因式分解(完全平方公式)

因式分解——完全平方式

翠英中学

蔡妙璇

教学目标：

1．知识与技能：领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法：经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．

3．情感、态度与价值观：培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．

教学重、难点与关键：

1．教学重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．

2．教学难点：灵活地应用公式法进行因式分解．

3．教学关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，?达到能应用公式法分解因式的目的．

教学方法：

采用自主探究教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．

教学过程：

一、回顾交流，巩固知识．

（设计意图：承前启后，为本节内容的引入作铺垫，让学生进一步了解因式分解和乘法公式的关系．）

1、什么是分解因式（把一个多项式化成几个整式的乘积的形式的式子变形）

2、你能回答已学过的因式分解法吗（提公因式法和平方差公式法）

3、计算下列各式：

2

a+=

)

(b

2

)

a-=

(b

2

x+=

(y

4

)

2

x-=

2(y

3

)

二、创设情境，引入新课．

（设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作的过程中认识因式分解的本质属性——将完全平方式化为乘积的式子变形．）

问题：灰太狼总没抓到羊，为了表示惩罚，红太狼要求它站在门外口算出992 +198+ 1的值才可进家门，可怜的灰太狼在门口冻了半天，你能帮助它吗

此处运用了什么公式 2222)(b ab a b a +±=±

这个公式反过来222)(2b a b ab a ±=+±

就像平方差公式一样，逆用完全平方公式可以把一些多项式因式分解，从而应用它可以进行一些简便计算等．

三、分析讨论，探究新知．

（设计意图：通过教学，引导学生掌握找完全平方式的方法，提出“口诀”．） 我们可以利用完全平方公式来分解因式，这种方法称为“完全平方公式法”．

1．公式 222)(2b a b ab a ±=+±

2．文字 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和

（或差）的平方．形如222b ab a ++和222b ab a +-的式子叫做完全平方式．

3.特点：（教师引导学生说出它的特点）

（1）必须是三项式（或可以看成三项式的）

（2）有两个是同号的平方项

（3）另一项是这两项的乘积的2倍或-2倍

口诀： “首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍在中间.

4.师生辨认：下列多项式是不是完全平方式

（1）962++x x ；（2）2244y x x ++；（3）229124y xy x +-

随堂练习1：找出完全平方式

（1）222y xy x +-；（2）ab b a 222++；（3）2244y xy x ++；

（4）226b ab a +-；（5） ；（6）222y x xy --. 四、范例点击，应用所学

（设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的例题与练习，提高学生对因式分解的完全平方公式法的认识，积累经验．）

例1 分解因式：92416)1(2++xy x ；2244)2(y xy x -+-．

思路：（1）直接用公式；（2）添括号后直接用公式.

强调：因式分解过程就是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.

随堂练习2:分解因式：

12)1(2++a a ；3612)2(2++x x ；

144)3(2+-x x ；222)4(y x xy ---．

例2 分解因式：22363)1(ay axy ax ++ ；36)(12))(2(2++-+b a b a

（1）步骤：一提（提公因式）；二套（用公式）；三查（是否彻底）；

（2）教学思想方法：整体代入思想.

随堂练习3:分解因式：

242)1(2++x x ；3222)2(a x a ax ++；

412++x x

22363)3(y xy x -+-；9)(6))(4(2++++y x y x

五、课堂延伸，拓展提高

（设计意图：进一步让学生巩固运用完全平方公式进行因式分解，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此方法的教学价值．）

随堂练习4：选择题

（1）如果224y kxy x ++可以分解为2)2(y x -，则k 的值是（ ）

A 、4

B 、－4

C 、2

D 、－2

（2）如果92++mx x 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）

A 、6

B 、6±

C 、3

D 、3±

（3）多项式25)(10)(2++-+b a b a 分解因式的结果是（ ）

A 、2)10(++b a

B 、2)25(-+b a

C 、2)5(++b a

D 、2)5(-+b a

随堂练习5：现在你能快速口答出119989992++的值吗

六、课堂总结，发展潜能．

（设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容．）

1、到目前为止我们学习了几种因式分解的方法

（1）提公因式法；（2）公式法（平方差公式、完全平方公式）.

