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高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)

数列

———综合训练篇

一、选择题：

1．在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -の值为（ D ）

A ．18

B ．20

C ．22

D ．24

2．等差数列{}n a 满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{}n b 满足,,4311a b a b ==则5b 为（ B ） A ．16

B ．32

C ．64

D ．27

3．等差数列{}n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列{}n a の前9项之和S 9等于（ C ）A ．66

B ．144

C ．99

D ．297

4．各项都是正数の等比数列{}n a の公比q ≠1，且2a ，

321a ，1a 成等差数列，则5

3a a a a ++为（A ） A ．

215- B ．2

5+ C ．251- D ．215+或215-

5.设等比数列{}n a の前n 项和为n S ，若

,336=S S 则=6

9S S

（ B ） A. 2 B.

C. 8

3 D.3

6．已知等差数列{}n a の前n 项の和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()

n Q n a n N *++∈の直线の一个方向向量の坐标是 ( B )

A.1

(2,)2

B.1(,2)2-

- C.1

(,1)2

-- D.(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且a 1、b 1、c 1成等差数列，则a c c a +の值为（ C ） A ．

B ．1594±

C ．15

34 D ．1534

8．已知数列{}n a の通项,1323211

???

????-??? ????

? ??=--n n n a 则下列表述正确の是 ( A ) A ．最大项为,1a 最小项为3a B ．最大项为,1a 最小项不存在 C ．最大项不存在，最小项为3a D ．最大项为,1a 最小项为4a

9.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a の前n 项和，则使得n S 达到最大值のn 是（B ）

A ．21

B ．20

C ．19

D ．18

9．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆の中心都在定点M ，且点M 到l の距离为2，若这一系列椭

圆の离心率组成以

43为首项，3

为公比の等比数列，而椭圆相应の长半轴长为a i =(i=1，2，…，n)，设b n =2（2n+1）·3n －

2·a n ，且C n =1

+n n b b ，T n =C 1+C 2+…+C n ，若对任意n ∈N*，总有T n >90m 恒成立，则m の最

大正整数为

（ B ）

A ．3

B ．5

C ．6

D ．9

二、填空题：

10．已知等差数列{}n a 前n 项和S n =－n 2+2tn ，当n 仅当n=7时S n 最大，则t の取值范围是 (6.5，7.5) .

11．数列{}n a の通项公式是?????=)

)(2为偶数为奇数n n n

a n

n ，则数列の前2m （m 为正整数）项和是 2m+1+m 2－

2 .

12．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；

2014a =_________.

【答案】1，0

【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.

依题意，得2009450331a a ?-==，2014210071007425210a a a a ??-====.

∴应填1，0.

13．在数列{}n a 和{}n b 中，b n 是a n 与a n +1の等差中项，a 1 = 2且对任意*

N n ∈都有

3a n +1－a n = 0，则数列{b n }の通项公式 n

n b 34

= . 14．设P 1，P 2，…P n …顺次为函数)0(1

x x

y 图像上の点（如

图），Q 1，Q 2，…Q n …顺次为x 轴上の点，且

n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-??? ，…，均为等

腰直解三角

形（其中P n 为直角顶点）.设Q n の坐标为（*)0)(0,N x n ∈，则数列{a n }の通项公式为

n x n 2=*)N n ∈ .

三、解答题：

15．已知}{n a 是等比数列，S n 是其前n 项の和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6，成等比数列.

15. [解法1]由已知.21,2,26361311741q q q a q a a a a a =+∴=+=+………………（2分）

当66663124373124126361,2()2()2()2q S S S S a a a S a q a q a q S S q ≠-=+++=++=时

…………（4分）

.1)1(1)1()1()1(2

66616318

633

S S q

q a S q q a q S S q =?--=?--?+=+=………………（8分）

当,)(2,6,6,3,12

6612316121613S S S S a S S a S a S q =-=-===同样有时……（10分）

所以，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分） [解法2]由已知636131174121,2,2q q q a q a a a a a =+∴=+=+，……………（2分）

当,36)12(32)(2,1231314122a a a a S S S q =-?=-=时

∴==.36)6(232126a a S ∴=-.)(2266122S S S S 61263,,2S S S S -成等比数列.…（6分）

当,22

1)1(2111212,16

636q q q q S S q ?=+=--?=≠时…………………………（8分） ∴61263,,2S S S S -成等比数列.……………………………………………………（11分）

综上，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）

16.已知数列{a n }の前n 项和为S n ，且对任意自然数n 总有p a p S n n (),1(-=为常数，且

q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。（1）求数列{a n }の通项公式；

（2）若2211,b a b a <=求p の取值范围。 16．解：（1）)1,0(1

)1(1111≠≠-=

-==p p p p

a a p S a 解得当111)1()(2---=--=-=≥n n n n n n n pa a p a a p S S a n 整理得时，故

)1,0,,2(1

1≠≠∈≥-=+-p p N n n p p

a a n n …………4分由1

,111-=-=

-p p a a p p a n n 得)()1

()1(11+-∈-=--=

N n p p p p p p a n

n n ………………………………6分

（2）由已知得021)1(4)1

(2122<----????

