（1） 当3-=a 时，()983131333
23+??? ?
?
--=+-+-=x x x x x f 。
由函数3
x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 是，函数()x f 对R x ∈为减函数。
（2） 当3->a 时，函数()x f 在R 上存在增区间。所以，当3->a 时，函数()x f 在
R 上不是单调递减函数。
综合（1）（2）（3）可知3-≤a 。
答案：3-≤a
点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。 考点五：函数的极值。
例6. 设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围。
解析：（1）2
()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有
(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=??
++=?，
．
，解得3a =-，4b =。 （2）由（Ⅰ）可知，3
2
()29128f x x x x c =-++，2
()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。 当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>。所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+。则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+。因为对于任意的[]03x ∈，，有2
()f x c <恒成立，
所以 2
98c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，，。
答案：（1）3a =-，4b =；（2）(1)(9)-∞-+∞U ，
，。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。 考点六：函数的最值。
例7. 已知a 为实数，()()
()a x x x f --=42
。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求()
x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。
解析：（1）()a x ax x x f 442
3
+--=，∴ ()423'2
--=ax x x f 。
（2）()04231'=-+=-a f ，2
1=
∴a 。()()()14343'2
+-=--=∴x x x x x f
令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3
4
=x ， 则()x f 和()x f '在区间[]2,2-
()291=
-f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为275034-=??
?
??f ，最
小值为()2
91=
-f 。 答案：（1）()423'2
--=ax x x f ；（2）最大值为275034-
=??
?
??f ，最小值为()2
91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数3
()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线
670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。 解析： （1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即3
3
ax bx c ax bx c --+=---
∴0c =，∵2
'()3f x ax b =+的最小值为12-，∴12b =-，又直线670x y --=的斜率为
1
6
，因此，'(1)36f a b =+=-，∴2a =，12b =-，0c =．
（2）3
()212f x x x =-。 2'()6126(f x x x x =-=，列表如下：
所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞，∵(1)10f -=，
f =-，(3)18f =，∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是
f =-
答案：（1）2a =，12b =-，0c =；（2）最大值是(3)18f =，最小值是f =- 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。
导数强化训练 （一） 选择题
1. 已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为（ A ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2. 曲线132
3
+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为 （ B ）
A ．43-=x y
B ．23+-=x y
C ．34+-=x y
D ．54-=x y
3. 函数)1()1(2
-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ D ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4. 已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 （ A ）
A ．)1(3)1()(2
-+-=x x x f
B ．)1(2)(-=x x f
C ．2)1(2)(-=x x f
D ．1)(-=x x f
5. 函数93)(23
-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ D ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
6. 函数3
2
()31f x x x =-+是减函数的区间为( D ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)
7. 若函数()c bx x x f ++=2
的图象的顶点在第四象限，则函数()x f '的图象是（ A ）
8. 函数23
1
()23
f x x x
=-在区间[0,6]上的最大值是（ A
） A ．
323
B ．
163
C ．12
D ．9
9. 函数x x y 33
-=的极大值为m ，极小值为n ，则n m +为 （ A ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
10. 三次函数()x ax x f +=3
在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则 （ A ）
A ． 0>a
B ．0C ．1=a
D ．3
1=
a 11. 在函数x x y 83
-=的图象上，其切线的倾斜角小于4
π
的点中，坐标为整数的点的个数是
（ D ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
12. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
（二） 填空题
13. 曲线3
x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为
__________。 14. 已知曲线314
33
y x =+，则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是______________
A x
D
C
x
B
15. 已知()
()n f x 是对函数()f x 连续进行n 次求导，若65()f x x x =+，对于任意x R ∈，
都有()
()n f
x =0，则n 的最少值为 。
16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．
（三） 解答题
17. 已知函数()c bx ax x x f +++=2
3
，当1-=x 时，取得极大值7；当3=x 时，取得极
小值．求这个极小值及c b a ,,的值．
18. 已知函数.93)(2
3
a x x x x f +++-= （1）求)(x f 的单调减区间；
（2）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
19. 设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=2
3
)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。 （1）用t 表示c b a ,,；
（2）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围。
20. 设函数()32
()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。 （1）求b 、c 的值。
（2）求()g x 的单调区间与极值。
21. 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
22. 已知函数32
11()32
f x x ax bx =
++在区间[11)
-，，(13]，内各有一个极值点． （1）求2
4a b -的最大值；
（1） 当2
48a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿
过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．
强化训练答案：
1.A
2.B
3.D
4.A
5.D
6.D
7.A
8.A
9.A 10.A 11.D 12.A
（四） 填空题 13.
