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【备考】全国数学试题分类解析汇编(11月第四期)K单元概率

K单元概率

K单元概率 (1)

K1 随事件的概率 (1)

K2 古典概型 (1)

K3 几何概型 (1)

K4 互斥事件有一个发生的概率 (1)

K5 相互对立事件同时发生的概率 (1)

K6 离散型随机变量及其分布列 (1)

K7 条件概率与事件的独立性 (1)

K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 (1)

K9 单元综合 (1)

K1 随事件的概率

K2 古典概型

【数学（文）卷·2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】17.（本小题满分12分）

城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：

（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同

组的概率．

【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．K2 【答案】【解析】（1）32；（2）

解析：（1）候车时间少于10分钟的概率为

268

1515

+=, 所以候车时间少于10分钟的人数为8

603215

?=人. ………………………6分 (2)将第三组乘客编号为1,234,,a a a a ，第四组乘客编号为1,2b b .从6人中任选两人包含一下基本事件：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，

22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b

其中恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为

………………………12分【思路点拨】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为268

1515

+=，用60乘以此比例，即得所求．（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共

有15种，用列举法求得抽到的两人恰好来自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好来自不同组的概率．

【数学文卷·2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word 版】16.（本小题满分12分）

某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示. （1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高；

（2）规定综合得分85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率.

【知识点】用样本估计总体；茎叶图；古典概型. I2 K2 【答案】【解析】(1) 东城区的平均分较高；（2）

.解析：（1）根据茎叶图知，东城区的平均分为:7879798888899394==868

x +++++++东，

西城区的平均分为7279818384859494

=848

x +++++++西，

∴东城区的平均分较高.………………………………………………………（5分）（2）从两个区域各选一个优秀厂家，所有的基本事件数为53=15?种，满足得分差距不超过5分的事件：

()()()()()()()()()88,8588,85,89,8589,9489,94939493,9494,9494,94、、、、、，、、、9种，

∴满足条件的概率为93

155

P =

=…………………………………………………………（12分）【思路点拨】(1)根据平均数得定义求得东、西两个城区厂家的平均分；（2）用列举法写出从两个区域各选一个优秀厂家的所有情况共15种，其中满足得分差距不超过5分的情况有9种，所以满足条件的概率为93

155

P =

【数学文卷·2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】17. （本小题满分12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤，用n x 表示编号为n （n =

（1）求第6位同学的体重6x 及这6位同学体重的标准差

s ；

（2）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间()58,65中的概率．【知识点】古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．K2 K6

【答案】【解析】（1）7s =;（2）2

解析：（1）由题意得

60+66+62+60+62+

656

x = ，故 680x = …… 2分

6位同学体重的标准差

7s =

…… 4分

所以第6位同学的体重680x =，这6位同学体重的标准差7s =…… 5分

（2）从前5位同学中随机地选2位同学的基本事件为(60,66)，(60,62)，(60,60)，(60,62)，

(66,62)，(66,60)，(66,62)，(62,60)，(62,62)，(60,62)，共10种…… 8分

其中恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的基本事件有(60,66)，(66,62)，(66,60)，

(60,62)，共4种…… 10分

所以恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的概率42

105

P =

=…… 12分【思路点拨】由平均数和标准差的计算公式可得出x 6和s ，然后由古典概型计算公式可算出所求概率．

K3 几何概型

【数学文卷·2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word 版】10.A ，B ，C 是平面内不共线的三点，点P 在该平面内且有23PA PB PC ++=0,现将一粒芝麻随机撒在△ABC 内，则这粒芝麻落在△PBC 内的概率为

【知识点】几何概型. K3

【答案】【解析】D 解析：由23PA PB PC ++=0

2()3()0AP AB AP AC AP ?-+-+-=,

得1132AP AB AC =

+,设C 到AB 距离d,如图，则：1111

2326

PCE ABC S AB d S ??=????=， 111

1223233ABPE ABC S AB AB d AB d S ???=+??=?= ???，所以

121(1)S S 636

PBC ABC ABC S ???=--=,所以所求概率为: 1

6.故选D.

【思路点拨】根据已知确定点P 位置，结合图形求PBC ?与ABC ?面积等量关系.