2、什么是完全平方式

（1）必须是三项式（或可以看成三项的）；

（2）有两个同号的平方项；

（3）另一项是这两项的乘积的2倍或-2倍.

简记口诀：“首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍在中间.

3、因式分解基本步骤

一提（提公因式）；二套（用公式）；三查（是否彻底）.

七、布置作业，专题突破．

（设计意图：考查学生运用完全平方公式进行因式分解的应用情况.）

暗线本作业：课本P119习题14．3复习巩固第3题．

《南方新课堂》P77-78

八、教学反思，不断提高．（略）

初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解课堂

设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：

a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。

最新完全平方公式变形公式专题

半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()22 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 (1)1=+y x ，则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= (二）公式变形 (1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (3)如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 (4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 (5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是

完全平方公式变形的应用

乘法公式的拓展及常见题型整理 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab

⑴若()()a b a b -=+=22 713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ （三）整体代入 例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．

因式分解——完全平方公式

14.3.2公式法（完全平方公式） 一、内容及内容解析 1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。 2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14. 3.2公式法的内容。主要是利用完全 平方公式进行因式分解。因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其 是多项式的乘法关系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因 式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。 二、目标及目标解析 1.目标： （1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式； （2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 2.目标解析： 达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式 的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。 达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并 且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。从而培养学生的观察和联想能力。 再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。 三、教学问题诊断分析 在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因 式分解。这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式， 再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。 在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生 尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。另外，平 方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 四、教学过程设计： ●教学基本流程：课前回顾——揭示（学习）目标——指导自学——巡视自学——检查（自学）效果——讨论（学生），点拨（教师）——当堂训练——课后小结 ●教学情景： （一）课前回顾： 1.因式分解的定义: 把一个（）化成几个（）的积的形式。 练一练: 2a-2= ；a2-1= ；2a2-2= ； 因式分解要注意：有公因式先提公因式;分解因式要彻底

完全平方公式分解因式

一、课前阅读。 自已阅读课本P169－170，尝试完成下列问题： 1.判断下列式子是否为完全平方式。 （1） a2－4a＋4（2） 4a2＋1 （3）a2－2ab-b2 （4） 4b2＋4b-1（5）4x2－12x+9（6）a2－3a+9 2.尝试把下列多项式进行因式分解。 （1）x2－6x+9（2）9x2+12x+4 （3）4x2－20x+25 二、新课学习。 （一）引入。 1、口答：① （x+2）2 ②（2x–1）2 ③ （x+3y）2 ④ （x–2y）2 2、你能将下列式子分解因式吗？试一试。你是怎么得到的？比较以上两组算式，谈谈它们的联系。①x2+4x+4 ②4x2–4x+1 ③x2+6xy+9y2 ④4x2–4xy+4y2 （二）阅读效果交流。 1、完全平方式的结构特征是什么？（从项数、符号、形式分析） 【教师点拨】1、二次三项式2、有两项都为正且能够写成平方的形式3、另一项是写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负。 完全平方式的结构特征可概述为：a2±2ab+b2 2、怎样的多项式可以用完全平方公式进行因式分解？ A、（从项数、符号、形式分析） B、其它 3、交流订正课前阅读练习。 【教师点拨】 1、两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍，等于这两个数的和或差的平方。 2、用完全平方公式分解因式的关键是：判断一个多项式是不是完全平方式。 练一练： 请补上一项，使下列多项式成为完全平方式 ①x2－+9 ②x2－ + y2 ③4a2+9b2+ ④x2－6xy+ ①阅读后分析：以上式子中已知完全平方式结构中的哪些项，还缺结构中的哪项？ ②阅读后讲解：前三题已知a2和b2，找2ab；最后一题是已知a2和2ab，找b2 ③阅读后反思：解题关键是掌握完全平方式的结构特征，找准公式中a,b所对应的式子。 （三）阅读中学习。 1、例1、分解因式 （1）16x?+24x+9 （2）（a+b） ? －12 （a+b）＋36 ①阅读后分析：公式中（a±b）2=a2±2ab+b2的a,b分别对应（1）（2）题中的哪一个整式？ ②阅读后讲解： （1）解：原式=（4x）？+2?4x ?3+ 3? =（4x+3）？ a?+2? a?b+ b? = （a+b）？ （2）用换元法或者用整体的思想求解。 ③阅读后反思：因式分解要先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，判断是否符合什么公式，然后再尝试选择因式分解的方法。对于二次三项式，一般先找平方项，判断是否同号，再找中间项，判断是否为平方项两底数乘积的2倍。公式中a,b可以是一个数，一个字母，一个单项式，也可以是一个多项式，要注意整体思想的应用。 【教师点拨】用公式法分解因式步骤是一判二用三代入。 对应练习：（1）x2+12x+36 （2） a2+2a+1 （3） 4x2-4x+1 （4）4-12（x-y）+9（x-y）2 2、例2、把下列各式分解因式： （1）-x?＋4xy-4y? （2）2y3-20y?＋50y ①阅读后分析：能否直接利用完全平方公式进行分解？若不行，该怎样处理。 ②阅读后讲解：学生先独立思考完成，展示学生的作业，由请学生讲解。 ③阅读后反思： A、和例题1有什么联系？都是三项

