介绍一种最优化方法_单纯形法

最优化方法简明教程—centre

①图与网 破圈法：任取一个圈，去掉一条权最大的边，直到最小树。 避圈法：选最小权的边，避圈前进，直到最小树。 最短路算法： Dijkstra法：从V s给定P标号T标号λ标号（T标号变为P标号λ标号记位置） 反向追踪：列表，d1(V1,V j)→d k(V1,V j)=min(ωij+d k(V1,V i))据最小权反向追踪 网络优化： 最小截集最大流：找到最小截集（弧的集合） 标号法：开始，为的标号， 最小费用最大流： 邮递员问题：通过消灭奇点，找欧拉回路 网络计划图： 最早开始最晚开始机动时间 最早结束最晚结束自由时差 工期优化：人力，费用，工期优化。 费用率=（最短时间费用-正常时间费用）/（正常时间-最短时间）②排队论（保证服务质量，又减少费用） 顾客源→（排队规则）队列→（服务规则）服务机构→离去 服务规则：FCFS，LCFS，随机服务，PR

M(顾客到达)|A(服务时间)|1(服务台数)|∞（容量）|∞（顾客源） N(t)队长N q (t)排队长T(t)顾客逗留时间T q (t)顾客等待时间 L 平均队长L q 平均等待队长W 平均逗留时间W q 平均等待时间 R 为系统利用率 泊松流(M)：无后效性；平稳性；单个性； P 1(t,t+Δt)=λΔt+o(Δt)； o(Δt)=∑∞ 2P n (t,t+Δt);E ξ=D ξ=λt （t 时刻n 个顾客的概率） 负指数分布(M)：无记忆性(P(T>t+s/t>s)=P(T>t));[0,t)至少到达一 个顾客1-P 0(t ）=1-e -t λ,t>0 !)()(K t e t V K t k λλ-= ,2,1,0=K ?? ?<≥-=-0,00,1)(t t e t F t i λξ),2,1( =i 爱尔朗分布(E K )：（相当于泊松流到达后被k 个服务台均分顾客形成） (其中，t>0,E(T)=1/μ,Var(T)=1/μ2k ） )! 1()()(1 >-= --t e k t t f t k μμμ K=1为M ，k=∞定长分布D,k ≥30正态分布近似 G 表示一般相互独立的随机分布 Little 公式：（四者知一即可） μ1 + =q W W W L λ= q q W L λ= ρ+=q L L ∑∞ ==0 n n nP L ∑∑∞=∞ =+=-=s n n m s n q nP P s n L 0 )( 服务率：ρ=λ/μ(λ为到达μ为服务) 排队系统分析：

最优化方法及应用

陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日） 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系

最优化方法及其应用 - 更多gbj149 相关pdf电子书下载

最优化方法及其应用 作者：郭科 出版社：高等教育出版社 类别：不限 出版日期：20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4

组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载

最优化计算方法课后习题答案----高等教育出版社。施光燕

习题二包括题目：P36页5（1）（4） 5（4）

习题三 包括题目：P61页1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下 3题的解如下

5,6题 14题解如下 14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T -处的牛顿方向。 解：已知 (1) (4,6)T x =-，由题意得 121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----?? ?= ?+++-----?? ∴ (1)1344()56g f x -?? =?= ??? 21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------? ??= ? +--------+--?? ∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --?? =?= ?-?? (1)1 1/8007/400()7/4001/200G x --?? = ?--?? ∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -?? =-= ?-?? 15（1）解如下 15. 用DFP 方法求下列问题的极小点 （1）22 121212min 353x x x x x x ++++ 解：取 (0) (1,1)T x =，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同 2112352()156x x f x x x ++???= ?++??， (0)(1,1)T x =，(0) 10()12f x ???= ??? (1)0.07800.2936x -??= ?-??， (1) 1.3760() 1.1516f x ???= ?-?? 以下作第二次迭代 (1)(0) 1 1.07801.2936x x δ-??=-= ?-??， (1)(0) 18.6240()()13.1516f x f x γ-??=?-?= ?-?? 0110 111011101 T T T T H H H H H γγδδδγγγ=+-

