数字信号处理真题

2009年攻读硕士学位研究生入学考试

数字信号处理试题

考生注意：答案写在答题纸上（包括填空题等），保持卷满面整洁。

一.填空题（每空2分，共20分）

1. 线性时不变离散因果系统的差分方程为y（n）= ―2x(n)+5x(n-1)-x(n-4),则该系统的单位脉冲响应为_______________。

2. 一个频率响应为H（ ）的线性时不变离散系统，若其输入序列为想x（n）= ，则输出序列为_______________。

3. 用一个数字低通滤波器从0-10kHz的信号中滤取0-4kHz的频率成分，该数字系统的抽样频率至少为________kHz。

4. 用8kHz的采样频率对一段2kHz的正弦信号采样64点，若用64点离散傅里叶变换（DFT）对其做频谱分析则第_______根和第_______根谱线上会看到峰值。

5. 对于一个因果稳定系统，其系统函数的极点应满足_______________条件。

6. 一个数字低通滤波器的截止频率是ω=0.2π，如果系统采样频率为f=2kHz，则等效于模拟低通滤波器的截止频率为___________Hz。

7. 为了由模拟滤波器低通原型的传递函数H(s)求出相应的数字滤波器的系统函数H（z），必须找出s平面和z平面之间的映射关系，这种映射关系应遵循两个基本目标：（1）_________________________________。（2）_________________________________。

8. 由于有限字长的影响，在数字系统中存在着三种误差，它们是输入信号的量化效应、___________和数字运算过程中的有限字长效应。

二.选择题（每题2分，共10分）

1. 已知系统的单位脉冲响应为h（n）= *u(3-n),则该系统为 （ ）

a.非因果、不稳定 b. 非因果、稳定 c. 因果、不稳定

2.已知系统的输入输出关系为y（n）= +5，则该系统为（ ）

a.线性、时不变系统 b. 非线性、时不变系统 c. 非线性、时变系统

3.用窗口法设计FIR数字滤波器时，若窗函数已定，则减小窗函数时所设计的数字滤波器的阻带最小衰耗将（ ）

a.减小 b. 增大 c. 不变

4.由模拟滤波器设计IIR数字滤波器时，不适合用脉冲响应不变法设计的滤波器有（ ）

a.低通 b. 高通 c. 带通

5.双线性变换法在频域的变换是非线性的，它把模拟频率∞变为数字频率（ ）

a. b. c. 0

三.画图题（共24分）

1.（8分）系统结构如图所示，试画出零、极点分布图，并粗略画出起幅频曲线，说明该滤波器类型，即是FIR，还是IIR？高通、低通、带通还是带阻？


0.9





Y（n）


X（n）

2.（6分）画出N=8按时间抽取（DIT）的FFT分解流图，要求：

（1）按照2组4点，即N=2x4分解，注明输入、输出序列及每一级的W因子，

（2）指出比较直接计算DFT节约了多少次乘法运算（乘以 、

均计为一次乘法运算）。

3.（10分）已知线性时不变离散时间系统在单位阶跃序列激励下的响应，即阶跃响应为s（n）= u（n），画出该系统的正准型实现结构。

四.证明题（每题8分，共16分）

1.设某FIR滤波器的单位脉冲响应h（n）偶对称，滤波器长度N为奇数，且h（n）为实数，证明该FIR滤波器是是线性相位的。

2. 一线性时不变系统的单位脉冲响应为h（n），其输入序列x（n）是均值为零、方差为 的白噪声实序列，输出序列为y（n）试证：E[x（n）y（n）]=h（0） 。

五.分析计算题（共40分）

1.(8分)输入信号x（t）= + 经过一个采样频率为 =6 的理想采样系统后，又经理想低通滤波器H(j )还原，H(j )=


1/2, | |<3π 0, | |3π

求低通滤波器H(j )的输出信号y（t）。

2.（8分）已知 （n）={1,0,1}， （n）={1,1,1,1,1,}，

（1）、计算 （n）和 （n）的线性卷积和5点圆周卷积；

（2）、什么条件下，线性卷积等于圆周卷积。

3.序列x（n）的Z变换为X（z） ，其零极点分布如下图。

0z


0.5


1


2


3


Re[z]


Im[z]


×z


×z


×z



(1) 若已知序列x（n）的傅里叶变换是收敛的，问X（z）的收敛域是什么?序列x（n）是左边序列、右边序列还是双边序列？

(2) 若已知序列是双边序列，且其Z变换存在，问对应的序列可能有几种（不需求出序列的表达式）？并分别指出它们对应的收敛域。

4.（10分）一个未知的线性时不变系统因果滤波器，在输入x（n）= u（n）时的输出为y（n）= u(n)+ u(n)

(1)求系统的系统函数H(z)和单位脉冲响应h（n）

(2)求出使输出为y（n）= u(n)的因果输入 （n）是什么？

5.（8分）x（n），n=0.1….N-1是长为N的有限长序列，其N点DFT为X(k)，设 （n）= [x（n）+ （N-n）， （n）= [x（n）- （N-n），其中， (n)是x（n）的以N为周期的周期延拓信号， （k）和 （k）分别是 （n）和 （n）的N点DFT，试求 （k）和 （k），要求用X（k）表示。

六.设计题（共40分）

1.（10分）FFT的应用之一是快速计算线性卷积，假如一个信号序列x（n）通过一个M阶的、单位脉冲响应为h（n）的FIR滤波器，那么可以用FFT运算来快速计算滤波器的输出序列y（n），试设计一个快速求解输出序列y（n）的实现步骤，其中序列x（n）的长度设为N,

2. （10分）用脉冲响应不变法设计一个低通数字滤波器，已知模拟低通原型滤波器的传递函数为 (s)= ，系统采样频率为 ，设计该低通数字滤波器的系统函数H（z）。

3. （12分）用双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹（Butterworth）低通数字滤波器，采样频率为 =8kHz,3dB截止频率为2kHz，已知三阶巴特沃兹滤波

器的归一化低通原型为H（s）= 要求：

（1）设计该低通滤波器的系统函数H（z）；

（2）画出该滤波器的直接II型（正准型）实现结构。

4. （8分）用L个一阶FIR数字低通滤波器 (Z)= 级联构成数字低通滤波器，要求其3dB截止频率低于 ，该滤波器的级联阶数L取多少？