利用完全平方公式因式分解

15.5.２利用完全平方公式因式分解 一、回顾 与 思考 、因式分解的方法有 种，分别是 2、提取公因式法 ma+mb+mc= 3、平方差公式法 a 2-b 2 = 4、能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？ 5、分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解. 分解因式 2222 41(1)49 (2)(3)94(4)1625 a x x y x -- --+ 6、 二、新知: (1) a 2＋2ab ＋b 2 (2) a 2－2ab ＋b 2 三、探究： 完全平方公式：()2 22 2a ab b a b ++=+ 公式应用的特征:左边 ： 结果： 四、练一练 1:下列各多项式哪些能用完全平方式因式分解?若是,请找出相应的a 和b. 22222(4)44 (5)14(6)441(7)a a a b b a ab b -+++-++ 五、例1:把下列各式因式分解 例2：分解因式22(1)363ax axy ay ++ （2）2()12()36a b a b +-++ 六、练一练 1、分解因式 七、灵活运用 1、已知51 =+x x ，那么221x x +=_______。 2、12142++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。 3、分解因式()()49142 ++-+y x y x =____________________。 八、随堂检测 () 2 __________________ a b +=() 2 __________________ a b -=() 2 222a ab b a b -+=-()211236x x ++()2222y x xy ++-()2 223y x xy +--()211236x x ++2(2)16249 x x ++()22 344x xy y -+-()()22221123622(3)21 y y xy x y a a ++---++()()2223 22 444152(6)363x x ax a x a x xy y -+++-+-()()()2 22 2211236 22(3)21 4441 a a a b a b x x y y ++---++-+

利用完全平方公式因式分解(教案)

4.3.2利用完全平方公式因式分解 授课时间：2019.4.11下午第二节指导老师：陈平老 师 授课班级：八年（1）班授课教师：邱振荣老师 授课地点：M1春晖楼阶梯教室级别：区级 一、教学目标： (一)知识与技能： 1.了解运用公式法分解因式的意义. 2.理解并掌握完全平方式的概念、特征，会用完全平方公式分解因式. 3.清楚地知道通常情况下提公因式法是因式分解首先考虑的方法,然后再考虑用公式法进行因式分解. (二)过程与方法： 经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用完全平方公式分解因式的方法的过程,发展逆向思维和推理能力. (三)情感态度与价值观： 通过对公因式是多项式时的因式分解的教学,培养“换元”的意识，体验数学的化归转化思想. 二、教学重点： 掌握用完全平方公式分解因式. 三、教学难点： 学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式. 四、教学方法： 问答法、讲授法、练习法、演示法 五、教学用具： PPT 六、教学过程： 第一环节练习引入 1.把下列各式因式分解： （1）x2–2x；（2）x2–1 ；（3）x2–2x+1 . 2.回顾（乘法公式）完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 第二环节探究新知 1、引导学生把上述完全平方公式反过来： a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 2、“公式法” 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式（如平方差、完全平方公式）把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 3、探究：完全平方式 (1)形如a2±2ab＋b2的多项式称为完全平方式. a2 ± 2·a·b ＋ b2 ? ? ? ? ?