最优化方法及其Matlab程序设计

最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述 在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证，从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人，每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说，是考虑如何用最少的材料，最大的性能价格比，设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说，则是如何合理、充分使用现有的设备，减少库存，降低能耗，降低成本，以实现企业的最大利润。 由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容： 1）建立数学模型。 即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2）数学求解。 数学模型建好以后，选择合理的最优化算法进行求解。 最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法（算法）浅析 最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里，对最优化算法做一个简单的分类，并对一些比较常用的典型算法进行解析，旨在加深对一些最优化算法的理解。 最优化算法的分类方法很多，根据不同的分类依据可以得到不同的结果，这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度，可以将最优化算法进行一个系统分类：线性规划与整数规划；非线性规划；智能优化方法；变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划 线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如，在资源有限的情况下，如何合理使用人力、物力和资金等资源，以获取最大效益；如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等，使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原始材料等）为最少等。 线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。 整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期，随着计算机技术的发展，出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。

《最优化方法》复习题(含答案)

x zD 天津大学《最优化方法》复习题(含答案) 第一章 概述(包括凸规划) 判断与填空题 arg max f(x)二 arg min 以儿 “ max(x): x D 二 R n 』=-min(x): x D 二 R n ； 设f : D 5 R n > R.若x ： R n ，对于一切R n 恒有f(x”)^f(x)，则称x”为 设f : D 5 R n >R.若x ” ? D ,存在x ”的某邻域N ；(x”)，使得对一切 x ?N .(x)恒有f(x”)：：： f (x)，则称x”为最优化问题 min f (x)的严格局部最 优解? 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值 ? V 非空集合D R n 为凸集当且仅当 D 中任意两点连线段上任一点属于 D . V 非空集合D R n 为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于 D . V 任意两个凸集的并集为凸集? 函数f:D R n >R 为凸集D 上的凸函数当且仅当 -f 为D 上的凹函数? V 设f : D R n >R 为凸集D 上的可微凸函数，X ：D ?则对-D ,有 f (x) - f(x )乞 f (x )T (X —X )? 若c(x)是凹函数，则 D={x^R n C(x)启0}是凸集。 V f(x)的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法, 则对-k ? 5,1, 2,…匚恒有 ________________ f(x k1)乞 f(x k ) ______________ ? 算法迭代时的终止准则(写出三种) ： ___________________________________________________ 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

最优化方法及其应用课后答案

1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为： 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1） 无约束最优点，并求出最优值。 （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可 以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S

最优化方法(试题+答案)

一、 填空题 1 ． 若 ()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ，则 =?)(x f ，=?)(2x f . ２．设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。 3.向量T ) 3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量 有 ． 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算 法: . 6.以下约束优化问题： )(01)(..)(min 212121 ≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f 的K-K-T 条件为： . 7．以下约束优化问题： 1 ..)(min 212 2 21=++=x x t s x x x f 的外点罚函数为(取罚参数为μ) . 二、证明题（７分+8分) 1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n i ,1,:1+=→都是线性函数,证明下 面的约束问题: } ,,1{, 0)(},1{, 0)(..)(min 1112 m m E j x h m I i x g t s x x f j i n k k +=∈==∈≥=∑= 是凸规划问题。

2.设R R f →2 :连续可微，n i R a ∈,R h i ∈,m i ,2,1=,考察如下的约束条件问题: } ,1{,0} 2,1{,0..) (min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T i +=∈=-=∈≥- 设d 是问题 1 ||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥?d E i d a I i d a t s d x f T i T i T 的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。 三、计算题（每小题１2分) １.取初始点T x )1,1() 0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题 (迭代２步）: 2 2212)(m in x x x f += 2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题： 212 2212 1)(min x x x x x f -+= 3.用有效集法求解下面的二次规划问题: . 0,001..42)(min 21212 12 221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f 4．用可行方向算法(Zoutend ｉj ｋ算法或Ｆrank Wol ｆｅ算法）求解下面的问题（初值设为)0,0() 0(=x ,计算到)2(x 即可）： . 0,033..22 1)(min 212112 22121≥≥≤+-+-= x x x x t s x x x x x x f