???+<-+=-p p p p q q

p p q p p

并整理得消去

则21

1<-<

-p p

有22

0,(,0)(0,)(2,)2

p p ≠∴-∞??+∞的取值范围为………………12分

16.新星家俱厂开发了两种新型拳头产品，一种是模拟太空椅，一种是多功能办公桌.2005年该厂生产の模拟太

空椅获利48万元，以后它又以上年利润の1.25倍の速度递增；而多功能办公桌在同年获利75万元，这

个利润是上年利润の

，以后每年の利润均以此方式产生. 预期计划若干年后两产品利润之和达到174万元. 从2005年起，

（I ）哪一年两产品获利之和最小？

（II ）至少经过几年即可达到或超过预期计划？

16．

分）

）（时取（当且仅当）（分，）（则分）

万元万元，办公桌获利年太空椅获利）设第解：（5”“2120)5

4(754548)3..(..................................................)5

4(7545481......(11

11==≥+=+∴==I ----n y x y x y x n n n n n n n n n n n

故第2006年两产品获利最小.……………………………………………………（6分）

（II ）则有）（，又令）（令,4

5174)5

4(754

481

11---==+=+n n n n n t y x

409615625457825

10243125456.8252566254559 (8)

45)(2

182502558165825

1611112>==<==<===∴==

∴=+-∴=+

----n n n n n n n t t t t t

t ）时，（当，

）时，（、；当）时，（当分）

（）（舍或， .7年即可超过预期计划故至少经过…………………………………………（1分）

17.（选做题）已知函数)4(44)(≥+-=x x x x f の反函数为)(1

x f

-，数列{a n }满足：a 1 = 1，

)(),(*11N n a f a n n ∈=-+，数列123121,,,----n n b b b b b b b 是首项为1，公比为3

の等比数列.

（Ⅰ）求证：数列}{n a 为等差数列；

（Ⅱ）若n n n b a c ?=，求数列}{n c の前n 项和S n .

17．解：（Ⅰ）)4()2(44)(2≥-=+-=x x x x x f ，

)0()2()(21

≥+=∴-x x x f

，…………………………………………2分

1)2()(+==∴-+n n n a a f a ，即

).(2*1N n a a n n ∈=-+ ………………………………………………4分

∴数列1}{1=a a n 是以为首项，公差为2の等差数列 …………………………6分（Ⅱ）由（1）得：12)1(21-=-+=n n a n ，即

)()12(*2N n n a n ∈-= ……………………………………………………8分

b 1 = 1，当1

1)3

1(,2--=-≥n n n b b n 时，

)()()(123121--++-+-+=∴n n n b b b b b b b b

12)31()31(311-++++

=n ).311(23n -= 因而.),3

11(23*

N n b n n ∈-= ……………………………………………………10分

),31

1(23)12(n n n n n b a c -?-=?=

)]3

2353331()12(531[232221n n n n n c c c S -++++--++++=+++=∴

令n

n n T 31

233312-+++= ① 则14323

233235333131+-+-++++=n n

n n n T ② ①－②，得

111223

12)311(3131312)313131(23132+-+---+=--++++=n n n n n n n T .31

1n n n T +-=∴又1 + 3 + 5 + … +（2n －1）= n 2，

).3

1(232n n n n S ++-=∴ …………………………………………………………14分

18.

11(),(0,){}1,();21

n n n x

f x x a a a f a x +=∈+∞==+（选做题）已知函数，数列满足数1111

{},,{}n 1,2,3,

.212()

n n n n n b b b s b n f s +===-列满足其中为数列前项和，

（1）;}{}{的通项公式和数列求数列n n b a （2）.5:,1

112211<+++=n n

n n T b a b a b a T 证明设 18．解:

12),(,12)(11

1+=

∴

+=∴=+=

+++n n n n

n n n a a a a a a f a x x

x f 分

为公差等差数列为首项以3.1

2)1(11

.211

}1{1 -=

∴?-+=∴

=∴n a n a a a n n

分

公比为从第二项起成等比数列又62,321,2

.3,}{,212,2

3).(2.12.121

2211

(211

,12)(2121121121211 ??