完全平方公式之恒等变形

§1．6 完全平方公式（2） 班级： 姓名： 【学习重点、难点】 重点： 1、弄清完全平方公式的结构特点； 2、会进行完全平方公式恒等变形的推导． 难点：会用完全平方公式的恒等变形进行运算． 【学习过程】 ● 环节一：复习填空 ()2_____________a b += ()2_____________a b -= ● 环节二： 师生共同推导完全平方公式的恒等变形 ①()222_______a b a b +=+- ②()222_______a b a b +=-+ ③()()22_______a b a b ++-= ④()()22_______a b a b +--= ● 典型例题及练习 例1、已知8a b +=，12ab =，求22a b +的值 变式训练1：已知5a b -=，22=13a b +，求ab 的值 变式训练2：已知6ab =-，22=37a b +，求a b +与a b -的值 方法小结：

提高练习1：已知+3a b =，22+30a b ab =-，求22a b +的值 提高练习2：已知210a b -=，5ab =-，求224a b +的值 例2、若()2=40a b +，()2=60a b -，求22a b +与ab 的值 小结： 课堂练习 1、（1）已知4x y +=，2xy =，则2)(y x -= （2）已知2()7a b +=，()23a b -=，求=+22b a ________，=ab ________ （3）()()2222________a b a b +=-+ 2、（1）已知3a b +=，4a b -=，求ab 与22a b +的值 （2）已知5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。 （3）已知224,4a b a b +=+=，求22a b 与2()a b -的值。

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -

4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+

因式分解练习题(完全平方公式)

因式分解练习题（完全平方公式）一、选择题 1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）A．8 B．4 C．±8 D．±4 2．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2-6x-9 B．a2-16a+32 C．x2-2xy+4y2D．4a2-4a+1 3．下列各式属于正确分解因式的是（） A．1+4x2=（1+2x）2B．6a-9-a2=-（a-3）2 C．1+4m-4m2=（1-2m）2D．x2+xy+y2=（x+y）2 4．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（） A．（x-y）4B．（x2-y2）4 C．[（x+y）（x-y）]2D．（x+y）2（x-y）2 二、填空题 5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）2 7．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）． 8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________． 三、解答题 9．把下列各式分解因式： (1)a2+10a+25 (2)m2-12mn+36n2

(3)xy3-2x2y2+x3y (4)（x2+4y2）2-16x2y2 （5）a4-6a2+9 （6）4a2+12ab+9b2 10．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．

四、探究题 12．你知道数学中的整体思想吗解题中，?若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，?从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解． 你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗 ①（x+2y）2-2（x+2y）+1 ②（a+b）2-4（a+b-1） 13、已知a2+10ab+25b2与｜b-2｜互为相反数，求a+b的值

完全平方公式变形公式专题

半期复习（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展： 2a2b2(a b)22ab 22 拓展一：a b(a b)2ab 11211 2 2 2 a(a)2a(a)2 22 a a a a 2a b2a b22a22b2 2 拓展二：(a b)(a b)4ab 22(a b)2(a b)24ab (a b)(a b)4ab 2222 拓展三：a b c(a b c)2ab2ac2bc 拓展四：杨辉三角形 33232 33 (a b)a a b ab b

444362243 4 (a b) a a b a b ab b 拓展五：立方和与立方差 3b a b a ab b 3223b3a b a ab b 22 a()()a()() 第1页（共5页）

二．常见题型： （一）公式倍比 。 2 2 a b 例题：已知 a b =4，求ab 2 1 1 (1) x y 1，则 2 2 x xy y = 2 2 2 2 x y 2 ) 2 (2) 已知x x x y ，xy ( 1) ( 则= ２ ( 二）公式变形 (1) 设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则A= 2 2 (2) 若( x y) ( x y) a ，则a 为 (3) 如果 2 ( ) 2 (x y) M x y ，那么M等于(4) 已知(a+b) 2=m，(a —b) 2=n，则ab 等于 2 (2 3 ) 2 ( ，则N的代数式是(5) 若2a b a b N 3 ) （三）“知二求一” 1．已知x﹣y=1，x 2+y2=25，求xy 的值． 2．若x+y=3 ，且（x+2）（y+2）=12． （1）求xy 的值； 2+3xy+y 2 的值． （2）求x

