合肥三中2016届高三12月考数学理科

2015-2016合肥三中高三12月考数学（理科）

一、选择题

1．已知复数z=（其中i为虚数单位），则z=（）

A． +i B．﹣i C．1+i D． +i

2．“不等式x（x﹣2）＞0”是“不等式”成立的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7+a3a8=27，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10=（）

A．12 B．10 C．8 D．2+log35

4．已知，，

则P∩Q=（）

A．{〔1，1〕}B．{〔﹣1，1〕} C．{〔1，0〕}D．{〔0，1〕}

5．该试题已被管理员删除

6．在△ABC中，若D是BC边所在直线上一点且满足=+，则（）

A．=﹣2B．=2 C．=﹣D．=

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）

A．f（x）=2sin（x﹣）B．f（x）=2sin（x+）

C．f（x）=sin（x﹣）D．f（x）=sin（x+）

8．六棱锥P﹣ABCDEF中，底面是正六边形，顶点在底面的射影是底面正多边形中心，G 为PB的中点，则三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比为（）

A．1：1 B．1：2 C．2：1 D．3：2

9．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）

A．2 B．1 C． D．

10．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时，，则：①2是函数f（x）的周期；②函数f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；④当x∈（3，

4）时，．其中所有正确命题的序号是（）

A．①②B．②④C．①②④ D．①③④

11．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）

12．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到

大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）

A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．55

二、填空题：

13．Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是．

14．计算：（x2+）dx=．

15．矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．

16．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；

②sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；

③sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；

④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°；

⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°．

试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；并根据你的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式．

三、解答题

17．已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集

（Ⅰ）求角C的最大值；

（Ⅱ）若，△ABC的面积，求当角C取最大值时a+b的值．

18．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．

（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；

（2）若锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，

，求△ABC的面积．

19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面BCC1B1⊥底面ABC．

（1）若M，N分别是AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；

（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的面各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°，问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1？若存在，求C1P与PA1的比值，若不存在，说明理由．

20．已知函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a＞0时，函数y=f（x）在闭区间[0，a+1]上的最大值为f（a+1），求a的取值范围．21．数列{a n}：满足a1=6，a n

+1

=a n2+4a n+2，（n∈N*）

（1）设C n=log2（a n+2），求证{C n}是等比数列；

（2）求数列{a n}的通项公式；

（3）设b n=﹣，数列{b n}的前n项和为T n，求证：≤T n＜1．22．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．

（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n

+1（x）=g（g n（x）），n∈N

+

，求g n（x）的表达式；

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设n∈N

+

，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．

2015-2016学年安徽省合肥三中高三（上）12月月考数学

试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.每小题有唯一正确选项，请把正确选项填在答题卷上）

1．已知复数z=（其中i为虚数单位），则z=（）

A． +i B．﹣i C．1+i D． +i

【考点】复数代数形式的混合运算．

【分析】利用复数的除法运算法则即可得出．

【解答】解：复数z====．

故选：A．

2．“不等式x（x﹣2）＞0”是“不等式”成立的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】由“不等式x（x﹣2）＞0”?“x＞2或x＜0”?“不等式”，“不等式”?“x

＞2或x＜0”?“不等式x（x﹣2）＞0”，知“不等式x（x﹣2）＞0”是“不等式”成立的

充要条件．

【解答】解：∵“不等式x（x﹣2）＞0”?“x＞2或x＜0”?“不等式”，

“不等式”?“x＞2或x＜0”?“不等式x（x﹣2）＞0”，

∴“不等式x（x﹣2）＞0”是“不等式”成立的充要条件．

故选C．

3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7+a3a8=27，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10=（）

