扬州大学弹性力学复习题
1 设一点的主应力123,,σσσ和主方向为已知，取坐标轴与主方向重合，试研究
以
?= ?
n 为法线的微分面上的应力矢量()n t 以及切应力矢量。
2 给定任意形状的物体，设表面受均匀压力p 的作用，若不计体积力，验证
, 0xx yy zz xy yz zx p σσσσσσ===-===
满足平衡方程和力的边界条件。
3 设给定应力分量为
2222
22
348, 23162, 0
2
xx yy xy zz xz yz x xy y x xy y x xy y σσσσσσ=+-=++=---=== 试证明无体积力时，该应力分量满足平衡微分方程，从而是一组可能的应力状态。
4 设图1所示悬臂梁在均匀分布力q 作用下处于平衡。若给定应力分量
图1
222
2
arctan arctan 0
xx yy xy zz zx zy y xy A C x r y xy
A B x r y A r
σσσσσσ??=--+ ?
????
=-++ ???=-===
试由力的边界条件求出,,A B C ,式中2
2
2
r x y =+。
5 试写出图2所示三角形水坝的力的边界条件。如果已求得应力分量为
图2
, , 0, 0
xx yy zz xy xz yz Ax By Cx Dy Dx Ay gx σσσσρσσ=+=+==---==
试由边界条件决定,,,,A B C D 式中ρ和1ρ分别为坝身和液体的密度。
6 给定如下两组位移分量：
123456221234562
2
123456(1) , , 0;(2) , , 0,
u a a x a y v a a x a y w u b b x b y b x b xy b y v c c x c y c x c xy c y w =++=++==+++++=+++++=
式中，,,i i i a b c 为常数，试求应变分量，并问它们是否满足变形协调条件？如果满足，则称这组应变分量是变形可能的。
7 设物体的变形给定为
()()()2244012244012
2
0120
x y xy z zy zx a a x y x y b b x y x y c c x y c xy
εεγεγγ=++++=++++=+++===
为使这组变形成为可能的，试问这些系数应满足什么关系？
8 给定如下几组变形
()()2222222
2
2
22(1) , , 2, 0;(2) , , 2, 0;(3) , , , 0, , ,
x y xy z zy zx x y xy z zy zx x y z xy zy zx k x y z ky z kxyz k x y ky kxy axy ax y axy az by ax by εεγεγγεεγεγγεεεγγε=+======+==========+=+
其中，,,k a b 为常数，试问相应的变形是否为可能的变形？
9 若已知单连通物体的应变为
, , 0
x y xy z zy zx u v u v x y y x εεγεγγ????=
==+????=== 试问该组变形存在单值积分的充分必要条件是什么？并求位移分量u 和v 。
10 若已知单连通物体的应变为
, , 0
x y z xy yz
zx x x x a
a a υ
υ
εεεγγγ=
=
=-
===
式中，,a υ为常数。试检查它们是否满足相容性条件，并求位移。
11 设图3的棱柱形杆在自重作用下产生的应变为
图3
, 0
x y z xy yz zx z z E
E υγ
γ
εεεγγγ==-
=
===
式中，γ为材料比重，,E υ为弹性常数，试求位移分量（设点A 固定）。
12 设体积力为零时，给定应力分量为
()()()222
22222,0,0,2x yz y zx z xy a y x y a x y x a x y a xy
συτσυτσυτυ??=+-=????=+-=??=+=- 式中，0a ≠为常数。试问所给应力分布是否可能为弹性力学问题的解？
13 已知等直杆纯弯曲时的位移分量为
()022200
2y z z x z y M
u xy z y u EI M v x y z x z v EI
M w yz y x w EI
ωωυυωωυωω=
+-+=-+-+-+=-+-+ 式中，线性部分为刚体位移。试证明所给位移分量为该问题的解，并对该解的实用性进行讨论。
14 试证明任何形状的平板，在边界上作为均匀压力p 时，物体内的应力分量为
, 0x y xy p σστ==-=
15 设有一平面矩形域，若给定如下函数：
234
5
(1) ; (2) ;(3) ; (4),
F ax y F axy F ay F ay ====
试问这些函数能否作为应力函数？若能，试写出应力分量，并利用边界条件求出面力，示于矩形域的边界上。
16 已知应力函数(
)32
F a x xy
=+，试求出图4所示三角形区域边界上的法向应力和切向
应力，并示于区域的边界上。
图4
17 试求下列函数的一阶变分：
22(1) 35; (2) (3) F x y y y F F '=+++==
式中，,,a b c 为常数。
18 给定如下泛函：
(
)22(1) d ;
(2) ,
b
a
b
a
Ay By Cy x y
x '''∏=++∏=??
式中，,,A B C 为常数，试写出上述泛函的一阶变分。
19 给定泛函
201d 2l
EIy qy x ??''∏=- ???
?
式中，const EI =，q 为x 的给定函数。试由变分方程推导欧拉方程和自然边界条件，已知()()00y y l ==。
20 给定泛函
22d d x y x y ??Ω??
??????∏=+??
? ???????????
?? 和
222d d dz V w w w x y x y z ??
?????????∏=++?? ? ? ??????????????
???
试由变分方程推导欧拉方程，?和w 在区域Ω和V 的边界上为已知。
21 试利用变分法导出图5所示梁的平衡微分方程和力的端部条件。
图5
22 试用最小总余能原理求图6所示梁的支座反力及反力矩，设const EI =。
图6
23 试求图7所示梁的挠曲线，设const EI =。
图7
提示：设挠曲线为
1
21cos n n n x v a l π∞
=?
?=- ???∑
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