圆试题精选
一. 本周教学内容：
圆
1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。
2. 主要定理：
（1）垂径定理及其推论。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。
（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。
（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。
（5）切线的性质及判定。
（6）切线长定理。
（7）相交弦、切割线、割线定理。
（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。
（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。
（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。
（11）正n边形的有关计算。
圆这一章中的知识点包括5个B级，13个C级，3个D级水平的共21个知识点，多数要求掌握或灵活运用，所以圆这部分的知识非常重要。
二. 中考聚焦：
圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：
圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。
三. 知识框图：
圆
圆的有关性质
直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆
?
?
?
?
?
?
?
圆的有关性质
圆的定义
点和圆的位置关系（这是重点）
不在同一直线上的三点确定一个圆
圆的有关性质
轴对称性—垂径定理（这是重点）
旋转不变性
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
圆心角定理
圆周角定理（这是重点）
圆内接四边形（这是重点）
?
?
?
?
?
?
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??
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?
?
?
直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）
?????????????
?
???? 圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线
??
????
?????
?????
正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆
正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）
圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）
圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）?????
?????
???
??
????
????
【典型例题】
例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm ，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm ，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全？
分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m 为半径的圆的外部，如图所示：
O 120m 爆破中心 安全
区
域
解： 导火索燃烧的时间为
18
09
20.()=s 相同时间内，人跑的路程为2065
130?=.()m ∴>人跑的路程130120m m ∴点导火索的人非常安全
例2. 已知梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ，⊙O 的半径为4，AB ＝6，CD ＝2，求梯形ABCD 的面积。
分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB 、CD 间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE ⊥CD 于E ，延长EO 交AB 于F ，证OF ⊥AB 。 此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。 解：分两种情况讨论：
（1）当弦AB 、CD 分别在圆心O 的两侧时，如图（1）：
过O 作OE ⊥CD 于E ，延长EO 交AB 于F 连OC 、OB ，则CE ＝DE ∵AB ∥CD ，OE ⊥CD
∴OF ⊥AB ，即EF 为梯形ABCD 的高 在Rt △OEC 中，∵EC ＝1，OC ＝4 ∴=
-=-=OE OC EC 22224115
同理，OF =
7
∴=+=+EF OE OF 157 ()()()
∴=
++=+=+S ABCD 梯形1
2
26157415741547 （2）当弦AB 、CD 在圆心O 的同侧时，如图（2）：
过O 作OE ⊥CD 于E ，交AB 于F 以下证法同（1），略。 ∴=-EF 157
()(
)()∴=
+-=-=-S ABCD 梯形1
26157415741547
例3. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，P 是OB 的中点，求tanC ·tanD 的值。
分析：为了求tanC ·tanD 的值，需要分别构造出含有∠C 和∠D 的两个直角三角形。而AB 是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC 、BD ，则得到Rt △ACB 和Rt △ADB 。可以发现∠ACD ＝∠ABD ，∠ADC ＝∠ABC ，于是，可以把tanC ·tanD 转化为
tan tan ∠·∠···，则可求。ABD ABC AD BD AC BC AD AC
BD BC
=
= 解：连结BC 、BD
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90° ∵∠ACD ＝∠ABD ，∠ADC ＝∠ABC
∴===
tan tan tan tan C D ABD ABC AD BD AC BC AD AC
BD BC
·∠·∠··· 作AE ⊥CD 于E ，作BF ⊥CD 于F 则△AEC ∽△ADB ∴
=AC AE AB
AD
∴AC ·AD ＝AE ·AB 同理，BD ·BC ＝BF ·AB ∴==
tan tan C D AE AB BF AB AE
BF
··· ∵△APE ∽△BPF ∴
AE BF AP
BP
= ∵P 为半径OB 的中点 ∴
，∴AP BP AE
BF
==313 ∴tanC ·tanD ＝3
例4. 如图，△是等边三角形，是⌒
上任一点，求证：ABC D BC DB DC DA +=
分析：由已知条件，等边△ABC 可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB ＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC 。 证明：延长DB 至点E ，使BE ＝DC ，连结AE ∵△ABC 是等边三角形
∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC ∴∠ADB ＝∠ACB ＝60°
∵四边形ABDC 是圆内接四边形 ∴∠ABE ＝∠ACD
在△AEB 和△ADC 中，
BE CD ABE ACD AB AC ===???