第九章 最优化方法

第九章 最优化方法 本章主要介绍线性规划、0-1规划、非线性规划等问题的MATLAB 求解。 9.1 线性规划（Linear Programming ，简写为LP ）问题 线性规划问题就是求多变量线性函数在线性约束条件下的最优值。满足约束条件的解称为可行解，所有可行解构成的集合称为可行域，满足目标式的可行解称为最优解。 MATLAB 解决的线性规划问题的标准形式为： min z f x ￠ =? .. A x b s t Aeq x beq lb x ub ì祝??? ?í??＃??? 其中,,,,,f x b beq lb ub 为列向量，,A Aeq 为矩阵。 其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。 在MATLAB 中求解线性规划问题函数为linprog ，其使用格式为： [x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub) 输入部分：其中各符号对应线性规划问题标准形式中的向量和矩阵，如果约束条件中有缺少，则其相应位置用空矩阵[]代替。 输出部分：其中x 为最优解，用列向量表示；fval 为最优值；exitflag 为退出标志，若exitflag=1表示函数有最优解，若exitflag=0表示超过设定的迭代最大次数，若exitflag=-2，表示约束区域不可行，若exitflag=-3，表示问题无解，若exitflag=-4，表示执行迭代算法时遇到NaN ，若exitflag=-5，表示原问题和对偶问题均不可行，若exitflag=-7，表示搜索方向太小，不能继续前进；output 表明算法和迭代情况；lambda 表示存储情况。 例1 用linprog 函数求下面的线性规划问题

最优化应用(数据处理)

最优化问题的数据处理以及Matlab求解摘要数学问题是科学研究领域经常需要解决的问题. 研究者通常将自己研究的问题用于数学建模的方法建立起数学模型, 然后通过求解数学模型的方法获得所研究问题的解.基于Matlab语言的应用数学问题的求解方法, 有着优于其他两种计算机数学语言Mathematica和Maple无法比拟的优势和适用面. 本文主要介绍的是有约束的线性规划和二次型规划的Matlab求解过程. 关键词: 数学模型线性规划二次型规划无约束问题约束问题 1．最优化方法应用背景 在生活和工作中, 人们对于同一问题往往会提出多种解决方案,并通过各方面的论证从中提取最佳方案. 最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理的提取出最佳方案的科学. 由于优化问题无处不在, 目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域, 如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等, 并取得了显著地经济效益和社会效益. 用最优化方法求最优化问题的技术称为最优化技术, 它包含两个方面的内容: 1) 建立数学模型即用数学语言来描述最优化问题. 模型中的数学关系式反映了 最优化问题所要达到的的目标和各种约束条件. 2) 数学求解数学模型建好以后, 选择合适的最优化方法来进行求解. 最优化方法的发展很快, 现在已经包含有多个分支, 如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划等. 利用MATLAB优化工具箱可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题. 具体而言, 包括线性、非线性最小化, 最大最小化, 二次规划, 半无限问题, 线性、非线性方程(组)的求解, 线性、非线性的最小二乘问题. 另外, 该工具箱还提供了线性、非线性最小化, 方程求解, 曲线拟合, 二次规划等问题中大型课题的求解方法. 为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便快捷的途径. 关于最优化方法以及支持向量机的理论知识可参考文献[1][2]. 2.主要的数据处理方法 本学期学习的数据处理方法主要有矩阵分解、线性判别分析和局部降维方法. 2.1. 矩阵分解 矩阵分解[3]是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积, 可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan 分解和奇异值分解等, 常见的有三种: 三角分解法(Triangular Factorization), QR分解法(QR Factorization), 奇异值分解法(Sigular Value Decomposition, SVD). 三角分解法是将原正方矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列的上三角形矩阵和一 个下三角形矩阵, 这样的分解法又称为LU分解法. 它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程, 求反矩阵, 和求解联立方程组. 不过要注意这种分解法所得到的上下