???≥?==∴=+==

=∴-=-∴+=∴+=+-

∴-=+=-+++++++++n n b b s b b b b s s b b s b s s s b s f b x x x f n n n n n n n n n n n n n n

n n n

12322

222)3

1()12()31()32()31(7)31(531331)

1()12()31(731513]

)(12()31(731513[212:)2(----?-+?-++?+?+?=?-++?+?+?=-++?+?+?+=n n n n n n n n n A n A n T 令依题意

证明

232)31)(12(311]

)31(1[3123)3

1()12(])31()31()31(31[21332--------?+=?--++++?=∴n n n n n n n A 分

分

12.5)3

1)(12(43)31(4359)3

)(12(23)31(2361

212 <-?-?-=∴-?--=∴----n n n n n n n T n A

（2009 天津卷）已知等差数列{}n a の公差为)0(≠d d ，等比数列{}n b の公比为)1(>q q .设

1122......n n n S a b a b a b =+++,*12211,)1(N n b a b a b a T n n n n ∈-+???+-=-

（Ⅰ）若,3,2,111====q d b a 求 3S の值；

（Ⅱ）若11=b ，证明：2*222

2(1)(1)(1),1n n n dq q q S q T n N q

---+=∈- （Ⅲ）若正整数n 满足2≤n ≤q ，设1212,,...,,,...,12...

n n k k k l l l 和是，，，n の两个不同の排列，12112...n k k k n c a b a b a b =+++，12212...n l l l n c a b a b a b =+++ 证明12c c ≠。

本小题主要考查等差数列の通项公式、等比数列の通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题の能力の能力，满分14分。（Ⅰ）解：由题设，可得1*21,3,n n n a n b n N -=-=∈ 所以，311223311335955S a b a b a b =++=?+?+?= （Ⅱ）证明：由题设可得1n n b q -=则

22121232.....,n n n S a a q a q a q -=++++ ① 2321212342.....,n n n T a a q a q a q a q -=-+-+- ②

①式减去②式，得

321222422(...)n n n n S T a q a q a q --=++-

①式加上②式，得

2222213212(....)n n n n S T a a q a q --+=+++ ③ ③式两边同乘q ，得

321221321()2(....)n n n n q S T a q a q a q --+=+++ 所以，

222222(1)(1)()()n n n n n n q S q T S T q S T --+=--+

3212*

2()

2(1),1n n d q q q dq q n N q

-=+++-=∈-K (Ⅲ)证明：11221212()()()n n k l k l k l n c c a a b a a b a a b -=-+-++-K 11112211()()()n n n k l db k l db q k l db q -=-+-++-K 因为10,0,d b ≠≠所以

112

11221

()()()n n n c c k l k l q k l q db --=-+-++-K （1）若n n k l ≠，取i=n

（2）若n n k l =，取i 满足i i k l ≠且,1j j k l i j n =+≤≤ 由（1）,(2)及题设知，1i n <≤且

2112

1122111

()()()()i i i i i i c c k l k l q k l q k l q db -----=-+-+-+-K ① 当i i k l <时，得1,1,1,2,3.....1i i i i k l q n k l q i i -≤-≥-≤-=-由，得即111k l q -≤-，22()(1)k l q q q -≤-…，2211()(1)i i i i k l q q q -----≤- 又11(),i i i i k l q q ---≤-所以

121

1211(1)(1)(1)(1)

1i i i c c q q q q q q q q db q

-----=-+-+--=--K 因此12120,c c c c -≠≠即 ② 当i i k l >同理可得12

1c c db -<-，因此12c c ≠ 综上，12c c ≠

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。（a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较

4、典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ，解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，

高中数学数列知识点总结

数列基础知识点《考纲》要求： 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项； 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题； 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。数列的概念 1 ．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第项． 2．数列的通项公式一个数列{a n }的与之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为： =n a ?????≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法． ⑵观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 例1.根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴－3 12?，534?，－758?，9716?…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3，解：⑴ a n ＝(－1) n )12)(12(12+--n n n ⑵ a n ＝)673(21 2+-n n （提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得

高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an } 的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d d ++，解得d ＝1，d ＝0（舍去），故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a =2n ，由等比数列前n 项和公式得 S m =2+22+23+…+2n =2(12) 12 n --=2n+1-2. 小结与拓展：数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。（a>0且a ≠1）.