初中数学 完全平方公式因式分解 专题复习练习题 含答案

用完全平方公式因式分解 专题复习练习题1．下列各式是完全平方式的是( ) A．x2＋2x－1 B．9＋x2－3x C．x2＋xy＋y2 D．x2－x＋1 4 2．已知x2＋4mx＋16是完全平方式，则m的值为( ) A．2 B．±2 C．6 D．±6 3. 因式分解4－4a＋a2，正确的结果是( ) A．4(1－a)＋a2 B．(2－a)2 C．(2－a)(2＋a) D．(2＋a)2 4. 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( ) A．(x－y)2 B．(－x－y)2 C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2 5. 分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( ) A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2 6. 若a＋b＝3，则2a2＋4ab＋2b2－6的值为( ) A．12 B．6 C．3 D．0 7. 计算1002－2×100×99＋992的结果为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 8. 已知a＝2 014x＋2 015，b＝2 014x＋2 016，c＝2 014x＋2 017，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 9. 不论x，y为任何实数，x2＋y2－4x－2y＋8的值总是( ) A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 10. 在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单

项式是__________________．(写出一个即可) 11．若x 2－14x ＋m 2是完全平方式，则m ＝__________． 12. 在括号内填上适当的因式： 25x 2＋10x ＋1＝( )2 13. 如图，利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的长方形可拼成一个正方形，从而可得到因式分解 的公式为_______________________________ ． 14. 因式分解： －4a 2＋4a －1 15. 把下列各式分解因式： (1)(x ＋y)2－4xy ； (2)a 4－b 4. 16. 因式分解： a 2 b －4ab ＋4b 17. 若ab ＝，a ＋b ＝，求多项式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．3854

初中数学完全平方公式的变形与应用

完全平方公式的变形与应用 提高培优完全平方公式 222222()2,()2a b a a b b a b a a b b 在使用时常作如下变形： (1) 222222()2,()2a b a b a b a b a b a b (2) 2222()()4,()()4a b a b a b a b a b a b (3) 2222 ()()2()a b a b a b (4) 2222 1 [()()]2a b a b a b (5) 22 1 [()()]2a b a b a b (6) 222222 1 [()()()]2a b c a b b c ca a b b c c a 例1 已知长方形的周长为 40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有： α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略，下同) 例2 已知长方形两边之差 为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积. 解设长方形长为 α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和， 证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和 . 证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).

由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证 例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？ 解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为 S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116 (x 2+y 2) =132 [(x+y)2+(x-y)2] =132 [642+(x-y)2]. ∵(x-y)2 ≥０，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为 64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为 10，平方和为52，求这两数的积. 解设这两数分别为α、b ，则α+b =10，α2+b 2 =52. 由公式(5)，有： αb=12 [(α+b)2-(α2+b 2)] =12 (102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3. 求：α2+b 2+c 2-αｂ-bc-c α的值. 解由公式(6)有： α2+b 2+c 2-αｂ-bc-αｃ =12 [(α-b)2+(b-c )2+(c-α）2] =12 [(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.

用完全平方公式因式分解练习

用完全平方公式因式分解练习 例1（1）把229124b ab a +-分解因式． （2）把2 2816y x xy +-分解因式． （3）把2 411x x ++分解因式． （4）把xy y x 4422-+分解因式． - 练习：把下列各式分解因式： （5）．1692+-t t （6）．4 12 r r +- （7）．236121a a +- （8）．42242b b a a +- ~ 例2．把下列各式分解因式： （9）．122++n n m m （ 10）．222n m mn -- ! （11）．ax y ax y ax ++2232 （12）．22224)1(4)1(a a a a ++-+

练习：把下列各式分解因式： （13）．n n m m y y x x 42242510+- (14)．222y xy x -+- % (15)21 222+-x x (16)161)(21)(2+---y x y x (17)n n m m y y x x 2245105-+- 例3．把下列各式分解因式： (18)．222)1(4+-a a (19) ．2)(4y x y x -- ] 练习：把下列各式分解因式： (20)．222)41 (+-m m (21) ．222224)(b a b a -+ — (22)．)(42s t s s -+- (23) ．1)3)(2)(1(++++x x x x