A．12 B．10 C．8 D．2+log35

【考点】数列的求和．

【分析】由题设条件知a5a6=9，再由等比数列的性质知

log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10=log3，由此能求出结果．

【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7+a3a8=27，

∴a5a6=a4a7=a3a8=9，

∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10

=log3（a1×a2×a3×…×a10）

=log3

=log3310

=10．

故选B．

4．已知，，

则P∩Q=（）

A．{〔1，1〕}B．{〔﹣1，1〕} C．{〔1，0〕}D．{〔0，1〕}

【考点】交集及其运算．

【分析】先根据向量的线性运算化简集合P，Q，求集合的交集就是寻找这两个集合的公共元素，通过列方程组解得．

【解答】解：由已知可求得P={（1，m）}，Q={（1+n，1+n）}，

再由交集的含义，有?，

∴P∩Q={〔1，1〕}

故选A．

5．该试题已被管理员删除

6．在△ABC中，若D是BC边所在直线上一点且满足=+，则（）

A．=﹣2B．=2 C．=﹣D．=

【考点】向量加减混合运算及其几何意义．

【分析】根据题意，画出图形，结合图形解答问题，求出与的关系，即得答案．

【解答】解：△ABC中，若D是BC边所在直线上一点且满足=+，如图所示；

∴=﹣=（+）﹣=﹣+=（﹣）=；

∴=﹣，

∴=﹣．

故选：C ．

7．已知函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜），其导函数f ′（x ）的部分图

象如图所示，则函数f （x ）的解析式为（ ）

A ．f （x ）=2sin （x ﹣）

B ．f （x ）=2sin （x +）

C ．f （x ）=sin （x ﹣

）

D ．f （x ）=sin （x +

）

【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】由三角函数图象可得f ′（x ）=sin （x ﹣），逐个选项求导数验证可得．

【解答】解：设导函数f ′（x ）=acos （bx +c ），

由图象可得a=1，

=4×（

+

），∴b=，

∴f ′（x ）=cos （x +c ），

代入点（

，0）可得cos （﹣

+c ）=0，可取c=﹣

，

∴f ′（x ）=sin （x ﹣

），

逐个选项验证可得A 符合题意， 故选：A

8．六棱锥P ﹣ABCDEF 中，底面是正六边形，顶点在底面的射影是底面正多边形中心，G 为PB 的中点，则三棱锥D ﹣GAC 与三棱锥P ﹣GAC 体积之比为（ ） A ．1：1 B ．1：2 C ．2：1 D ．3：2 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】利用等积法将两棱锥转化为两个同高棱锥的比，通过计算底面积得出体积比． 【解答】解：设棱锥的高为h ，

∵V D ﹣GAC =V G ﹣ACD =V P ﹣ACD =S △ACD ?h ，

V P ﹣GAC =V G ﹣ACP =V B ﹣APC =V P ﹣ABC =S △ABC ?h ，

∴

=

．

==a2，

设底面正六边形ABCDEF的边长为a，则S

△ABC

=AC?CD=×a×a=a2．

S

△ACD

∴=2，

即=2．

故选：C．

9．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直

线OM斜率的最小值为（）

A．2 B．1 C． D．

【考点】简单线性规划．

【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．

【解答】解：不等式组表示的区域如图，

当M取得点A（3，﹣1）时，

z直线OM斜率取得最小，最小值为

k==﹣．

故选C．

10．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已

知当x∈[0，1]时，，则：①2是函数f（x）的周期；②函数f（x）在（1，

2）上递减，在（2，3）上递增；③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；④当x∈（3，

4）时，．其中所有正确命题的序号是（）

A．①②B．②④C．①②④ D．①③④

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】根据条件求出函数的周期，即可判定①的真假，根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，以及在（0，1）上的单调性，可判定②的真假，根据单调性和周期性可求出函数的最值，可判定③的真假，最后求出函数在x∈[3，4]时的解析式即可判定④的真假．【解答】解：∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），