【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝ 8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n －1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4， b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n

高中数学数列基础知识与典型例题

数学基础知识例题

数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 322111=== a S b , ∴ 212 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 2 12)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3 n n n a (1)(2)n n =≥,12)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ，当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ∴()() 2 1111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2 14321n n n S n +=++++= 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解：14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解：12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一：设首项为1a ，公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二：??? ??==+27 32354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解：∵109181a a a a =，∴205 100 110918===a a a a 例16. 解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得：12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-，下略注：法二利用了等差数列前n 项和的性质例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列

重点高中数学数列知识点总结

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()()11122 n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100 n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由1 00n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶，1 +=n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇， 1-=n n S S 偶奇.

(完整版)高三文科数学数列专题.doc

高三文科数学数列专题高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n；（ 2）若S n242 ，求 n ；（ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式；（ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列；（2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n；（ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式；（ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n；

1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式；（ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式；（ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式；（ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n；（2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式

人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word版

——教学资料参考参考范本——人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word 版 ______年______月______日 ____________________部门

———综合训练篇一、选择题： 1．在等差数列中，，则的值为（ D ）{}n a 120 31581=++a a a 1092a a - A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 2．等差数列满足：，若等比数列满足则为（ B ） A ．16 B ．32 C ．64 D ．27{}n a 30,8531==+S a a {} n b ,,4311a b a b ==5b 3．等差数列中,则数列的前9项之和S9等于{} n a 1 a {a （ C ）A ．66 B ．144 C ．99 D ．297 4．各项都是正数的等比数列的公比q ≠1，且，，成等差数列，则为（A ） A ． B ． C ． D ．或{} n a 2a 321a 1 a 5 443a a a a ++2 15-215+2 51-2 1 5+215- 5.设等比数列的前项和为，若则（ B ）{}n a n n S ,33 6=S S = 69S S A. 2 B. C. D.3738 3

6．已知等差数列的前项的和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量的坐标是 ( B ){}n a n n S 210S =555S =(,) n P n a 2(2,)()n Q n a n N *++∈ A. B. C. D.1(2,)2 1(,2)2--1(,1) 2--(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且、、成等差数列，则的值为（ C ） A ． B ． C ． D ．a 1b 1c 1a c c a +15941594±15341534 ± 8．已知数列的通项则下列表述正确的是 ( A ){} n a ,1323211 ????????-??? ??? ? ? ??=--n n n a A ．最大项为最小项为 B ．最大项为最小项不存在,1a 3 a ,1a C ．最大项不存在，最小项为 D ．最大项为最小项为3 a ,1a 4a 9.已知为等差数列，++=105，=99.以表示的前项和，则使得达到最大值的是（B ）{}n a 1a 3a 5a 246a a a ++n S {}n a n n S n A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 9．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以为首项，为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为ai=(i=1，2，…，n)，设bn=2（2n+1）·3n －2·an ，且Cn=，Tn=C1+C2+…+Cn ，若

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

高中数学数列知识点基础

数列的相关概念和定义 1.数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第1位的数称为这个数列的第1项，也叫做首项，排在第2位的数称为这个数列的第2项，排在第n位的数称为这个数列的第n项。项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列，有穷数列的最后一项一般也称为末项. 数列的一般形式:a 1, a 2, a 3, … , a n ,…, 可以简记为{a n}.其中a n表示数列的第n项，称为数列的通项。一般地，如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用 a n=f(n) 来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式。显然，根据数列的通项公式，能够写出这个数列的任意一项。 2.数列与函数的关系数列{a n}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式，这也就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观的表示。如此我们用类似函数性质的术语来描述数列。从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列；各项都相等的数列称为常数数列，简称为常数列。 3.数列中的递推关系如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系，也称为递推公式或递归公式。一般来说，根据数列的首项（或前几项）以及数列的递推关系，可以求出这个数列的每一项。

高三数列专题练习30道带答案

高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =?，若对任意*n N ∈，求λ的取值范围． 4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =， 24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ；（Ⅱ）记数列的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