3
8
14. 044=+-x y 15. 7 16. 20 （五） 解答题
17. 解：
()b ax x x f ++=23'2。
据题意，－1，3是方程0232
=++b ax x 的两个根，由韦达定理得
???
???
?
=?--=+-3313231b a ∴9,3-=-=b a
∴()c x x x x f +--=9323
∵
()71=-f ，∴2=c
极小值
()25239333323-=+?-?-=f
∴极小值为－25，9,3-=-=b a ，2=c 。
18. 解：（1）
.963)(2++-='x x x f 令0)(<'x f ，解得,31>-所以函数)(x f 的单调递减区间为).,3(),1,(+∞--∞
（2）因为
,218128)2(a a f +=+-+=- ,2218128)2(a a f +=+++-=
所以
).2()2(->f f 因为在（－1，3）上0)(>'x f ，所以)(x f 在[－1，2]上单调递增，又由
于
)(x f 在[－2，－1]上单调递减，因此)2(f 和)1(-f 分别是)(x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小
值.于是有2022=+a
，解得.2-=a
故.293)(23-++-=x x x x f 因此,72931)1(-=--+=-f
即函数)(x f 在区间[]2,2-上的最小值为－7.
19. 解：（1）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），所以0)(=t f ，
即03
=+at t .因为,0≠t 所以2t a -=. .,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即
又因为
)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，所以).()(t g t f '='
而
.23,2)(,3)(22bt a t bx x g a x x f =+='+='所以
将2t a
-=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，.3t c -=
（2）
))(3(23,)()(223223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=.
当
0))(3(<-+='t x t x y 时，函数)()(x g x f y -=单调递减. 由
0<'y ，若t x t t <<-
>3,0则；若.3
,0t x t t -<<<则 由题意，函数
)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，则
).3,()3,1(),3()3,1(t t t t -?--?-或所以.39.33
3≥-≤≥-≥t t t
t 或即或
又当39<<-t
时，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减.
所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞?--∞
20. 解：（1）∵
()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++。从而
322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一
个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；
（2）由（Ⅰ）知3()
6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，
(,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间；
(是函数()g x 是单调递减区间；
()g x 在x =取得极大值，极大值为()g x 在x =取得极小值，极小值为-。
21. 解：设长方体的宽为x （m ），则长为x 2 (m)，高为
??? ?
?
-=-=
230(m)35.44
1218＜＜x x x
h .
故长方体的体积为
()()()
??? ?
?
<<-=-=2306935.423
322x m x x x x x V
从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='
令()0'
=x V ，解得0=x （舍去）或1=x ，因此1=x .
当10<x V ；当2
3
1<
处()x V 取得极大值，并且这个极大值就是()x V 的最大值。
从而最大体积()()3
321619'm x V V
?-?==，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3
3m 。 22. 解：（1）因为函数
3211
()32
f x x ax bx =++在区间[11)
-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，
内分别有一个实根，
设两实根为12x x ，（1
2x x <），则21x x -=2104x x <-≤．于是
04<，20416a b <-≤，
且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．
（2）解法一：由
(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是
(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21
(1)32
y a b x a =++--，
因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，
所以21
()()[(1)]32
g x f x a b x a =
-++--在1x =两边附近的函数值异号，则
1x =不是()g x 的极值点．
而()
g x 321121
(1)3232
x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．
若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．
所以11a =--，即2a =-，又由2
48a
b -=，得1b =-，故321
()3
f x x x x =--．
解法二：同解法一得21
()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++--
2133
(1)[(1)(2)]322
a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是
存在12m m ，（121m m <<）．
当1
1m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当1
1m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．
设233()
1222a a h x x x ???
?=++-+ ? ??
???，则
当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当1
1m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．
由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102
a
h =?++=， 所以2a =-，又由2
48a b -=，得1b =-，故321
()3
f x x x x =--．
