九年级上册图形的相似

第一部分知识梳理

1. 对应边成比例，对应角都相等的两个多边形相似。相似多边形的对应边之比叫做相似比。

2. 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

3. 相似三角形的判定方法：

①三边对应成比例的两个三角形相似。

②两个角对应相等的两个三角形相似。

③两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似。

4. 判定三角形相似，一般先找等角，当难发现等角或仅能判定一组等角时，则应转向证明边对应成比例。

5. 相似三角形几种基本类型：

①平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC

②相交线型：常见的有如下四种情形，

如图（1）（2），已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC

如下图（3），已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB

如下图（4），已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC

（1）（2）（3）（4）

③旋转型：如图（5）已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，下图为常见的基本图形．

④母子型：如图（6）已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．

C

A

D

E

A

C

第二部分精讲点拨

考点1.多边形相似

【例1】已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．

变式1 下列说法正确的是（）

A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似

C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似

变式2 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α、β的大小和EH的长度x。

考点2. 相似三角形

【例2】下列说法正确的是（）

A．全等三角形一定相似 B．相似三角形一定全等

C．有一个角是40°的两个等腰三角形相似 D．两个等腰直角三角形不一定相似

变式1 △ABC的三条边之比为2：5：6，与其相似的另一个△A′B′C′最大边长为15cm，则另两边长的和为．

变式2 已知：在△ABC中，三边长分别为2，10，2，△A’B’C’的两边长分别为1，5，若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’的第三边长为（）

A．

2

B．２C．2D．２2

考点3. 相似三角形的判定

【例3】根据下列条件，判断与是否相似，并说明里由：(1)，，；，，(2)，，；

，，

变式1 在△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，求证：△ABC∽△AEF。

变式2 已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD

A

D

变式3 如图在Rt △ABC 中，AD ⊥BC 于D 。 （1）求证：△BAC ∽△BDA ∽△ADC

（2）求证：CD BD AD ?=2；BC BD BA ?=2；CB CD CA ?=2

（3）已知：BD=6，CD=3，求AD 、AB 、AC ； （4）已知：AC=6，BD=9，求BC 、AB 、AD 。

考点四.探究创新

【例5】如图，∠ACB ＝∠ADC ＝900

，AC ＝6，AD ＝2。问当AB 的长为多少时，这两个直角三 角形相似？

变式已知如图，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，设BQ ＝k ， 是否存在这样的实数k ，使得Q 、C 、P 为顶点的三角形与△ADP 相似，若存在，求出k 的值；若不存 在，请说明理由。 第三部分 过关检测 【基础闯关】

1. 关于相似多边形的下列叙述正确的是（ ） A.对应边相等的多边形叫做相似多边形 C.对应角、对应边都相等的多边形叫做相似多边形 D.对应角相等、对应边成比例的多边形叫做相似多边形

2. 下列说法中，正确的是（ ）

A.锐角三角形都相似

B.直角三角形都相似

C.等腰三角形都相似

D.等边三角形都相似

3. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，连结DE ，交AC 于G ，交BC 于F ，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）对。 A. 6B. 5C. 4D. 3

4. 如图，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则:ADE ABC S S =△△（ ） A ． 1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ． 2∶3

5. 如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB

CD BC

=； ④2

AC AD AB =．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4

6. 把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，则原矩形的长与宽之比是。

7. 在直角坐标系中，已知A （－3，0）、B （0，－4）、C （0，1），过C 点作直线l 交x 轴于D ，使得以

A

D

B

C

E

F

G

点D 、C 、O 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线有条。

8．一个钢筋三角架长分别为20cm 、50 cm 、60 cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm 和50 cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有种。

9. 如图，D 为ΔABC 内一点，E 为ΔABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4. (1)ΔABD 与ΔCBE 相似吗？请说明理由. (2)ΔABC 与ΔDBE 相似吗？请说明理由.

10. 如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形. (1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPCB ； (2)当ΔPCB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数.

第四部分中考链接

1、已知：Rt OAB △在直角坐标系中的位置如图所示，(34)P ，为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt OAB △分割成两部分．

问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt OAB △相似？

（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．

2．在Rt ABC △中，902BAC AB AC ∠===，， 点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠= （A D E ，，按逆时针方向）．

（1）如图1，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ． ①求证：ABD DCE △∽△；

②当ADE △是等腰三角形时，求AE 的长．

（2）①如图2，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由；

②如图3，若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE △是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．

3、一般来说，数学研究对象本质属性的共同点和差异点。将数学对象分为不同种类的数学思想叫“分类”

的思想。将事物分类，然后对划分的每一类进行研究和求解的方法叫做：“分类讨论”的方法。请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题： 如图，在ABC ?中，ACB

∠>ABC ∠ （1）若BAC ∠是锐角,请探索在直线AB 上有多少个点D ，能保证ACD ?∽ABC ?（不包括全等） （2）请对BAC ∠进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB 上能保证ACD ?∽ABC ?（不包括全等）

的点D 的个数。 第1题

1

B

y

C

P

x

1 45

A

B D

C

E 第25题图45

45 C D B A

E

E '

C A B

D E

第2题图2

第2题图3