?
?∠∠
∴???AEB ADC ∴AE ＝AD
∵∠ADB ＝60°
∴△AED 是等边三角形 ∴AD ＝DE ＝DB ＋BE ∵BE ＝DC ∴DB ＋DC ＝DA
说明：本例也可以用其他方法证明。如：
（1）延长DC 至F ，使CF ＝BD ，连结AF ，再证△ACF ≌△ABD ，得出AD ＝DF ，从而DB ＋CD ＝DA 。 （2）在DA 上截取DG ＝DC ，连结CG ，再证△BDC ≌△AGC ，得出BD ＝AG ，从而DB ＋CD ＝DA 。
例5. 如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD ＝DC ，分别延长BA 、CD 交于点E ，BF ⊥EC 交EC 的延长线于F ，若EA ＝AO ，BC ＝12，求CF 的长。
分析：在Rt △CFB 中，已知BC ＝12，求CF ，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。 解：连结OD ，BD
AD DC AD DC ==，∴⌒⌒
∴∠ABC ＝∠AOD ∴OD ∥BC
∴
OD BC EO
EB
= ∵EA ＝AO ，∴EA ＝AO ＝BO BC OD OD ===12122
3
8，∴
，∴ ∴AB ＝16，BE ＝24
∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠EDA ＝∠EBC ∵∠E 是公共角 ∴△EDA ∽△EBC ∴
AD BC EA EC ED
EB
== 设AD ＝DC ＝x ，ED ＝y ，则有
x y x y
12248
==
+ 解方程组，得：x =42 ∴=AD 42 ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB ＝∠F ＝90° 又∠DAB ＝∠FCB ∴Rt △ADB ∽Rt △CFB ∴
==
AD CF AB BC CF ，即4216
12
∴=CF 32
说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。
此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。
例 6. 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于
点、，过作⊙的切线交于，若＝，，求的长。F D D O FC E AF 7cosB CE =
3
5
解：连结FD
∵AB 是直径，∴AD ⊥BC
∵AB ＝AC ，∴BD ＝DC ，∠FAD ＝∠DAB ∵四边形ABDF 是圆内接四边形 ∴∠CFD ＝∠B ∵∠C 是公共角 ∴△ABC ∽△DFC ∴
CD AC DF
AB
= ∵AB ＝AC ∴CD ＝DF
（也可以证∠CFD ＝∠B ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CFD ，∴CD ＝DF 。） ∵DE 切⊙O 于D ∴∠FAD ＝∠EDF
又∵∠CDE ＋∠EDF ＝∠FAD ＋∠DAB ∴∠CDE ＝∠DAB ∴∠CDE ＝∠EDF ∵CD ＝FD
∴CE ＝EF ，DE ⊥CF
cosB B C =
=3
5，∠∠ ∴=cosC 3
5
在中，Rt ACD C CD AC ?cos =
=3
5
∴设CD ＝3x ，AC ＝5x 在中，，即Rt CDE C EC CD EC
x
?cos ==353 ∴=
EC x 9
5 AC AF CE =+2 ∴=+
57185
x x x =5 ∴EC ＝9
例7. 如图，相交两圆的公共弦长为120cm ，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。
解：∵公共弦AB ＝120 ∴==a R 46120
r R a 66242
22
212060603=-?? ??
?=-=
∠===
=O a R AB o
144601202
2
602，， (
)
∴=-?? ??
?=
-==r R a O o 442
42
2
222602
606090，∠
S S S R a r AmB AO B AO B
弓形扇形=-=-=-229036012
180036004244?ππ
S S S R a r AnB AO B AO B
弓形扇形=-=-=-1
16036012
2400360036
266?ππ
()
∴=+=-+S S S AmB AnB 阴影弓形弓形4200360013π
(
)[
]
∴-+两圆相交弧间阴影部分的面积为42003600132
πcm
例8. （2003年黄冈市中考题）一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm 。 （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）。 （2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173.
解题点拨：四边形ABCD 中，AD 长为7支香烟的直径之和，易求；求AB 长，只要计算出如图（2）中的O 1E 长即可。
解：（1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3 O O O O O O 1223310753
4
====
.
