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2011年全国高考数学试题及答案(理科)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i

2. 3. 4. 5. 6. 7.1本，则不同的赠送方法共有

(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线12+=-x

e y 在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为

(A)

13 (B) 12 (C) 2

(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ??

= ???

(A) 12-

(B) 14- (C) 14 (D) 12

10.已知抛物线C ：2

4y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠=

(A)

45 (B) 35 (C) 35- (D) 4

- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60o

二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

)，AM ,

17.

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形，

AB=BC=2，CD=SD=1.

（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

设数列{}n a 满足1111

111n n

a a a +=-=--

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1

1n n a b n

+-=

，记1

n k

k S b

∑，证明：1n S <。

21.（本小题满分12分）

已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。

22.

2111

i i i

=----=- 2

(0)

y x y ∴=≥ 3.A

4.D

11(2)(1)(1)(2)2422

k k k k k a d ka d ++-?

???+---=????????

故sin sin cos 2A C C π??=+= ???，sin sin 2cos 22B C C π??

=-= ???

由sin sin a c A C B +=

?+=，

故cos sin 2C C C +=

，)

22cos sin cos sin C C C C +=-

又显然2

C π

，故cos sin 2

C C -=

，再由22

cos sin 1C C +=，

解得：cos 4C =

，于是12

C π

18.（本小题满分12分）

X 19.

因而可以算得：SC =

，又2SB BC ==，故2

SBC S ?=

又因为//CD SAB 平面,所以点C 到平面SAB 的距离为1SD =

另外，显然2

SBA S ?=

?=，

所以111323

A SBC C SA

B V d V --=

?==四棱锥四棱锥

得：7

d =

设AB 与平面SBC 所成的角为α，则

即

20.

21.0，

设()()()1122,,,,,A x y B x y P x y ，则122

x x +=

，)121221y y x x +=++=，因为0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r

所以()()()()1122,,,0,0x y x y x y ++=

()()1212,,,12x y x x y y ??=----=-- ? ???

，将此坐标代入椭圆：2

2112+=??，

所以点P在C上。

（Ⅱ）由（Ⅰ）

：2

410

x--=

及:1

l y=+，

得

4242

A B

???

????

，因为,1

，所以

于是可以算得：

，

tan PBQ

∠=-

tan

APB

∠=tan PAQ

∠=-tan AQB

∠=

??????

即

19ln2

，两边同时取e的对数得：

综上所述：