K4 互斥事件有一个发生的概率

【数学理卷·2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】18．（本小题满分14分）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）随机变量ξ的概率分布和数学期望；

【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．K4 K5 K6 【答案】【解析】（Ⅰ）

32；（Ⅱ）13

解析：(Ⅰ) 一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A,一次取出的3个小球上有

两个数字相同的事件记为B ，则事件A 和B 是对立事件。

31)(3

182215==C C C C B P , 32

)(1)(=-=∴B P A P 答：一次取出的3个小球上的数字互不相同的概率为3

………….5分（2）由题意5,4,3,2=ξ

301)2(31022122212=+==C C C C C P ξ , 152

)3(31022141224=+==C C C C C P ξ 103)4(31022161226=+==C C C C C P ξ 158

)5(3

2181228=+==C C C C C P ξ 所以随机变量ξ的概率分布列为

155104153302=?+?+?+?=ξE …………14分

【思路点拨】（Ⅰ）根据题意，一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ，一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B ，易得事件A 和事件B 是互斥事件，易得事件B 的概率，由互斥事件的意义，可得答案，（Ⅱ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5，

分别计算其取不同数值时的概率，列出分步列，进而计算可得答案．

K5 相互对立事件同时发生的概率

【数学（理）卷·2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411） word版】17.（本小题满分12分）

第十七届亚运会于2014年9月19日至10月4日在韩国仁川举行.为了搞好接待工作，组委会在首尔大学某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者从事礼宾接待和语言翻译工作，将这30名志愿者的身高（单位：cm）编成茎叶图（如图所示）：

组委会安排决定：身高175cm以上（包含175cm）的志愿者从事礼宾接待，身高在175cm以下的志愿者从事语言翻译.

（I）如果从分层抽样的方法从从事礼宾接待的志愿者和从事语言翻译的志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，那么至少有一人是从事礼宾接待的志愿者的概率是多少？（II）若从所有从事礼宾接待的志愿者中随机选3名志愿者，用ξ表示从事礼宾接待的志愿者中女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望.

【知识点】茎叶图；对立事件的概率；离散型随机变量的分布列及期望.K5 K6

【答案】【解析】（I）

（II）分布列见解析，1.

解析：（I）根据茎叶图，有从事礼宾接待的志愿者12人，有从事语言翻译的志愿者18人，

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51 306

=。

所以抽中的从事礼宾接待的志愿者有

122

?=人，从事语言翻译的志愿者有

183

?=人。

用事件A表示“至少有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，则它的对立事件A表示“没有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，

则

()1()1

P A P A

=-=-= (6)

分

（II ）由题意：ξ的可能取值为0，1，2，3.

则3831214

(0)55C P C ξ===,12483

1228(1)55C C P C ξ===, 214831212(2)55C C P C ξ===,343

121

(3)55

C P C ξ===, 因此，

故14281210123155555555

E ξ=?

+?+?+?=………………………………………12分【思路点拨】（I ）先用分层抽样的方法，计算出每个人被抽中的概率，再利用对立事件的概率和为1可求得结果；（II ）由题意分别计算出ξ取值为0，1，2，3时各自的概率，然后列出分布列并求出期望。

【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．K4 K5 K6 【答案】【解析】（Ⅰ）

32；（Ⅱ）13

解析：(Ⅰ) 一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A,一次取出的3个小球上有

两个数字相同的事件记为B ，则事件A 和B 是对立事件。

31)(3

182215==C C C C B P , 32

)(1)(=-=∴B P A P 答：一次取出的3个小球上的数字互不相同的概率为3

………….5分（2）由题意5,4,3,2=ξ

301)2(31022122212=+==C C C C C P ξ , 152

)3(31022141224=+==C C C C C P ξ 103)4(31022161226=+==C C C C C P ξ 158

)5(3

2181228=+==C C C C C P ξ 所以随机变量ξ的概率分布列为

155104153302=?+?+?+?=ξE …………14分

【思路点拨】（Ⅰ）根据题意，一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ，一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为

B ，易得事件A 和事件B 是互斥事件，易得事件B 的概率，由互斥事件的意义，可得答案，（Ⅱ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5，分别计算其取不同数值时的概率，列出分步列，进而计算可得答案．

K6 离散型随机变量及其分布列

【数学（理）卷·2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411） word 版】17.（本小题满分12分）

组委会安排决定：身高175cm 以上（包含175cm ）的志愿者从事礼宾接待，身高在175cm 以下的志愿者从事语言翻译.

（I ）如果从分层抽样的方法从从事礼宾接待的志愿者和从事语言翻译的志愿者中抽取5人，

再从这5人中随机选2人，那么至少有一人是从事礼宾接待的志愿者的概率是多少？

（II ）若从所有从事礼宾接待的志愿者中随机选3名志愿者，用ξ表示从事礼宾接待的志愿者中女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望.

【知识点】茎叶图；对立事件的概率；离散型随机变量的分布列及期望.K5 K6 【答案】【解析】（I ）

（II ）分布列见解析，1. 解析：（I ）根据茎叶图，有从事礼宾接待的志愿者12人，有从事语言翻译的志愿者18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51306

=。所以抽中的从事礼宾接待的志愿者有11226?