高中数学专题复习数列训练题

高中数学专题复习数列训练题 1.已知递增的等差数列满足11 =a ，4223-=a a ，则=n a （A ）12-=n a n 或n a n 23-= (B) 12-=n a n (C) 12+=n a n (D) n a n 23-= 2。设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S 、n S 、2+n S 成等差数列，则q 的值为（A ）1或2- (B) 2- (C)2 (D)1或2 3。首项为正数的数列{}n a 满足)3(4 121+=+n n a a ，*∈N n ，若对一切*∈N n 都有 n n a a >+1，则1a 的取值范围是（A ）),3()1,0(+∞Y (B) ),3()1,(+∞-∞Y (C) )1,0( (D) )3,0( 4。在项数为12+n 的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于（A ）9 (B)10 (C)11 (D)12 5。已知两个等差数列{}n a ，{}n b ，它们的前n 项和为n S 和n T ，若325++=n n T S n n ，则=5 5b a （A ）1245 (B) 947 (C) 1247 (D) 21 47 6。已知数列{}n a 的通项公式为)34()1(--=n a n n ，n S 是其前n 项和，则33178S S S -+的值为（A ）48 (B)49 (C)50 (D)47 7。已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ，且1-=n n n S S a )2(≥n ，921=a ，则=10a （A ）74 (B) 94 (C) 634 (D) 63 5 8。设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是（A ）0 (D) 6S 与7S 均为n S 的最大值 9。设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=，*∈N n ，则=n a （A ）22 3-?n (B) 2231-?-n (C) 2231-?+n (D) 1231+?-n 10。数列{}n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则{}n a 的前60项的和为（A ）1820 (B)1830 (C)1846 (D)1849 二．填空题：

高中数学数列知识与练习题附答案

数列的概念和性质（一）练习题答案及时反馈1.（1） 2 +n n ；（2）1)1(2+-n n 一.巩固提高 1.C.；2.A ； 3D. 二.能力提升 5.（1）n a ＝ ) 12)(12(+-n n n ：（2）n a ＝)1()1(1 +--n n n

（3）n a ＝ n 3174－（为了寻求规律，将分子统一为4，则有144，114，84，5 4 ，……；所以n a ＝n 3174 －）（4）n a ＝110-n （5）n a ＝ 9934（1102-n ）. 由（4）的求法可得1a ＝9934（102－1）， 2a ＝9934（104－1），3a ＝9934（106－1），……故n a ＝99 34（1102-n ） 6.(1))12(3--n ； (2) 1 )1() 1(+++n n n n ；（3）?????-=为正偶数）为正奇数）（n n n n a n (2 21 ；或41 )1(2--+=n n n a . （评注：? ??=为正偶数）为正奇数）（n n g n n f a n ()()(，则：)(4)1(1)(2)1(1n g n f a n n n -++--= ）数列的概念和性质（二）

答案：即时反馈1. ???∈≥--==),2(22)1(1 * N n n n n a n 即时反馈2. 分析：) 32)(12(223 2)11(121 1+++= ++ += ++n n n n a n b b n n n 13 844842 2>++++=n n n n ，所以数列}{n b 是单调递增数列. 即时反馈3. 数列}{n a 中最小的项是7a ＝8a ＝16 分析：法1：直接由二次函数性质求出法2：由n a >1－n a 且n a <1＋n a 求出：及时反馈4. (1) 2 1 (2) 1+n a 43= n a （),1*N n n ∈≥ 1+n S 4 3 =21+n S （),1*N n n ∈≥ 巩固提高.1.Ｄ 2.Ｄ 3.Ｂ 4.Ｂ

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数列专题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形

3.数列函数性质的应用数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．（3)数列{a n }的最大(小)项的求法可以利用不等式组? ?? ?? a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组? ?? ?? a n －1≥a n ， a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2 －5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)若a n ＝n 2 ＋kn ＋4且对于n ∈N * ，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围．考点二：等差数列和等比数列等差数列等比数列定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n a n －1＝常数(n≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q≠0)

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数列专题复习（1）一、等差数列和等比数列的性质 1、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = （A ） 172 （B ）19 2 （C ）10 （D ）12 2、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A 5 B 7 C 9 D 11 4、已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a = A.2 B.1 1C.2 1 D. 8 5、等比数列｛a n ｝满足a 1=3， 135a a a ++ =21，则357a a a ++= A21 B42 C63 D84 6、等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + (D) ()12 n n - 7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8、等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1= （A ） 13 （B ）13 - （C ） 19 （D ）1 9 - 9、已知{n a }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a += A7 B5 C －5 D －7 10、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 11、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15 =25，则nS n 的最小值为________. 13、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =___________。 14、设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S k +2-S k =24，则k = (A)8 (B)7 (C) 6 (D) 5 15、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝ 2n n c a +，c n ＋1＝2 n n b a +，则( )．

高考数学必考知识点：数列问题篇

高考数学必考知识点：数列问题篇 ?高考数学之数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3) 数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。知识整合 1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合

题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力， “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”

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