∴f（x+2）=f（x）则f（x）的周期为2，故①正确；

∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，，

∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；

∴函数f（x）的最大值是f（1）=1，最小值为f（0）=，故③不正确；

设x∈[3，4]，则4﹣x∈[0，1]，f（4﹣x）==f（﹣x）=f（x），故④正确；

故选C．

11．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）

【考点】根据实际问题选择函数类型．

【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．

【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，

令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，

函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，

等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）

当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，

由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．

则实数a的取值范围是（0，）．

故选B．

12．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到

大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）

A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．55

【考点】数列与函数的综合；函数的零点．

【分析】函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．

【解答】解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，

当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，

当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，

当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，

以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，

所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），

由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．

然后：

①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，

取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．

即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．

②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，

即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．

即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．

③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，

即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．

④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…

（n+1，n+1）．

即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．

综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：

0，1，2，3，4，…，

其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为S n=，

∴S10=45，

故选C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是12．

【考点】点、线、面间的距离计算．

【分析】利用已知条件可计算出Rt△ABC的斜边长，根据斜边是Rt△ABC所在截面的直径，进而可求得球心到平面ABC的距离．

【解答】解：Rt△ABC的斜边长为10，Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，

∴斜边是Rt△ABC所在截面圆的直径，

球心到平面ABC的距离是d=．

故答案为：12．

14．计算：（x2+）dx=．

【考点】定积分．

【分析】首先利用定积分的运算法则将所求转化为和的积分，然后分别求原函数代入求值．

【解答】解：（x2+）dx==|+

=；

故答案为：．

15．矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射

影A′落在BC上，则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．

【考点】二面角的平面角及求法．

【分析】过A作AO⊥BD，交BD于O，连结A′O，由AA′⊥平面BCD，知∠AOA′是二面角A﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣BD﹣C的余弦值．

【解答】解：∵过A作AO⊥BD，交BD于O，连结A′O，

∵沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，

∴AA′⊥平面BCD，∴∠AOA′是二面角A﹣BD﹣C的平面角，

∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，

∴AO==，BO=，tan=，

A′O=OE=BO?tan∠CBD==，

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，

∴，

∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．

故答案为：．

16．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；

②sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；

③sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；

④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°；

⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°．

试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；并根据你的计算结果，将该同学的发现推广

为三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．

【考点】归纳推理．

【分析】选择②式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解，发现推广三角恒等式为

sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α）=．

【解答】解：选择②式，计算如下：

sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°=1﹣sin 30°=1﹣=

推广为三角恒等式三角恒等式为sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α）=．

故答案为：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α）=．

三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集

（Ⅰ）求角C的最大值；

（Ⅱ）若，△ABC的面积，求当角C取最大值时a+b的值．

【考点】余弦定理的应用；三角函数的化简求值．

【分析】（Ⅰ）根据不等式的性质可判断出判别式小于或等于0且cosC＞0，求得cosC的范围，进而根据余弦函数的单调性求得C的最大值．

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中求得C，利用三角形面积公式求得ab的值，进而代入余弦定理求得a+b 的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵不等式x2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集．

∴，即，

即，

故，∴角C的最大值为60°．

（Ⅱ）当C=60°时，，∴ab=6，

由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，

∴，

∴．

18．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．

（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；

（2）若锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求△ABC的面积．

【考点】三角函数的最值；正弦定理．

【分析】（1）根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式即可得出

，从而便可求出f（x）的最大值及取最大值时x的集合；

（2）根据及A为锐角即可求出A=，进而根据正弦定理即可求出sinB，从而

得出B的值，这样根据sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB即可求出sinC，最后根据三角形面积公式即可求出△ABC的面积．

【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=；

∴，k∈Z，即x=，k∈Z时，f（x）取最大值；

∴f（x）的最大值为，取最大值时x的集合为；

（2）；

∴；

又A为锐角；

∴，；

∴在△ABC中，A=，，由正弦定理得：；

∴；

∴；

∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=；

∴

=

=．

19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面BCC1B1⊥底面ABC．

（1）若M，N分别是AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；

（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的面各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°，问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1？若存在，求C1P与PA1的比值，若不存在，说明理由．

【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）连接AC1，利用三角形的中位线证明：MN∥BC1，然后利用直线与平面平行的判定定理证明即可．