=人，从事语言翻译的志愿者有1

1836

?=人。用事件A 表示“至少有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，

则23257

()1()110

C P A P A C =-=-= (6)

分

（II ）由题意：ξ的可能取值为0，1，2，3.

则3831214

(0)55C P C ξ===,12483

1228(1)55C C P C ξ===, 214831212(2)55C C P C ξ===,343

121

(3)55

C P C ξ===, 因此，

故14281210123155555555

E ξ=?

【数学理卷·2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）(1)】18.某市准备从7名报名者（其中男4人，女3人）中选3人参加三个副局长职务竞选. （1）设所选3人中女副局长人数为X ，求X 的分布列及数学期望；

（2）若选派三个副局长依次到A,B,C 三个局上任，求A 局是男副局长的情况下，B 局是女副局长的概率。

【知识点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率.K6,K7 【答案】【解析】(1)略(2)

解析：（1）X 的所有可能取值为0，1，2，3．依题意得P （X=0）==，P （X=1）=

，P （X=2）=

，P （X=3）=

∴X

的分布列为：

∴EX=0×

+1×

+2×

+3×

=．

（2）设事件M=“A 局是男副局长”，N=“B 局是女副局长”，则P （N|M ）===．

【思路点拨】（1）确定X 的所有可能取值，求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX ；（2）设事件M=“A 局是男副局长”，N=“B 局是女副局长”，利用P （N|M ）=

，

即可求出A 局是男副局长的情况下，B 局为女副局长的概率．.

【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．K4 K5 K6 【答案】【解析】（Ⅰ）

32；（Ⅱ）13

解析：(Ⅰ) 一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A,一次取出的3个小球上有

两个数字相同的事件记为B ，则事件A 和B 是对立事件。

31)(3

182215==C C C C B P , 32

)(1)(=-=∴B P A P 答：一次取出的3个小球上的数字互不相同的概率为3

………….5分（2）由题意5,4,3,2=ξ

301)2(31022122212=+==C C C C C P ξ , 152

)3(31022141224=+==C C C C C P ξ 103)4(31022161226=+==C C C C C P ξ 158

)5(3

2181228=+==C C C C C P ξ 所以随机变量ξ的概率分布列为

155104153302=?+?+?+?=ξE …………14分

【思路点拨】（Ⅰ）根据题意，一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ，一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B ，易得事件A 和事件B 是互斥事件，易得事件B 的概率，由互斥事件的意义，可得答案，（Ⅱ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5，分别计算其取不同数值时的概率，列出分步列，进而计算可得答案．

【数学文卷·2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】17. （本小题满分12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤，用n x 表示编号为n （n =1,2，……，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：

（1）求第6位同学的体重6x 及这

6位同学体重的标准差

s ；

（2）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间()58,65中的概率．【知识点】古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．K2 K6

【答案】【解析】（1）7s =;（2）2

解析：（1）由题意得

60+66+62+60+62+

656

x = ，故 680x = …… 2分

6位同学体重的标准差

7s =

…… 4分

所以第6位同学的体重680x =，这6位同学体重的标准差7s =…… 5分

（2）从前5位同学中随机地选2位同学的基本事件为(60,66)，(60,62)，(60,60)，(60,62)，(66,62)，(66,60)，(66,62)，(62,60)，(62,62)，(60,62)，共10种…… 8分

其中恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的基本事件有(60,66)，(66,62)，(66,60)，(60,62)，共4种…… 10分

所以恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的概率

105

P==…… 12分

【思路点拨】由平均数和标准差的计算公式可得出x6和s，然后由古典概型计算公式可算出所求概率．

K7 条件概率与事件的独立性

（2）若选派三个副局长依次到A,B,C三个局上任，求A局是男副局长的情况下，B局是女副局长的概率。

【知识点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率.K6,K7

【答案】【解析】(1)略(2)1

解析：（1）X的所有可能取值为0，1，2，3．

依题意得P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==

∴X的分布列为：

∴EX=0×+1×+2×+3×=．

（2）设事件M=“A局是男副局长”，N=“B局是女副局长”，则P（N|M）===．【思路点拨】（1）确定X的所有可能取值，求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX；（2）设事件M=“A局是男副局长”，N=“B局是女副局长”，利用P（N|M）=，

即可求出A局是男副局长的情况下，B局为女副局长的概率．. K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布

K9 单元综合

【备考】全国数学试题分类解析汇编(11月第四期)K单元 概率

【备考】全国数学试题分类解析汇编(11月第四期)K单元概率