人教版初中数学第二十四章圆知识点

第二十四章圆

24.1 圆的有关性质

24.1.1 圆

1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O 为圆心的圆记作“☉O”，读作“圆O ”.

2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小.

3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合.

4.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.

5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“?”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.

6.在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧.

24.1.2 垂直于弦的直径

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC =弧BD ⑤弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD

24.1.3 弧、弦、圆心角

1.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数与他所对的弧的度数相等.

2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；

③OC OF =；④弧BA =弧BD

B

D

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，那他们所对的优弧劣弧分别相等.

24.1.4 圆周角

1.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半. 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠

3.圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直

径.

即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵90C ∠=? ∴90C ∠=?∴AB 是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 即：在△ABC 中，∵OC OA OB == ∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.

注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不同的角.

4.一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补. 推论：圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角. 即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴180C BAD ∠+∠=?180B D ∠+∠=?

B

A

B

A

O

DAE C ∠=∠

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系

1.点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系决定的. （1）点在圆内?d r ?点A 在圆外；

2.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个.

3.三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 4.与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角.

24.2.2 直线与圆的位置关系

1.如果圆O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么： （1）直线与圆相离?d r >?无交点； （2）直线与圆相切?d r =?有一个交点； （3）直线与圆相交?d r

2.直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点. （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线

（2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点. 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.

A

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.

连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线，通常叙述为：“见切点连半径得垂直”.解决与圆的切线有关的问题时，常需要补充的线是作过切点的半径. 3.切线长定理

在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角. 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =

PO 平分BPA ∠

4.圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：12Rt O O C ?

中，2

21

AB CO ==

（2）外公切线长：2CO 是半径之差；内公切线长：2CO 是半径之和.

24.3 正多边形和圆

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

把一个圆分成相等的弧，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆.经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆. 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心.正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形内切圆半径叫做正多边形的边心距. 正n 边形的半径R 与边心距r 把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形.

00

n 0222n n n 360180=a =2sin ;

n 1801

cos ;(a );C a ;2

11

=a n=C .

22

n n n n n n n R n r R R r n n S r r α==+=??关系式：中心角；边长边心距周长面积

（1）正三角形

在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?

中进行：::2OD BD OB =； （2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?

中进行，::OE AE OA =

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?

中进行，::2AB OB OA =.

24.4 弧长和扇形面积

1、扇形：（1）弧长公式：180

n R

l π=

； （2）扇形面积公式：21

3602

n R S lR π=

= n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积

l

O