（2）假设在线段A1C1上存在点P，设=，通过，求出平面B1CP

的法向量，利用，求出平面ACC1A1的法向量，通过=0，求出λ=．即

可得出结论．

【解答】解：（1）连接AC1，BC1，∵M、N分别为AB、A1C的中点，

∴MN BC1，MN?平面BCC1B1；BC1?平面BCC1B1；

∴MN∥平面BCC1B1；

（2）以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，

则A（，0，0），B（0，﹣1，0），C（0，1，0），A1（，1，），B1（0，0，

），C1（0，2，），

假设在线段A1C1上存在点P，设=，

则=λ（﹣，﹣1，0），==（﹣，1﹣λ，），=（0，1，﹣），

=（，1，0），=（0，﹣1，﹣），

设平面B1CP的法向量=（x，y，z），

则，即．

令z=1，则y=，x=，∴=（，，1）．

设平面ACC1A1的法向量=（x，y，z），

则，即，令z=1，则y=﹣，x=1，∴=（1，﹣，1）．

要使平面B1CP⊥平面ACC1A1，

则=0，即（，，1）?（1，﹣，1）=0，∴﹣3+1=0，∴λ=，

∴C1P=，PA1=，

∴=2．

20．已知函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a＞0时，函数y=f（x）在闭区间[0，a+1]上的最大值为f（a+1），求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）a=2时，求出f'（x），解f'（x）＞0可得增区间，解f'（x）＜0可得减区间；（2）令f'（x）=0可得x=1或x=a，按照a=1，0＜a＜1，a＞1三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，使其最大值为f（a+1）即可；

【解答】解：f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a），

（1）当a=2时，f′（x）=6（x﹣1）（x﹣a）=6（x﹣1）（x﹣2），

当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2，f′（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间分别为（﹣∞，1），（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）；（2）（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6（x﹣1）2≥0，f（x）在[0，a+1]上单调递增，最大值为f （a+1）；

0a1

∴只需f（a+1）﹣f（a）=（﹣a3+3a2+3a﹣1）﹣（﹣a3+3a2）=3a﹣1≥0，

解得a≥，此时≤a＜1；

a1

∴只需f （a +1）﹣f （1）=（﹣a 3+3a 2+3a ﹣1）﹣（3a ﹣1）=﹣a 3+3a 2=﹣a 2（a ﹣3）≥0， 解得a ≤3，此时1＜a ≤3．

由（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）得≤a ≤3，

∴满足条件的a 的取值范围是[，3]．

21．数列{a n }：满足a 1=6，a n +1=a n 2+4a n +2，（n ∈N *） （1）设C n =log 2（a n +2），求证{C n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式；

（3）设b n =

﹣

，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：

≤T n ＜1．

【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）把给出的数列递推式变形得到an +1+2=（an +2）2，两边取以2 为底数的对数证得答案；

（2）求出（1）中等比数列{C n }的通项公式，代回C n =log 2（a n +2）可得数列{a n }的通项公式；

（3）把b n =﹣

化为

，求和后代入首项和a n +1即

可证得答案．

【解答】（1）证明：由a n +1=a n 2+4a n +2，得

，①

∵a 1=6＞0，∴a n +2＞0，

把①式两边取以2为底数的对数，得log 2（a n +1+2）=2log 2（a n +2）， ∵C n =log 2（a n +2），∴C n +1=log 2（a n +1+2），

则

，∴{C n }是公比为2的等比数列；

（2）解：由（1）得： =

，

则log 2（a n +2）=3?2n ﹣1，

∴

，则

；

（3）证明：由b n =

﹣，得：

，

又，

∴T n=（）+（）+…+（）

==．

∴T n．

22．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n

+1

（x）=g（g n（x）），n∈N

+

，求g n（x）的表达式；

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设n∈N

+

，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；

（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；

（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．

【解答】解：由题设得，

（Ⅰ）由已知，

，

…

可得

下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．

②假设n=k时结论成立，即，

那么n=k+1时，=即结论成立．

成立．

由①②可知，结论对n∈N

+

（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．

设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，

当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），

∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，

又φ（0）=0，

∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）

当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，

∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0

即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，

故知ln（1+x）≥不恒成立，

综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．

（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，

n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），

比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）

证明如下：上述不等式等价于，

在（Ⅱ）中取a=1，可得，

令则

故有，

ln3﹣ln2，…

，

上述各式相加可得结论得证．