∴=
?=
O E 1343233
8
()∴=?+=+AB cm 233834333
3 ()AD cm =?
=73421
4
∴四边形ABCD 的面积是：
()21433346336316
2?+=+cm （2）制作一个烟盒至少需要纸张：
()263363163334842148414409614412+++?+??? ??
?=≈....cm
例9. 在直径为20cm 的圆中，有一弦长为16cm ，求它所对的弓形的高。 解：一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。
H
A B C
O
如图，HG 为⊙O 的直径，且HG ⊥AB ，AB ＝16cm ，HG ＝20cm ∴===OH cm BC AB cm 101
2
8， ∴=
-=-=OC OB BC cm 22221086
∴=-=-=CH OH OC cm 1064 CG O C O G cm =+=+=61016 故所求弓形的高为4cm 或16cm
例10. ⊙的直径，过点有两条弦，，求O AB 2cm A AC =2==
cm AD cm 3
∠CAD 所夹圆内部分的面积。
解：符合题设条件的图形有两种情况： （1）圆心O 在∠CAD 的内部，如图（1），连结OC 、OD ，过O 作OE ⊥AD 于点E
OA OC AC ===12，
∴OC ⊥AB
∴=+=??+?=+S S S AOC BOC 11211901360124
?扇形ππ OA AE AD ==
=
1123
2
， ∴=-?? ??
?==OE OE OA 13212122
2
，即
∴=+=
??+??=+S S S AOD BOD 212123601360346
?扇形ππ ∴=+=
+++=++?? ??
?S S S cm 122
124346234512πππ （2）圆心O 在∠DAC 的外部时，如图（2），有：
S S S cm =-=+-
-=-+?? ??
?122
12434623412πππ ∴++??
???-+?? ???∠所夹圆的内部的面积为：或CAD cm cm 234512234
1222
ππ
例11.
已知圆中，、为两条弦，的度数为，的度数为O AB CD AC BD o
o ??13090,
M N AB CD MON 、分别为、的中点，求的度数。∠
分析：由已知条件可知AB 、CD 弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。 解：（1）当AB 、CD 不相交时，且AB 、CD 在圆心的两侧，如图（1）连结OD 、OB 。
∵M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点，OD 、OB 过圆心O
∴??
OM ON AB CD 、的延长线平分、
∴∠?∠=?BOM m AB DON m CD 1212
， ∴∠+∠?+?BOM DON m AB CD 12
() AC BD ???
?的度数为，的度数为13090 ∴?+?
?-?-?=?CD AB 的度数为36013090140
∴∠+∠=?BOM DON 70
∠?=?BOD m BD 90
∴∠=?+?=?MON 9070160
图（1）
（2）当AB 、CD 不相交，且在圆心O 的同侧时，如图（2），连结OB 、OC
同理可证，，∠?∠?BOM
m AB CON m CD 1212
而∠=∠-∠-∠?-?-?MON BOM CON BOC m AD CD BC 1212 =?+?+?-?
-?12
()AD DC BC DC BC
=?-?=?-?=?121
2
1309020()()AC BD
图（2）
（3）当AB 、CD 相交于点P ，且圆心O 在∠DPA 的内部时，如图（3），∠DPA 是圆内角，
则∠?+?
=?-?-?=?DPA m AD BC AC BD 1212
36070()() ∠=∠=?
∴∠=?-?=?OMP ONP MON 9018070110
图（3）
（4）当AB 、CD 相交于点P ，且圆心O 在∠DPA 的外部时，如图（4）
∠?+?=?-?=?∠=?DPA m AD BC AC BD ONP 1212
2090()()，又 ∴∠=∠=?-?=?∴∠=?NQP MQO MON 90207020， 综上所述，的度数为或或。∠???MON 20110160
图（4）
例12. （长沙市，2000）已知：如图，圆心A （0，-3），圆A 与x 轴相切，圆B 的圆心B 在x 正半轴上，且圆B 与圆A 外切于点P 。两圆内公切线MP 交y 轴于点M ，交x 轴于点N ：（1）求证△AOB ∽△NPB ；（2）设圆A 半径为r 1，圆B 半径为r 2，若r 1：r 2＝3：2，求点M 、N 的坐标及公切线MP 的函数解析式；（3）设点B （x 1，0），点B 关于y 轴的对称点B’（x 2，0），若x 1·x 2＝-6，求过B’、A 、B 三点的抛物线解析式；（4）若圆A 的位置大小不变，圆心B 在x 正半轴上移动，并始终有圆B 与圆A 外切，过点M 作圆B 的切线MC ，C 为切点，MC ＝33时，B 点在x 轴的什么位置？从你的解答中能获得什么猜想？
解：（1） AO x MP AB ABO NBP ⊥⊥∠=∠轴，，， ∴~??AOB NPB
（），，2033 A OA AP ()-∴==
又 r r AP PB 1232
:::==
∴===-=PB AB BO 2553422，，
AB NB BO
BP
= ∴=
?=?=NB AB BP BO 5245
2 ∴=-=ON 4523
2
∴点的坐标为（，）N 3
2
由Rt APM Rt AOB ???