例4(24)．已知05422 2=+++-b b a a 求b a ,的值． # 【课堂操练】 一．填空： （25）．-2x （ ）+29y =（x - 2) （26）．+-244x x =-2(x 2) （27）．++x x 32 =+x ( 2) （28）．++22520r r =（ +52 )r 二．填空，将下列各式填上适当的项，使它成为完全平方式（222b ab a ++）的形式： （29）．+-x x 2 （30）．++22 4 1y x （31）．242x xy -+ （32）．++24414b a ( （33）．++469n m （34）．+-x x 52 三．把下列各式分解因式： （36）．244x x +- （37）．49142 ++x x （38）．9)(6)(2++-+n m n m （39）．n n n x x x 7224212+-++ ￥

完全平方公式变形

完全平方公式变形 1.已知 ，求下列各式的值： （1） ； （2） ． （3）4 41x x 2.已知x+y=7，xy=2，求 （1）2x 2+2y 2； （2）（x ﹣y ）2．。 （3）x 2+y 2-3xy 3.已知有理数m ，n 满足（m+n ）2=9，（m ﹣n ）2=1．求下列各式的值． （1）mn ； （2）m 2+n 2

平方差公式的应用 1.（a+b﹣c）（a﹣b+c）=a2﹣（）2． 2.（）﹣64m2n2=（a+）（﹣8mn） 3.已知x2﹣y2=12，x﹣y=4，则x+y=． 4．（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）…（x2n+y2n）=． 5.．（﹣3x+2y）（）=﹣9x2+4y2． 6.记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1=2128，则n=． 7.计算：=． 8.已知a﹣b=1，a2﹣b2=﹣1，则a4﹣b4=． 9.一个三角形的底边长为（2a+4）厘米，高为（2a﹣4）厘米，则这个三角形的面积为． 10观察下列等式19×21=202﹣1，28×32=302﹣22，37×43=402﹣32，…，已知m，n 为实数，仿照上述的表示方法可得：mn=． 11．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长 12如图，第一个图中两个正方形如图所示放置，将第一个图改变位置后得到第二个图，两图阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式 为． 以下为提高题（请班级前20名学生会做） 13．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．若60是一个“神秘数”，则60可以写成两个连续偶数的平方差为：60=． 14．20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12=． 15．（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）×8+1=． 16.（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）=899，则a+b=． 17.化简式子，其结果是．

《完全平方公式分解因式》教案

14.3 因式分解（第三课时） 14.3.2 公式法（2）（陈洁） 一、教学目标 1.掌握完全平方公式的特点. 2.会运用完全平方公式因式分解. 3.能熟练运用公式法和提公因式法分解因式. 二、学习重点 掌握完全平方公式的特点，运用完全平方公式分解因式. 三、学习难点 灵活运用公式分解分解因式. 四、教学设计 1.知识回顾 把下列各式因式分解： （1）22936x y xy xy +-； （2）3a b ab -. 学生独立完成后回答： （1）229363(32)x y xy xy xy x y +-=+-. （2）32(1)(1)(1)a b ab ab a ab a a -=-=+- 做后强调：分解因式时有时要考虑综合运用各种方法，一般先观察是否有公因式可提，再考虑能否用平方差公式分解；分解因式要彻底，一直到不能分解为止. 2.问题探究 探究一 探索因式分解的方法——完全平方公式. 活动① 类比学习 问题1：上节课我们将乘法公式中的平方差公式等号两边互换位置得到因式分解的又一种方法：运用平方差公式分解因式，类似地，乘法还有完全平方公式，你能类比学习得到因式分解的新方法吗？ 学生回顾乘法中的完全平方公式：222()2a b a ab b +=++ ；222()2a b a ab b -=-+. 互换位置可得：2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=- 问题2：类比平方差公式，你能用语言叙述该公式吗？ 文字语言：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积2倍，等于这两个数的和（或差）的