非线性方程数值解及优化方法

第4章非线性方程数值解及优化方法 统计学中的一个重要问题是MLE估计问题,解决这样问题的关键是寻找似然方程的最优解.在很多情况下,我们不能直接得到似然方程的显式解,需要通过数值分析的方法得到方程的解.除极大似然外,统计学中也有许多其它的优化问题,如在Bayes决策问题中的最小风险、非线性最小二乘问题的求解问题等. 上述求解都属于如下的一般问题： arg min θ∈D g(θ),(4.1)其中g是参数向量θ的函数,称之为目标函数(objective function),而θ我们有时亦称之为决策变量(decision variable).决策变量的取值区域D称为可行集合(feasible set)或者候选集合(candidate set).由于最大化一个函数等价于其负值的最小化(?g(θ)),故区别最大与最小的意义不大.于是作为惯例,我们一般将考虑求取最小值的算法. 这里我们需要区分有约束和无约束两种优化问题.当D就是g(θ)的定义域时,问题4.1就是一无约束优化问题(unconstrained optimization problem);否则,即是有约束优化问题(con-strained optimization problem).另外,在取值区域内D的某个特定子域内,可能有某个局部最小值,而在另外一个特定子域内存在另一个局部最小值.我们之后称全局最优(global optimum)即指在取值区域内D的最小值;称局部最优(local optimum)即指在取值区域内D的某个子域内的最小值. 在本章,我们将主要考虑g关于θ为光滑且可微的情形,而g在离散区域上的优化问题将在最后给予介绍. §4.1单变量方程求根问题 我们知道,很多优化问题都等价于是一个方程求根问题.因此,我们首先来讨论一元方程求根问题的数值解法,即对于给定的关于x的函数g寻找x使得g(x)=0. 问题：求解函数log x/(1+x)的最大值?其等价于求方程 g(x)=1+1/x?log x (1+x)2 =0?1+1/x?log x=0 的解.显然没有显式解。 我们介绍一些常用的迭代算法.我们接下来假设g是一连续函数. §4.1.1二分法(bisection method) 一、原理：如果g在区间[a0,b0]上连续,且g(a0)g(b0) 0,则由中值定理知,至少存在一个x?∈[a0,b0],使得g(x?)=0.我们称[a0,b0]为有根区间. ·27·

最优化方法(试题+答案)

一、 填空题 1.若()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ， 则=?)(x f ，=?)(2x f . 2.设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。 3.向量T )3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 6.以下约束优化问题： )(01)(..)(min 212121 ≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f 的K-K-T 条件为： . 7.以下约束优化问题： 1 ..)(min 212 2 21=++=x x t s x x x f 的外点罚函数为（取罚参数为μ） . 二、证明题（7分+8分） 1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n i ,1,:1+=→都是线性函数，证明下 面的约束问题： } ,,1{, 0)(},1{, 0)(..)(min 1112 m m E j x h m I i x g t s x x f j i n k k +=∈==∈≥=∑= 是凸规划问题。

2.设R R f →2 :连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题： } ,1{,0} 2,1{,0..) (min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T i +=∈=-=∈≥- 设d 是问题 1 ||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥?d E i d a I i d a t s d x f T i T i T 的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。 三、计算题（每小题12分） 1.取初始点T x )1,1() 0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题 （迭代2步）： 2 2212)(m in x x x f += 2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题： 212 2212 1)(min x x x x x f -+= 3.用有效集法求解下面的二次规划问题： . 0,001..42)(min 21212 12 221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f 4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0() 0(=x ,计算到)2(x 即可)： . 0,033..22 1)(min 21211222121≥≥≤+-+-= x x x x t s x x x x x x f