∴==∴AM AB M 502，点的坐标为（，） 设直线MP 的解析式为y ＝kx ＋b ，
则有，，解得，
，
2003
2432=?+=+?????=-=?
????k b k b k b ∴=-
+MP y x 的函数解析式为4
3
2 （3）设抛物线为y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）
令y ＝0，则有ax 2
＋bx ＋c ＝0 ∵B 与B’关于y 轴对称， ∴x 1＋x 2＝0，即b ＝0， 又点A （0，-3），∴C=-3 x x c a a
123
6?==--=- ∴=
a 12
∴=-抛物线的解析式为y x 12
32
（4）∵MC ＝MP
∴可证△APM ≌△AOB
∴===MC MP BO 33 ∴点的坐标为（，）B 330
猜想：圆心B 在x 轴的正半轴上任一位置时，都有切线MP 的长等于点B 的横坐标或四边形MOBC 是长方形。
【模拟试题】 一. 选择题：（本题共24分，每小题4分，每道题只有一个正确答案） 1. 已知AB 是⊙O 的直径，半径EO ⊥AB 于O ，弦CD ⊥EO 于F 点，若∠CDB ＝120°，则CD ⌒
的度数为（ ） A. 10°
B. 15°
C. 30°
D. 60°
2. 如图，已知⊙O 中，M 是弦CD 的中点，N 为弦AB 的中点，并且AC BD ⌒、⌒
的度数为130°、90°，则∠MON 的度
数为（ ） A. 70°
B. 90°
C. 130°
D. 160°
C M
D B O N
A
3. 已知△ABC 中，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若r 是内切圆半径，则△ABC 的面积可以表示为（ ） A.
()1
4
a b c r ++
B.
()1
2
a b c r ++ C. ()a b c r ++
D. ()2a b c r ++
4. 已知两圆的半径分别为R 、r ，且圆心距为d ，若R d r Rd 2
2
2
2+-=，则这两圆的位置关系为（ ） A. 外离或外切 B. 相交或内切 C. 外切或内切
D. 内切或内含
5. 已知正多边形的边长为a 与外接圆半径R 之间满足12<
R ，则这个多边形是（ ） A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 6. 已知正方形ABCD 边长为5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为（ ） A. 5 2 2 B. 5 2 2 C. ( ) 52 21- D. ( ) 5 21- 二. 填空题：（本题共16分，每小题4分） 7. 已知△ABC ，∠C ＝90°，∠B ＝28°，以C 为圆心，以CA 为半径的圆交AB 于D ，则AD ⌒ 的度数为_____________。 8. 已知△ABC 内接于⊙O ，F 、E 是AB ⌒ 的三分之一点，若∠AFE ＝130°，则∠C ＝____________度。 9. 已知PA 切⊙O 于A ，∠APO ＝30°，若PA =123，OP 交于⊙O 于C ，则PC ＝____________。 10. 两圆半径之比为2：1，大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_______。 三. 求解下列各题：（本题共18分，每小题6分） 11. 已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，若弦CD 把⊙O 分为2：1的两部分，且CD =43，求⊙O 的直径及AE 长。 12. 已知等边△ABC 内接于⊙O ，E 是BC ⌒ 上一点，AE 交BC 于D ，若BD ：DC ＝2：1，且AB ＝6，求DE 长。 13. 如图所示，AB 是⊙O 的弦，EF 切⊙O 于B ，AC ⊥EF 于C 。 求证：AB AC AO 22=· 四. 解答题：（本题共24分，每小题8分） 14. 如图所示，AB 切⊙O 于B ，AE 过O 点交⊙O 于E 、C ，过C 作⊙O 切线交AB 于D ，若AD BD =2。 求证：AE AB = 3 15. 