平方. 问题3：运用完全平方公式分解因式时，最后分解为和的完全平方还是差的完全平方，有谁来决定？ 学生思考后分小组讨论交流：由2倍项的符号来确定，若2倍项的符号为正，则分解为和的完全平方，若2倍项的符号为负，则分解为差的完全平方. 活动② 剖析完全平方公式. 问题4：我们将形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子叫完全平方式.完全平方式有哪些特点呢？ 学生思考后分小组讨论，再归纳总结： 完全平方式的特点是：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的 平方，而且符号相同，中间相是这两个数（或整式）的积的2倍 ，符号正负均可. 口诀：首平方，末平方，首末积的2倍中间放. 追问：平方差公式中的a 、b 可代表多项式，类似地，完全平方公式中的a 、b 是否也可以代表一个多项式呢？ 活动③ 辨析完全平方公式 问题5：下列多项式中，哪些是完全平方式？若是完全平方式，请指出谁相当于公式中的a 、b . （1）224129x xy y ++ ；（2）244x x -++ ；（3）2269x xy y -+- ；（4）221x x +- 学生独立思考后，集体订正. 探究二 直接运用完全平方公式因式分解 例1 分解因式： （1）216249x x ++ ；（2）2244x xy y -+- 练习：因式分解（1）2242025x xy y -+ （2）221294xy x y -- 例2 分解因式： （1）2()12()36a b a b +-++ ；（2）22()4()4m n m m n m +-++ . 练习：因式分解（1）222()()a a b c b c -+++ ；（2）2222(1)4(1)4x x x x ++++ 探究三 综合应用 例3 分解因式：

完全平方公式变形公式专题

半期复习(3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二:a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2 222---++=++ 拓展四:杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二.常见题型： （一）公式倍比 例题:已知b a +=4,求ab b a ++2 2 2。 (１)1=+y x ,则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= （二)公式变形 (１)设(５a ＋3b ）2=(5ａ－３b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (３)如果2 2)()(y x M y x +=+-,那么M 等于 （4）已知(ａ+b)2=m ，(a —b)２=n ，则ａb 等于 (５)若N b a b a ++=-22)32()32(,则N 的代数式是 （三）“知二求一” 1．已知ｘ﹣ｙ=1,x ２+y ２＝25，求xy 的值. 2.若x ＋y=3,且（x+2)（y ＋2）=12. （1)求ｘｙ的值； （2）求x 2＋3x ｙ+ｙ2的值．

专题4.6 因式分解-完全平方公式(专项练习)-2020-2021学年八年级数学下册基础知识专项讲练

专题4.6 因式分解-完全平方公式（专项练习） 一、单选题 1．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）下列各因式分解正确的是（ ） A ．22(2)(2)(2)=x x x -+--+ B ．2221(1)x x x +-=- C ．22441(21)x x x -+=- D ．24=2(2)(2)x x x x -+- 2．（2019·海口市金盘实验学校八年级期中）已知x 2+kx +9可以用完全平方公式进行因式分解，则k 的值为（ ） A ．3 B ．±3 C ．6 D ．±6 3．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）下列各式分解因式正确的是（ ） A ．241(41)(41)x x x -=+- B ．21 1(1)a a a a a -+=-+ C ．121684342a b a b -+=-+() D ．221(1)422 x x x -+=- 4．（2021·北京朝阳区·八年级期末）下列因式分解变形正确的是（ ） A ．22242(2)a a a a -=- B ．2221(1)a a a -+=- C ．24(2)(2)a a a -+=+- D ．256(2)(3)a a a a --=-- 5．（2020·上海宝山区·七年级期末）下列多项式中，完全平方式是（ ） A ．22a ab b ++ B ．239a a -+ C ．214a a -+ D ．21124 a a ++ 6．（2020·福建泉州市·泉州七中八年级期中）已知2x m mn =-，()y n m n =-，则x y -的值是（ ） A ．实数 B ．正实数 C ．负实数 D ．非负实数 7．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）下列各式可以用完全平方公式因式分解的是 ( ) A ．2224x xy y -+ B ．222a ab b -- C ．2144 m m -+ D ．296x x -+

完全平方公式变形的应用练习题_2

（一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ （三）整体代入 例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=