平面向量中的最值和范围问题

平面向量中的最值和范围问题

平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合． 考点1、向量的模的范围

例1、(1) 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,0

90ADC ∠=,1,2==BC AD ,P 是腰DC 上的

+的最小值为____________.

(2)（2011辽宁卷理）若,,均为单位向量，且0=?b a ，0))((≤--b -+最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2

(3)（2010浙江卷理）已知平面向量），（，≠≠01=，且α与αβ-的夹角为

120°的取值范围是_____________ .

变式：已知平面向量α，β满足||||1αβ==，且α与βα-的夹角为120?，则

|(1)2|t t αβ-+()t R ∈的取值范围是 ；

小结1、模的范围或最值常见方法：①通过|a →|2=a →

2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法． 考点2、向量夹角的范围

例2、已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →

夹角的取值范围是( )

A.????π12，π3

B.??????π4，5π12

C.??????π12，5π12

D.??????5π12，π2

小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法．

考点3、向量数量积的范围

例3、(1)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PB PA ?的最小值为( ) (A) 24+- (B) 23+- (C) 224+- (D) 223+-

(2)如右图，在梯形ABCD 中，DA=AB=BC =12CD =1.点P 在阴影区域（含边界）中运动，则AP →·BD

→

的取值范围是 ；

小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法；④

a →·

b →=(a →+b →2)2-(a →-b →

2

)2．

考点4、向量的系数问题：

例4、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →

，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⌒上变动.若OC →=xOA →+yOB →

其中x ，y ∈R ，则x +y 的最大值是______.

小结4、向量系数问题的一般处理方法：①点乘法；②几何法；③整体法．

变式：已知点G 是ABC ?的重心，点P 是GBC ?内一点，若,AP AB AC λμλμ=++u u u r u u u r u u u r

则的取

值范围是（ ） A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2

D ．（1，2）

专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题

1、（2011全国新课标理）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

12:||1[0,

)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b π

θπ+>?∈

13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b π

θπ->?∈

其中真命题是（ ） A.

14

,p p B.

13

,p p C.

23

,p p D.

24

,p p

2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β,定义??=

?αβ

αβββ

,若平面向量a 、b 满 足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ??

∈ ???,且o a b 和o b a 都在集合2n n Z ??∈????

中,则=o a b （ ）

A ．

1

2

B ．1

C ．

32

D ．

5

2

3、(201宁波市期末)在ABC

?中，D 为B C 中点，若ο

120=∠A ，，则AD 的最小值是 （ ）

A.

21 B.2

3

C.2

D.

2

2

4、（2011福建卷）已知O 是坐标原点，点A （－1,1）若点M （x,y ）为平面区域??

?

??≤≤≥+212y x y x ，

上的一个动点，则OA OM ?的取值范围是（ ）

A ．[－1，0]

B ．[0，1]

C ．[0，2]

D ．[－1，2] 5、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，P , Q 是正方 体内部及面上的两个动点，则PQ AM ?的最大值是（ ） A.21 B.1 C.2

3

D.

4

5

6、（2011全国大纲理）设向量c b a ,,满足1==b a ，2

1-=?b a ，0

60,=--c b c a ，则c 的最大值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．1

7、如图，在直角梯形ABCD 中，

，动点P

在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设

，则

的取值范围是( )

O A B

C

E

F

x

y A. B. C. D.

8、（2012安徽卷）若平面向量,a b r r

满足:23a b -≤r r ;则b a ?的最小值是_____； 9、已知向量a r =),2,1(-x b r =),4(y ,若a r ⊥b r ，则y

x 39+的最小值为 ；

10、（2012北京卷）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ?的值为________，DC DE ?的最大值为____ __；

11、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形

内（含边界）任意一点，则OE OF ?u u u r u u u r

的最大值为 ；

12、如图，线段AB 长度为2，点,A B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一 边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐标原点，则OD OC ?的范围是 .

11题图 12题图

13、（2012上海卷理）在平行四边形ABCD 中,∠A=3π

, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别

是边BC 、CD 上的点,且满足|

||

|||||CD CN BC BM =

,则AN AM ?的取值范围是_________ ；