如图所示，△ABC 中，∠A ＝90°，O 是BC 上一点，以O 为圆心的圆切AB 、AC 于D 、E ，若AB ＝3，AC ＝4，求阴影部分的面积。 16. 如图所示，⊙O 与⊙O'交于A 、B ，过A 点任意作两圆的割线CAD ，若连结CB 、DB ，问因割线CAD 的位置不确定，∠CBD 的大小是否改变？ 五. 解答题：（本题共18分，每小题9分） 17. 如图所示，PA 切⊙O 于A ，PO 交⊙O 于B 、C ，若AC CE ⌒⌒ ，AE 交BC 于D ，且∠BEA ＝30°，DB ＝1，求AP 及PB 长。 18. 已知一块直径为30cm 的圆形铁板，已经截去直径分别为20cm ，10cm 的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？ [参考答案] 一. 选择题。 1. D 2. D 3. B 提示：设△ABC 的内切圆的圆心为O 连结OA 、OB 、OC ，则△ABC 可分割成三个三角形：△ABO ，△BCO ，△ACO 则S S S S ABC ABO BCO ACO ????=++ ()= ?+?+?=++1212121 2 a r b r c r a b c r 应选B 4. C 提示：依题意，有：R Rd d r 2 2 2 20-+-= ()R d r --=2 20 ()()R d r R d r -+--=0 所以，R d r -+=0或R d r --=0 即R r d +=，或R r d -= 两圆内切或外切 5. C 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有R a R <<2 因为a R 6=，a R 42= ，所以a a a 64<< 则a a a 654<<，是正五边形，应选C 。 6. D 提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GE ＝EF ＝FH A E F D G H B C 设EF ＝x ，则根据勾股定理，AE DF x ==22 则有AD AE EF FD =++ 即x x +=22 2 5· () x = +=-5 21 521 应选D 二. 填空题。 7. 56° 8. 75°或105° 提示：如图所示： ∵∠AFE ＝130°，∴ABE ⌒ 的度数为260° 则AE ⌒ 的度数为360260100o o o -= ∵F 、E 是AFB ⌒ 的三分之一点 ∴==∴===AF FE EB AF FE EB o ⌒⌒⌒⌒⌒⌒ 50 ∴=∠⌒ C m AFB o 150或∠C o =105 9. 12 10. 3：1 如图所示，设大圆与小圆的半径为2r 和r 则大圆内接正六边形的边长为2r ，小圆外切正六边形的边长为23 3 r 因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方 即()2233312 2 r r ：：?? ?? ?= 三. 求解下列各题： 11. 解：如图，分两种情况：（1）点E 在OA 上；（2）点E 在OB 上 （1）∵直径AB ⊥弦CD 于E ，CD =43 ∴根据垂径定理，有：CE ED ==23 A 、B 分别为CAD ⌒和CBD ⌒ 的中点 ∵CD 把⊙O 分成2：1两部分 ∴CD ⌒ 的度数为120°，CBD ⌒的度数为240° 连结BC ，则∠⌒ B m AC o o 126012 30=?= 在Rt BCE ?中，BE CE o =?= ?=cot 303236 () CE AE EB AE CE EB AB AE EB 22 2 236 28 =?∴===∴=+= （2）当点E 在OB 上时，AE ＝6 ∴直径为8，AE ＝6或2 12. 解法一：如图（1），∵△ABC 是等边三角形，AB ＝ 6 图（1） ∴BC ＝AB ＝AC ＝6，∠B ＝∠ACB ＝60° ∵BD ：DC ＝2：1 ∴BD ＝4，CD ＝2 ∴AD ·DE ＝BD ·CD ＝8 连结CE ，∵∠B ＝∠E ＝60° ∴∠ACB ＝∠E ∵∠CAD 是公共角 ∴△ACD ∽△AEC ()∴=?==+=+?AC AD AE AD AD DE AD AD DE 2236 ∴==∴=?== AD AD DE BD CD AD 22827 827 477， 解法二：如图（2），过A 作AG ⊥BC 于G