分分式展开法；利用常用的LT 对及LT 的性质。 4． 常用信号的LT 对
5． 利用LT 求解微分方程（零输入响应、零状态响应、全响应）
微分方程利用微分性质到S 域代数方程，整理成)()()(s Y s Y s Y f x +=，然后反变换。 6．系统函数)
()()(s F s Y s H f =
；与)(t h 的关系
3个方面的应用 ：由微分方程→系统函数→求)(t h ； 系统函数转化为微分方程 求解零状态响应)(t y f 7．s 域框图
信号与线性系统分析_(吴大正_第四版)习题答案
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=
（5）) f= r t ) (sin (t （7）) t = (k f kε ( 2 ) （10）) f kε k = (k + - ( ( ] )1 ) 1[
1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f
（5） )2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε
吴大正《信号与线性系统分析》笔记及习题(连续系统的时域分析)【圣才出品】
第2章连续系统的时域分析 2.1 复习笔记 一、LTI连续系统的响应 1．微分方程的经典解 该微分方程的全解由齐次解y h（t）和特解y p（t）组成，即 齐次解y h（t）是微分方程的解。y h（t）的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f（t）的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。 特解y p（t）的函数形式由激励信号确定，称为强迫响应。 2．零输入响应 激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应称为零输入响应，用表示。在零
输入条件下，（2.1）式右端为零，化为齐次方程，即 若其特征根都为单根，则零输入响应为 式中为待定系数。由于激励为零，故有初始值为 3．零状态响应 系统的初始状态为零时，仅由输入信号所引起的响应称为零状态响应，用表示。此时（2.1）式如下 初始状态。若微分方程特征根都为单根，则零状态响应为 式中为待定系数，为方程的特解。 4．全响应 如果系统的初始状态不为零，在激励f（t）的作用下，LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应和零状态响应之和，即。 二、关于初始状态的讨论 1．0－状态和0＋状态
0－状态称为零输入时的初始状态，即初始值是由系统的储能产生的；0＋状态称为加入输入后的初始状态，即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 2．从0－状态到0＋状态的跃变 （1）当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－状态到0＋状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ（t）及其各阶导数。 （2）如果包含有δ（t）及其各阶导数，说明相应的0－状态到0＋状态发生了跳变。 3．0＋状态的确定 （1）已知0－状态求0＋状态的值，可用冲激函数匹配法。 （2）求0＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出，见第5章内容。 三、冲激响应和阶跃响应 1．冲激响应 由单位冲激函数δ（t）所引起的零状态响应称为单位冲激响应，记为h（t），即h（t）＝T[{0},δ（t）]。 2．阶跃响应 输入信号为单位阶跃函数ε（t）时系统的零状态响应，称为阶跃响应，即g（t）＝T[{0},ε（t）]。 四、卷积积分 1．卷积积分的定义 已知定义在区间（–∞，＋∞）上的两个函数f1（t）和f2（t），则定义积分
《信号与系统要点复习》吴大正第四版
一、信号的傅里叶变换对 ?傅氏正变换 ?傅氏反变换 二、欧拉公式 三、常用信号傅里叶变换 1、第1组---时域：模拟单频信号 ?傅里叶变换： ) (ω δ πA A ? t t f F t d e)( ) (jω ω- ∞ ∞ - ?= ω ωωd e) ( 2 1 )(j t F t f?∞∞-π = 00 00 j j j j 1 cos(e e) 2 1 sin(e e) 2j t t t t t t ωω ωω ω ω - - =+ =- []) ( ) ( cos ω ω δ ω ω δ π ω- + + ? t 1 t )(t δ ω t )(t δ 时域单位冲激函数及频谱 t ω t ) (ω δ ) ( 2ω δ πA 时域直流函数及频谱 正弦、余弦函数及频谱
? 频谱图： ? 物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，所以它们 的密度频谱都是冲激函数。 2、第2组 时域： 数字信号 ? 单位冲激序列函数 为 周期且 波形图 频谱图 ? 单脉冲信号 波形图 频谱图 [] )()(sin 000ωωδωωδπω--+ ?j t t e 0j ωt 0cos ω t 0sin ω∑∞ -∞=-=n T nT t t ) ()(δδ0 2ωπ=T T ∑∑∞ -∞ =∞ -∞=-=-?n n T n n T t ) ()(12)(000ωωδωωωδπδ()a () b ) 2 ( Sa )()(00ωτ τω=?F t f
周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。 波形图 四、傅里叶变换的几个重要结论（性质） （1）带宽受限于无限 时域受限 频域无限 频域受限 时域无限 （2）时域卷积与频域卷积 )()()()(2121ωωF F t f t f ??* )()()()(2121t f t f F F ??*ωω （3）尺度展缩 ∑∑∞ -∞=∞ -∞=-=-? n n T n n n n T t f )()2(Sa )()2(Sa 2)(00000ωωδτωτωωωδτωπτ 2 τ 2 -2 2
吴大正信号系统总结
第一章 计算信号的周期P5 看P5中间一段关于周期计算的文字说明 P6页记住欧拉公式1.2-9 会判断是能量信号还是功率信号，或者是非功率非能信号（P7） 记住能量公式（1-2-14），功率公式（1-2-15） 会信号的基本运算，压缩，平移，反转。（考研画图题）会做P11例题1.3-2 P12-P22单位冲激函数和阶跃函数，定义，性质。P16不看 必须记住公式1.4-5, 1.4-6，1.4-7 1.4-8，1.4-9a和1.4-9b;取样性质的1.4-11. P17到P19公式都记住p20公式1.4-36, 1.4-37a, 1.4-37b, 1.4-38和1.4-39 特别是记住单位冲激偶函数的性质。 系统的分类。 1) 时变系统与非时变系统。 2）线性非线性判断。（奇次性，叠加性，线性） 3）线性动态系统的分解性，零输入线性，零状态线性 4）因果系统判断 5）稳定性判断 由系统模拟框图会写微分或者差分方程 第二章 1、P42微分方程的经典解中怎么区分齐次解和特解，区分自由响应和强迫响应 2、P49 与的求解会例题2.1-3 3、时域法零输入和零状态的求解 4、P52冲激响应和阶跃响应 5、P60 图解法求卷积积分（知道其步骤和方法）。卷积的函数式计算参考例题2.3-2 6、卷积的性质。特别是含有冲激函数的。P69 公式2.4-4 ，2.4-5 ，2.4-6 ，2.4-7，2.4-8 做例题2.4-2 7、卷积的微分和积分性质 P75以后的相关函数不看 第三章 1、P86的经典解法零输入和零状态的解法做下面对应的例题 记住公式3.1-26和3.1-30 会区分自由响应和强迫响应注意与零输入和零状态的区别，齐次解和特解 单位序列和序列响应，考试必考p95 2、阶跃响应 3、P101两个卷积和 例题3.3-1要会做 卷结和性质要会 3.4反卷积不考不用看 第四章（考研重点章节） 1 P120会求傅里叶级数。记住P121的公式
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