最优化方法在计算机专业的应用

动态规划方法在计算机专业的应用 科目：最优化方法 姓名：*** 专业：计算机科学与技术 学号：201320405 指导老师：*** 日期：2014/1/9

动态规划方法在计算机专业的应用 摘要：最优化方法是一门很有用的学科，本文结合计算机专业，讨论了用动态规划方法解决计算最长公共子序列、最大字段和、背包问题的过程，并对比其它算法以说明动态规划方法的高效、实用。 关键词：动态规划，最优化，算法分析 Abstract: The optimization method is a useful discipline, this paper, a computer professional, discusses the process used to calculate the dynamic programming method to solve the longest common subsequence, the maximum field and, knapsack problem, and compared to other algorithms to illustrate the dynamic programming method efficient and practical. Keywords: dynamic programming, optimization, algorithm analysis 动态规划（dynamic programming）是通过结合子问题的解而解决整个问题的。（此处“programming”是指一种规划，而不是指写计算机代码。）动态规划适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题。在这种情况下，若用分治法则会做很多不必要的工作，即重复地求解公共的子子问题。动态规划算法对每个公共的子子问题只求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算答案。 一、算法设计与优化 动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多可行解。

数值计算方法第八章

第八章 最优化问题 最优化分支：线性规划，整数规划，几何规划，非线性规划，动态规划。又称规划论。 应用最优化方法解决问题时一般有以下几个特点： 1. 实用性强 2. 采用定量分析的科学手段 3. 计算量大，必须借助于计算机 4. 理论涉及面广 应用领域：工业，农业，交通运输，能源开发，经济计划，企业 管理，军事作战……。 §8.1 最优化问题实例 最优化问题：追求最优目标的数学问题。 经典最优化理论： （1） 无约束极值问题：),,,(opt 21n x x x f （),,,(min 21n x x x f 或),,,(max 21n x x x f ） 其中，),,,(21n x x x f 是定义在n 维空间上的可微函数。 解法（求极值点）：求驻点，即满足 ????? ? ?='='='0 ),,(0),,(0 ),,(1 1121n x n x n x x x f x x f x x f n 并验证这些驻点是否极值点。

（2） 约束极值问题：),,,(opt 21n x x x f s.t. )(,,2,1,0),,,(21n l l j x x x h n j <== 解法：采用Lagrange 乘子法，即将问题转化为求Lagrange 函数 ) ,,(),,,(),,;,,,(11 21121n j j l j n l n x x h x x x f x x x L λλλ∑=+=的无约束极值问题。 近代最优化理论的实例： 例1 (生产计划问题) 设某工厂有3种资源B 1，B 2，B 3，数量各为b 1，b 2，b 3，要生产10种产品A 1，…，A 10 。每生产一个单位的A j 需要消耗B i 的量为a ij ，根据合同规定，产品A j 的量不少于d j ，再设A j 的单价为c j 。问如何安排生产计划，才能既完成合同，又使总收入最多？（线性规划问题） 数学模型：设A j 的计划产量为 j x ，z 为总收入。 目标函数： max 10 1 j j j x c z ∑== 约束条件： ?????=≥=≤∑=10 ,,2,1,3 ,2,1,10 1 j d x i b x a j j j i j ij 线性规划问题通常采用单纯形法来求解。 例2 (工厂设址问题) 要在m 个不同地点计划修建m 个规模不完全相同的工厂，他们的生产能力分别是m a a a ,,21 （为简便起见，假设生产同一种产品），第i 个工厂的建设费用m i f i ,,2,1, =。又有n 个零售商店销售这种产品，对这种产品的需求量分别为

《最优化方法》复习题(含答案)

附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，

五种最优化方法

五种最优化方法 1. 最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2 原理和步骤

3. 最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2 最速下降法算法原理和步骤

4. 模式搜索法(步长加速法) 4.1 简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤

5.评价函数法 5.1 简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有

天津大学《最优化方法》复习题(含答案)

大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .

最优化方法练习题答案

精心整理 练习题一 1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。 2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。 min () f x D ∈，对于则有(f ?1例2.1解：*2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。 答：略。 3、用单纯形法求解下列线性规划问题：

（1）???????≥≤+-≤++≤-++-=0 ,,4322 2..min 32131 3213213 21x x x x x x x x x x x t s x x x z ；（2）?????? ?=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min 53243232132Λi x x x x x x x x x x t s x x z i 解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6 因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(0,8/3,1/3,0,0,11/3)X =，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：*(0,8/3,1/3)X =。 （2）根据题意选取x 1，x 4，x 5，为基变量：

因检验数σ2<0最小，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。 4根据题意约束条件1和2可以合并为1，引入松弛变量x 3，x 4，构造新问题。

因检验数σj>0，表明已求得最优解：*(3/5,6/5) X 。Matlab调用代码： Matlab调用代码： f=[-10;-15;-12]; A=[5,3,1;-5,6,15;-2,-1,-1]; b=[9;15;-5]; lb=[0;0;0]; x=linprog(f,A,b,[],[],lb) 输出结果：

数值计算研究的经典算法

奥地利符号计算研究所（Research Institute for Symbolic Computation，简称RISC）的Christoph Koutschan博士在自己的页面上发布了一篇文章，提到他做了一个调查，参与者大多数是计算机科学家，他请这些科学家投票选出最重要的算法，以下是这次调查的结果，按照英文名称字母顺序排序。 1.A* 搜索算法——图形搜索算法，从给定起点到给定终点计算出路径。其 中使用了一种启发式的估算，为每个节点估算通过该节点的最佳路径，并以之为各个地点排定次序。算法以得到的次序访问这些节点。因此，A* 搜索算法是最佳优先搜索的范例。 2.集束搜索（又名定向搜索，Beam Search）——最佳优先搜索算法的优化。 使用启发式函数评估它检查的每个节点的能力。不过，集束搜索只能在每个深度中发现最前面的m个最符合条件的节点，m是固定数字——集束的宽度。 3.二分查找（Binary Search）——在线性数组中找特定值的算法，每个步 骤去掉一半不符合要求的数据。 4.分支界定算法（Branch and Bound）——在多种最优化问题中寻找特定最 优化解决方案的算法，特别是针对离散、组合的最优化。 5.Buchberger算法——一种数学算法，可将其视为针对单变量最大公约数 求解的欧几里得算法和线性系统中高斯消元法的泛化。 6.数据压缩——采取特定编码方案，使用更少的字节数（或是其他信息承载 单元）对信息编码的过程，又叫来源编码。 7.Diffie-Hellman密钥交换算法——一种加密协议，允许双方在事先不了 解对方的情况下，在不安全的通信信道中，共同建立共享密钥。该密钥以后可与一个对称密码一起，加密后续通讯。 8.Dijkstra算法——针对没有负值权重边的有向图，计算其中的单一起点 最短算法。 9.离散微分算法（Discrete differentiation） 10.动态规划算法（Dynamic Programming）——展示互相覆盖的子问题和最 优子架构算法 11.欧几里得算法（Euclidean algorithm）——计算两个整数的最大公约数。 最古老的算法之一，出现在公元前300前欧几里得的《几何原本》。 12.期望-最大算法（Expectation-maximization algorithm，又名 EM-Training）——在统计计算中，期望-最大算法在概率模型中寻找可能性最大的参数估算值，其中模型依赖于未发现的潜在变量。EM在两个步骤中交替计算，第一步是计算期望，利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大可能估计值；第二步是最大化，最大化在第一步上求得的最大可能值来计算参数的值。 13.快速傅里叶变换（Fast Fourier transform，FFT）——计算离散的傅里 叶变换（DFT）及其反转。该算法应用范围很广，从数字信号处理到解决偏微分方程，到快速计算大整数乘积。 14.梯度下降（Gradient descent）——一种数学上的最优化算法。 15.哈希算法（Hashing） 16.堆排序（Heaps）